2025届河北省邢台市质检联盟高三上学期第三次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市质检联盟2025届高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以．故选：A2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为，所以，所以在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C.3.已知，是两个互相平行平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.又，，所以，，，平行或异面.故选：A4.若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得．因为为单位向量，所以化简可得：，解得，则与夹角的余弦值为．故选：D.5.如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（）A.8 B.4 C. D.2【答案】D【解析】设侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积．侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积．由题可知，从而．故选：D.6.一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线.根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直，故，.从而，，故，即或.但不重合，故，所以，从而，即.而，，故.根据对称性，光线经过的路程即为.故选：C.7.已知正项等差数列满足，则（）A.4048 B.2024 C.1012 D.2【答案】C【解析】因为为等差数列，所以，，则，则，从而，故．故选：C.8.已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数在上是奇函数，则，且f-x=-f当时，，则，所以，当时，显然恒成立．当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）．当时，由函数与函数的图象如下：由图可知：，则，解得；当时，由函数与函数的图象如下：的图象始终在的图象的下方．故取值范围为．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在直四棱柱中，，，，分别为，中点，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由为的中点，则，在直四棱柱中，易知，所以，故A正确；对于B，由为的中点，则，在直四棱柱中，易知，，故B错误；对于C，由题意可得与的夹角为，且，则，故C正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.的最大值为C.的最小正周期为 D.的图象关于直线对称【答案】AB【解析】，则，所以为奇函数，A正确．，所以的最小正周期不是，C不正确．，所以的图象不关于直线对称，D不正确．，显然，且，当x∈0,π由，及对勾函数的单调性可得，所以．当时，，所以的最大值为，B正确．故选：AB11.已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（）A.m的取值范围为B.n的取值范围为C.的最大值为7D.的最小值为【答案】ACD【解析】由曲线，得，则（），所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.设直线：与：，由，得表示点到直线和的距离和的2倍，对于AB，若的值与无关，则该曲线在两平行直线：与：之间，当与该曲线相切时，，解得，则的取值范围为，当经过点时，，解得，则的取值范围为，故A正确，B错误；对于C，由图知，当点的坐标为时，点到直线的距离最大，为，所以的最大值为7，故C正确；对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时，点到直线和的距离和最小，此时，则点到直线和的距离和最小值为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知递增的等比数列满足，，则的前3项和______．【答案】21【解析】因为是等比数列，所以．又，所以或（舍去），则的公比，，从而．故答案为：2113.已知，且，则的最大值为______．【答案】【解析】由，得，即，则．因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，从而的最大值为．故答案为：．14.在四面体中，，，且，，，，则该四面体的外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图，过点作且，连接，过点作且，连接，得到三棱柱．因为，，所以三棱柱为直三棱柱．由，得，则，从而，则三棱柱外接球的半径，表面积，即该四面体的外接球的表面积为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角的对边分别为，已知，且．（1）若，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．解：（1）由，得．因为，所以，即．．（2）由，得，因为为锐角三角形，所以则，解得，即的取值范围为．16.某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．（1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望．解：（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率．若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率．故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率．（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则．由题可知，，，，，则，，，．的分布列为15253545．17.如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，．证明：取的中点，连接，．因为为等腰直角三角形，且，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，，．设平面的法向量为，则由得令，得．设平面的法向量为，则由得令，得．所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集.（1）求函数在上的不动点集；（2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围；（3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围.解：（1）由，得，解得或，故在0,+∞上的不动点集为.（2）方法一：由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根.即方程在只有一解.因为是方程的解，所以方程在上无解.作函数和，的图象，如下图：由，，所以.当或即或时，与，的图象只有一个交点.所以的取值范围是：.方法二：由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根.令，则.若，则在上恒成立，φx在上单调递增.因为，，所以φx在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点.若，则在上恒成立，φx在上单调递减.因为，，所以φx在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点.若，易知是上的偶函数，且在上单调递增.因为，，所以存在，使得，则当和时，φ'x>0，φx单调递增，当时，φ'x<0因为，所以要使得φx在上有且只有一个实数根，则解得.综上所述，的取值范围为.（3）由题可知，方程在R上存在3个实数根，，，则，从而令，则，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，则，解得.因为，所以的取值范围为.19.在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和．（1）求点的坐标；（2）设，求数列的前项和；（3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根．解：（1）因为点列特征根为和，所以点列的特征方程为，所以，则，即，所以，所以的坐标为，由，得，即，所以，所以的坐标为；（2）由（1）知，，所以；（3）因为，所以，所以，设，则，，，设，则①，②，由①②得，即，将代入②得，因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数，所以，又，所以，得，又，所以点列的特征方程为，特征根为和.河北省邢台市质检联盟2025届高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以．故选：A2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为，所以，所以在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C.3.已知，是两个互相平行平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.又，，所以，，，平行或异面.故选：A4.若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得．因为为单位向量，所以化简可得：，解得，则与夹角的余弦值为．故选：D.5.如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（）A.8 B.4 C. D.2【答案】D【解析】设侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积．侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积．由题可知，从而．故选：D.6.一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线.根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直，故，.从而，，故，即或.但不重合，故，所以，从而，即.而，，故.根据对称性，光线经过的路程即为.故选：C.7.已知正项等差数列满足，则（）A.4048 B.2024 C.1012 D.2【答案】C【解析】因为为等差数列，所以，，则，则，从而，故．故选：C.8.已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数在上是奇函数，则，且f-x=-f当时，，则，所以，当时，显然恒成立．当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）．当时，由函数与函数的图象如下：由图可知：，则，解得；当时，由函数与函数的图象如下：的图象始终在的图象的下方．故取值范围为．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在直四棱柱中，，，，分别为，中点，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由为的中点，则，在直四棱柱中，易知，所以，故A正确；对于B，由为的中点，则，在直四棱柱中，易知，，故B错误；对于C，由题意可得与的夹角为，且，则，故C正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.的最大值为C.的最小正周期为 D.的图象关于直线对称【答案】AB【解析】，则，所以为奇函数，A正确．，所以的最小正周期不是，C不正确．，所以的图象不关于直线对称，D不正确．，显然，且，当x∈0,π由，及对勾函数的单调性可得，所以．当时，，所以的最大值为，B正确．故选：AB11.已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（）A.m的取值范围为B.n的取值范围为C.的最大值为7D.的最小值为【答案】ACD【解析】由曲线，得，则（），所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.设直线：与：，由，得表示点到直线和的距离和的2倍，对于AB，若的值与无关，则该曲线在两平行直线：与：之间，当与该曲线相切时，，解得，则的取值范围为，当经过点时，，解得，则的取值范围为，故A正确，B错误；对于C，由图知，当点的坐标为时，点到直线的距离最大，为，所以的最大值为7，故C正确；对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时，点到直线和的距离和最小，此时，则点到直线和的距离和最小值为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知递增的等比数列满足，，则的前3项和______．【答案】21【解析】因为是等比数列，所以．又，所以或（舍去），则的公比，，从而．故答案为：2113.已知，且，则的最大值为______．【答案】【解析】由，得，即，则．因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，从而的最大值为．故答案为：．14.在四面体中，，，且，，，，则该四面体的外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图，过点作且，连接，过点作且，连接，得到三棱柱．因为，，所以三棱柱为直三棱柱．由，得，则，从而，则三棱柱外接球的半径，表面积，即该四面体的外接球的表面积为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角的对边分别为，已知，且．（1）若，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．解：（1）由，得．因为，所以，即．．（2）由，得，因为为锐角三角形，所以则，解得，即的取值范围为．16.某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．（1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望．解：（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率．若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率．故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率．（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则．由题可知，，，，，则，，，．的分布列为15253545．17.如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，．证明：取的中点，连接，．因为为等腰直角三角形，且，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，，．设平面的法向量为，则由得令，得．设平面的法向量为，则由得令，得．所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集.（1）求函数在上的不动点集；（2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围；（3）若函数在上的