高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义2.6.1双曲线的标准方程(2知识点+6题型+巩固训练)(学生版+解析)

2.6.1双曲线的标准方程课程标准学习目标1.通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养2.借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题:知识点01双曲线的定义1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；2.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；4.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线C：x2−y215=1上一点，A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|−|MA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件知识点02双曲线的标准方程1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点−1,0，焦点分别为F1−2,0、A．x22−y2=1 B．x【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（

）A．x2−yC．x249−难点：数形结合的运用示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b【题型1：双曲线的定义】例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点M(x,y)A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点F1−3,0、F2A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线x2A．1 B．17 C．1或17 D．8变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线x264−y236=1上一点P到焦点变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆x2+yA．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1−3,0、A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1(−3,0),F2(3,0)，满足条件PA．12 B．2 C．−1 D．变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线x29−y216=1的左右焦点分别是F1变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x24−y23=1右支上一点P到左焦点F1【题型2：双曲线的标准方程】例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,A．x25−y212=1 B．变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,A．y236−x264=1 B．x2变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F2A．x216−y29=1 B．变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为5,0，一个顶点为3,0，则双曲线方程的标准方程为（

）A．y216−C．x225−变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2A．x27−y29=1 B．变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点(433,23)且焦点为变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A−2,−3，B15变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点4,13，则双曲线C的标准方程为变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与Q【方法技巧与总结】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：【题型3：双曲线定义的应用】例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线x2A．−4,1 B．−∞,−4C．−4,1 D．−∞,−4变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程x24−t+y2t−2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2<t<4；②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2以上命题正确的是（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x2A．−1,2 B．−∞,−1C．2,+∞ D．−∞,−1变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程x21+m+y变式4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程x2+my变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程mx2+1−my变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程x2k−1+y变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程y24−变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知x2m−3(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；(2)方程表示双曲线.【题型4：焦点三角形】例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x24−y23=1的左、右焦点分别为F1，A．30∘ B．45∘ C．60∘变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x2−y2A．1 B．3 C．2 D．2变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x24−y2A．24 B．152 C．123变式3．（2022高三·全国·专题练习）设F1,F2是双曲线C:x24−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在CA．4 B．6 C．210 变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线三角形（填锐角，直角，钝角）.变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线y23−x25=1的两个焦点分别是F1,F2，点变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x2−y24=1的左右两个焦点为F1，F变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x216−y29【方法技巧与总结】求双曲线中焦点三角形面积的方法：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③利用公式eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积④结论：S【题型5：和差最值问题】例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+(y−4)2=1上有一动点PA．42−1 B．42−5 C．变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆x29+y225=1的一个焦点为F，双曲线xA．5 B．5+3 C．10 变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x24−y212=1A．9 B．5 C．8 D．4变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆x2+(A．9 B．25+4 C．8变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x29−y27=1的右焦点，PA．65−3 B．65−6 C．65变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x23−y2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线右支上一点，点变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x2−y24=1，如图所示，点A−5,0，B是圆变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点A−2,0，B2,0，C3,变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x2−y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆【方法技巧与总结】最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。【题型6：轨迹方程问题】例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知M−2,0，圆C:x2−4x+y2=0A．x2−yC．x2−y变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点M(x,y)变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点F1−2,0和F22,0变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点A−2,0点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于34动点P变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知AB=42，且三内角A，B，C满足2sin

变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点A−3,0，B3,0构成△MAB，且直线MA变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1−17,0，F217,0【方法技巧与总结】求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于x,y的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将x0=gx一、单选题1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1：x+32+y2=1和圆C2：x−3A．x2−yC．x2−y2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x216−y220=1A．1 B．17 C．1或17 D．5或133．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x2−yA．x2−y2=1 B．y25．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为−4,0,A．x24−C．x2−y6．（24-25高三上·云南·阶段练习）设A,B两点的坐标分别为−3,0，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为23A．x29+C．y29+7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点A−1,0,B1,0，动点PxA．x2−yC．x2+y8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点2,2且与椭圆9xA．x26−y28=1 B．二、多选题9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程A．22 B．3 C．2310．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：x21−mA．Γ可能是等轴双曲线B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则−1<C．Γ可能是半径为2的圆D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2三、填空题12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线C:x2−y23=114．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：x2a2−y2b2=1a四、解答题15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x216−(2)过点P3,15416．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知p：点M1,3不在圆x+m2+y−m2=16的内部，(1)若p和q都不成立，求实数m的取值范围；(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．17．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知圆M:x2+y2+4x−8=0，H(2,0)，(1)求点Q的轨迹方程；(2)设直线QH的倾斜角为α，直线QM的倾斜角为β，点Q不在x轴上，若α=2β，求点18．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线x29−y2(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且∠F1P19．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆M：x2+y2+4(1)求经过点P−2,3以及圆M与圆N(2)若动圆T和圆M、圆N均外切，求T点的轨迹方程.2.6.1双曲线的标准方程课程标准学习目标1.通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养2.借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题:知识点01双曲线的定义1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；2.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；4.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线C：x2−y215=1上一点，A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【答案】D【分析】由双曲线的定义求解.【详解】由题意可知a=1，c=1+15=4，PF1>c+【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|−|MA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“||MF1【详解】充分性：当“||MF1|−|M必要性：以F1，F2为焦点的双曲线上的动点M满足“因此“||MF1|−|MF2.知识点02双曲线的标准方程1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点−1,0，焦点分别为F1−2,0、A．x22−y2=1 B．x【答案】A【分析】由a,【详解】由题意知a=1，c=2，所以所以双曲线的方程为x2.【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（

）A．x2−yC．x249−【答案】A【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距2c=|AB实轴长2a=||AC|−|BC所以所求双曲线方程为x2难点：数形结合的运用示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b【答案】2+1/【分析】设双曲线E的左焦点为F'，分析可知AF'BF为矩形，则【详解】设双曲线E的左焦点为F'，连接AF'由对称性可知：OA=OB,且AF⊥BF，可知AF由题意可得：m2+n因为m−n2整理可得b2故答案为：2+1【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．【题型1：双曲线的定义】例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点M(x,y)A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支【答案】A【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.【详解】设F1−2,0,.变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点F1−3,0、F2A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线【答案】A【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.【详解】因为MF1−故M的轨迹是已F1、F.变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线x2A．1 B．17 C．1或17 D．8【答案】C【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.【详解】对于x2PF1=9<a.变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在【答案】C【分析】由PF【详解】依题意，F1、F且P满足PF变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线x264−y236=1上一点P到焦点【答案】22【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.【详解】由题意得PF1−PF故答案为：22变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆x2+yA．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆【答案】C【分析】设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.【详解】圆x2+y2=4圆x2+y2−8x+15=0设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，

由于动圆P与圆O、圆B均外切，则PO=所以，PO−PB=1<.变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1−3,0、A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线【答案】CCD【分析】由双曲线的定义判断．【详解】当a=0时，点M的轨迹为F当2a当0<2a当2a>|FCD变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1(−3,0),F2(3,0)，满足条件PA．12 B．2 C．−1 D．【答案】CC【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组2m【详解】由双曲线的焦点坐标F1(−3,0),F要使得满足条件PF1−则满足2m−1<62m结合选项，选项B、C符合题意.C.变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线x29−y216=1的左右焦点分别是F1【答案】1【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】由双曲线的定义可知，|M所以MF故答案为：1.变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x24−y23=1右支上一点P到左焦点F1【答案】2【分析】借助双曲线定义即可得.【详解】由双曲线定义可得PF又P为右支上一点，故PF即PF故答案为：2.【题型2：双曲线的标准方程】例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,A．x25−y212=1 B．【答案】A【分析】根据双曲线定义求解即可.【详解】由题意可知2a=10，c=a2所以双曲线C的方程是x2．变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,A．y236−x264=1 B．x2【答案】A【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．【详解】在双曲线的标准方程中，a=6,当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是x2当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是y2所以双曲线标准方程是x236−变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F2A．x216−y29=1 B．【答案】A【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.【详解】依题意c=5，P所以b=由于双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是y2变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为5,0，一个顶点为3,0，则双曲线方程的标准方程为（

）A．y216−C．x225−【答案】A【分析】根据双曲线中a,【详解】由题可知，双曲线的焦点在x轴上，所以可设方程为x2且c=5,a=3所以双曲线方程为x2故选:D.变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2A．x27−y29=1 B．【答案】D【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到a=3，得到b【详解】由题意得：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为y2PF1−PF故b2故双曲线的标准方程为：y2变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点(433,23)且焦点为【答案】y【分析】由焦点坐标得c=5，由定义得a【详解】双曲线的焦点在y轴上，且c=5因为双曲线过点(433,23则b2=故答案为：y2变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A−2,−3，B15【答案】x【分析】设双曲线的方程为mx2+【详解】设双曲线的方程为mx由题意可得：2m+3n所以双曲线Γ的标准方程是x2故答案为：x2变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点4,13，则双曲线C的标准方程为【答案】x【分析】利用等轴双曲线的性质得出a=b，设出标准方程，将坐标点代入求得a和【详解】解：由题意，在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过4,13当焦点在x轴时设C:x∴a=b∴C:当焦点在y轴时，不不成立，综上，C:故答案为：x2变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2【答案】x2【分析】由已知可得|PF1|⋅|PF2|=2,|【详解】由题意得|⇒(|PF1|－|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c5，所以b1，故双曲线的方程为x2故答案为：x2变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与Q【答案】x【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程.【详解】设双曲线方程为：x2a2−y2b2=1，将点P【方法技巧与总结】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：【题型3：双曲线定义的应用】例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线x2A．−4,1 B．−∞,−4C．−4,1 D．−∞,−4【答案】D【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.【详解】根据题意，若曲线x2k+4解得−4<k变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程x24−t+y2t−2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2<t<4；②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2以上命题正确的是（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④【答案】D【分析】根据椭圆、双曲线、圆的方程的特征逐一求出参数范围即可判断.【详解】对于①，曲线C为椭圆时，4−t>0t−2>04−t≠对于②，曲线C为双曲线时，(4−t)(t−2)<0，解得：t>4对于③，若曲线C是圆，则必有：4−t>0t−2>04−t=对于④，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，4−t>0t−2>04−.变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x2A．−1,2 B．−∞,−1C．2,+∞ D．−∞,−1【答案】A【分析】由双曲线方程定义列不等式求解.【详解】依题意，得k+1k−2．变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程x21+m+y【答案】−1<【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可.【详解】方程x2可得1+m解得−1<m故答案为：−1<m变式4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程x2+my【答案】m【分析】根据双曲线的方程即可求解.【详解】若方程x2+m则由x2+m故m<0故答案为：m变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程mx2+1−my【答案】−∞,0【分析】根据双曲线焦点在y轴上有1−m【详解】因方程mx2+则有1−m>0m所以实数m的取值范围为−∞,0.故答案为：−∞,0.变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程x2k−1+y【答案】(1,3)【分析】由题意可得k−1>03−k【详解】将方程化为x2k−1所以k−1>03−k即k的取值范围为(1,3)，故答案为：(1,3)变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程y24−【答案】m【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可.【详解】由题意知：m−1>0，解得m故答案为：m>1变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知x2m−3(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；(2)方程表示双曲线.【答案】(1)3<(2)m<3或【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；（2）结合双曲线几何性质即可.【详解】（1）由题知：11−m解得：3<（2）由题知:(m解得：m<3或【题型4：焦点三角形】例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x24−y23=1的左、右焦点分别为F1，A．30∘ B．45∘ C．60∘【答案】D【分析】根据双曲线的定义可得PF1−PF2=4，又P【详解】根据双曲线的定义得PF又因为PF1=3PF又因为F1所以在△Fcos∠F因为0∘<∠F1P变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x2−y2A．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】根据双曲线的定义可得PF1=4,PF【详解】根据题意可知：a=1,b=2,c=3，由由于PF12=P将x=3代入x2变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x24−y2A．24 B．152 C．123【答案】A【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得△PF1【详解】由3PF又P是是双曲线x24−则PF2=6，则PF2则△PF变式3．（2022高三·全国·专题练习）设F1,F2是双曲线C:x24−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在CA．4 B．6 C．210 【答案】D【分析】根据相似可得垂直关系，进而根据双曲线定义，即可求解.【详解】由双曲线方程可得：a=2,由PQ2=F所以F1P⊥不妨设P在第一象限，则F1故F1P−又F1故F1

变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线三角形（填锐角，直角，钝角）.【答案】直角【分析】在焦点三角形中根据椭圆和双曲线的定义证明求解即可.【详解】因为椭圆x2m+所以m−1=n+1根据椭圆的定义得PF根据双曲线的定义得PF所以PF即2P所以PF所以△F故答案为:直角.变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线y23−x25=1的两个焦点分别是F1,F2，点【答案】10+4【分析】根据双曲线的定义可得BF2−BF【详解】由双曲线的定义可得BF2−BF两式相加得BF2−所以BF2+AF故答案为：10+4变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x2−y24=1的左右两个焦点为F1，F【答案】433【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得|P【详解】由x2−y24=1可得：a在△PF1F2由①②联立，解得：mn=则三角形F1PF故答案为：43变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x216−y29【答案】16【分析】由双曲线的定义可得答案.【详解】由双曲线方程得，2a由双曲线的定义得PF2QF2①＋②，得PF所以PF故答案为：16.【方法技巧与总结】求双曲线中焦点三角形面积的方法：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③利用公式eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积④结论：S【题型5：和差最值问题】例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+(y−4)2=1上有一动点PA．42−1 B．42−5 C．【答案】A【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】∵在双曲线M:x29−y∴c2=16，∴设双曲线的右焦点为F2，则F∵Q在双曲线的右支上，∴QF−QF由题知，圆心C0,4，半径r=1，P在圆∴PQ≥则PQ+当C，Q，F2三点共线且Q位于另两点之间时，QC+Q此时PQ+∴PQ+QF的最小值为.变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆x29+y225=1的一个焦点为F，双曲线xA．5 B．5+3 C．10 【答案】A【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.【详解】根据椭圆方程，不妨设F(0,4)，根据双曲线方程，可知F1(−3,0),由双曲线定义可知|PF2所以△PFF2要使其周长最小，即求|PF1|+|PF|的最小值，显然当因此，△PFF2故选:D变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x24−y212=1A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【分析】根据双曲线的定义转化为|PF【详解】设右焦点为F'，则F'(4,0)∴|PF|+|PA|=P故|PF.变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆x2+(A．9 B．25+4 C．8【答案】D【分析】由双曲线的定义结合圆的对称性得出|PA【详解】圆x2+由双曲线的性质可知，A为其左焦点，右焦点为C(4,0)，由定义可知|即|【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义得出|PA变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x29−y27=1的右焦点，PA．65−3 B．65−6 C．65【答案】C【解析】记双曲线C的左焦点为F'，利用双曲线的定义，得到PA【详解】记双曲线C的左焦点为F'，则F因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得，PF所以PA+当且仅当F'，P，A.变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x23−y2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线右支上一点，点【答案】5+23/【分析】利用双曲线定义可将PQ+PF1转化为【详解】

由双曲线方程知：a=3，b=1，c=2，则由双曲线定义知：PF∴PQ+PF1又QF2=故答案为：5+23变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x2−y24=1，如图所示，点A−5,0，B是圆【答案】10+1【分析】设点D的坐标为(5,0)，得到点A,D是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到MA+【详解】由双曲线x2−y24如图所示，设点D的坐标为(5,0)，则点根据双曲线的定义，可得MA−所以MA+又由B是圆x2+y−5所以BD≥CD−1=当点M,B在线段CD上时，取得等号，即MA+故答案为：10+1变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点A−2,0，B2,0，C3,【答案】4【分析】利用双曲线的定义得到动点M的轨迹为双曲线右侧一支，然后利用三点共线两线段之和最大，求解即可得到答案.【详解】解：点A−2,0，B所以MA−故动点M的轨迹为双曲线右侧一支，则动点M到B，C两点的距离之和MB+当且仅当M，A，C三点共线时取等号，所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.故答案为：4.变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x2−y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆【答案】6【分析】由题设知|PF1|−|PF2【详解】解：双曲线x2∵a=1，b=4∴F1(−7,0)因为M,N分别是圆(x+7)2+∵|P∴|MP|⩽|P∴−|PN所以|=2+1+3=6故答案为：6．【方法技巧与总结】最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。【题型6：轨迹方程问题】例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知M−2,0，圆C:x2−4x+y2=0A．x2−yC．x2−y【答案】D【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆P的半径为R，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.【详解】圆C:x2−4x+y2设动圆P的半径为R，若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以PM=R，所以PM−所以动点P是以M−2,0、C2,0为焦点的双曲线的右支，且a=1所以b=所以动圆圆心P的轨迹方程是x2若动圆P与圆C相外切，所以PM=R，所以PC−所以动点P是以M−2,0、C2,0为焦点的双曲线的左支，且a=1所以b=所以动圆圆心P的轨迹方程是x2综上可得动圆圆心P的轨迹方程是x2变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点M(x,y)【答案】y【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.【详解】设F1−2,0，F2故动点M的轨迹是射线y=0故答案为：y变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点F1−2,0和F22,0【答案】x【分析】设点P(【详解】设点P(由已知得yx+2⋅所以点P的轨迹方程为x2故答案为：x2变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点A−2,0点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于34动点P【答案】x【分析】设点P的坐标为(x,y)x【详解】设点P的坐标为(x因为kPA=y所以yx+2⋅故动点P的轨迹方程为x2故答案为：x变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:【答案】y【分析】利用直接法建立等式，化简即可.【详解】解：动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线所以x−02+展开整理得y2故答案为：y2变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知AB=42，且三内角A，B，C满足2sin

【答案】x【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得AC−【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A−22,0由正弦定理，得sinA=BC2R，sin

∵2sinA∴2BC+AB由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.由题意，设所求轨迹方程为x2∵a=2，c=22故所求轨迹方程为x2故答案为：x变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点A−3,0，B3,0构成△MAB，且直线MA【答案】x【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.【详解】设点M(x,y)，而点A−3,0，B3,0，在△MAB中，于是yx+3⋅yx所以动点M的轨迹方程x2变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1−17,0，F217,0【答案】x2【分析】利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、c的值，从而得b的值，即可得出轨迹【详解】因为MF轨迹C是以点F1、F设轨迹C的方程为x2a2−y2c=217，即c所以轨迹C的方程为x2【方法技巧与总结】求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于x,y的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将x0=gx一、单选题1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1：x+32+y2=1和圆C2：x−3A．x2−yC．x2−y【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.【详解】设动圆M的半径为r，则MC1=则MC根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2．2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x216−y220=1A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】C【分析】先求出a,b,c，然后根据双曲线的定义结合【详解】双曲线x216−由双曲线的定义可得PF因为PF1=9，所以9−若PF2=1，则P若PF2=17，则P．3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】易得充分性不成立，当m<0时，曲线C:x【详解】当m∈(0,8)时，曲线C:x当m<0时，曲线C:x故由曲线C的焦点在x轴上推不出m∈(0,8)所以“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x．4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x2−yA．x2−y2=1 B．y2【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.【详解】因为双曲线C的焦点为(0,±2)在纵轴上，所以λ<0且双曲线C方程y2−λ故λ=−2，则C的方程为y．5．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为−4,0,A．x24−C．x2−y【答案】A【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：x2则2a=4c所以双曲线的标准方程为x26．（24-25高三上·云南·阶段练习）设A,B两点的坐标分别为−3,0，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为23A．x29+C．y29+【答案】A【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.【详解】设点Mx,y，则AM的斜率为yx+3故yx所以x27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点A−1,0,B1,0，动点PxA．x2−yC．x2+y【答案】C【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.【详解】动点Px,y满足tan∠PAB化简可得x2．8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点2,2且与椭圆9xA．x26−y28=1 B．【答案】A【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点2,2，可求得双曲线方程.【详解】由9x2+3y2设双曲线的方程为y2a2−x2b所以双曲线的方程为y2．二、多选题9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程A．22 B．3 C．23【答案】AB【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出m的取值范围，即可判断．【详解】因为方程mx由mx2+即m10x2其中x2+y−22x−3y+110表示点x,y直线则x2+(y−2)2x依题意可得e=10mB10．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：x21−mA．Γ可能是等轴双曲线B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则−1<C．Γ可能是半径为2的圆D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m【答案】CCD【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则1−m对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则3+m>1−m对于C，Γ是圆，则3+m=1−m>0，解得对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则1−m解得m<−3CD.11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2【答案】CCD【详解】解析：因为|PA－PB|5AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB·2，化简得y22（x2－4），即－1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB·1，化简得y2x2－4，即x2－y24，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB2＜5AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确．三、填空题12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知F1,F2分别是双曲线