新高考艺术生40天突破数学第18讲 平面向量（解析版）

第18讲平面向量【知识点总结】一、向量的基本概念1.向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.注：谈到向量必须说明其方向与大小.向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.规定零向量与任何向量平行（共线），即.注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③，，不一定有，因为可能为.二、向量的线性运算1.向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.2．向量的减法（1）相反向量.与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.（2）向量的减法.向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.3.向量的数乘（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：①②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.（2）向量数乘运算的运算律.设、为任意向量，、为任意实数，则；；.三、平面向量基本定理和性质1.共线向量基本定理如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.2.平面向量基本定理如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.3.三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为平面内一点.四、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示.在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量（）向量点（）.（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.（4）设A，B，则=， 即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.五、向量的平行设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；当时，可表示为，即对应坐标成比例.六、平面向量的数量积(1)已知两个非零向量和，作＝，＝，叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.(2)叫作与的数量积，记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.两个非零向量与平行的充要条件是.七、平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度||与在方向上的射影||cosθ的乘积．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面向量数量积满足的运算律（1）（交换律）；（2）为实数）；（3）（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.九、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量由此得到（1）若；（2）设两点间距离（3）设的夹角，则【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为60°，，，则（）A．2 B．C． D．12【答案】C【详解】，所以.故选：C.例2．（2022·全国·高三专题练习）向量不共线，点P、Q、S共线，已知，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，又因为点P、Q、S共线，所以，所有，因此，故，解得，故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若，则的值为（）A． B． C．2 D．【答案】B【详解】依题意：，，，所以，解得.所以.故选：B例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A． B．﹣ C． D．3【答案】A【详解】解：设＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，∴，解得λ＝．故选：A．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．【答案】3【详解】根据条件：，如图设D为BC的中点，则因为G是的重心，，，又M，G，N三点共线，，即.故答案为：3.例6．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知点D满足，若，则____________．【答案】【详解】∵，∴．故答案为：例7．（2022·全国·高三专题练习）已知为内一点，，则，的面积之比为______．【答案】【详解】如图所示，由，得，取为中点，为中点，则，所以．故答案为：.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．2．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．若，则、的长度相等且方向相同或相反B．若向量、满足，且与同向，则C．若，则与可能是共线向量D．若非零向量与平行，则、、、四点共线【答案】C【分析】由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．【详解】对于A：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；对于B：若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；对于C：若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；对于D：若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．故选：C．3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量满足，，，则（）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】由共线向量定义可知，分别在和时求得结果即可.【详解】，又，，，当时，；当时，；或.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【分析】根据给定条件借助平行线的性质求出，再利用向量的加法计算即得.【详解】平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有，如图，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于向量的命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；选项B，长度相等，向量可能不平行，该选项错误；选项C，显然可得出，该选项正确；选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（）A．若，，则B．对于任意向量，，必有C．若为实数），则D．向量在向量上的投影向量为【答案】B【分析】由时，得到与未必共线，可判定A错误；结合向量的加法的三角形法则和共线向量，可得判定正确；由时，可判定错误；根据向量在向量上的投影向量的计算方法，可得判定D错误.【详解】对于A中，当时，因为与任意向量共线，所以与未必共线，所以A错误；对于B中，结合向量的加法的三角形法则可知，，且当与同向或至少有一零向量时取等号，所以正确；对于C中，当时，，此时可以取任意实数，所以错误；对于中，向量在向量上的投影向量为，所以D错误.故选：B.7．（2022·全国·高三专题练习）设平面向量a，b不共线，若，，，则（）A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【答案】A【分析】计算出后可判断出A，B，D三点共线，从而可得正确的选项.【详解】，故A，B，D三点共线．又为不共线向量，故不共线，从而也不共线，也不共线，故选：A.8．（2022·全国·高三专题练习）设，为所在平面内两点，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据题意，画出图形，然后利用向量的基本定理进行求解.【详解】如图所示，因为，所以，所以故选：D9．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】由已知可得，即，从而可得答案.【详解】解：由，得，即，所以，即，故选：C.10．（2022·全国·高三专题练习）.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】设，由向量的运算法则得到，又由，列出方程组，即可求解.【详解】设，因为，所以，则，又因为，所以，解得.故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的线性运算，可得解【详解】由题意，．故选：B12．（2022·浙江·高三专题练习）在中，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法和减法计算即可求解.【详解】，故选：B.13．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形中，，设，，则向量（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：.故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）A． B．10 C． D．5【答案】A【分析】由向量的线性运算，求得，根据三点共线，得到，列出方程组，即可求解.【详解】由，，可得，因为，，三点共线，所以，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，解得，.故选：A.15．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将向量转化为，进而根据平面向量的数量积求得答案.【详解】由题意，得，，故.故选：D.16．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，D为上一点，且，设，则用和表示为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用平面向量的线性运算求解.【详解】由题得.故选：A17．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则锐角θ＝（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量平行的条件求出，结合为锐角即可求出角的值.【详解】因为，所以，即，因为为锐角，所以，即.故选：B.18．（2022·江苏·高三专题练习）已知向量，且，则一定共线的三点是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根据三点共线的知识确定正确选项.【详解】依题意，，所以共线，即三点共线，A正确.，则不共线、不共线，BD错误.，则不共线，C错误.故选：A19．（2022·全国·高三专题练习）已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（）A．5 B．3C． D．2【答案】C【分析】根据条件判断，然后由共线，可以知道当且仅当有唯一一个实数，使，进而求出答案.【详解】因为，是非零向量，且互相垂直，所以，因为共线，所以当且仅当有唯一一个实数，使，即，所以，又因为，不共线，所以.故选：C.20．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为()A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得.【详解】由题意可知，，所以，又，即.因为、、三点共线，所以，解得.故选：A．21．（2022·全国·高三专题练习）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得到，然后带入，进而得到，然后根据B，D，E三点共线，即可求出结果.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三点共线，∴，∴．故选：D．22．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（）A．2 B．C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可【详解】因为，，所以，又因为，所以，即，解得，故选：B23．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则（）A． B．C．2 D．-2【答案】A【分析】首先求出，的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为，，所以，，因为，所以，解得故选：A24．（2022·全国·高三专题练习）正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】根据，化简可得，建立平面直角坐标系，根据，利用坐标计算可得点坐标，最后计算可得结果.【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，建立如图平面直角坐标系设，，所以由，所以则，所以故选：D．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，本题关键在于得到，通过建系便于计算，着重考查了推理与运算能力，属中档题.25．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量，，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题首先可根据求出，然后根据求出，最后根据即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，，所以，即，，则，故选：D.26．（2022·全国·高三专题练习（文））设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（）A． B． C． D．5【答案】A【分析】由向量共线求得未知数x，根据模长的坐标表示求得即可.【详解】解：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，则﹣2x＝1，解可得x＝﹣，则＝（﹣，1），故+＝（，﹣1），则|+|＝＝，故选：A．27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求向量和，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值.【详解】，.因为A，B，C三点共线，所以共线，所以，解得.故选：A【点睛】本题考查根据三点共线求参数的取值范围，重点考查向量共线的公式，属于基础题型.28．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量线性运算的坐标表示求出的坐标，进而可得，再由投影的计算公式即可求解.【详解】由，，得，由，得，解得，所以，故在方向上的投影为．故选：B．29．（2022·全国·高三专题练习）已知向量为单位向量，，且向量与向量的夹角为，则的值为（）A．-2 B．- C． D．4【答案】C【分析】利用平面向量数量积的定义及运算律即可得出答案.【详解】解：因为向量为单位向量，，且向量与向量的夹角为，得，则.故选：C.30．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，且，，则（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】将两边同时平方展开，结合已知条件由向量数量积的定义得关于的方程即可求解.【详解】因为非零向量，的夹角为，且，所以，又因为，所以，即，所以整理可得：，因为，解得：，故选：A.31．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量､，满足，且与的夹角为，则等于（）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】由模的数量积运算表示出模，，求出与的数量积，利用向量的夹角（数量积的定义）可得出结论．【详解】解：，且与的夹角为，由向量夹角公式可得，故选：B.32．（2022·全国·高三专题练习）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】解：非零向量与满足，平方得，即，则，由，平方得，得，即，则，，设向量与夹角为，则向量与夹角的余弦值，，，故选：．33．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据条件求出和的值，然后根据向量的夹角公式来求与的夹角.【详解】因为，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以，即.故选：A.34．（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A． B．﹣ C． D．3【答案】A【分析】设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．【详解】解：设＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，∴，解得λ＝．故选：A．二、多选题35．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知求解方程组可得与，求模判断A；由判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D．【详解】解：∵，，∴，，得，，故A错误；又，则，则，故B正确；，又，∴，故C正确；∵，∴与不垂直，故D错误.故选：BC．36．（2022·江苏·高三专题练习）四边形中，，则下列表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的线性运算将用基底和表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A：，故选项A不正确；故选项B正确；，故选项C不正确，，故选项D正确；故选：BD37．（2022·全国·高三专题练习）下列关于平面向量的说法中错误的是（）A．若，则存在唯一的实数，使得B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C．若且，则D．若点为的垂心，则【答案】ABC【分析】直接利用向量的共线，向量的坐标运算，向量垂直的率要条件，向量的数量积的应用判断A，B，C，D的结论即可【详解】解：对于A，当时，满足，但不满足存在唯一的实数，使得，所以A错误；对于B，因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，与共线，所以且，所以B错误；对于C，由于，，所以当时，等号成立，所以C错误；对于D，因为点为的垂心，所以，所以，所以，同理可得所以，所以D正确，故选：ABC38．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，，所以B正确；对于C中，由，，可得，所以C不正确；对于D中，由向量的夹角公式，可得，所以D正确．故选：BD．39．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，则（）A． B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为 D．【答案】BCD【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误，利用平面向量数量积的坐标表示可判断CD选项的正误，利用平面向量的几何意义可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，，，则与不平行，A选项错误；对于B选项，，，则，所以，向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，由已知可得，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.故选：BCD.40．（2022·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．向量，夹角为【答案】AC【分析】对进行平方运算，可求出，夹角，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入，夹角，可判断BC选项.【详解】解：，又因为，所以，所以，所以A正确，D不正确；，故，所以B不正确，同理C正确.故选：AC41．（2022·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则（）A． B． C． D．与的夹角为60°【答案】BD【分析】先通过题目条件求出，可以判断A；将B，C的式子展开，将的值代入即可判断；最后用平面向量的夹角公式可以判断D.【详解】由题意，，因为，所以，A错误；，B正确；，C错误；设与的夹角为，，D正确.故选：BD.三、填空题42．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．【答案】【分析】首先求方向上的单位向量，根据向量数量积的几何意义知在上的投影，再应用向量夹角的坐标表示求，最后即可求在上的投影向量的坐标.【详解】由题设知：上单位向量为，而在上的投影为，∵，∴，故在上的投影向量的坐标为.故答案为：43．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是___________．【答案】或.【分析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.【详解】由题意，单位向量与向量共线，则向量，即向量的坐标是或.44．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为的正方形中，为的中点，则____________________．【答案】【分析】根据给定条件用表示出，再计算数量积得解.【详解】在边长为的正方形中，为的中点，则，且，所以．故答案为：145．（2022·全国·高三专题练习）在菱形中，，，，则___________.【答案】【分析】利用向量加减法的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.【详解】由题意，.故答案为：46．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知，，若，则的坐标为_______.【答案】【分析】由题意知是线段的中点，根据向量加法的几何意义有，结合向量线性运算的坐标表示求的坐标.【详解】由题设，点是线段的中点，∴.故答案为：47．（2022·全国·高三专题练习）已知点是△的边的中点，点在边上，且，则向量＝________(用表示)．【答案】【分析】结合题意，根据平面向量的加减法运算和向量共线定理，即可求出结果.【详解】解：由题可知，点是的边的中点，，故答案为：.48．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则_________．【答案】【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可.【详解】连接，如图所示：所以，则.故答案为：49．（2022·全国·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.【答案】【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得相反向量的坐标及模长，即可求的坐标.【详解】由相反向量为且模长为，∴.故答案为：50．（2022·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，．已知，，，则______．【答案】【分析】利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解.【详解】因为，，所以，，所以．又，所以．因为，，所以．故答案为：51．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，且，则___________.【答案】3【分析】根据题意，由向量的三角形法则可得，结合平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，，而，则有，若，则，，故；故答案为：3．【点睛】方法点睛：平面向量的化简求解，常用的方法有：（1）基底法；（2