湘教版八年级数学上册第2章三角形 集体备课教案

第2章三角形

2.1三角形...................................................................1

2.2命题与证明..............................................................10

2.3等腰三角形..............................................................17

2.4线段的垂直平分线.......................................................21

2.5全等三角形.............................................................25

2.6用尺规作三角形.........................................................43

2.1三角形

第1课时

教学目标

1、知道三角形的概念和三角形的边、顶点、角；理解三角形三边关系；

2、在探索三角形三边关系的过程中，经历“实验一猜想一归纳一验证”的过程，体

会由特殊到一般的思维策略。

3、通过画图等活动，培养动手能力，提高知识技能，使思维变得更灵活。

教学重难点

【教学重点】

角形的概念和三角形的边、顶点、角。

【教学难点】

三角形的三边关系。

教学过程

（一）课前思考

姚明的身高是2.26米，腿长1.31米，他一步能跨3米远吗？

（二）新授

1、引入：观察图片，生活中可见的三角形图案。本章将对三角形的构成及其性质进

行探索和研究。

设计意图：通过观察图形，感知三角形的存在

2、概念讲解：如图，由三条线段首尾顺次联结组成的图形叫做三角形。

aabab

cc

c

思考：（1）是否任意三条线段都可以首尾顺次联结？

（2）若三条线段首尾顺次能联结，是否一定能组成一个三角形？

对三角形概念修改：强调不在同一直线上的三条线段。

设计意图：思考并形成概念

3、概念：

（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形。

（2）线段AB、BC、CA是三角形的边；

（3）点A、B、C是三角形的顶点；

（4）NA、NB、NC是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角；

（5）表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作：4ABC,读作：三角形ABC；△

ABC的三边也可用小写字母：a、b、c表示。一般情况下：NA的对边用a表示、ZB

的对边用b表示、NC的对边用c表示。

A

设计意图：理解、识记概念

4、探究三角形的三边关系

（1）、操作并填表

从四根小棒（12厘米、8厘米、6厘米、4厘米、）中任选三根拼接三角形

（i）先选择三根小棒

（ii）再将选择的每根小棒的长度填入表格中

（出）最后拼接，观察能否围成三角形

（学生合作学习、小组交流）

能否围成三

实验次数小棒的长度角形

画“J“X”

设计意图：动手操作、思考、分析，得到三角形三边的关系

(2)、思考:三根小棒的长度必须具备怎样的条件才能围成三角形？

(学生交流)

(3)、归纳：三角形任意两边的和大于第三边

a+b>c,b+c>a,c+a>b

(4)、思考：蜗牛选择哪条路线走最近？(两点之间线段最短)

设计意图：体会直观感知与理性思考

(5)、辨析：下列线段(长度单位：厘米)能围成三角形吗？

①8、4、3②9、4、5③11、7、5

设计意图：利用三角形三边关系辨析，并发现简便方法

(6)、练一练：下列线段能围成三角形吗？

①23cm、J100cm>V64cm

②7.5cm>7.5cm>15cm

③18cm、10cm、23cm

④15cm、23cm>8cm

(三)总结

这节课你理解了哪些概念？

通过同学们自己动手操作你掌握了哪些你探究出的结论？

你现在能回答课前的思考题了吗？

(四)练习：三角形的最长边是8,最短边是3,第三边的边长是整数，则第三边长

是？

第2课时

教学目标

1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线及其性质；

2.知道三角形的高、中线、角平分线会分别交于一点；

3.了解重心的概念。

教学重难点

【教学重点】

三角形的高、中线、角平分线及其性质。

【教学难点】

三角形的高、中线、角平分线会分别交于一点。

教学过程

引入新课

过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？

（引出三角形高）

活动1

（一）探究三角形的高

1.三角形高的定义：（你能描述三角形的高吗？）

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线

段叫做三角形的高线，简称三角形的高.

如图，在△ABC中，AD±BC，点D是垂足，AD是4ABC的一条高.

A

」

BDC

2.做一做:

（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）

你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你

发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系）（（可以反过来画好高后，找哪条

边上高））

3.议一议：（使折痕过顶点，，顶点的对边边缘重合）

如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们的

高有几条？它们又有什么样的位置关系？

4.练一练：

（1）AD为AABC的高，则NAD6=N=

（2）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是

（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形

（3）在下图中，正确画出aABC中BC边上高的是（）.

活动2

（二）探究三角形的中线

问题1：你能将AABC分为面积相等的两个三角形吗？（引出三角形中线）

1.三角形中线的定义：

三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形

的中线.）

如图，D是BC的中点，则线段AD是AABC的中线，此时有BD=DC=；BC.

2.做一做：

你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴

交流.（分组合作交流）

3.练一练：

如图，AD、BE为AABC的中线交于点G,连结CG,并延长交AB于点F.

⑴则AC=_AE=_EC,CD=,AF=_AB.

（2）若SaABc=12cnT,贝.

4

打~D8

活动3

（三）探究三角形的角平分线

问题：准备一个三角形纸片ABC,按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD把NABC

分成N1和N2两部分.观察N1和N2有什么关系？（由学生动手操作，观察思考，

引出三角形的角平分线）

1.三角形角平分线定义：

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点

与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图,BD是NBAC的角平分线，那么有/

1

ABD=ZDBC=-ZABC

2

2.做一做：（分组合作，交流讨论）（准备三个三角形）

（1）你能分别画出或折出这三个三角形的角平分线吗？

（2）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？

3.练一练：

如图，AD、BE、CF是aABC的三条角平分线，则Nl=,Z3=-,ZACB=2

-------2------

课堂练习

1.如图1所示,在4ABC中,ZACB=90°,把4ABC沿直线AC翻折180

使点B落在点B'的位置，则线段人（：是（）

A.边BB'上的中线才

B.边BB'上的高/

C.NBAB'的角平分线ZJ

,BCB'

D.以上答案都正确

2.一个残缺的三角形残片如图2所示，，请你作出AB边上的高所在的直线.你是怎

样作的？为什么？

如果不恢复这个缺角呢？

课堂小结感悟反思

学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中体验与感受，以及

可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结.

（辅以几何画板动画来演示，加深学生对这三种重要线段的理解）

第3课时

教学目标

1、了解三角形的内角；

2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；

3、运用三角形内角和定理解决与角有关的实际问题；

4、初步培养学生的说理能力。

教学重难点

【教学重点】

了解三角形内角和性质，学会解决简单的实际问题。

【教学难点】

说明三角形的内角和是180度。

教学过程

一、新课导入

在小学里我们就接触过三角形，并且知道三角形的内角和是180°,大家还记得我们

是怎样检验的吗？这个检验的过程是不严谨的，今天我们一起来研究一下，为什么三

角形的内角和是180°o

二、自主探究

阅读P46——P47,完成：

1、三角形内角和定理及其证明：

三角形的内角和等于

如图，已知aABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：延长6C,过C作C石〃84.

A

【题后交流与反思】

本题的证明方法中应用了转化的思想方法，即把三角形的三个内角的和转化为一

个—，是借助达到这个目的的。

2、三角形的分类：

(1)三角形的三个内角可以都是锐角吗？都是直角吗？都是钝角吗？一个三角形中

最多有个锐角，个直角，个钝角。

(2)三角形按角分类如下：

三角^

斜三角谊______________

3、直角三角形的表示方法

如图记作,叫作直角边，叫斜边,

满足条件的直角三角形叫等腰直角三角形

4、直角三角形两锐角的关系

直角三角形的两个锐角.

三、应用迁移

(一)典例精析

例1、在AABC中，NA的度数是NB的度数的3倍，NC比NB大15°,求NA,

NB,ZC的度数。

例2、已知在AABC中，NA=；N8=；NC,试判断该三角形的形状。

(2)如图，NA+NB与/C+NO的度数有什么数量关系？你能写出证明过程吗？

将问题中的条件列成算式有助于于观察和计算分析。

(二)练习反馈

1.AABC中，ZA=50°,ZB=60°,则NC=.

2、AABC中，ZA=ZB+ZC,则NA=_____

3、在AABC中，已知NA=1NB=，NC,求NA、NB、NC的度数.

35

4、在AABC中，已知NA：ZB：ZC=1：2：3.求出NA、ZB,NC的度数。

5.在AABC中，如果NA+NB=120°,ZA-ZB=10°求/A,ZB,NC的度数.

6.(1)如图，在AABC中，NA=42°,NABC和NACB的平分线相交于点D,求NBDC

的度数.

(2)在(1)中去掉/A=42°这个条件，请探究NBDC和NA之间的数量关系.

四、归纳小结

本节课重点学习了

1、三角形的内角和定理及其证明方法;

2、根据角对三角形进行分类。

五、巩固提升

你还有别的方法证明三角形内角和定理吗?

图2

7\＞课后练习

七、教学反思

2.2命题与证明

第1课时

教学目标

1、了解命题、定义的含义；

2、对命题的概念有正确的理解；

3、区分命题的条件和结论。

教学重难点

【教学重点】

找出命题的条件（题设）和结论。

【教学难点】

命题概念的理解。

教学过程

一、回顾已知引入新课

1、填空：（1）三角形的任意两边之和第三边；

（2）三角形内角和等于；

（3）三角形中，连接一个顶点和它对边中点的连线叫做；

（4）三角形三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫做

2、（引入课题）像上（3）（4）这样，对一个概念加以描述说明或作出明确规定的语

句叫做这个概念的定义。

二、自主学习探究新知

1、师生共同探究第50面的“说一说”和“议一议”。

2、一般地，对某一事情作出判断的语句叫作命题。我们来看看，下面的语句哪些是

命题？

（1）如果一个三角形的三个内角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。

命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果……”就是条件，“那么……”

是结论。

（2）在AABC中，如果NA=NB,那么这个三角形就是等腰三角形；

此命题的条件是，结论是。

3、阅读第51面的“观察”，了解命题的一般表述式。命题也可以不写“如果”、“那

么"。

如：直角三角形的一个内角为22°,另外一个锐角为68°.

此命题的条件是，结论是，

三、精讲点拨精练提升

1、完成第51面的“做一做”，了解互逆命题。

2、如上图：（命题一）如果AD是△ABC的中线，那么BD=DC.

条件，结论:

（命题二）如果BD=DC,那么AD是△ABC的中线。

条件,结论o

比较命题一和命题二的条件和结论，你发现了什么？

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我

们就把这样的两个命题称为互逆命题。其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题。

写一个命题的逆命题，只要将原命题的条件和结论互换就可以得到，所以每个命题都

有逆命题。

四、达标检测当堂过关

1、说出下列概念的定义：

（1）有理数（2）分式方程（3）三角形（4）角平分线

2、下列语句哪些是命题：

（1）若ab=O,则a=0或b=0；

（2）作直线a的平行线b；

（3）两直线平行，同位角相等

（4）过两点可画几条直线？

3、如果AABC中NA=NB,那么△ABC是等腰三角形。

此命题的条件，结论

写出此命题的逆命题。

4、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：

（1）同角的余角相等

（2）直角相等

（3）对顶角相等

（4）和为0的两个数互为相反数

5、写出下列命题的逆命题：

（1）对顶角相等

（2）同角的补角相等

（3）两直线平行，同旁内角互补

（4）能被2整除的数是偶数

五、小结：

1、什么是概念的定义？

2、什么是命题？

①任何命题都是由两部分组成：条件和结论；

②每个命题有逆命题

六、作业：

第2课时

教学目标

1.理解真命题、假命题、公理和定理的含义定义，了解什么是证明与举反例；会判断

一个定理有没有逆定理，能说出一个定理的逆定理，理解和应用互逆命题与互逆定理;

2.通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法.能用数学的眼光观察、

分析生活中的实际问题.

教学重难点

【教学重点】

判定一个命题的真假，定理、推论、逆定理、互逆定理的概。

【教学难点】

用基本事实去判定其他命题的真假。

教学过程

（一）：合作.学习：

1：复习命题的定义，思考下列命题的条件是什么？结论是什么？

（1）边长为a（a>0）的等边三角形的面积为.J3/4a2.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

（3）对.于任何实数x,x2<0.

提问：上述命题中，哪些正确？哪些不正确？

2：得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真.命题，如果一个命题叙述的事情是

假的，那么称它是假命题。

3:把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题

还是假命题

（二）：举例：判断下列命.题是真命题还是假命题

（1）x=.l是方程X2-2X-3=0的解。

（2）一个图形经过旋转变化，像和原图形全等。

（三）讲述证明与举反例由上述习题引出：

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断,该命题

为真，这个过程叫做证明。

找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结.论，从而判断这个命题为

假，这个过程叫做举反例。

（四）公理、定理教学

1、什么是公理？什么是定理？二者有何区别？

公理：人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据。称这些真

命题叫做公理。

定理：以基本定义和公理作为推理.的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为

真的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。

2、到目前为止，我们所学的公理有哪些？

3、什么是互逆定理？它和互逆命题有区别吗？A

思考：命题为真，则逆命题一定为真吗？

例题、判断下列命题的真假，并给出证明/\

（1）若2x+y=0,则x=y=O乙----、

BC

（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等

解（1）是假命题。

取x=T,y=2,

则2x+y=2X（-1）+2=0

但xWO且yWO。

即x=T,y=2具备2x+y=0的条件，C'

但不具备命题的结论，A

所以此命题为假命题/\

（2）假命题。/\

如图：AABCB'C'中，/\

ZA=ZB,A'B

ZB=ZC,AB=A,B'

但很明显AABC和AA'B'C'不全等，

所以此命题为假命题

例题小结：如果要证明或.判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题

设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。

练习

1.说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：

（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；

（2）等边三角形的每个角都等于60°；

（3）全等三角形的对应角相等；.

（4）到一个角的两边距离相等.的点，在这个角的平分线上；

（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：

.（1）如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除；

（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.

（四）：课内练习：

第3课时

教学目标

1、明确证明一个命题的基本步骤；

2、掌握证明的一般方法和格式；

3、了解反证法是一种间接证明的方法.

教学重难点

【教学重点】

了解命题的证明的基本步骤，掌握证明与图形有关的命题时的步骤。

【教学难点】

反证法。

教学过程

一、回顾已知引入新课

1、数学上证明一个命题时，通常从命题的出发，运用、

以及已经证明了的和，通过一步步的,最后证实

这个命题的结论成立。证明的每一步都必须要有O

2、（引入新课）若三角形每个顶点处取一个外角，猜猜三角形三个外角和是多少？如

何证明？

二、自主学习探究新知

1、阅读第55面的“做一做”和第56面的“动脑筋”，证明：三角形外角和等于180°.

提示：按同一方向延长△ABC的三条边，用数字标出三个外角和三个内角，再证明。

A

总结证明与几何有关的命题的步骤

步骤：1、分析命题的和

2、根据画出

3、根据命题已知与结论，结合画出的图形，写出和。

4、通过分析，找出证明途径，写出。

2、【典例精析】

例1已知：如图，在△ABC中，NB=NC,点D在线段BA的延长线上，射线AE平分

ZDAC.

求证:AE//BC

证明:

例2已知：ZA,ZB,NC是aABC的内角。

求证：ZA,ZB,ZC中至少有一个角大于或等于60°

三、精讲点拨精练提升

1、有些命题用从条件到结论的推理方法很难证明其真假，用反证法就简单得多，比

如例2.

反证法是一种的方法，起基本的思路可归结为“结论，导

出，肯定结论”。

2、用反证法证明：”三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。”

提示：作AABC,分别用Nl、N2、N3、N4表示三个内角与一个外角，再证明。

证明：（否定结论）

（导出矛盾）

（肯定结论）

四、小结

1、证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？

2、什么情况下我们用反证法？

2.3等腰三角形

第1课时

教学目标

1.使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质；

2.通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动.

教学重难点

【教学重点】

等腰三角形等边对等角性质。

【教学难点】

通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。

教学过程

一、复习引入

1.让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰

三角形？

△ABC中，如果有两边AB=AC,那么它是等腰三角形。

2.日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象？

二、新课

现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三

角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为

AD,如图⑵所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。

可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：

(1)等腰三角形是轴对称图形

(2)ZB=ZC

(3)BD=CD,AD为底边上的中线。

(4)ZADB=ZADC=90°,AD为底边上的高线。

(5)ZBAD=ZCAD,AD为顶角平分线。

结论⑵用文字如何表述？

等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

结论(3)、⑷、(5)用一句话可以归结为什么？

等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合

一”)。

例1已知：在AABC中，AB=AC,ZB=80°,求NC和NA的度数。

本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。

引申：已知：在AABC中，AB=AC,ZA=80°,求NB和/C的度数。

小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。

在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相

等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形具有什么性质呢？

1.请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。

2.你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？

等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到NA=NB

=C,又由NA+NB+NC=180°,从而推出NA=NB=NC=60°=

3.上面的条件和结论如何叙述？

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？

等边三角形也称为正三角形。

P62例题1

例2.在4ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，ZB=30°,求N1和NADC的度数。

分析：由AB=AC,D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由''三线合一”

可知AD是AABC的顶角平分线，底边上的高，从而NADC=90°,Z1=ZBAC,由于

ZC=ZB=30°,NBAC可求，所以N1可求。

问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线

或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样？

问题2：求/I是否还有其它方法？

三、练习巩固

1.填空：在aABC中，AB=AC,D在BC上，

(1)如果AD_LBC,那么NBAD=N,BD=；

(2)如果NBAD=NCAD,那么AD_L,BD=；

(3)如果BD=CD,那么NBAD=N,AD±。

2.判断下列命题，对的打“J”，错的打“义”。

a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合（）

b.有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°（）

3.在AABC中，已知AB=AC,AD为NBAC的平分线，且N2=25°,求NADB和NB

的度数。

四、小结

本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（简写”等

边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称

“三线合一”），它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。用数学语

言表述如下：

1.ZkABC中,如果AB=AC,那么NB=NC。

2.4ABC中，如果AB=AC,D在BC上，那么由条件（1）NBAD=NCAD,（2）AD±

AC,（3）BD=CD中的任意一个都可以推出另外两个。

3.由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。

第2课时

教学目标

1.通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。

2.能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。

教学重难点

【教学重点】

让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。

【教学难点】

一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。

教学过程

一、复习引入

等腰三角形具有哪些性质？

等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。

二、新课

对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否

有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。

我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角

相等，那么它是等腰三角形吗？

为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行

操作：

1.在半透明纸上画一个线段BC。

2.以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的

交点为A。

3.用刻度尺找出BC的中点D,连接AD,然后沿AD对折。

问题1：AB与AC是否重合？

问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。

也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是

等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。

例1.在AABC中，已知NA=40°,ZB=70°,判断AABC是什么三角形，为什么?

P64例题2

问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗？

三个角都是60°的三角形是等边三角形

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

P65例题3

等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。

问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗？

问题5：请你画一个等腰直角三角形，使NC=90°,CD是底边上的高，数一数图中

共有几个等腰直角三角形？

三、练习巩固

四、小结

这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相

等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”），此条件可以做为判断一

个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。

五、作业

2.4线段的垂直平分线

第1课时

教学目标

【知识与能力】

了解线段垂直平分线的性质和判定。

【过程与方法】

1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

2、探索并了解线段垂直平分线的有关性质和判定。

【情感态度价值观】

通过师生的共同活动，培养学生的动手能力，进一步发展其空间观念。

教学重难点

【教学重点】

探索线段垂直平分线的性质。

【教学难点】

体验轴对称的特征。

教学过程

一、巧设现实情景，引入新课

1、我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽。

那什么样的图形是轴对称图形呢？

如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫

做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？

正方形、矩形、圆、菱形、等腰三角形、角、线段。

3、刚才有人提出“线段是轴对称图形”。今天我们就来研究这个简单的轴对称图形。

二、讲授新课

1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？

线段是轴对称图形，它的对称轴是与线段垂直的且垂足是线段中点的直线。

线段还可以沿它所在的直线对折，使得与原来的线段重合，所以说：线段所在的直线

也是线段的对称轴。

（1）画一条线段48,对折48使点4、6重合，折痕与的交点为

0.

问：OA=OB吗？折痕与直线所成的两个角是多少度？~0B

折痕(即线段的对称轴)与线段有什么关系？

(2)讨论交流后小结：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线简称

中垂线。线段是轴对称图形，它的对称轴就是线段的垂直平分线。

做一做：你能画出线段的对称轴吗？

任意画一条线段，然后用带有刻度的直角三角板画出线段的垂直平分线。

2、按照下面的步骤来做一做：

1

\C*

八

/1✓1、

/1✓Z.1、、

Z1✓1、

/!、\

A(B)0\A0\

1

।1

।1

(1)在折痕上任取一点(2)把纸展开，得到折

C,沿勿将纸折叠。痕。和

课外活动与探究

如图7—4所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区力、8提供牛奶，奶站应建在什

么地方，才能使从48到它的距离之和最短。

B

A

居民区*6

居民区A

■

口街道

图7—4

作点4关于1（街道看成是一条直线）的轴对称点,连接/6与1交于。点。奶

站应建在。点处，才能使从4、6到它的距离之和最短。

第2课时

教学目标

1.掌握作线段的垂直平分线的方法；

2.掌握过一点作已知直线的垂线的方法.

教学重难点

【教学重点】

作线段的垂直平分线的方法。

【教学难点】

过一点作已知直线的垂线。

教学过程

一、教学提问，引入新课

问1：根据所学知识只用圆规和直尺（不量长度）你能作出线段的垂直平分线吗？

二、教授新课：

1、作出线段的垂直平分线

作法：

（1）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；

（2）作直线CD

所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。

问：（1）这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？

（2）你能作出线段AB的中点吗？

2、过一点作已知直线的垂线

问1：过已知直线1外一点P你能做这条直线1的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）

作法：（1）以P点为圆心，以大于点P到直线1的距离为半径画弧，交直线1于A、

B两点；

（2）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；

（3）作直线CD

所以直线CD就是直线1的垂线。

问2：过已知直线1上一点P你能做这条直线1的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）

（类似问题2作法）

三、练习

四、小结本节课主要是过一点作已知直线的垂线的作法。

五、作业布置

六、教学反思

尺规作图是学生的薄弱环节，学生在操作中存在的主要问题有：作图不规范，没有作

图痕迹，或者随意乱画作图痕迹.在教学中，引导学生养成规范答题的习惯，鼓励学

生勇于尝试，对于每一个作图痕迹都要能说明来源（作法）.

2.5全等三角形

第1课时

教学目标

1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等;

3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

教学重难点

【教学重点】

全等三角形的性质。

【教学难点】

找全等三角形的对应边、对应角

教学过程

1、全等形及全等三角形概念的引入

(1)显示：

问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。

(2)学生自己动手

画一个三角形：边长为4cm,5cm,7cm.然后剪下来，同桌的两位同学配合，把

两个三角形放在一起重合。

(3)获取概念

让学生用自己的语言叙述：全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。

2、全等三角形性质的发现：

问题：对应边、对应角有何关系？

由学生观察发现，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。

3、找对应边、对应角以及全等三角形性质的应用

(1)题目：

M如蓟，AABDwACDB,且AB,CD

是对应边。下面四个结论中不正确的是：

A、AAB即ACDB的面积相等

B,AABEmUCD邮）周长相等

C、ZA+ZABD=ZC+ZCBD

D、AD/7BC,且AD=BC

分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D,因为AD和BC是

对应边，因此AD=BC。C符合题意。

说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置

上，易错点是容易找错对应角乙4四与NCBD。

例2如图2,已知AABE岂AACD,NAD/NAED,

NB=NC,指出其他的对应边和对应角，//

分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将施1和MCD从复杂的图

形中分离出来

解：对应角为NBA蹄NCAD

对应边为AB^AC、AgAD,BE与CD

说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：ZB=ZC,ZADE=ZAED

然后依据已知的对应元素找：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对

应角所夹的边是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹

的角是对应角。

例3已知：如图3,AABCwAADE试找出对应边、对应角

3'D

分析：连结A。，此图中，将AABC?fiAC翻折180。即可得到AADE,对应元素易找。

解：对应角：ZA=NA，NB=ND，ZACB=ZAED

对应边：AB=AD，BC=DE，AC=AE

说明：利用“运动法”来找

翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

例4如图4AADE=ACBF；AD=BQ

求证：AE/7CF

分析：证明直线平行通常用角关系(同位角、内错角等)，为此想到三角形全等

后的性质一一对应角相等

证明：•1•AADE=ACBF,AD=BC

ZAED=ZF

・・・AE〃CF

说明：解此题的关键是找准对应角，可以用平移法。

阳如眇，已知AACFwADBE,ZE=ZF

AD=9cm,BC=5cm.

求：ABM长

分析：AB不是全等三角形的对应边，

但它通过对应边转化为AB=CD,而使AB+CD=AD-BC

可利用已知的AD与BC求得。

解：••■AACFwADBE,ZE=ZF

AC-BC=DB-BC即AB=CD

AB+CD=2AB=AD-BC=9-5=4(cm)

AB=2(cm)

说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。

5、小结:

(1)如何找全等三角形的对应边、对应角(基本方法)

(2)全等三角形的性质

(3)性质的应用

让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

第2课时

教学目标

1.理解“边角边”判定三角形全等的意义.

2.会运用“SAS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件.

教学重难点

【教学重点】

在具体图形中正确运用“边角边”判定三角形全等。

【教学难点】

在具体图形中正确运用“边角边”判定三角形全等。

教学过程

一、情境导入

如图，在△460中，延长/0到点。，使C0=A0,延长加至U点D,使D0=B0,连接CD,

那么△/血与△W。全等吗？

二、合作探究

探究点：用“SAS”判定两个三角形全等

［类型—］利用“边角边”添加条件，判定三角形全等

例1如图，已知乙%〃只需添加条件,就可以用“SAS”判定

△ABMXBAD.

解析：由于公共边力8=又4ABe=/BAD,用“SAS”判定式必△砌〃添加的

条件应当是夹角的另一边对应相等，故填8。=/〃

方法总结：利用“边角边”判定两个三角形全等，“角”是两边的夹角，“两边”是夹

这个角的两边，而不能是这个角的对边.

［类型二］“边边角”不能证明三角形全等

例2下列条件中，不能证明比必△颂的是（）

A.AB=DE,4B=/E,

B.AB=DE,/A=/D,AC=DF

C.BC=EF,NB=/E,AC=DF

D.BC=EF,AC=AF,AC=DF

解析:要判断能不能使比色△颂,应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，

只有选项C的条件不符合，故选C.

方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定

全等，要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的.

［类型三］利用“边角边”证明两个三角形全等

例3如图，AC//BD,AC=BD,E、少在4?上，且丝=哥:求证：△ACF^XBDE.

解析：因为AC〃BD,所以有N4=N8,由代可得力「=应:有两边及一夹角对

应相等，故可根据SAS判定两三角形全等.

证明：'：AC//BD,：.AA=AB.

'：AE=BF,AE+EF=BF+EF即AF=BE.

在和△皮应中，AC=BD,/A=NB,AF=BE,

.•.△/匹△叱（SAS）.

方法总结：①在全等三角形中，常把两直线的平行关系转化为角之间的关系（相等或

互补）.②“边角边”中的边必须是全等三角形中的边，而不能是边上的一部分.

［类型四］利用“SAS”证明三角形全等与等腰三角形性质的综合运用

例4如图所示，/BAC=/ABD,AC=BD,点0是AD、宛的交点，点E是48的中点.试

判断〃和46的位置关系，并给出证明.

解析：首先进行判断：OELAB,由已知条件不难证明△砌缁△/被，得NOBA=/OAB

再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论.

解：OELAB.

证明：在△员I。和△/即中，

(AC=BD,

{ZBAC=AABD,

VBA=AB,

二△物•△胸SAS).

：./0BA=40AB,

：.0A=OB.

又•：AE=BE,：.OELAB.

方法总结：①本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解决此类问

题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识.②根据全等三角形可

得对应边相等，对应角相等，所以要证明线段相等或角相等时，常常可转化为证明三

角形全等.

［类型五］“边角边”的实际应用

例5如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡

钳).在图中，要测量工件内槽宽，只要测量什么？为什么？

解析：利用边角边可判定△/醒从而有切=/8,所以只要测量出切的长即

可.

解：只要测量办

理由：连接48,CD.

•.•点。分别是4。、劭的中点，

0A=OC,OB=OD.

在△力阳和△CW中，

OA=OC,AAOB=ACOD,OB=OD,

:.XA0哙△CODRg.

：.CD=AB.

答：需要测量徵的长度，即为工件内槽宽力区

方法总结：本题考查全等三角形的应用.在实际生活中，对于难以实地测量的线段，

常常通过两个全等三角形把需要测量的线段转化到容易测量的边上或者已知边上来，

从而求解.

三、板书设计

边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.两边和其中一边的对角对应相等

的两个三角形不一定全等（如图）.

四、教学反思

在课本情景引入中，采用了探究的方式，让学生经历几何图形的基本变换：平移、旋

转、轴反射，学会了用观察、猜想等方法来得出结论，培养学生分析问题、解决问题

的能力.用边角边判定两个三角形全等时，注意条件中的角必须是这两边的夹角.

第3课时

教学目标

1、理解全等三角形“角边角”的判定方法

2、利用全等证明角相等、线段相等及直线的平行关系；

3、熟练掌握证明三角形全等的书写格式。

教学重难点

【教学重点】

理解全等三角形“角边角”的判定方法。

【教学难点】

【教学难点】

理解三角形全等的条件与结论之间的关系。

教学过程

一、情境导入

小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）,你认为

将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？

2

3

41

二、合作探究

探究点一：用“ASA”判定两个三角形全等

［类型—］利用角边角，添加条件，判定两个二角形全等

例1如图，已知点力、D、a厂在同一条直线上，ZA=Z£DF,AC=DF,要直接用ASA

判定△46匹△师还需要添加一个条件是()

A.2BCA=2F

B.AB=DE

C.BC=EF

D.AB//DE

解析：已知一边和夹这条边的一个角，要用角边角判定两个三角形全等，要找的另一

个角应当是夹这条边的另一个角，所以本题选A.

方法总结：利用“角边角”判定两个三角形全等，“边”是两角的夹边.

［类型二］利用角边角证明两个三角形全等

例2如图，已知，EC=AC,4BCE=4DCA,NA=NE,求证：BC=DC.

解析：由/BCE=NDCA可得/BCA=NDCE,再结合ZA=ZE,根据ASA有

XBCAQ/XDCE,从而8。=%

证明：Y4BCE=/DCA,

：./BCE+NACE=ZDCA+NACE即ABCA=ADCE.

'：AC=EC,/A=/E,.•.△8勿里△〃四(ASA).：.BC=DC.

方法总结：在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证明这两条线段或角所在的

三角形全等来得到线段相等或角相等，若这两条线段或角所在的两个三角形不全等，

还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目

的.

探究点二：“ASA”定理的应用

［类型一］全等三角形性质与判定的综合运用

例3如图，乙C=/E,AC//DE,力4加:求证：AF=BD.

解析：iAC//DE,可知N/=N〃，再结合已知根据ASA可得△/比丝△加瓦故48=

DF,再同时减去跖即可得出结论成立.

证明：'：AC//DE,：.AA=ZD,

在△/a'和△破中，4C=4E,AC=DE,//=/〃，

，△力比经△〃阳ASA).

：.AB=DF,：.AB~BF=DF-BF即AF=BD.

方法总结：①证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据

题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件，这些条件怎样可以得

到.②由对应边角相等的条件得到三角形全等，这是全等三角形的判定；由三角形全

等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质.

［类型二］角边角的实际应用

例4如图所示，要测量河岸相对的两点4、5之间的距离，先从6处出发与AB成90°

角方向，向前走30米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走30