广东省珠海一中等六校高三第三次联考数学理试题

2018届广东省六校第三次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为()A．0B．1C．2D．32.设等差数列的前项和为，若,则()A．63B．45C．36D．273.若变量满足约束条件，则的取值范围是()A．B．C．D．4.函数的部分图象大致为()A．B．C.D．5.设函数，其中常数满足.若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于()A．B．C.D．6.执行下面的程序框图，如果输入的分别为1，2，3，输出的,那么，判断框中应填入的条件为()A．B．C.D．7.已知为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部，若数列的前项和为，则()A．B．C.D．8.如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为()A．3B．C.D．9.四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为，则的取值范围是()A．B．C.D．10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有()A．42种B．36种C.72种D．46种11.已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．B．C.D．12.已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是()A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数是定义在上的奇函数，则．14.已知函数，若，则函数恒过定点．15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16.若函数的图象上存在不同的两点，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”.给出下列函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式.18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19如图，在四棱锥中，是平行四边形，，,分别是的中点.(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.20.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点点满足.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在轴上是否存在点，使得与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.21.已知函数，其中.(Ⅰ)函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；(Ⅱ)求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值.23.选修45：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若，求实数的取值范围；(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.2018届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题15:BADAA610:CCBCA11、12：DD二、填空题13.14.15.16.①④三、解答题17.解：(Ⅰ)∵,，∴.∵,∴.∵,∴.(Ⅱ)∵①，…②，∴①②得，，∵，∴…③，…④，③④得，，.∵，∴是首项3公比2的等比数列，，故.18.解：(Ⅰ)当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以关于的函数解析式为.(Ⅱ)(i)可能的取值为62，71，80，并且,.的分布列为：6271800.10.20.7的数学期望为元.(ii)若小店一天购进17份食品，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为586776850.10.20.160.54的数学期望为元.由以上的计算结果可以看出，,即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份.19.解法一：(Ⅰ)取中点，连,∵,∴,∵是平行四边形，,,∴,∴是等边三角形，∴,∵,∴平面,∴.∵分别是的中点,∴,,∴,,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴是二面角的平面角.∵,在中，根据余弦定理得,,∴二面角的余弦值为.解法二：(Ⅰ)∵是平行四边形，,，∴,∴是等边三角形，∵是的中点，∴,∵,∴.分别以的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则,,设，∵,,解得，∴可得,∵是的中点，∴,∵,∴,∵,,∴平面,∵平面,∴平面平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，,,设是平面的法向量，则，∴，令，则，又是平面的法向量，∴，∴二面角的余弦值为.注：直接设点，或者说平面,，酌情扣分.20.解：(Ⅰ)依题意，、，，∴,由,,得，∵，∴，故椭圆的方程为.(Ⅱ)假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线的斜率存在，设，由，消得，设，则，∵，∴要使对任意实数为定值，则只有，此时，.故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值1.21.解：(Ⅰ)由于.假设函数的图象与轴相切于点，则有，即.显然代入方程中得，.∵，∴无解．故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.(Ⅱ)依题意，恒成立.设，则上式等价于，要使对任意恒成立，即使在上单调递增，∴在上恒成立.则，∴在上成立的必要条件是：.下面证明：当时，恒成立.设，则，当时，，当时，，∴，即.那么，当时，；当时，，∴恒成立.因此，的最大整数