省重点新人教版八年级数学下册全册导学案

第十六章二次极式导学案

根式（1）

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一-1*式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有愈义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：&20（。20）和（&）2=。（a20）

二、学习重点、难点

•*点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.

难点：综合运用性质&20（。20）和（GT=a（a2O）。

三、学习过程

（一）复习回顾：

（1）已知X1-a,那么aJtx的;xAa的,记为,a一定是

数。

（2）4的算术平方根为2,用式子表示为74=________;正数。的笄术平方根为

_____,0的算术平方根为______;式子&20（。20）的意义遮______________a

（二）自主学习

（1）V16的平方根是_________________;

（2）一个物体从高处自由落下，落到地画的时间JSL寅单位：秒）与开始下落时的

两度力（单位：米）满足关系式/?=5/。如，果用含h的式子表示t,则

夕_______；

（3）圆的面积为S,则圆的半径是_______________；

（4）正方形的面积为b-3,则边长为___________o

思考：V16,6,J,）。-3等式子的实际4

匕义.说一谟他们的共同榜征.

定义：一般地我们把形如石（a20）叫做二次机;式，a叫做。J~______o

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

出，-屈,退，Q,4(aNO),&+1

2、当a为正数时而指"的_,而0的算术平方根是_,负数,只有非负

数a寸有算术平方根。所以，在二次根式右中，字母〃逸须满兄,«才

有愈义。

3、根据算术平方根愈义计算：

⑴(/>⑵(a2(3)(阿尸(4)(j1)2

(­Ja)2=

根据计算结果，你柜得出结论：，其中a20,

4、由公式(GT=a(a?0),我们可以你到公式a=(〃y，利用此公式可以把任

愈一个非负数写成一个数的平方的形式。

如(石)2=5;也可以把一个非负数与成一个数的平方形式，如5=(石)2.

练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：

60.35

(2)在实数范国内因式分解

/-74a2-11

(三)合作摞究

例：当G是怎样的实数时，在实数范围内有意义？

解：由》一220,得

x>2

当xN2时，衣与在实效范围内次•愈义。

练习：1,x取何值时，下列各二次根式有意义？

①J3x-4②/+—x③I1

______~y2—X

2、(1)若，a-3-j3-a有意义,则a的值为.

口

(2)若在实数范围内有意义，则》为()o

2

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

J1—2%

3、(1)在式子一;-------中，x的取值范围是.

1+x

(2)已知Jx2-4+yj2x+y=0,则x-y=.

(3)y—5/3—x+Jx—3_2,JQUy'—,

(ra)达标测试

(一)填空题：

'、小厂------------------

2、若J2x-l+|y-l|=0,那么x=,y=。

3、当G=时，代数式J4x+5有最小值,其最小值是,

4、在实数范围内因式分解：

(1)x2-9=x2-()2=(仆—)(P~)

(2)X2-3=X2-()2=(仆_)(P-)

(二)选择通：

1,一个数的算术平方根是a,比这个数大3的数为()

A、a+3B、-3C、yfo+3D、ci~+3

2、二次根式Ja-1中,字母a的取值范图是()

A、a<1B、a<lC、a>lD、a>1

2,已知Jx+3=0则G的值为

A、6>-3B、6K-3C、G=-3D、G的值不能确定

3、下列计算中，不正确的是()。

A、3=(V3)2B、0.5=(历>C、7(162=0.6D、(5b产=35

二^根式(2)

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：行=时

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习或点、难点

置点：二次根式的性质标=时.

难点：绥合运用性质册7=\a\进行化简和计算。

三、学习过程

(一)复习31人：

(1)什么是二次根式，e有哪些性质？

(2)根J\-x---5-次*•义，则G__________o

(3)在实数范圈内因式分解：%2-6=x2-()2=(伊_)(尸.）

(二)自主学习

1、计算："=_______76^=_____栉2=4^=

观察其结果与根号内骞底数的关系，归纳得到：当a>。时；=

2、计算：J(T)2=7（-20）2=

观察其结果与根号内骞底数的关系，归纳得到：当a<0时,J/=

3、计算：Vo^=当a=0口寸,J^'=

(三)合作交流，

a。>0

1、归纳总结：必=同=<00

-a。<0

2、化简下列各式：

⑴、而7=_(2)、卜0.5)2=_

(3)、7^=_⑷、7^7=—("0)

3、讨论二^根式的性质(&)2=a(a20)与它=\a\有什么区别与联系。

(E9)巩固练习

化简下列各式：(1)V4J7(X>0)(2)7/

(3)Jd)?(心3)(4)J(2X+3)2(G<-2)

4

：利用“7=时可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化

简的目的，进行化简的关键准确确定“a”的取值。

(五)达标测试：

A组

22

1、烧空：(1)、7(2-X-D-(A/2X-3)(x>2)=.(2)、—4>=.

⑶a、&c为三角形的三条边,则&a+b-c)2+\b-a-(]=.

2、已知2<G<3,化简：J(x—2.+1-3|

B组

3已知0<Gvl,化简：^(X--)2+4-J(x+-)2-4

4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为人的

3

正方形方孔.若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的

正方形桌面.你会拼吗?试求出新的正方形边长.

5、把(2-X)」一的根号外的(2-X)适当变形后移入根号内，得()

Vx-2

A、^2—xB、ylx—2C、—个2-xD、—Jx-2

6、若二次根式J-2x+6有意义,化简I俨4|-|7-G|。

二次板式的乘法

一、学习目标

理解瓜•瓜=\[ah(a>0,b>0),\[ab=y[a•4b(a>0,6>0),弁

利用它们进行计算和化简

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式。

三、学习过程

(一)复习别人

1.境空：(1)“x必,74^9=;V4X79_7479

(2)V16X725=_,716x25=—;V16xV25_V16x25

(二)、探索新•知

交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为

4a•4b=4ab.(a>0,b>0反过来：|y/ab=yla•\fb(a^O,b

>oT

例i、计算

(1)75x77(2)gX的(3)3>/6X2V10(4)•^ay

例2,化简

(1)79x16(2)716x81(3)781x100(4)y/9x2y2(5)A

巩固练习

(1)计算：①屈②5有X2A③，12/•存了2

(2)化简：而；V18;V24;A;J12a2b2

(三)、学生小组交流解疑，数师点拨、拓展

判断下列各式是否正确，不正确的讶予以改正：

(1)J(T)x(—9)=Cx"

(2)不x,25=4xx-25=4x-25=4J12=8

(四)展示反馈

展示学习成果后，讨论：对于百x后的运算中不强把它变成亚石后再

进行计笄，你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即

系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2,化简二次根式达到的要求：

(1)被开方数进行因数或因式分解。(2)分解后把烧开尽方的开出来。

6

(五)达标测试：

A组

1、选择题

(1)等式白白・五二成立的条件是()

A.G>1B.G>-1C.-1<G<1D.G>1或G<-1

(2)二次根式J(-2>x6的计算结果是()

A.276B.-2V6C.6D.12

2、化简：

(1)V360;(2)，32X".

3、计算：

(])xV30.

B组

1、选择题

者,一2|+。2+40+4+_c+；=0,()

A.4B.2C.-2D.1

2、计算：(1)6A/8x(-2V6);(2)J8abxJ6ab;

3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

⑴域⑵-唔

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能戴练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习置点、难点

重点：掌握和应用二次根式的除则和商的算术平方根的性质。

:泉■(»坤宗(B3)

一卷盯⑴_ZIA(£__)__­⑶,、_____=—9A(D

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1、选择整

⑴计算四十旧

的结果是（).

A.-V5B.-C.D.旦

73后77

（2）化简一二的结果是)

V27

2_V6

B.C.D.

33

2、计算:

9x

⑵⑶(4)

⑴W647

B组

用两种方法计算:

⑴招⑵余

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

3、熟蜀Ht行二次板式的泵除混合运算。

二、学习置点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判斫二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

（一）复习回顾

(2)半

1,化简(1)(96/=_______

厂V27

，八3收

⑶(4)-f==_____⑸得

V27

2、结合上题1的计笄结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简

二^根式达到的要求是什么？

(二)自主学习

观察上面计笄1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个楮点：

1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开福尽力的因数或因式.

我们把满兄上述两个月卜件的二次根式，叫做最简二次根式.

2、化简：

⑴<⑵Jx2/+x4/(3)府7⑷地

V20

(三)合作交流

…：唇耳H

2、比较下列数的大小

(1)后与柝

(2)-7后与-6疗

注：1、常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条桁q准：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中所有因数成因式的;解的指数都小于2.

(四)拓区延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是*匕简二次根式的化成最简二次根式：

1lx(V2-l)V2-1叵］

勺「3+期生%产1a拒

6-V2,

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-3-2

同理可得：一二=2一百，.....

2-V3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律，比笄

k=)(V2009+1)的值.

V2+1V3+V2J2009+J2008

(五)达标测试：

1、选择疱

(1)如果-(Q0)是二次根式，化为最.简二次根式是().

10

义

D.卜晋34

Ij—

人—F

A.yjIa12B.IJIa12c/a2a2

尸海w:

1

胃」32

(1)KX4+,1

.(V。)

(2)eVnu1.mXi卷口用q

45—2x

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(2)34

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