基于多学科视角的数学建模大单元教学设计-以体重与脉搏为例

基于多学科视角的数学建模大单元教学设计——以体重与脉搏为例学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：基于多学科视角的数学建模大单元教学设计——以体重与脉搏为例

2.教学年级和班级：八年级2班

3.授课时间：2022年10月18日星期二第3节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模意识。

2.增强学生数据分析与处理能力，学会从生活现象中发现规律。

3.培养学生合作学习、探究学习的习惯，提升团队协作与沟通能力。

4.强化学生逻辑思维和创新能力，鼓励学生提出问题、解决问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入八年级之前，已经学习了基本的代数知识和统计知识，包括方程、不等式、函数和概率等。他们能够进行简单的数据分析，但可能缺乏将实际问题转化为数学模型的能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

八年级学生对于探索未知和解决实际问题通常表现出较高的兴趣。他们的逻辑思维能力逐渐增强，能够理解和运用数学概念。学习风格上，部分学生可能更倾向于独立思考，而另一部分学生可能更倾向于通过小组合作来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在处理体重与脉搏的关系时可能会遇到以下困难：一是如何将现实生活中的体重与脉搏数据转化为数学模型；二是如何理解和应用线性回归等统计方法来分析数据；三是如何解释模型结果并与实际生活联系起来。此外，学生可能对数学建模的过程感到陌生，需要逐步适应和掌握。教学资源-软硬件资源：计算机教室，配备投影仪和电脑，用于展示数据和模型。

-课程平台：学校内部教学平台，用于上传学习资料和布置作业。

-信息化资源：体重与脉搏数据集，在线统计软件，如Excel或R软件的使用指南。

-教学手段：多媒体课件，实物模型或图表，用于直观展示体重与脉搏的关系。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：教师通过提问：“你们知道体重和脉搏有什么关系吗？”来引起学生的兴趣。

-回顾旧知：教师简要回顾学生已学的统计学知识，如平均数、中位数、方差等。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：教师介绍数学建模的基本概念，解释体重与脉搏之间可能存在的线性关系。

-举例说明：展示一组体重与脉搏的数据，引导学生如何将实际问题转化为数学模型。

-互动探究：教师引导学生分组讨论，提出如何使用线性回归分析数据，并预测体重与脉搏的关系。

3.实践操作（约15分钟）

-学生活动：学生使用Excel或其他统计软件，对提供的数据集进行线性回归分析。

-教师指导：教师在学生操作过程中巡视，解答学生的问题，确保每个学生都能理解操作步骤。

4.数据分析（约20分钟）

-学生展示：学生分组展示他们的分析结果，包括回归方程、相关系数、残差分析等。

-小组讨论：各小组分享他们的发现，讨论模型的适用性和局限性。

5.模型应用（约15分钟）

-教师引导学生思考如何利用建立的模型进行预测，并提出实际问题。

-学生活动：学生根据模型预测新的体重与脉搏数据，讨论预测的合理性和潜在误差。

6.拓展延伸（约10分钟）

-教师提出挑战性问题，如考虑年龄、性别等因素对体重与脉搏关系的影响。

-学生活动：学生思考如何将这些因素纳入模型，并讨论可能需要的额外数据。

7.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：教师提供新的数据集，让学生独立完成线性回归分析，并撰写简短的报告。

-教师指导：教师提供反馈，帮助学生识别和分析错误。

8.总结与反思（约5分钟）

-教师总结本节课的重点，强调数学建模在解决实际问题中的应用。

-学生反思：学生回顾自己的学习过程，讨论学习中的收获和遇到的困难。

9.布置作业（约2分钟）

-教师布置课后作业，包括对所学知识的复习和实际问题的数学建模练习。知识点梳理1.线性回归模型：

-线性回归方程：y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。

-斜率a的意义：表示x每增加一个单位，y平均增加或减少的量。

-截距b的意义：表示当x=0时，y的预期值。

-相关系数r：衡量变量之间的线性相关程度，取值范围为-1到1，r接近1表示强正相关，r接近-1表示强负相关，r接近0表示无相关。

2.数据收集与处理：

-数据来源：可以是实验数据、调查数据、历史数据等。

-数据清洗：处理缺失值、异常值等，确保数据质量。

-数据可视化：通过图表（如散点图、折线图等）展示数据分布和趋势。

3.模型评估：

-残差分析：通过残差图和残差统计量评估模型的拟合效果。

-调整后的R²：考虑模型中自变量数量的修正决定系数，用于比较不同模型的优劣。

4.体重与脉搏的关系：

-探索体重与脉搏之间可能存在的线性关系。

-通过线性回归模型分析体重与脉搏的关联程度。

-模型预测体重与脉搏的潜在关系。

5.数学建模步骤：

-提出问题：明确研究目的和问题。

-建立模型：根据问题，选择合适的数学工具和方法建立模型。

-模型求解：运用数学方法求解模型。

-模型检验：评估模型的准确性和适用性。

-模型应用：将模型应用于实际问题。

6.数据分析方法：

-描述性统计：计算平均数、中位数、标准差等指标，描述数据的基本特征。

-推断性统计：通过样本数据推断总体特征，如置信区间、假设检验等。

7.小组合作与交流：

-分组讨论：学生分组讨论问题，共同探讨解决方案。

-交流分享：各小组展示讨论结果，分享经验和见解。

-团队合作：培养学生的团队协作能力和沟通能力。板书设计①线性回归模型概述

-线性回归方程：y=ax+b

-斜率（a）：y随x变化的速率

-截距（b）：y轴上的初始值

②数据收集与处理

-数据来源：实验、调查、历史等

-数据清洗：处理缺失值、异常值

-数据可视化：散点图、折线图

③模型评估方法

-残差分析：残差图、残差统计量

-调整后的R²：评估模型拟合程度

④体重与脉搏关系分析

-探索线性关系

-线性回归分析

-预测关系

⑤数学建模步骤

-提出问题

-建立模型

-模型求解

-模型检验

-模型应用

⑥数据分析方法

-描述性统计：平均数、中位数、标准差

-推断性统计：置信区间、假设检验

⑦小组合作与交流

-分组讨论

-交流分享

-团队合作典型例题讲解例题1：

已知某班级学生的体重（单位：kg）和脉搏（单位：次/分钟）数据如下表所示：

|体重（kg）|脉搏（次/分钟）|

|------------|----------------|

|40|70|

|50|75|

|60|80|

|70|85|

|80|90|

请建立体重与脉搏之间的线性回归模型，并预测体重为65kg时的脉搏次数。

解答：

1.计算体重和脉搏的平均值：

体重平均值=(40+50+60+70+80)/5=60kg

脉搏平均值=(70+75+80+85+90)/5=80次/分钟

2.计算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x̄ȳ))/(Σ(x^2)-n(x̄^2))

b=ȳ-a*x̄

其中，Σ表示求和，n为数据个数，x̄和ȳ分别为x和y的平均值。

计算得到：

a=(40*70+50*75+60*80+70*85+80*90-5*60*80)/(40^2+50^2+60^2+70^2+80^2-5*60^2)≈1.25

b=80-1.25*60≈10

因此，线性回归模型为：脉搏=1.25*体重+10

3.预测体重为65kg时的脉搏次数：

脉搏=1.25*65+10≈86.25

所以，预测体重为65kg时的脉搏次数约为86.25次/分钟。

例题2：

某城市一年的平均气温（单位：℃）与降水量（单位：mm）数据如下：

|平均气温（℃）|降水量（mm）|

|----------------|--------------|

|15|500|

|20|600|

|25|700|

|30|800|

|35|900|

请建立平均气温与降水量之间的线性回归模型，并预测平均气温为22℃时的降水量。

解答：

1.计算平均气温和降水量的平均值：

平均气温平均值=(15+20+25+30+35)/5=25℃

降水量平均值=(500+600+700+800+900)/5=700mm

2.计算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x̄ȳ))/(Σ(x^2)-n(x̄^2))

b=ȳ-a*x̄

计算得到：

a=(15*500+20*600+25*700+30*800+35*900-5*25*700)/(15^2+20^2+25^2+30^2+35^2-5*25^2)≈20

b=700-20*25≈300

因此，线性回归模型为：降水量=20*平均气温+300

3.预测平均气温为22℃时的降水量：

降水量=20*22+300≈540

所以，预测平均气温为22℃时的降水量约为540mm。

例题3：

某地区一年的平均风速（单位：m/s）与平均降水量（单位：mm）数据如下：

|平均风速（m/s）|平均降水量（mm）|

|----------------|----------------|

|2|300|

|3|400|

|4|500|

|5|600|

|6|700|

请建立平均风速与平均降水量之间的线性回归模型，并预测平均风速为4.5m/s时的平均降水量。

解答：

1.计算平均风速和平均降水量的平均值：

平均风速平均值=(2+3+4+5+6)/5=4m/s

平均降水量平均值=(300+400+500+600+700)/5=500mm

2.计算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x̄ȳ))/(Σ(x^2)-n(x̄^2))

b=ȳ-a*x̄

计算得到：

a=(2*300+3*400+4*500+5*600+6*700-5*4*500)/(2^2+3^2+4^2+5^2+6^2-5*4^2)≈100

b=500-100*4≈200

因此，线性回归模型为：平均降水量=100*平均风速+200

3.预测平均风速为4.5m/s时的平均降水量：

平均降水量=100*4.5+200≈650

所以，预测平均风速为4.5m/s时的平均降水量约为650mm。

例题4：

某城市一年的平均气温（单位：℃）与平均降水量（单位：mm）数据如下：

|平均气温（℃）|平均降水量（mm）|

|----------------|----------------|

|10|200|

|15|300|

|20|400|

|25|500|

|30|600|

请建立平均气温与平均降水量之间的线性回归模型，并预测平均气温为18℃时的平均降水量。

解答：

1.计算平均气温和平均降水量的平均值：

平均气温平均值=(10+15+20+25+30)/5=20℃

平均降水量平均值=(200+300+400+500+600)/5=400mm

2.计算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x̄ȳ))/(Σ(x^2)-n(x̄^2))

b=ȳ-a*x̄

计算得到：

a=(10*200+15*300+20*400+25*500+30*600-5*20*400)/(10^2+15^2+20^2+25^2+30^2-5*20^2)≈50

b=400-50*20≈100

因此，线性回归模型为：平均降水量=50*平均气温+100

3.预测平均气温为18℃时的平均降水量：

平均降水量=50*18+100≈500

所以，预测平均气温为18℃时的平均降水量约为500mm。

例题5：

某地区一年的平均风速（单位：m/s）与平均降水量（单位：mm）数据如下：

|平均风速（m/s）|平均降水量（mm）|

|----------------|----------------|

|1|100|

|2|200|

|3|300|

|4|400|

|5|500|

请建立平均风速与平均降水量之间的线性回归模型，并预测平均风速为3.5m/s时的平均降水量。

解答：

1.计算平均风速和平均降水量的平均值：

平均风速平均值=(1+2+3+4+5)/5=3m/s

平均降水量平均值=(100+200+300+400+500)/5=300mm

2.计算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x̄ȳ))/(Σ(x^2)-n(x̄^2))

b=ȳ-a*x̄

计算得到：

a=(1*100+2*200+3*300+4*400+5*500-5*3*300)/(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2-5*3^2)≈100

b=300-100*3≈100

因此，线性回归模型为：平均降水量=100*平均风速+100

3.预测平均风速为3.5m/s时的平均降水量：

平均降水量=100*3.5+100≈450

所以，预测平均风速为3.5m/s时的平均降水量约为450mm。作业布置与反馈作业布置：

1.完成以下线性回归分析练习题：

-使用以下数据集，建立体重与脉搏之间的线性回归模型，并预测体重为70kg时的脉搏次数。

|体重（kg）|脉搏（次/分钟）|

|------------|----------------|

|55|75|

|60|80|

|65|85|

|70|90|

|75|95