练素养 巧用“基本图形”探索相似条件

练素养巧用“基本图形”探索相似条件集训课堂

苏科版九年级下第六章图形的相似1234567温馨提示：点击进入讲评习题链接【中考·雅安】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.(1)求证：OE＝OF.1(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．2【新考法•化动为定法】如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P，Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移动到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移动到点A为止(点P到达点C后，点Q继续运动)．设运动时间为ts.(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出t的取值范围．解：由题意得AP＝2tcm(0≤t≤6)，AQ＝(16－t)cm(0≤t≤16)．(2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？3证明：连接OC.∵CF是⊙O的切线，点C是切点，∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°.∴∠OCB＋∠BCF＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BEC＝90°.∴∠BCE＋∠OBC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠BCE＝∠BCF，即CB平分∠DCF.(2)G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．︵4【2023·孝感】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F.(1)求证：AB＝AC；证明：如图，连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE.∵DE⊥AC，∴OD∥AC.∴∠C＝∠ODB.∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)若AE＝3，DE＝6，求AF的长．解：如图，连接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C.∴DF＝DC.

∵DE⊥CF，∴FE＝EC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.∵DE⊥AC，∴∠C＋∠CDE＝90°，∠AED＝90°.∴∠C＝∠ADE，∠AED＝∠CDA＝90°.∴△DAE∽△CDE.∴DE:CE＝AE:DE.∵AE＝3，DE＝6，∴6CE＝36.∴CE＝12.∴EF＝EC＝12.∴AF＝EF－AE＝12－3＝9.5【2023·天津中学模拟】如图①，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE.(1)①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；(2)如图②，若点D落在边BC上，∠BAC＝90°，求证：CE⊥BC.证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°.∵∠ABC＝∠ACE，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°，∴CE⊥BC.证明：∵∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∴∠DEA＋∠CEB＝90°，∠DEA＋∠D＝90°，∴∠D＝∠CEB.∴△ADE∽△BEC.6(1)尝试：如图①，已知A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，求证：△ADE∽△BEC.(2)一名同学做完上题后还发现：如图②③，只要A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，则(1)中的结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．解：同意，选择图②(或图③)说明理由：∵∠A＝∠DEC，∠A＋∠D＝∠DEC＋∠CEB，∴∠D＝∠CEB，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.7【2023·西安交大附中月考】如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，过点D作DE垂直OA的延长线于点E.证明：如图所示．∵OA⊥OB，∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90°.∴△OAB∽△EDA.(1)求证：△OAB∽△EDA.(2)当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．如图，过点C作CH⊥OE于点H，则CH的长就是点C到OE的距离；过点B作BF⊥CH于点F，易知四边形OHFB为矩形．∴∠1＋∠5＝90°，HF＝OB＝3.又