四年级上册奥数知识点串讲

四年级上册奥数知识点串讲

第一讲速算与巧算(三)

例1计算9+99+999+9999+99999

解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—

1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

9+99+999+9999+99999

=(10-1)+(100-1；+(1000-1)+(10000-1)

+(100000-1)

=10+100+1000+10000+100000-5

=111110-5

=111105.

例2计算199999+19999+1999+199+19

解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9,仍使用凑整法.不过这里

是加1凑整•(如199+1=200)

199999+19999+1999+199+19

二(19999+1)十(19999+1)十(1999十1)十(199十D

+(19+1)-5

=200000+20000+2000+200+20-5

=222220-5

=22225.

例3计算(1+3+5+・・・+1989)-(2+4+6+・・・+1988)

解法1:(1+3+5+・・・+1989)—(2+4+6・・・+1988)

=1+3+5+…+1980-2-4-6…-1988

=1+(3-2)+(5-4)+-+(1989—1988)

=1+1+1+—+1

共有1988+2=994个1

=995.

解法2:先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的

结果是：

___________________1990_

——1990—〜

1990-

________1990________

1+3+5+…+993+995+997+…+1985+1987+1989

从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的

数相加的结果是：

1990

’1990

’1990~k

2+4+6+，,,+594+96+,,,+1984+1986+1998

从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.

1990X497+995—1990X497=995.

例4计算389+387+383+385+384+386+388

解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准

数.

389+387+383+385+284+386+388

=390X7—1—3—7—5——6—4—

=2730—28

=2702.

解法2:也可以选380为基准数，则有

389+387+383+385+384+386+388

=380X7+9+7+3+5+4+6+8

=2660+42

二2702.

例5计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6

解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4%0为

基准薮

(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6

=(4940X6+2+3—2—1+1+3)+6

二(4940X6+6)：6(这里夜有北4940X6先异出米，而是运

二4940X6+6+6+6运用了除法中的巧算方法)

=4940+1

=4941.

例6计算54+99X99+45

解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99,就可

以运用乘法分配律进行简算了.

54+99X99+45

=(54+45)+99X99

=99+99X99

=99X(1+99)

=99X100

=9900.

例7计算9999X2222+3333X3334

解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333X3,规

律就出现了.

9999X2222+3333X3334

=3333X3X2222+3333X3334

二3333X6666+3333X3334

=3333X(6666+3334)

=3333X10000

=33330000.

例81999+999X999

解法1:1999+999X999

=1000+999+999X999

=1000+999X(1+999)

=1000+999X1000

=1000X(999+1)

=1000X1000

=1000000.

解法2:1999+999X999

=1999+999X(1000-1)

=1999+999000-999

=(1999-999)+999000

=1000+999000

=1000000.

例9求99…99X99…99+199…9£所得结果末尾

1988/19881^9

有多少个零.

99,•,99x99…99+199…99

、・，、丁/、・・・w・・・/

1988个J5W/

99-99X(100-00-1)+1”二经

1988个

99…9900…00—99…99+199…99

1988个1988个1988个1988个

99…9900…00+100…00

1—.«■•*'—'—r

1988个1988个1一个

100—0000-00

1988个

=1Q0…Q0

'3976^

总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多

练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.

习题一

1.计算899998+89998+8998+898+88

2.计算799999+79999+7999+799+79

3.计算(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983-

1985+1987)

4.计算1—2+3—4+5—6+…+1991—1992+1993

5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下,3点钟敲3下,依次类推.从1点到12点这

12个小时内时钟共敲了多少下？

6.求出从1〜25的全体自然数之和.

7.计算1000+999—998—997+996+995—994—993+…+108+107—

106—105+104+103—102—101

8.计算92+94+89+93+95+88+94+96+87

9.计算(125X99+125)X16

10.计算3X999+3+99X8+8+2X9+2+9

11.计算999999X78053

12.两个10位数和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数?

13.已知被乘数是咫S:8,乘数是9!99…9,它们的积是多少？

1993个8199?F9

习题一解答

1.利用凑整法解•.

899998+89998+8998+&98+S8

=(899998+2)+(89998+2)+(8998+2)+(898+2)(88+2)-

10

=900000+90000+9000+900+90-10

=999980.

2.利用凑整法解.

799999+79999+7999+799+79

=800000+80000+8000+800+80-5

=888875.

3.(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983+1985+

1987)

=1988+1986+1984+…+6+4+2-b3-5…

-1983-1985-1987

=(1988-1987)+(1986-1985)+・・・+(6-5)+(4-3)+(2-1)

=994.

4.1-2+3-4+5-6+…+1991-1992+1993=1+(3-2)+(5-4)+…

+(1991-1990)+(1993-1992)

=1+1X996

=997,

5.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

=13X6=78(5),

6.1+2+3+....+24+25

二(1+25)+(2+24)+(3+23)+…+(11+15)+(12

+14)+13

=26X12+13=325.

7.解法1:1000+999—998—997+996+995—994-993+…+108+107—

106—105+104+103—102—101

二(1000+999—998—997)+(996+995—994

-993)+…+(108+107—106—105)+(104

+103—102—101)

=4+4++一4

2访《

=4X27S

=900.

解法2:原式二(1000—998)+(999—997)+(104—102)

+(103—101)

=2X450

=900.

解法3:原式=1000+(999—998—997+996)+(995—994

-993+992)+•••+(107—106—105+104)

+(103-102—101+100)-100

=1000—100

=900.

8.92+94+89+93+95+88+94+96+87

-90X9+8+4-1+8+5-2+4+6-3

=810+18=828.

9.(125X99+125)X16

=125X(99+1)X16

=125X100X8X2

=125X8X100X2

=200000.

10.3X999+3+99X8+8+2X9+2+9

=3X(999+1)+8X(99+1)+2X(9+1)+9

=3X1000+8X100+2X10+9

=3829.

11.999999X78053

=(1000000—1)X78053

=78053000000-78053

=78052921947.

12.1111111111X9999999999

=1111111111X(10000000000—1)

=11111111110000000000—1111111111

=11111111108888888889.

这个积有10个数字是奇数.

13.888-8X999…9=888-8X(100-0—1)

199rh7诉1993^

=888,•8000…0—888…8

TroV1993个199轩

=7111-12.

［诚个不标

第二讲速算与巧算(四)

例1比较下面两个积的大小：

A=987654321x123456789,

B=987654322x123456788.

分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小

1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大L所以不经计

算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B,直接把两个因

数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.

解：A=987654321x123456789

=987654321X(123456788+1)

=987654321X123456788+987654321.

B=987654322x123456788

=(987654321+1)X123456788

=987654321X123456788+123456788.

因为98765432D123456788,所以A>B.

例2不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.

241X249242X248243X247

244X246245X245.

解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.

241X249=(240+1)X(250-1)=240X250+1X9;

242X248=(240+2)X(250—2)二240X250+2X8;

243X247=(240+3)X(250—3)=240X250+3X7;

244X246=(240+4)X(250—4)=240X250+4X6;

245X245=(240+5)X(250—5)=240X250+5X5.

恒等变形以后的各式有相同的部分240X250,乂有不同的部分1X9,

2X8,3X7,4X6,5X5,由此很容易看出245X245的积最大.

一般说来，将一个整数拆成两部分(或两个整数)，两部分的差值越

小时，这两部分的乘积越大.

如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

则5X5=25积最大.

例3求1966、1976、1986、1996,2006五个数的总和.

解：五个数中，后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平

均值，故其总和为：

1986X5=9930.

例42、4、6、8、10、12…是连续偶数,如果五个连续偶数的和是320,求它

们中最小的一个.

解：五个连续偶数的中间一个数应为320+5=64,因相邻偶数相差2,故

这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法三个连续自然数，中间一

个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质一它

是五个自然数的平均值如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x~2、

x-hx、x+1、x+2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有

这些自然数的平均值.

如：对于2n+l个连续自然数可以表示为：x—n,x—n+l,x-n+2,…，

x—1,x,x+l,...x+n—l,x+n,其中x是这2n+l个自然数的平均值.

巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.

例5将1〜1001各数按下面格式排列：

-891011121314

1516171«192021

222324西262728

99599699799899910001001

一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：

①1986,②2529,③1989,能否办到？如果办不到，请说明理由.

解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，

即中数.又因横行相邻两数相差L是3个连续自然数，竖歹U3个数中，上下两数

相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.

①1986不是9的倍数，故不行；

②2529+9=281,是9的倍数，但是281+7=40X7+1,这说明281在题中

数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；

③1989-9二221,是9的倍数，且221+7=31X7+4,这就是说221在数表

中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的

数是229,最小的数是213.

这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡

上还有那么多有趣的问题呢!所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.

习题二

1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，

其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和:如

方格中a=14+17=31).右图填满后，这30个数的总和是多少？

101113151719

12

14

6

18

2.有两个算式：①98765X98769,

②98766X98768,

请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少?

3.比较568X764和567X765哪个积大？

4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？

①1992X1999+1999

②1993X1998+1998

③1994X1997+1997

④1995X1996+1996

5.五个连续奇数的和是85,求其中最大和最小的数.

6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3,请你写出这五

个数.

7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个

数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框用起来，这6个数的和为81,在数表

的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429,问此时长方形框子里最

大的数是多少？

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

…一一一...一■-

9798

99100

习题二解答

1.先按图意将方珞填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.

解法1：

101113151719

12X61211+1213+1215+1217+1219+12

14X6M11+1113+1415+1417+1419+11

16X61611+1613+1615+1617+1619+16

18X61811+1813+1815+1817+18m±i8

11X513X515X517X519X5

先算每一横行中的偶数之和；(12+14+16+18)X6=360.

再算每一竖列中的奇数之和:

(11+13+15+17+19)X5=375

最后算30个数的总和=10+360+375=745.

解法2:把每格的数算出填好.

101113151719

122325572931

142527293133

162729313335

1829:H333537

先算出10+11+12+13+14

+15+16+17+18+19=145,

再算其余格中的数.经观察可以列出下式:

(23+37)+(25+35)X2

+(27+33)X3+(29

+31)X4

=60X(1+2+3+4)

=600

最后算总和：

总和=145+600=745.

2.①98765X98769

=98765X(98768+1)

=98765X98768+98765.

②98766X:98768

=(98765+1)X98768

二98765X98768+98768.

所以②比①大3.

3.同上题解法相同：568X764>567X765.

4.根据“若保持和不变，则两个数的差越小,积越大”，则1996X1996=

3984016是最大的得数.

5.85+5=17为中数，则五个数是：13、15、17、19、21最大的是21,最小

的数是13.

6.45+5=9为中数,则这五个数是：3,6,9,12,15.

7.观察已框出的六个数，10是上面一行的中间数，17是下面一行的中间

数，10+17=27是上、下两行中间数之和.这个中间数之和可以用81+3=27求

得.

利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.

429+3=143

(143+7)+2=7575+1=76

最大数是76.

第三讲定义新运算

我们学过的常用运算有：+、-、X、+等.

如：2+3=5

2X3=6

都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同，实际是对应法

则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同

就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有

一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运

算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“+”，

”运算不相同，

我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.

例1设a、b都表示数，规定aZ\b=3xa—2xb,

①求3Z\2,2A3;

②这个运算有交换律吗?

③求(1746)Zk2,17A(6A2);

④这个运算有结合律吗？

⑤如果已知《△上工求b.

分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本

质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3Z\2=3X

3-2X2=9-4=5

2A3=3X2-2X3=6-6=0.

②由①的例子可知“△”没有交换律.

③要计算(1746)42,先计算括号内的数，有：1746=3X17-2X6=

39;再计算第二步

39A2=3X39-2X2=113,

所以(I7Z\6)ZX2=113.

对于广△(6A2),同样先计算括号内的数，6A2=3X6-2X2=14,其次

17A14=3X17-2X14=23,

所以17Z\(642)=23.

④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4Z\b二3X4-2Xb=12-2b,

里K么12—2b=2,角星出b=5.

例2定义运算※为aXb=aXb-(a+b),①求5X7,7X5;

②求。※。※外，(12派3)派4;

③这个运算“派”有交换律、结合律吗?④如果3派(5派2=3,求x.

解：①5X7=5X7-(5+7)=35-12=23,7^5=7X5-(7+5)=

35-12=23.

②要计算口※(3X4),先计算括号内的数，有：3^4=3X4-(3+4)

=5,再计算第二步12X5=12X5-(12+5)=43,

所以方※(3※4)=43.

对于(12派3)派4,同样先计算括号内的数，12X3=12X3-(12+3)=

21,其次

21X4=21义4-(21+4)=59,所以(口※3)派4=59.③由于aXb二a

xb-(a+b);

b>^a=bxa-(b+a)

=axb-(a+b)(普通加法、乘法交换律)

所以有a※加bXa,因此“※”有交换律.

由②的例子可知，运算“派”没有结合律.

@5x=5x-(5+x)=4x-5;

3X(5Xx)=3X(4x-5)

=3(4x-5)-(3+4x-5)

=12x-15-(4x-2)

=8x-13

那么8x-13=3

解出x=2.

例3定义新的运算al±lb=axb+a+b.

①求6田2,2田6;

②求(1田2)田3,1田(2田3);

③这个运算有交换律和结合律吗？

解:①6田2=6X2+6+2=20,

2田6=2X6+2+6=20.

②(1田2)IB3=(1X2+1+2)田3

=5田3

=5X3+5+3

=23

1田（2田3）=1田（2X3+2+3）

=1+11

=1X1+1+11

=23.

③先看“田”是否满足交换律：

a+b=axb+a+b

b+a=bxa+b+a

二aXb+a+b（普通乘法与加法的交换律）

所以a田b=b田a,因此田满足交换律

再看“田”是否满足结合律：

a田b）田c=（aXb+a+b）田c

=（axb+a+b）xc+axb+a+b+c

二abc+ac+bc+ab+a+b+c.

a田（b田c）二a田（bXc+b+c）

=ax（bxc+b+c）+a+bxc+b+c

=abc+ab+ac+a+bc+b+c

二abc+ac+bc+ab+a+b+c.（普通加法的交换律）

所以（a田b）④c=a田（b田c）,因此“田”满足结合律

说明：④对于普通的加法不满足分配律，看反例：

1田（2+3）=1田5=1X5+1+5=11;

1④2+1④3=1X2+1+2+1X3+1+3

=5+7=12,

因此1田（2+3）Wl田2+1田3.

例4有一个数学运算符号“四”，使下列算式成立：24=8,5年

3=13,3X5=11,9X7=25,求7X3=?

解：通过对2@4=8,5X3=13,3X5=-ll,9②7=25这几个算式

的观察，找到规律:

aXb=2aXb,因止匕7凶3=2X7+3=17.

例5x、y表示两个数，规定新运算“*”及如下：x*产mx+ny,xA

y=kxy,其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)

*3的值.

分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1A2)*3的值，首先

我们要计算必2,根据“△”的定义：Q2=kXlX2=2k,由于k的值不知道，

所以首先要计算出k的值.k值求出后，1A2的值也就计算出来了，我们设

2=a.

(lA2)*3=a*3,按的定义：a*3=ma+3n,在只有求出m、n时，我们

才能计算a*3的值.因此要计算(142)*3的值，我们就要先求出k、m、n的

值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过(2*3)44=64求出k的值.

解：因为1*2=mxl+nx2=m+2n,所以有m+2n

=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

V-215*ln-1

①当m=l,n=2时：

(2*3)A4=(1X2+2X3)A4

=8A4=kx8x4=32k

有32k=64,解出k=2.

②当m=3,n=l时:

(2*3)A4=(3X2+1X3)A4

=9A4=kx9x4=36k

图——

有36k=64,解出觞国标।这与k是自然数矛盾，因此m=3,n=l,

k=1（这组值应舍去

所以m=l,n=2,k=2.

(1A2)*3=(2X1X2)*3

=1X4+2X3

在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不

放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定

义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在

没有确定新运算是否具有这些性质之前，不肯岖用这些运算律来解题.

习题三

1.axb表示a的3倍减去b口碌，列如：

I»2=1X3-2X1=2,根据以上的规定,

计算：①10*6②7*（2*1）.

2定嫌孰所彳

①求2日（3日4）的值；

②若x04=l.35,则x二？

3.有一个数学运算符号。，使卜列算式成立:

1234711516十34的估

23659456742fl5

4.定义两种运算“田，“区”，对于任意两个整数a、b,

a+b=a+b-1,a区b=aXb-l,

①计算4区((6田8)田(3田5))的值；

②若x田(Xx4)=30,求x的值。

5.对于任意的整数x、y,定义新运算“△”，

6XxXy

3.•乂.-“(其中m是一个确定的整数),

mXx+zXy

如果1/\2=2,则22\9二？

6.对于数a、b规定运算为aVb=(a+l)x(l-b),若

等式(aVa)▽(aT)=(a+l)▽(aVa)成立，求a的值.

7.表示一种运算符号，它的含义是：

可•:高西

112

己知2"冈+西E•产998*1999的值.

8激=£.在※%)~6中，求的值

9.规定a4b=a+(a+l)+(a+2)+...+(a+b-l),(a、b均为自然数，b>

a)如果xZ^10=65,那么x二？

10.我们规定：符号。表示选择两数中较大数的运算，例如：5°3=3

5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5/\3二32\5二3,计算：

卜6昌巾62呜

「百僧。225)

习题三解答

1解，010*6=10X3-6X1=30-3=27

2乂3-1'斗

@7*(2*1)-7*

-7X3-55X^

2

1825.

2.解:20(304)・207

2^1

二3

②按照规定的运算：

翻照规定的运算：X4=?,所以有噤自意35,解出产14

通过对34711516

3.解:L20<*■*2E■w0

236*5945r6742

这几个算式的观察，找到规律为：2。白■亨

acaXc

因此士3。?47

11555

4.解：4@[(6田8)田(3田5]

=4[(6+8+1)田(3+5-1]

=4X[13田7]

=4X(13+7-1)

=4X19

=4X19-1

=75.

②因为x田(xX4)=x出(4xT)

=x+4x-l-l

=5x-2

所以有5x-2=30,解出x=6.4.

6X1X212

5.解：按照规定的运算1A2

mX14-2X2m+4

所以有急=2,解出皿于是,6X2X95410

2A9*-----------------=4-

2X2+2X91111

6.解：先看等式(aVa)V(a+l)=(a+l)V(aVa)的

左边：

(aVa)«a+l)=[(a+1)x(1-a)]v(a+))

=(l-a2)(a+l)

-(l-a2+l)x[l-(a+0]

=a2+2a

再看等式(aVa)V(a+l)=(a+l)V(aVa)的右边:

(a+l)V(aVaXa+l)v[(a+l)x(l-a)]

=(a+l)V(l-a2)

<a+l+l)x[l《-创

=a3+2a2

所以有a，-2a=a3+2a2

因此a，+a=0

因为a:20,要使a?+a=0,只有a=0,因此a=0.

1

7解,由于2*1。

2X1(27X(1+A)

11

-2*X1+A)*

1I2

小所以人有伺一2+-X-H--A--)--3

解出A二L

11

因此1998*1999・1998X1999*(1998*1)X(1999+1)

1998X199941999X2000

11^11

1998-1999*1999-2000

11

1998*2000

1.

199R0001

8.解：由于

族（臻1）=四=乂※1.2二;二;-|

因此出|,6解出xT）3

9.解：按照规定的运算：

x△1O=x+(x+1)+(x+2)+…+(x+10-1

=10x+(l+2+3+…+9)=1Ox+45

因此有10x+45=65,解出x=2.

060a.(062嵋)

10.解：要计柒的值,

03△焉+E0225

99){1061

.179173434342

我们先看分子：06o—--O—------0,■-■

5152513'

八…J35A231151151155

0.62一■-----△----------

338331841651848

3413433331

再看分母：03A一・一△-------△------

9939999993

23725

—。2.25，

第四讲等差数列及其应用

许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙

的算法迅速计算出从I到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没

有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必

说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的

规律性一一每项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列，而这种数

列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和

的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

一、等差数列

什么叫等差数列呢?我们先来看几个例子，

①1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

②1,3,5,7,9,11,13.

③2,4,6,8,10,12,14-

④3,6,9,12,15,18,21.

@100,95,90,85,80,75,70.

@20,18,16,14,12,10,8.

这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样

的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，

如：

数列①中，d=2T二3-2=4-3二…二1;

数列②中，d=3-l=5-3=-=13-ll=2;

数列⑤中，d=100-95=95-90=-=75-70=5;

数列⑥中,d=20-18=18-16=-=l0-8=2.

例1下面的数列中，哪些是等差数列?若是，请指明公差，若不是，则说明

理由.

①6,10,14,18,22,…，98;

@100,95,90,85,80,75,70.

@20,18,16,14,12,10,8.

这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样

的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，

如：

数列①中，d=2-l=3-2=4-3=^*=l;

数列②中，d=3-l=5-3=-=13-ll=2;

数列⑤中，d二100-95=95-90=・-=75-70=5;

数列⑥中，d=20-18=18-16=-=l0-8=2.

例1下面的数列中，哪些是等差数列?若是，请指明公差，若不是，则说明

理由.

①6,10,14,18,22,…，98;

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.

一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小

于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2

项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.

为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a第2项记为a,

…，第n项记为anm。又称为数列的通项，为;又称为数列的首项，最后一

项又称为数列的末项.

二、通项公式

对于公差加的等差数列叫，…％来说，如果由；小于a,

则显然a?-Hi=a3-a2=...=an-an-l=...=d,因此：

a2^a'+d

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d

a4=a3+d=(a14-2d)+d=a1+3d

由此可知：a=a1-(n-l)xd(1)

若a;大于a,则同理可推得：

a[二a〔+(n-l)xd⑵

公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式，利用逋项公式，在已知首项和

公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.

例2求等差数列1,6,11,16…的第20项.

解：首项a,=l,又因为a;大于a;,

公差公6T=5,所以运用公式(1)可知:

第20项aO=a=(2O-l)X5=1+19X5=96.

一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由

通项公式，我们可以得到项数公式：

项数|.d+l(若4大于))[(3)

或0=312)+出~1(若/小于

例3已知等差数列2,5,8,11,14…，问47是其中第几项？

解：首项a=2,公差d=5-2=3

令an=47

则利用项数公式可得：

n=(47-2)+3+l=16.

即47是笫16项.

例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.

分析与解答

方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.

因为a=a+3Xd,又a=21,所以"21-3>^又@=@+5'(1,又好33,所以

a=33-5Xd所以：21-3Xd=33-5Xd,

所以d=6a=21-3xd=3,

所以a8=3+7X6=45.

方法2:考虑到a8=a7+d=a+d+d=a+2Xd,其中a,已知，只要求2Xd即可.

又a=a-Kl=a4<l-Kl=a+2xdJ

所以2Xd=a2-a;

所以a8a7x6=45

方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.

三、等差数列求和

若a.小于a,则公差为d的等差数列a,a,a…an可以写为

a,a+d,a+dX2,,,,,a+dX(n-1).所以，容易知道：a+a=ata=ata

=a+a-8-...=a,+a=a,+a.

设Sn=a+a+a,+・••地

贝ijSn=a+a+a+…+a,

两式相加可得：

2xSn=(a+a)+(a+a)+...-n(an+a)

即：2XSn=nX(a+a),所以，

=nxQi+a4)+2」(4)

例5计算1+5+9+13+17+…+1993.

当a;大于a。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的

前n项和的公式.

解：因为1,5,9,13,17,…，1993是一个笔差数列，且al=l,d=4,

an=1993.

所以，n=(a-a)+d+l=499.

所以，1+5+9+13+17+…+1993

(1+1993)X499+2

二997X499

=497503.

题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项

即第250项的值是997,而和恰等于997X499.其实，这并不是偶然的现象，关于

中项有如下定理：

对于任意一个项数为奇数的等差数

列来说，中间一项的值等于所有项的平均

数，也等于首项与未项和的一半；或者换

句话说，各项和等于中间项乘以项数0

这个定理称为中项定理.

例6建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3

层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间

一层多少块砖?这堆砖共有多少块？

解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2,6,10,14,…容易知道，

这是一个等差数列.

方法1：

a=2,d=4,an=2106,

贝n=(a-a)-d+l=527

这堆砖共有则中间一项为a64=a+(264-1)X4=1054.

方法2:(a+a)Xn+2=(2+2106)X527+2=555458(块).

则中间一项为(a+a)+2=1054

a=2,d=4,an=2106,

这堆砖共有1054X527=555458(块).

n=(a-a)+d+1=527

例7求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.

解：根据题意可列出算式：

(2+4+6+8+…+2000)-(1+3+5+…+1999)

解法1:可以看出，2,4,6,…,2000是一个公差为2的等差数列，1,3,

5,…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000,所以：

原式二(2+2000)X1000+2-(1+1999)X1000+2

=1000.

解法2:注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1,所

以1000项就差了1000个1,即

原式二1000X1=1000.

例8连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续

自然数之和是多少？

分析与解答

方法1:要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最

小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.

因为，条件中九个连续自然数的和为54,所以，这九个自然数的中间数为

54+9=6,则末项为6+4=10.因此,所求的九个连续自然数之和为(10+18)X9

4-2=126.

方法2:考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前

一组自然数的对应项大8,因此，后一组自然数的和应为54+8X9=126.

在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=(a+a)Xn+

2,则a+a9=54X2+9.又因为@=@,,所以代入后也可求出a9=10.

例9100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1

个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？

分析与解答

方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.

100个连续自然数构成等差数列，且和为8450,则：

首项+末项=8450X2+100=169,又因为末项比首项大99,所以，首项二

(169-99)+2=35.因此，剩下的50个数为：36,38,40,42,44,46…134.这

些数构成等差数列,和为(36+134)X50+2=4250.

方法2:我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公

差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大

1,因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50,又因为它们相加的和为

8450.所以，剩下的数的总和为(8450+50)-2=4250.

四、等差数列的应用

例10把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数

的差都是5,那么，第1个数与第6个数分别是多少？

解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210+

7=30,所以,这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是个第

6个数是40.

例11把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两

个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不

能，说明理由.

分析与解答

因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中旗子

数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给

了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.

习题四

1.求值：

①6+11+16+…+501.

②101+102+103+104+…+999.

2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？

4+2,5+8,6+14,7+20,…

3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连

续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？

4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应

如何分？

5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？

6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？

7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到

苹果个数都不同的话，这堆苹果