声学基础课后题答案

声学基础课后题答案

习题1

1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待，其固有频率为了，质

量为加，求它的弹性系数。

解：由公式力=3序得：

2叫Mm

七=（2m2加

1-2设有一质量M,“用长为/的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆,

如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：

（1）当这一质点被拉离平衡位置J时，它所受到的恢复平衡的力由何产

生？并应怎样表示？

（2）当外力去掉后，质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它

的振动频率应如何表示？

（答：g为重力加速度）

24V/

图习题1—2

解：（1）如右图所示，对作受力分析：它受重力方向竖直向下；受沿

绳方向的拉力T,这两力的合力E就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆

动轨迹的切线方向。

设绳子摆动后与竖直方向夹角为6,则sin6=M

受力分析可得：F=Mmgsm6=Mmgy

(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在尸作用下在平衡位置附近产生摆

动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：F=—M,“鬻

则=彳即翳+%=(),

说=区即这就是小球产生的振动频率。

I2KV/

1-3有一长为/的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量

Mm,如图所示，试问：c.

(1)当质量被垂直拉离平衡位置J时，它f与/

\K

所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样囱寸即「

囹刁越1-3

表示？

(2)当外力去掉后，质量M,“在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应

如何表示？

(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？

解：首先对M,“进行受力分析，见右图，

工=丁丁匕%-----%=0

~X0)~+£~Jx：+「

222

X1+£~»Xo，(/-Xo)+f«(/-Xo)。)

LFSf£

F=T/----+T

vJ(/-Xo)2+陵&+.2

”上+7£

I-*0xo

Tl

=--------£

/(/一%)

可见质量受力可等效为一个质点振动系统，质量弹性系数

77

k=

/（/一尤0）

77

（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F=—:一£

Xo（l-xo）

方向为竖直向下。

TI

（2）振动频率为力

x0(Z—XQ)MM

⑶对。分析可得，当时，系统的振动频率最低。

1-4设有一长为/的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的X。位

置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子

向下产生静位移备以保持力的平衡，并假定M离平衡位置4的振动J位移很小,

满足自《鼻条件。

2Tcos0=Mg

解：如右图所示，受力分析可得cos”豆n"&=Mg

-I

2J

又&<<4,T/T,可得振动方程为一27%且=加一

1dt

2

4T

即M

.工理」叵」fZ

2TT\MIn:\2乃

i-5有一质点振动系统，已知其初位移为g。，初速度为零，试求其振动位移、

速度和能量。

解：设振动位移S=£ucos(d)0r-(p),

速度表达式为V=-CD0£asin(690r-(P)。

由于£jo=£o，Mi=。，

代入上面两式计算可得：

£=£()COSCO()t；

v=-g%singf。

振动能量E=＞炉=“就£.

1-6有一质点振动系统，已知其初位移为瓦，初速度为%,试求其振动位移、

速度、和能量。

解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为K,“，质量为M,,,,取

正方向沿x轴，位移为久

则质点自由振动方程为武1+。然=0,(其中而=区,)

drMm

解得g=A,cos（如，0）,

"祥噫sin（%-%+"）=①&cosW-%+f）

A）=&COS°o自“=9磁；+说

%

当4=O=4o，Mr=O=%时，'=><

Vo=«o^COS（%-1）

夕o=arctan—%—

质点振动位移为4=」-+v；cos®(/-arctan工）

8。①40

质点振动速度为V=Jo"；+片cos(例/-arctan-^―+—)

供2

质点振动的能量为七=g(说4+片)

1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠

力口4=sin碗+工sin2cot,试问：

(1)在什么时候位移最大？

(2)在什么时候速度最大？

解：・「《=sinm+'sin2G/,

2

・de：c

・•一=GCOSW+GCOS2a

dt

d£

=—ar2sincot-c26r2si.nc2cot。

f]CTT

令一-二0,得：cot=2kjr土一或由=Zki±7i,

dt3

经检验后得：”2•士划3时,位移最大。

CD

d?£/■]

令——=0,得：cut=k/r^cot=2k7r±arccos(-一),

dt24

经检验后得：r=也k7T时，速度最大。

CD

1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示

J=J]COS(69/+0])+42COS(O)t+02)

试证明g=&COS(M+(p)

其中4=痣2+勇+2家2cos@2一例)，(P="Ctan$sin伙j'?sin仍

。COS/+42cos/

证明：4=0COS(Gf+°])+J2COS(W+02)

=。coscotcosq)\-0sincotsin(pi+$coscotcos(p2-sincotsin(p2

=cos碗(。cos(p、+5cos%)一sin①sin(p[+sin(p2)

设A=cos(px+^2cos(p2,B=-(^sin(px+sin(p2)

贝!JJ=Acos0+8sin"=VA2+B2cos(a+(p)(其中9=arctan(——))

A

2222cos

又A+B=J；cos(p、4-蓝cos(p2+2累2.cos(p2

22

+g；sin(p\+蓝sin(p2+2砧2sin.sin(p2

+£+2g&(cos0]cos%+sin/sin%)

=盘+J；+2融cos(%-6)

又(p=arctan(--)=arctan(:‘由』+△sin0)

AJ】cos(p、+&cos(p?

令.=J*+§2=+黄+2自g2COS(仍一名)

则^=^COS(69Z+^)

1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示

£=&COS叼+邑COSW2t(叫〉叱)

试证明

£-£aCOS(WjZ+(p),

廿4/~22-7sin(Awt)

其中=74+4+2£建2cos(/w，)，夕+arctan--------------,Aw=w-w

6,1+6*2cos(Jvvr)12

解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。

由余弦定理知,

2

%=^8]+£^cos(w2r-VV/)

=不£；+£；+2£声2COS0VV/)

其中，Aw=w2-W]。

由三角形面积知,

^£ssinAwt1

t2万衿,sin。

zjsin/wf

得Bsin/=--------

%

sinAwt

得

sinAwt

+£2coszlwr）2

£2sinAwt

£}+邑COSZIVV/

ssinAwt

故2

1+邑cosJwZ

即可证。

1-10有一质点振动系统，其固有频率W为已知，而质量Mm与弹性系数Km

待求，现设法在此质量Mn上附加一已知质量%并测得由此而引起的弹簧伸长

金，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.

证由胡克定理得mg=Kmq\=>Km=mg/^\

由质点振动系统固有频率的表达式/=人匹得，

M=K,*=mg

纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.

1-11有一质点振动系统,其固有频率为已知，而质量Mm与弹性系数待求,

现设法在此质量Mn上附加一质量加，并测得由此而引起的系统固有频率变为方,

于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。

K,“=（2矶）2〃,“

3=（2硫）2（q+九）

K一4/面02K

W-/o2-/；2

1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写

出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。

L

w勺

r

s勺

t

n必

3

为

性系数

等效弹

0,

l=

u"-

为K

方程

力学

时，动

串接

解：

2

降“,+K

42

nt

为

性系数

等效弹

=0,

,,,)£

,”+(

+(&

“级

程为

学方

动力

时，

并接

。

K2m

KIm+

K—

在

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品。

石样

一岩

球上

称月

簧秤

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弹簧压

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g,然

0.4k

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