专题训练：角平分线中相关辅助线问题（原卷版）

专题训练：角平分线中相关辅助线问题知识框架角平分线中常见辅助线总结分类讲解角平分线中常见辅助线总结方法1：角平分线上的点向两边作垂线方法：利用角平分线性质，取角平分线上一点，向被平分的角的两边作垂线注：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。目的：构造一组全等三角形1．（2021·安徽安庆市·八年级期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点，，，则的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．122．（2021·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，已知，、分别平分和且度，则______度．3．（2021·盐城市盐都区八年级月考）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④4．（2020·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．5．（2020·辽宁鞍山市·八年级期中）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）6．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，中，于点，，点在上，，连接．求证：；（2）延长交于点，连接，求的度数；（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．7．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确?若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．方法2过边上的点向角平分线作垂线方法：取被平分角边上一点，向角平分线作垂线，并延长至与另一个边相交适用条件：往往题干中已有线段与角平分线垂直，只需延长垂线段即可目的：构造一组关于角平分线对称的全等直角三角形1．（2020·重庆市松树桥中学校八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．2．（2020·河南九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于点M，N为BC的中点，连结MN，则MN的长为______.3．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．4．（2021·四川眉山市·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．5．（2021·湖北八年级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF6．（2020·全国八年级课时练习）如图，在中，是的中点，平分，于点，延长交于点．已知，求的周长．7．（2020·四川省初一期末）如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．（1）求证：；（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,①若点在点的右侧，如图2，求证：；②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．方法3过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形方法：=1\*GB3①有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。如下图1=2\*GB3②通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如下2图掌握以上知识是解题的关键．1.（2020·山东八年级期末）如图、∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________；2．如图5，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分线相交于F，经过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为____________3．（2019·云南昆明三中八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）4．（2020·江阴市云亭中学八年级月考）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．（1）如图①，当AB=AC时图中有个等腰三角形．（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．5．（2020·沈阳市第一二七中学八年级期中）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF方法4利用角平分线的性质，在角两边截长补短方法：在角的两边上实施截长或补短目的：构造出已角平分线为对称轴的全等三角形1．（2021·安徽合肥市·八年级期末）如图，在中，，平分．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；（3）如图3，若，求证：．2．（2020·太原市晋泽中学校初二月考）在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．3．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．（1）求证：平分；（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；（3）如图3，若，求证：．4．（2021·北京顺义区·八年级期末）已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，，、分别平分、，与交于点O．（1）求的度数；（2）说明的理由．6．（2021·江苏八年级期中）阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上