高中数学讲义（人教B版2019必修四）第17讲1111空间几何体与斜二测画法

11.1.1空间几何体与斜二测画法TOC\o"13"\h\u题型1平面图形的直观图 2◆类型1斜二测画法辨析 3◆类型2平面图形的直观图的画法 5◆类型3已知直观图画原图 9题型2空间几何体的直观图 11题型3直观图和原图的周长和面积 14知识点一.空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.我们日常接触到的足球、篮球等，如果只考虑它们的形状和大小，它们都是球体.还有其他几何体如长方体，正方体等.知识点二.直观图立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图.知识点三.斜二测画法1.空间土行动额直观图的画法：斜二测画法2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下：①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°；②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．3.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤：（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x’轴与y’轴）。（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴。过x轴与y’轴的交点作z轴对应的z’轴，且z’轴垂直于x’轴。图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度不变。（3）连接有关线段，擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）。注意：水平放置的圆，其直观图一般用"正等测画法"画成椭圆.题型1平面图形的直观图【方法总结】（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.◆类型1斜二测画法辨析【方法总结】斜二测画法中“三变”：坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。“三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变。【例题11】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同【答案】C【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,故选：C.【变式11】1.利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.故选：B.【变式11】2.下列说法正确的是（）A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形【答案】D【解析】A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误。B项，原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯形的直观图不可能为平行四边形，故B项错误。C项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以矩形的直观图中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形。故C项错误。D项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方形的直观图可能是平行四边形。故D项正确。选D【变式11】3.下列命题中正确的是()A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；因此B正确，选B.【变式11】4.（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法中正确的有（

）A．画直观图时与x轴、y轴对应的x′轴、y′轴之间的夹角应为45°B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆【答案】ACD【分析】利用斜二测画法规则，分析判断选项A，B，C，再判断选项D作答.【详解】由斜二测画法规则知，选项A，C正确；长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半，B错误；水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD◆类型2平面图形的直观图的画法【例题12】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．【答案】答案见解析【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，写出画法并作图，可得答案.【详解】（1）如图1，在正五边形ABCDE中，以AD所在的直线为x轴，过点E作AD的垂线，以垂线所在的直线为y轴，两轴交于点O，y轴交BC于点F．如图2，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′（2）在图2中，以O′为A′D′的中点，在x′轴上取A′D以F′为B′C′的中点，作（3）连接A′B′，C′D′，D′便获得水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′【变式12】1.（2023·高一课时练习）直角梯形ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，CD=2cm，AB【答案】等腰三角形【分析】根据斜二测画法的原则，“横不变，纵减半”画出平面图形，即可得出结果.【详解】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O，作出直角梯形ABCD，如图2所示，再作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45∘，以A′为坐标原点O′，在x轴上作则ABCD水平放置的直观图中△ACD故答案为：等腰三角形.【变式12】2.画出图中水平放置的四边形的直观图.【答案】图见解析.【解析】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示：【变式12】3.如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【答案】C【解析】在A、B、D中，三角形ABC的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C不全等．【变式12】4.（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC【答案】图见解析.【分析】在等腰梯形ABCD中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图.【详解】在等腰梯形ABCD中，过D作DO⊥其中OD=1cm,在平面内取点O′，过O′作直线O′在直线O′y′上取点D′，使O′D′在直线O′x′上取点C连接C′D′,A◆类型3已知直观图画原图【例题13】（2023·高一单元测试）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法规律，平行于y轴的线段长度是原长的一半即可判断.【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22故选：A．【变式13】1.（2023·高一课时练习）如图，△A′BA．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】根据题意，将△A′B′C′还原成原图，分析OC【详解】将其还原成原图，设A′C′AC=A′C′即AB⊥BC，故故选：C.【变式13】2.如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【答案】D【解析】由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.题型2空间几何体的直观图【方法总结】（1）画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.（2）直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”3.直观图的还原和计算问题【例题2】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画出长方体ABCD−A1B1C1【答案】答案见解析【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可.【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得∠xOy（2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm,过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则▱ABCD（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA1,使AA（4）成图.顺次连接A1【变式21】1.用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图.【解析】正三棱柱直观图如图：【变式21】2.画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。【解析】圆柱直观图如图：【变式21】3.（2022·高一课时练习）用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．【答案】见解析【分析】利用斜二测画法画出即可.【详解】（1）画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．（2）画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.（3）画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．（4）成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．【变式21】4.用斜二测画法画一个上底面边长为1cm，下底面边长为2cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm的正四棱台.【解析】（1）画轴.如图（1）所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使.（2）画下底面.以点O为中点，在x轴上截取线段，在y轴上截取线段，分别过点作y轴的平行线，过点作x轴的平行线，设它们的交点分别为，四边形就是正四棱台的下底面.（3）画高.在上截取，过分别作平行于的直线.（4）画上底面.在平面上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1cm的正四棱台的上底面的直观图.（4）成图.顺次连接，整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）得到正四棱台的直观图，如图（2）所示.题型3直观图和原图的周长和面积【方法总结】斜二侧画法的面积是原来图形面积的24原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的22倍，故新高是原来高的24，而横向长度不变，所以面积变为原面积的【例题3】若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的（）A．12倍B．2倍C．倍D．22倍【答案】C【解析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，则长度减半，则直观图三角形的高为原来的=，故其直观图的面积是原三角形面积的倍，故选C.【变式31】1.（2023·高一课时练习）如图，若斜边长为22的等腰直角△A′B′C′（B【答案】4【分析】还原原图，计算面积即可.【详解】在斜二测直观图中，由△AA′B′=22还原原图形如图：则AB=4则S△故答案为：42【变式31】2.（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方形A1B1【答案】18【分析】根据斜二测画法的特点即可得出结论.【详解】由斜二测画法的规则知与x1轴平行或重合的线段与x轴平行或重合，其长度不变，所以AB与y1轴平行或重合的线段与y正方形的对角线在y1轴上，可求得其长度为3如图所示：平面图中，AC在y轴上，且其长度变为原来的2倍，即AC=6则平面图形ABCD的面积S=3×6故答案为：18【变式31】3.（2023秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.∠ABC【答案】2+【分析】利用直观图中的信息，求出BC的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.【详解】过A作AE⊥