山西省长治市长子县2020届高三数学下学期拓展练习试题理

山西省长治市长子县第一中学2020届高三数学下学期拓展练习试题理

函数、导数与不等式

一、选择题

L（考点:集合与不等式,★）已知集合人{*/2x»},作，则/1U4=().

同向

A.'*B.（-吗2）C.（0,十⑹D.21

【解析】因为力=（0,2），户\卜8。所以/!U6=（-8,2）.故选B.

【答案】B

2.（考点:函数的零点,★）下列函数中是奇函数且有零点的是（）.

A.f[x}=x-t-lxlB.

1卜白

C.f（x）=XnanxD.f{x}=sin'

【解析】依据函数的奇偶性可排除A、D,依据函数是否有零点可排除B,故选C.

【答案】C

3.（考点:定积分,★）已知汽车运动的速度M单位:m/s）与时间”单位:s）之间的关系式为，力打2,则汽

车在第1S至第2s之间的1s内经过的路程是（）.

1113

A.5mB.2nle.6mD.2nl

【解析】所求路程5=1（3>2）5、1巧刊-2-2=2（力，故选D,

【答案】D

定1,

y<x+1,

V>1-X,

4.（考点:线性规划,已知实数岗y满足一则目标函数"的最大值与最小值之和为

（）.

11

A.5B.2C.6D.7

【解析】

画出实数月y满足的可行域,如图所示，目标函数z4疗的几何意义为坐标原点。与可行域内点的

距离的平方.

也

由图可知,坐标原点0到直线*号TR的距离为点。与可行域内点的距离的最小值,最小值为2,

可行域内的点义1,2)与坐标原点0的距离最大,最大值为再?邛.

故目标函数R的最大值与最小值之和为52二2.故选B.

【答案】B

5.(考点:函数的奇偶性,★★)已知函数y=f(x)是奇函数,当xX)时，F(*)=log/,则/V-1)<0的解集是

().

A.(一吗0)u(1,2)B.(-l,0)U(0,l)

C.(1,2)D.(-co,-1)U(0,1)

【解析】由题意知，当才用时，令I[x｝他即logzxe,解得oa<L又因为函数片f(力是奇函数,所

以函数f(x)的图象关于原点对称,则当x<0时,令f(x)<0,可得*<-1.因为AA-1)<0,所以00T<1或

x-1<-1,解得1<x<2或x<0,即不等式f[x­\)<0的解集为(-8,0)U(1,2).故选A.

【答案】A

6.(考点:函数的图象与性质,★★)

已知函数/U)=(六a)(X力)(其中aq)的图象如图所示,则函数g(x)=log,aT)的图象大致是().

【解析】结合二次函数的图象可知,所以函数履力=log.(xf)在定义域上单调递增，排

除C,D;把函数片log/的图象向左平移/个单位长度,得到函数g(x)=log,G-6)的图象,排除A.故选B.

【答案】B

7.(考点：比较大小,★★)若a=log23,Z>=logJ,c=Q.1\则实数a,&c的大小关系为().

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a)cD.a>b>c

【解析】a=\og23>log22=1,b=log,7>1og4,0<t).7’<1,故c是最小的.因为

1

Iogi7=21og27=log2"<log23,所以b〈a.故选D.

【答案】D

8.(考点;二次函数的应用,★★★)已知函数/*(*)=/也*1+区Vx£R,f(f(y))^O恒成立,则实数a的

取值范围为().

C.[T,+8)D.[0,3)

【解析】设£=〃才)=("1)2也显然£>8所以f(£)>0对任意£>a恒成立,

即(£,1)2为20对任意t^[a,+8)都成立.

当hWTW,f(t)Bin-f(-l)-a,WO日20,与@WT矛盾；

4.3

当a>-l时，A。Ka)则a?+3aH20,解得B2.

4.3\

综上所述，实数a的取值范围为I/.故选氏

【答案】B

9.(考点:函数的零点，★★★)若关于”的方程20191为sin(x-1)收力只有一个实数解,则实数a的值

为().

A.-1B.0C.1D.2

【解析】令片则关于》的方程2019一七sin(x-l)+aR只有一个实数解，等价于关于t的方

程2019“为sin”aR只有一个实数解.

若&20,则由sinI2T及片2019,为增函数，得2019'%sin£为2201婷-&切=1用,方程无解，故

a<0.

令/(t)期19‘”,g[t)=-asint,则f(t)在£力处取得最小值,最小值为1%,函数y=g(t)的图象

关于点(0,0)对称.

当a=~l时,两函数y=F(£),y=g(。的图象有且只有一个交点，满足题意；

当all吐两函数尸f(。，的图象有两个交点,不合题意；

当T<a<0时,两函数y=f(t),y字⑺的图象没有交点,不合题意.

所以a=~\.故选A.

【答案】A

10.(考点:比较大小，★★★)已知函数f{x)=3-乂g(x)=log?Arf¥,h{x)=sinx+x的零点依次为刘,照,孙

则().

A.X\<Xi<x-iX\<Xt<X2

c.^3<xi<x\D,*2a3al

【解析】在同一平面直角坐标系中画出产3',y=]og3X,y=sin*与y=r的图象，如图所示.

可知x\<0,x2X),照R,满足Xi<x《x2故选B.

【答案】B

11.(考点:构造函数,★★★)已知定义在R上的函数M的导函数为f'Cr),对任意xG(0,“)，有

自A

f'(>)sinx>f{x}cosx,且f(x)R,设a=2r^',b=^r^,c=-r2,则(),

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

〃x)f'(x)sinx-f(x)cosx

~-.2

【解析】构造函数4(x)=sm%,对任意冗)，有夕'("」sinxX,所以函数双旧

f(X)f(-X)f(x)

在(0,工)上单调递增.因为-力老即/*(¥)=-F(-x),g(*)=sin%,所以以—*)=・sinx=血苦所以

函数g(x)是偶函数.因为函数g⑸在(D,2上单调递胤所以。2|代入解析式得到

,故a<b<c.故选A.

【答案】A

1

12.(考点:导数的应用，★★★)已知函数f(x)=V•e\g(x)=3*3应寸-3"c,若对

Vx£(0,+8)7加£[1,3],使〃小)二以&)成立,则实数c的取值范南是().

i4i44i

2一2一一2

A.e<c<3B.e<，<3c.c&3D.c2e

【解析】由题意知,函数g⑺在代[1,3]上的值域包含函数/V)在xJ(0J8)上的值域，

xQ・x)

因为4)寸・屋,所以63=小，所以当旌(0,2)时,f(力双函数ZU)在(0,2)上单调递

增；当彳£(2,+8)时，/(才)。函数f(x)在(2,+8)上单调递减.

4

~2

所以当六2时，函数外力取得极大值,极大值为f(2)=e,

[41

|°7

因为『(0)力,当X-T8时,所以函数/(*)在(0,f8)上的值域为'e

1

因为g(x)=-3/-f-2x-3x-f-c,所以g'(x)=-¥也%-3,所以当[1,3]时,g'Cr)，0,函数g(x)在[1,3]

4

C-3，C

上单调递增,所以函数g(x)在口,3]上的值域为

要使函数以才)在xW[1,3]上的值域包含函数r(x)在才£(0,+8)上的值域,

4

一<c

2-'

e

4

0>--+C,44

31-

需满足解得eWcW3,故选B,

【答案】B

二、填空题

13.（考点:导数与切线,★）若函数f（x）=ln"与双力=/七才的图象有一条与直线丁寸平行的公共切线,

则实数，

1

【解析】设在函数，（力士1x的图象上的切点为（再。，根据导数的几何意义得到〃工可，则片1,

故切点为（1,0）,可求出切线方程为yrT.又因为直线y=x-\与函数gB=V+ax的图象也相切,所以方

程Zi-ax=x-\只有一个解，化简得到xHaT）"1电所以d=3-1）2，电解得a=~\或

【答案】3或-1

14.（考点:函数的单调性,★★）已知函数f（x）9R则满足不等式Ax）G九।的x的取值范围

是.

[解析】函数同二令式力二一“他工（。伯T），则g飞一

令丸解得户L可得函数小㈤在（-8,D上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

故g（故nin刊<1）=2-（e卅"）<0.

又g（o）=g⑵=0,所以满足f（x）<e^',即满足g（x）<0的x的取值范围为oa<2.

【答案】（0,2）

15.（考点:周期函数,★★★）己知函数Hx）是定义在R上的偶函数,且f（"D=f（xl）,当x2[0,1]

15i

时,F（x）=P,则关于x的方程《）=/cos”/在区间।22上的所有实数解的和为.

【解析】因为f（户1）»（尸1）,所以f（»=/U-2）,所以函数fj）的最小正周期为2.

又F（Kl）=f（x-D=f（l-x）,所以函数F（x）的图象关于直线广1对称.

令g（x）=/cosnxj,函数F（*）与式x）的图象如图所示，

15

由图象可得,函数尸£（力与g（*）=/cosJTX,/的图象在区间I2'2]上有7个交点，且各交点横坐标之

和为2X3卅4,故所有实数解的和为7.

【答案】7

16.(考点;导数的应用，★★★)对于三次函数给出定义;设f'(x)是函数

y=F(x)的导函数,f〃⑷是〃(*)的导函数,若方程F"(才)才有实数解照,则称点(刖,£(沏))为函数

尸/'⑸的“拐点”.经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是对称中

心,设函数g(x)二13八12舟3六A12,则。A202032A020人..』n20201,

115

【解析】函数g(x)=3/-2丁招『12,则£(彳)-"3,g"(x)=2x-l.

-(j)(7.1)

由g〃(力前得2x-\力,解得户2,而》用封,故函数4⑴的图象关于点M,对称.

所以g(力+g(l-x)=2.

(芈

设’2020)/2020).../2020)/

/2019x/2018x/1)

RNIL2O2OL\2O2OLX2020_

则g''+g'g''/，

两式相加得2X20194见解得zo=2019.

【答案】2019

苫题训练2函数、导数与不等式(B)

一、选择题

1.(考点:集合与不等式,★)已知集合/与**6¥月53},8=着力XM,则实数a的取值

范围是().

A.(-8,3]B.(-8,4]C.(3,4)D.[3,4]

【解析】由题意知,集合力={彳/，7户15刈=[*/彳<3或彳羽，B={xla<x<aA].若AC\B=0，则3<a

且W5,解得3W&W4,所以实数a的取值范围为[3,4].故选D.

【答案】D

2.(考点:定积分,★足知(收”展开式的常数项为15,则4al(加■))*().

Tin

A.nB.2C.2+JTD.2/2

3r-6

【解析】；1的展开式的通项公式为「+1：6・(一1)，・/，・4

3r・6

令2力,解得尸2,故常数项为66・d=15,可得a=±L

,"(%小亍)(13瓶尤由定积分的儿何意义可知,

dx为曲线，号2=1在X轴上方的部分与才轴围成的面积,即单位圆面枳的一半,

n

产/---2-

.：TW(*疝-4)dx=2.故选B.

【答案】B

3.(考点:命题与不等式关系,有下列四个命题：

6：若a〈b,则a&;

若D,则sinx<x\

fw

■”/■(・％)=T”是“片F(x)为奇函数”的充要条件；

访：“等比数列员｝中,4次为”是“等比数列E｝是递减数列”的充要条件.

其中为真命题的是().

A.pi,piB.pi,RC.pi,ptD.PA,pt

【解析】对于0,当a=~\,b=\时,满足a<b,而a<6不成立,故命题p是假命题.

对于R,设f(x)=sinx-x,则f'(M=cos*T〈0,所以函数是减函数，

若xX),则f(x)<f(0)=sin0~0R,即sinx-x<^,则sinx<x成立,故命题乃是真命题.

fwfw

对于A,当M力时,满足函数M是奇函数,但f(■昨T不成立,故"f(•x)T是“月⑺

为奇函数”的充分不必要条件,故命题"是假命题.

%

对于若等比数列EJ中，瓯则al&q〉%/,若分九则13才,得0<7<1,此时T=q<l,即

a“3f所以数列｛a｝为递减数列；

若劲(0,则18</,得Q>1,此时品⑶小数列E,｝为递减数列,故命题热是真命题.

因此真命题是R,出故选C.

【答案】C

4.(考点:构造函数与比较大小,★★)已知函数的图象关于点(1,0)对称，当(0,+8)

gl阿4)

22

时,Ax)+xf(x)<0,若a=2°.f(2°-),方=ln2•/(In2),o24•t2，则a,b,c的大小关系是

().

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【解析】因为函数y=f｛x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数fix)是奇函数.

构造函数晨加=行5),则当/(0/8)时,"⑸"⑸也/⑺<0,故函数g⑷在(0/8)上单调递

减.

gl｛吗4

a=2Q2・A202)=g(20Z),b=ln2•f：ln2)奇(In2),c=lo24•f2=-2/(-2)=-2X[-

f(2)]=2f(2)彩⑵.

因为2必2)ln2电函数g(x)在(0,#8)上单调递减,所以一⑵①(2。2)«(ln2),即c<a〈b.故选A.

【答案】A

5.(考点:指数塞法则与性质，★★)已知3噎5'=15,则出6不可能满足的关系是().

A,a+bMB,aM

C.(8-1)2*5-1)2龙D.才超比

【解析】由3"=5』5,可得(3T=15：劭"=15",

,；3岫=15：5"噎15',,；3M・5酢=15&-15”,即15飞5―：a+b钥b,

又：Z"为不相等的正数，.:a班茏击6,

••・ab)2眄即abM故A,B正确.

等价于才行)236),又A6义&b,且a+b=ab,故C正确，

a历)2a6,ab)A,・*•界田电故D错误.

故选D.

【答案】D

(x2+3,xe(o,ix

13.x2,xer-i,o),

6.(考点:函数图象的对称性,★★)已知定义在R上的函数f(>)满足f(*)=i।且

3X+7

f(x-f2)=f(x),g(x)=X+2t则方程F(>)=g(x)在区间［T,1］上的所有实数根之和为().

A.-10B.-9C.-8D.-7

3x+71

【解析】由题意知,f(x)是以2为最小正周期的周期函数,虱依二%+2=3陋+2.

如图所示，两个函数的图象都关于点(23)对称,由图象可得片/U)和片g(x)的图象在区间［节,1］

上有3个交点，各交点的横坐标之和为-3+(-2)X2=-7,即方程“力『(6在区间［4,1］上的所有实数根

之和为-7.故选D.

【答案】D

(x<0,

y>o.

3%-4y+12>0,

7.(考点:线性规划,★★)已知M-4,0),M0,4),设点〃的坐标为(凡力，且％j,满足一则

II

MP.NP的最小值为().

19642

A.-25B,25c5D.邛

【解析】

升步$+12=0

^4=2O|*

作出可行域,如图所示.

/MP=（*401NP=（”Y）,

IIII

.：MP・NP=V尚x#,Yy=（*+2）。®-2尸~8,.：MP・NP的最小值为点（—2,2）与可行域内点的距离的

平方的最小值再减去8.

由图象可知,点A（~2t2）与可行域内点的最短距离为其到直线3>Fj"12R的距离dt

|3x（-2）-4x2+12|2

且d二炉IJ

价4200196

•:（MP・如“」引-8=25^25=^25,

【答案】A

8.（考点:切线与最值问题,★★★）已知ak,曲线F（x）3r与江力力的口方6有公共点,且在公共

点处的切线相同,则实数。的最小值为（）.

124

222

A.0B.-eC.-eD.-e

2Q2

【解析】由f(x)=^x-Aax,得fr(x)=6xFa,由g(x)=2a'lnx-b,得g'(x)=x.

设两曲线的公共点为尸（M,必），MR,

2a2

6xo-4a=^

A0

y0=3x；-4ax0,

y0=2aInxQ-b,

因为两曲线在公共点处的切线相同，所以

r2

2aa

由6Ab-4a-%,解得Xo=a或照二-3：又司乂）,所以x0=a,消去而得b=2a\na+a.

11

设b=h(a)//Ina+代,则方'(a)Maina^4a,令h'{a)R,解得a二e.当a〉e时，/Q)X,故函数A(a)

源)-(0-11

在2，上单调递增;当OQ〈e时，力'(m)<0,故函数h㈤在'e，上单调递减.严以当好e时，力g)取得最

p2

小值，即%肝力\引=工.故选B.

【答案】B

9.(考点:导数与函数的单调性,★★★)下列命题中真命题的个数是().

22Inn1ln2Inn

(Jee>2;@ln2)3；③n<e；@2，n.

A.1B.2C.3D.4

ee-x

【解析】对于。设KGrInxr,X丸则f'G)=X-1=~^.

当003时,f(J)X),函数Ax)在(0,e)上单调递增，

当x>e时，r'(x)<0,函数f(x)在(e,+8)上单调递减，

2

.：fG)<f(e)=olne-c=0,.：r(2)=eln2-2"(c)K,.：2为In2,二©,乂，故①正确.

2

对于②：8/，Jin8>lne"31n2)2,即In2»,故②正确.

-...2

对于③设g(>)=%,则g'(*)=K,

当00S时,g'(MX),故函数g(M在(0,e)上单调递增，

当xK时,g'(x)6,故函数g(x)在(e,+8)上单调递减，

Inn1

7eC,,：g(e))g(n),即K0故③正确.

ln2Inn

对于④：2"<忧.：ln2n<lnIT2,.：2<n,故④©误.

综上所述,真命题的个数为3,故选C.

【答案K

10.(考点:构造函数与奇偶性,★★★)设函数/(*)在R上存在导函数/*'(力，对任意实数*，都有

f(x)=f(-x)+2用当")时,A(J)<2户1、若则实数«的最小值为().

11

A.-1B.-2C.2D.1

f

【解析】设g(x)-寸-x,则g'(>)=f(x)-2x-\f

因为当腔0时,f(x)<2xH,即g'Cr)6,所以函数gCr)在(-'0)上单调递减.

因为g(x)=/(x)-x-x,所以g(-x)=f(-x)-Z+x.

又因为F(x)=f(-x)+2*,所以g(x)-g(-*)=f[x)-f[-x)-2尸0,即g(*)为偶函数.

由不等式-a)Wf(-a)+2-2%可得f(1-a)-(1-a)2-(1-a)A-a)-(-a)2-(-a),即g(l-a)Wg(-w),

又因为g(x)为偶函数,且在(-e0)上单调递减,所以g(x)在(0-8)上单调递增,所以/1-a/W/a/,解得

11

所以实数a的最小值为2

【答案】C

U.(考点:构造函数与含参不等式,★★★)已知函数/(*)的导函数为f'(x),且满足

1

丹*)=3/々。也行2,尸(/2)=6(4-*),若代*)26*门户2恒成立，则实数6的取值范围为().

A.[6Mln3,*8)B.[6⑹n6,3)

C.[5*ln5,+8)D.〔4+ln2,+哈

1

【解析】由函数八力3义+2文+bx史、得f'J)讨也ax+b、

2a1

又由/(/2)="4-。，可得〃(力的图象关于直线片3对称，所以-2*即方-3,所以尸(力二力-

1

3V/方*+2.由/'(力\6xln*+2,可得3f-3*2+6x+226;dn*2

11

可得+3v希彳Inx,即£2-3"+3*用Inx.

118+9x-2x2-(2x+3)(x-6)

设&3=-3/+3*⑹n为则g'(x)=3%=3x，故当*£(0,6)时,“'(力利当

*£(6,…)时,/(才)<0.所以函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,+电上单调强减,所以

g(x)皿招(6)W珀In6.

所以实数力的取值范围是[6用In6,+8).故选B.

【答案】B

(e\x<0,

|4x3-6X2+1,X>0,

12.(考点:分段函数的零点，★★★)已知函数-其中e为自然对数的底数，则函

数式*)4»(*)]2-10代工)总的零点个数为().

A.4B.5C.6D.3

【解析】

当*20时,f(x)~^x+1的导函数为F'(x)=12，T2x,

当OT<1时,f\x)6,所以函数人力在(0,1)上单调递减；当X>1时，尸5加,所以函数尸(力在

(L+8)上单调递增.

可得武力在X=[处取得极小值,也为最小值,最小值为T,且f(0)=l,

故可作出函数f(x)的图象,如图所示.

以力名[/U)]2-i0f(x)七,可令g(x)也t=f(x),

1

则3*101+3=0,解得t=3或片3.

11

当£&即f[x)占时,函数以力有3个零点；

当£?即M4时,函数g(6有1个零点.

综上所述,函数4*)共有4个零点.故选A.

【答案】A

二、填空题

13.(考点:导数的几何意义,★★)设点夕在曲线y=lnx上，点〃在直线尸x上,则/分7的最小值

为.

1

【解析】由题意知,函数尸In*的导函数为/,设曲线片In*与直线片*的平行线相切的切点

J_|1・。1立

为(6,〃)，则m=i,即样，可得切点为(1,0),此时/掰/的最小值为0=2.

立

【答案】2

14.(考点：函数的单调性与值域,★★)已知aGZ,若Vme(0,e),3曲,xW(0,e)且加工超使得(勿-

也)2+3=axiTnx\=ax2~lnx2,则满足条件的实数a的取值个数为.

【解析】因为仞£(0,e),所以yXN)2+3e[3,5).

由题意得函数f(x)=a*-ln才在(0,。)上不单调，

1111

因为F'(x)=a~X,令r(x)力,得x-a所以O9G,即

(J)(-,e|

当*曰固时，f'⑷<0,f(x)e(lHna-=);当*£卬/时，f'(x)为，f(x)G(1a,ae-1).

H+Ina<3,6

因此（破・1”,解得最

因为a£Z,所以aWM,5,6,7,故满足条件的实数a的取值个数为5.

【答案】5

15.（考点：函数的极值点，★★）已知函数f（x）=a^-2x-f-ln>有两个不同的极值点xh照,若不等式

/OF（珀”（珀恒成立，则实数4的取值范围是.

1lax1-2x+1

（解析】f'（x）AaxA然二x，令力⑺=2axxX）.

要使得F（x）存在两个不同的极值点汨,孙则要求方程方J）-0有两个不同的正实数根,则

211

———22

汨+*2=20>0,汨*2=2°>）,AN_8aX）,解得0Q<2.而/*（荀）*（即）=a"i-2*i+lnx\抬”2-2加+1nX2=a（汨+均？-

——2I'o/

a

2axiX2-2(X)-f-X2)+ln(xix2)---ln2aT,构造新函数g(a)=《Tn2aT,则g'(司二。，因为4所

以g'®泡所以g®在I2）上单调递增，故g®g⑵=3即2>-3.

【答案】［-3,+8）

-X+x2,x<1,

alnx

---------r，x>1，

x（x+1）-

16.（考点:导数与极值,★★★）已知函数&*）=若曲线y=F（*）上始终存在两点4B,使得

如，如（0为坐标原点），且线段的中点在y轴上,则正实数a的取值范围为.

【解析】根据条件可知48两点的横坐标互为相反数，不妨设力（-£,/、冷，双£/（。）（£为），若£<1,

则f（t）二-八/,由。LL04可得即-£2«£3记（_［3记也方程无解;若I,显然不满足

alntalnttt

OA工OB;若1>1,则f（z）/（£+1）,由04・OB=0,得-『+（『4）•t（t+1）=0,即a」nt.令g（2）」nt（“i）,

Int-1

则g'"）二（ln£）1所以函数g⑺在（1,0上单调递减，在@+8）上单调递增.故函数g（。在t=e处取得

e

极小值，也是最小值，最小值为Ine三，所以函数g"）在（1"8）上的值域为［e「8）,故［e"8）.

【答案】［e,f«）

三角函数、平而向量

与解三角形（A）

一、选择题

L（考点:三角函数值符号的判断,★）点加sin2020°,cos2020°）在直角坐标平面上位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解析】由2020°=360*X5-180。^406）可知,2020'角的终边在第三象限，所以sin

2020°<0,cos2020°©即点。位于第三象限.

【答案】C

2.（考点:三角函数的图象变换,★）要得到函数尸cos（2『l）的图象，只要将函数片cos2》的图象

（）.

A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度

11

c.向左平移5个单位长度【）.向右平移5个单位长度

1

，■:只要将函数J3：os2x的图象向右平移5个单位长度即可.

【解析】7/ACOS(2X-1)=COS

【答案】D

3.（考点:解三角形,★）在锐角△/优中,角A,氏。所对的边分别为a,b,c.若2csinA=^a,则角。等于

).

TTnnn

A.12B.6c.4D,3

【解析】由已知及正弦定理得2sin/Isingfein4因为sin/P0,所以sinC=2,又g

n

所以

【答案】C

4.（考点:三角函数的周期与三角恒等变换,★）函数f（*）yosx（cosxrinx）的最小正周期是（）.

ITn

A.4B.2C.JiD.2n

1+cos2x11

【解析】：W）飞osx（cosx-sinx）=cos2j-sinJCOSx=2-2sin2x=2~

11亚//2n

Z（sin2x-cos2x）--px'T"

2=2_2si/41.：最小正周期六2二n.

【答案】C

5.（考点：向量共线与同角三角函数基本关系的综合,十）已知向量a=（cos*T）,b=（sin%1）,且

则sin2a等于（）.

44

A.1B.-1C.5D.-5

【解析】由a〃6得cosa为inaO,•:sin2a尢os2a+2sinacosa=0.又

»*sin2o牝os?a=1,»rl^sin2aR,,：sin2a=­l.

【答案】B

6.（考点:三角函数的单调区间,★）函教片POJ23归单调递增区间是（）.

2442

2而-F,2ATT+F4kR-F,4kTT+F

A」33J（A-GZ）3

BJ3J（AWZ）

24,24]

2kir+F,2/nr+-n4ku-F,4/nr+F

33」（届Z）D」33J（）

C.AGZ

XITITX2

【解析】由2〃丸w2*3〈2AnM/WZ,得2"丸-3辽2忘2A丸启其，&GZ,即得4An-

24

3JI<3ji,kCZ.

【答案】D

7.

(考点:解三角形,★★)如图所示，测量河对岸的塔高力夕时可以选与塔底夕在同一水平面内的两个测点

C与D,测得/叱=75°,/朦泡5°,小30,并在点。测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于().

A.10*B.30瓶

C.104D.30也

BC30

【解析】在△四中，N狈=180°-75°-45°=60°.由正弦定理得sin45o=sin60。,所以死刁0派

在Rt△械'中,AB=BC，tanN/O;10底4考0*.

【答案】I)

7T|-g+2a)

5

8.（考点:诱导公式及三角恒等变换,★★）若sin=3,则cos«&).

7117

A.-9B,-3c.3D.9

-邛+仁(--a1-a)]+

【解析】因为6上2,所以si*Li1216L°j6J3

【答案】A

9.（考点:解三角形,★★）在△力欧中,角A,氏。所对的边分别是a,b,。，若2coTa坳*cos。坳

c

且石芋，则该三角形为（）.

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

［解析】由2cos*（4坳+3cos+1R,得2cos七-3cosC+lR,

1

解得cos。2或cos（舍去），二。60。.

csinC书书书1

又：石亚，,：sin8亚，.：sin8=3sin"3x22,即30。.

故/=18（r-C-BW.

【答案】B

10.（考点:解三角形、三角恒等变换与向量的综合应用，★★）设△4重的三个内角为45c向量

用成sinA,sin卤,〃=（cos8,国os机若/»•〃温福cos（力锄，则C等于（）.

IT7127T7T

A.6B.3c.3D.2

【解析】依题意得挖sin力cosB亦cosJsin炉也就cos（力坳，即曲sin（力坳/矩cos（4拔）,

（C+-）（c+□）也

则，2sincW2cosC=N^,Mijv2sin'"=1,即sin'旬=2.

TTTT5nn3nR

又〃4,所以c^=4,即

【答案】D

IL（考点;解三角形的综合应用，★★★）在△仍。中,角A,B,C所对的边分别为a、b,c,已知cosC+（cos

力/sinA）cos6=0,若a+c=l,则方的取值范围为（）.

【解析】由已知得POS（力物Ax）s力cos5-v^sin/Icos於0,即有sinAsin^-v^sinAcos比0,因

n

为sin力#0,所以sin6~6cos%),又CQS密=0,,所以tan8邛，即5=3.

由余弦定理，有l}=a-f-cSaccosB.

11当1

2,

因为a^c=l,cos6=2,所以斤44

11

又OQO,所以“3戌G,即有53人＜1.

【答案】C

n

12.（考点:三角函数的图象变换及性质的综合应用，★★★）将函数y招inx的图象向右平移§个单位长

度，然后所得的图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的4倍,这样就得到函数f（x）的图象,若

软

■—00

g（上）=/U）cos才/,函数g（\）在区间।12」上的最大值为2,则打的最小值为（）.

5n5nn2n

A.12B.6c,3D,3

IT

x--

【解析】由题意可得f（x）Nsin3

.：g(x)=4sin''cos

-A/^COS2X)木=2sin

=2(sinACOSx

nTV

/。!,⑵隹

:丁£3.

nc]nn5n

—，。

120———

要使函数g（x）在区间I上的最大值为2,当且仅当2%-322,解得九212,

5n

故瓢的最小值为12.

【答案】A

二、填空题

13.(考点:平面向量的数量积,★)已知在Rt△仍C中，N/O30°,於二旌4,P是斜边上的中点，则

CP・CB+CP-CA=

【解析】

由题意可建立如图所示的平面直角坐标系,可得4(4,0),8(0,4),一(2,2),C(0,0),

则CP•CB十CP•CA=CP•(^CB-fCAj—(2,2)•(4,4)—16.

【答案】16

7T1

0,3,

14.(考点:三角函数的性质,★★)若函数f(x)=sin3*(0为)在上单调递增,且在这个区间上的最

I

大值是2,则3

IT

0,3,

【解析】因为fCv)=sin3爪3乂)在।上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以

TTTTTTnn

sin33=2,且o<33<2,所以33=3,即(v=l.

【答案】I

15.(考点:三角恒等变换及三角函数的值域,★★汜知函数/'(*)义-/sinx-cos4,则函数/'(力在

TTTT

63

区间上的值域为.

【解析】因为/V)夕-(由sinxncos2^2-(3sin2xA?os2x^V^sinACOSX)

Th

2x+-

-2sin2^-^sin2A,=COS2x/sin2x=2sin6/

HTTnn5n

6,T

当