备战2023年高考数学一轮复习-第1讲-函数的概念及其表示

第1讲函数的概念及其表示第二章函数概念与基本初等函数考向预测核心素养以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度.数学抽象、数学运算01基础知识回顾一、知识梳理1．函数的有关概念2．函数的三要素：定义域、值域、__________．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________．[注意]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．对应关系解析法图象法列表法4．分段函数若函数在其定义域的______子集上，因对应关系不同而分别用几个____________来表示，这种函数称为分段函数．[注意]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．不同不同的式子

常用结论1．几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．√2．(人A必修第一册P73习题3.1T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3]

[1，5]

[1，2)∪(4，5]一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数．(

)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(

)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(

)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(

)√××√√√二、易错纠偏1．(多选)(函数的概念理解易错)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(

)解析：A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项B，C正确．√解析：对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一个函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域相同,f(x)＝|x＋1|＝

对应关系相同，即f(x)与g(x)是同一个函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一个函数．故选B.3．(忽略抽象函数定义域致误)已知函数f(x＋1)的定义域为[1，3]，则f(2x)的定义域为(

)A．[1，2]B.[1，3]

C.[2，4]

D.[2，6]解析：因为函数f(x＋1)的定义域为[1，3]，所以函数f(x)的定义域为[2，4]．要求f(2x)的定义域，只需2≤2x≤4，解得1≤x≤2.√02核心考点共研考点一函数的定义域(多维探究)复习指导：学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．√√求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体解析式，求f(x)的定义域方法解读适合题型转移法若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域[提醒]

定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．√已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．√

√3．(2022·宁夏银川一中第一次月考)已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是________．考点二函数的解析式(自主练透)复习指导：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．1．已知函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．答案：x2－5x＋9(x∈R)2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．求函数解析式的四种方法考点三分段函数(多维探究)复习指导：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．【答案】

(1)－5－6

关于分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．√A．(－∞，－1]B.(0，＋∞)C．(－1，0)D.(－∞，0)【解析】

(2)因为f(x)＝所以函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.√当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)解有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．解析：当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍去)；当0<m<2时，log2m＝3，所以m＝8(舍去)．答案：－12．已知函数f(x)＝

若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知，a≠0，当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点四函数的新定义问题(综合研析)复习指导：能从函数的新定义中得到函数的概念或性质，求解有关问题．

(多选)(2022·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．下列函数是一阶整点函数的是(

)A．f(x)＝sin2x B.g(x)＝x3C．h(x)＝ D.φ(x)＝lnx√√【解析】

对于函数f(x)＝sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝

它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝lnx，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数．(1)函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2)解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养．解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②03课后达标检测√2．(2022·安徽合肥模拟)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5且图象过原点，则g(x)的解析式为(

)A．g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x解析：设g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得

解得a＝3，b＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.√√√√解析：对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于C，g(x)＝

＝x(x∈R)，两函数的定义域和对应关系相同，是相等函数；对于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是相等函数．5.(2022·日照高三第一次适应性联考)老舍在《济南的冬天》中写到“济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地．”济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，下列图象能表示C(t)与t之间的函数关系的是(

)√解析：由题意C(t)，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足．√解析：因为y＝－x2＋x，在(－∞，0]上单调递增，

y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，又因为f(0)＝0，所以f(x)在R上单调递增，又不等式f(6－x2)>f(5x)，所以6－x2>5x，解得－6<x<1.解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－39．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②联立①②得，f(1)＝2.答案：2解①得x≤－1，解②得x≥1，故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：5

(－∞，－1]∪[1，＋∞)[B综合应用]11．(2022·浙江杭州学军中学期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝3，则f(－3)＝(

)A．3B.8C.