《电磁场与电磁波》课件-第9章 导行电磁波

9.1规则波导传输的基本理论9.2矩形波导中的导行电磁波9.3圆波导9.4同轴线中的导行电磁波9.5谐振腔中的电磁场9.1规则波导传输的基本理论规则波导是指无阻长的均匀直波导，即其横截面几何形状､壁结构和所填充媒质在其轴线方向都不改变的波导｡而不规则或非均匀波导的波导参数沿纵向有变化｡规则波导最简单､最重要的形式是无限长,内壁是完全导电的空心金属管或同轴线,其他任何规则的传输线都有与之同样的性质和类似的处理方法｡图9.1.1是任意形状横截面的均匀波导｡当电磁波在波导中传播时,其一般方法是求解满足边界条件的麦克斯韦方程组｡如果波导壁是理想导体,波导内为无源空间,并充有介电常数ε､磁导率μ的无耗理想媒质,则波导内电磁场满足波动方程是电磁波在无限大相应媒质中传播时的传播常数,又称为波数｡式(9.1.1)表明:要求波导内的场量,需解六个标量方程,用边界条件确定各有关常数,这很繁琐｡实际上,E､H各分量间通过麦克斯韦方程相联系,而彼此并非完全独立｡因此,求解这类问题常采用纵向场法和赫兹矢量法｡9.1.1纵向场法纵向场法是指先求解纵向场(即电磁波传播方向)的波动方程,然后通过横向场与纵向场间的关系来求得全部场分量的方法｡为此,可将场分量分解为横向和纵向两部分,设纵向场的单位矢为ez,即有由矢量运算式在圆柱坐标系中可表示为对于纵向场分量均不为零的波型,其场分量可由式(9.1.13)和式(9.1.19)的解的场量叠加求得｡此时,在直角坐标系中表示为在圆柱坐标系中表示为对于其他坐标系,可用类似方法导出用纵向场分量表示的横向场分量表达式｡这种先由纵向场分量的波动方程来求解纵向场分量,然后由它与横向场分量的关系求解横向场分量的方法称为纵向场法｡纵向场法直接利用场矢量来求解波导问题,显得直观简便,特别是在研究具有纵向场分量的传输系统时尤为方便｡但是,对于无纵向场分量的横电磁波,此法中的表示式将变为不定式,横向场分量仍必须由二维波动方程来求解｡9.1.2赫兹矢量法赫兹矢量法是一种先求赫兹电矢量或赫兹磁矢量所满足的波动方程,再根据它与场之间的固有关系来求场量的方法｡因此,此法的基础是应用赫兹矢量｡场和矢量势之间的关系为对于纵向场分量均不为零的波型,其场分量可用式(9.1.24)和式(9.1.30)对应场叠加求得｡但对于无纵向分量的TEM波,不能采用这种方法｡上述两种方法表明:场量沿纵向有指数解,即满足与低频传输线方程相同的形式;传播常数γ具有在传输线中相同的意义,但与之不同的是:电磁波沿波导传播时,其传播常数包含k和k2两部分,在电磁波频率一定的情况下,k取决于波导中的媒质特性,kc取决于波导中传播的波型和波导的几何尺寸｡因此,不同形状的波导,不同波型及波导中填充不同的媒质都将使电磁波的传播常数不同｡对于场在纵向上的分布,可采用分离变量法来求解波动方程式中,L表示纵向电场或磁场,或表示赫兹电矢量或磁矢量｡根据波长的定义:电磁波在一振荡周期内沿波导所走过的路程是电磁波在波导中的波长,并称为波导波长,即而相移常数可知,由于波导中传播常数取决于k和k2两部分,波在波导中的相速与波在自由空间中的相速将不相等,这样,对于一定频率f,其对应的自由空间波长和波导波长将不相等,因而必须放弃把波长作为一个常数的概念,放弃把它当作单值表征振荡器的特性｡9.2矩形波导中的导行电磁波矩形波导是横截面为矩形的管状空心导体结构,如图9.2.1所示｡a､b分别是矩形波导内壁宽边和窄边尺寸｡矩形波导是使用最多的导波结构之一｡本节首先分析矩形波导中的模式及其场结构,然后讨论电磁波在矩形波导中的传播特性｡9.2.1矩形波导中的模式及其场表达式采用直角坐标系(x,y,z),则式(9.1.13)可写成首先考虑式(9.2.1),应用分离变量法,令将其代入式(9.2.1),得到由于式(9.2.4)左边两项分别只是x和y的函数,要想对于任意的x､y它们的和始终等于常数,则该两项分别等于常数,令有了Ez和Hz,就可以利用式(9.2.12)求横向场分量｡下面分别对TE模和TM模进行讨论｡任何一个TE模或TM模都是导波方程满足边界条件的一个解,因此都可以存在于矩形波导中｡不仅如此,它们的任何线性组合也满足波导方程和边界条件,故也可以存在｡反过来说,矩形波导中任何一种实际存在的波都可以看做是这些基本模式的某种组合｡根据9.1节得到一般公式,对矩形波导中TEmn和TMmn模有:截止频率截止波长相速波导波长波导中不同的模式具有相同的截止波长(或截止频率)的现象称为波导模式的简并现象｡在矩形波导中,除TEm0模和TE0n模外,都一定有简并模｡由前面的分析知,TEmn模和TMmn模(m､n≠0)是相互简并的｡波导中截止波长最长(截止频率最低)的模称为波导的主模(或基模),其他的模则称为高次模｡显然,矩形波导的主模是TE10模(如果a>b),其截止波长为2a｡不同模式的截止波长是不同的,而当波导尺寸和信号频率一定时,只有满足λ<λc的那些模才能传播｡9.2.2矩形波导模式的场结构所谓场结构,是指电力线和磁力线的形状和分布情况,对直观了解各模式的形态很有帮助｡电场和磁场的矢量线方程分别为根据各场分量的表达式和上述方程可以严格地画出电力线和磁力线,但这通常比较麻烦｡实际中,常常是由场分量的表达式粗略地画出电力线和磁力线｡可见,矩形波导TE10模只有Ey､Hx和Hz三个分量,且均与y无关｡这表明电磁场沿y方向无变化｡E沿x方向呈正弦变化,在0~a内有半个驻波分布,在x=0和x=a处为0,在x=a/2处最大;Ey沿z方向按正弦规律变化,如图9.2.3所示｡TE10模的磁场有Hx和Hz两个分量｡Hx沿x方向呈正弦变化,在0~a内有半个驻波分布,在x=0和x=a处为0,在x=a/2处最大;Hz沿x方向呈余弦变化,在0~a内有半个驻波分布,在x=0和x=a处最大,在x=a/2处为0,如图9.2.4(a)所示｡Hx沿z方向按正弦规律变化,Hz沿z方向按余弦规律变化,Hx和Hz在xOz平面形成闭合曲线,如图9.2.4(b)所示｡Ey和Hx沿z方向同相,而Hz与它们存在90°相位差｡图9.2.5是TE10模的电磁场立体结构图｡由式(9.2.23)和TE10模的场结构可以看出,m和n分别是场沿a边和b边分布的半驻波数｡TE10模的场沿a边有半个驻波分布,沿b边无变化｡TEm0模的场与TE10模相似,也只有Ey､Hx､Hz三个分量,且与y无关,差别仅在于x方向的分布,沿a边有m个半驻波分布,或者说有m个TE10模的基本结构单元(两个相邻的基本单元的场相位相反),沿b边变化｡TE0n模的场只有Ex､Hy和Hz三个分量,且与x无关,沿b边有n个半驻波分布,沿a边变化,与TE模的差异只是场的极化面旋转了90°｡从上述讨论可以看出,下标m､n的意义分别是电磁场沿a边和沿b边变化的半驻波数｡m=0表示沿a边无变化,n=0表示沿b边无变化｡m和n都不为0时的TEmn模的场结构更为复杂,其中以TE11模最为简单｡其场沿a边和b边都有半个驻波分布｡m和n都大于1的TEmn模的场结构则沿a边和b边分别有m个和n个TE11模的基本结构单元,不过此时的场都具有五个场分量｡可见,只要掌握了TE10模､TE01模和TE11模的场结构,就不难画出任意TEmn模的场结构｡2.TM模的场结构最简单的TM模是TM11模,其场沿a边和b边都有半个驻波分布｡m和n都大于1的TMmn模的场结构则沿a边和b边分别有m个和n个TM11模的基本结构单元,只要掌握了TM11的场结构,任意TMmn模的场结构便可很容易得到｡有必要指出,并非所有的TEmn模和TMmn模都能在波导中同时传播,波导中存在哪些模,由信号频率､波导尺寸与激励情况决定｡9.2.3矩形波导的壁电流当微波在波导中传播时,其高频电磁场将在波导壁上产生感应电流,因为波导壁是良导体,在微波频段它的趋肤深度极小,所以壁电流可以认为是内壁上的面电流｡由导体表面的边界条件知,面电流密度为当传输主模TE10时,由式(9.2.33)和式(9.2.35)可得在波导的下壁(y=0,n=ey)和上壁(y=b,n=-ey)的电流密度分别为可见,当矩形波导传输TE10模时,在左右侧壁上电流密度只有Jy分量,且大小相等､方向相反;在上壁和下壁上,电流密度有Jx和Jz两个分量,且大小相等､方向相反,如图9.2.6所示｡了解波导壁电流分布对设计波导元件非常有益｡当需要在波导联上开槽而又希望不影响传输模式的传输性能时,不应该切断该模式的壁电流通路｡如传输TE10模时应在波导宽边中心(x=a/2)处开槽,这样不会改变波导内的场分布｡反之,为了开槽产生强辐射,槽缝应切断电流线,如在波导的窄边开纵向槽可以构成缝隙天线｡9.2.4矩形波导的传输功率和功率容量当波导中某处的电场达到或超过所填充介质的击穿场强Ebr时,介质将发生击穿,这会导致波导不能正常工作,从而限制了波导的最大传输功率｡当波导中的最大电场E0等于介质的击穿场强时,对应的传输功率就称为波导的功率容量Pbr｡故由式(9.2.40b)可得TE10模的功率容量为9.3圆波导圆波导是横截面为圆形的金属波导,如图9.3.1所示｡圆波导具有较小的损耗和双极化特性,常用于天线馈线和圆柱形谐振腔｡其分析方法基本上与矩形波导相同,但适合于采用圆柱坐标系(r,小,z)｡9.3.1传输模式与场分量与矩形波导一样,圆波导不能传输TEM模而只能传输TE模和TM模｡在圆柱坐标系中,度量系数为h1=1､h2=r､h3=1,各场分量如下:对于TM模和TE模,纵向场分量分别满足亥姆霍兹方程下面用分离变量法分别求解TE模和TM模的场分量｡1.TE模的场分量由于此时Ez=0,只需求解Hz｡令将其代入式（9.2.33），得上式左边仅为r的函数,右边仅为ϕ的函数,要想此式成立,它们必须等于一个共同的常数｡令此常数为m2,则得两个常微分方程:式(9.3.7)的解为式中两项的差别仅在于极化面相差π/2,即使两项同时存在,也可以写成cos(mϕ+φ)的形式,通过建立坐标系时选择ϕ起始点φ总可以表示成只有cosmϕ(φ=0)或只有sinmϕ(φ=π/2)的形式｡由于相差2π的两点实际上是同一点,而任一点上的场一定是单值的,所以φ必须是以2π为周期的函数,即式(9.3.7)是贝塞尔方程,其通解为其中:Jm(x)为m阶第一类贝塞尔函数;Nm(x)为m阶第二类贝塞尔函数(或纽曼函数)｡圆波导的边界条件要求如下:①当0≤r≤a时,Hz应为有限值;②在波导内壁上r=a处,Eϕ=Ez=0｡因为r→0时,Nm(kcr)→-∞,根据条件①,必须有A2=0｡至于条件②,由于TE模已自然满足了Ez=0,所以只需考虑Eϕ=0｡根据式(9.1.47),应有对任意的ϕ都成立,这就要求J′m(kca)=0｡令J′m(x)=0的第n个根为u′mn,可得其中,Hmn=A1B｡根据式(9.3.1)可得TE模的所有场分量:其中可见，圆波导中的TE模有无穷多个，以TEmn表示，m表示场沿圆周变化的驻波数，n表示场沿半径变化的半驻波数或最大值个数。由式（9.3.12）可得TEmn模的截止波长为2.TM模的场分量圆波导也存在简并现象,一种是TE0n模和TM1n模具有相同的截止波长,是相互简并的,这种简并称为模式简并｡圆波导还存在一种特有的简并现象,即极化简并｡从TE模和TM模的场分量表达式可以看出,对同一模式,其场沿ϕ方向存在cosmϕ和sinmϕ两种可能,这两种除了场的极化面旋转了90°之外,所有的其他特性完全相同,当然具有相同的截止波长｡因为m=0时场与ϕ无关,所以TE0n模和TM0n模不存在极化简并,而其他模式均存在此现象｡极化简并在实际中很难避免,因为波导加工中不可能保证是一个正圆,若稍有椭圆度,则传输的场就会分裂成沿长轴和短轴极化的两个模｡另外,波导中总难免出现不均匀性,如内壁的局部凸起等,都会导致模的极化简并｡极化简并对于波在波导中的传输是有害的,但有时我们又需要利用这种现象构成一些特殊的微波元件,如单腔双模滤波器等｡9.3.2圆波导的传输功率与功率容量9.3.3圆波导的三个主要模式圆波导中实际应用较多的模是TE11､TE01和TM01三个｡利用这三个模场结构和管壁电流分布特点可以构成一些特殊用途的波导元件｡下面对它们分别加以讨论｡1.TE11模TE11模是圆波导的主模,其截止波长λc=3.14R｡将m=1､n=1代入式(9.3.14)可以得到TE模的场分量为可见,TE11模有五个场分量,其场结构如图9.3.3所示｡由图可见,其场结构与矩形波导主模TE10模的场结构相似,因此很容易由矩形波导TE10模过渡为圆波导TE11模,如图9.3.4所示｡虽然TE11模是圆波导的主模,但它存在极化简并,会使模的极化面发生旋转,分裂成极化简并模,所以不宜采用TE11模来传输微波能量｡这也就是实用中不用圆波导而采用矩形波导作为传输系统的基本原因｡然而,利用TE11模的极化简并却可以构成一些特殊的波导元器件,如极化衰减器､极化变换器､铁氧体环形器等｡2.TE01模TE01模是圆波导的高次模｡将m=0､n=1代入式(9.3.14)可以得到其场分量为其截止波长为λc=1.64R｡TE01模的场结构如图9.3.5所示｡由图可见,其场结构具有如下特点:(1)电场和磁场均沿ϕ方向无变化,具有轴对称性;(2)电场只有Eϕ分量,电力线是分布在横截面上的同心圆,且在波导中心和波导壁附近为零;(3)在管壁附近只有Hz分量,因此只有Jϕ分量管壁电流,如图9.3.6所示｡TE01模有个突出的特点,就是它没有纵向管壁电流,由以下分析将会发现,当传输功率一定时,随着频率的升高,其功率损耗反而单调下降｡这一特点使得TE01模适用于作高Q谐振腔的工作模式和远距离毫米波波导传输｡但TE01模不是主模,因此在使用时需要设法抑制其他模｡3.TM01模TM01模是圆波导中的最低横磁模,且不存在简并,截止波长为2.62R｡将m=0､n=1代入式(9.3.20),可以得到TM01模的场分量为其场结构如图9.3.7所示｡由图可见,其场结构具有如下特点:(1)电磁场沿ϕ方向不变化,场分布具有轴对称性;(2)电场在中心线附近最强;(3)磁场只有Hϕ分量,因而管壁电流只有纵向分量｡TM01模的壁电流为由于TM01模的场结构具有对称性,且只有纵向电流,所以它适用于微波天线馈线波导系统连接的旋转接头｡9.4同轴线中的导行电磁波如图9.4.1所示由两个轴线与z轴重合的圆柱导体构成的传输线称为同轴线,a､b分别为内导体外半径和外导体内半径｡同轴线常用于2500MHz以下微波波段传输线或制作宽频带微波元器件｡同轴线的主模是TEM模,TE模和TM模为其高次模｡通常同轴线都是以TEM模工作的｡本节从分析同轴线中的三种波形出发,分析同轴线的传输特性,进而讨论其尺寸选择｡9.4.1同轴线的主模—TEM同轴线是一种双导体传输线,可以传输TEM模｡由前面章节的分析知,TEM模在同轴线横截面上的场分布与静电场的相同｡其求解可用位函数方法｡以电场为例,横截面内电流强度为电位φ的梯度,即由式(9.4.9)､式(9.4.10)可见,愈靠近导体内表面,电磁场愈强,因此内导体的表面电流密度较外导体内表面的表面电流密度大｡所以同轴线的热损耗主要发生在截面尺寸较小的内导体上｡9.4.2同轴线的高次模当同轴线截面尺寸与信号波长相比拟时,同轴线内部将出现高次模—TE模和TM模｡实用中的同轴线都是以TEM模工作的｡我们分析同轴线中可能出现的高次模的目的在于了解高次模的场结构,确定其截止波长,以便在给定工作频率时选择合适的尺寸,保证同轴线内部只传输TEM模,或者采取措施抑制高次模的产生｡式(9.4.16)是个超越方程,其解有无穷多个,每个解的根决定一个kc值,即确定一个截止波长λc｡但式(9.4.16)无解析解,下面求其近似解｡对于kca值很大的情况,贝塞尔函数可以用三角函数近似表示为将其代入式(9.4.16),消去共同因子后得到由式(9.4.23)､式(9.4.28)和式(9.4.31)可以看出,TE11是同轴线中的最低型高次模｡因此,设计同轴线尺寸时,只要保证能抑制TE11模即可｡9.4.3同轴线的尺寸选择尺寸选择的原则是:(1)保证在给定工作频带内只传输TEM模;(2)满足功率容量要求,即传输功率尽量大;(3)损耗最小｡为保证只传输TEM模,必须满足条件为保证传输功率最大,在满足式(9.4.33)的条件下,限定b值,改变a值,则传输功率也将改变｡功率容量最大的条件是dPbr/da=0,将式(9.4.13)代入,求得b/a=1.649｡其相应的空气同轴线特性阻抗为30Ω｡传输TEM模时,空气同轴线的导体衰减应同时考虑内导体和外导体,即分子应为内导体和外导体的环路积分之和｡带入TEM模的场表达式得9.5谐振腔中的电磁场谐振腔是指用任意形状的金属面所封闭的空腔,它是具有分布参量的谐振回路｡谐振腔的类型很多,一般分为传输线型和非传输线型谐振腔｡传输线型谐振腔是应用最广泛的谐振腔,它是一段两端被短路或一端开路的传输线,其中最常见的有矩形谐振腔､圆柱形谐振腔和同轴线型谐振腔｡谐振腔中的电磁场必须满足其特定的边界条件,故所讨论的仍是一个边值问题｡在这里仅介绍矩形谐振腔､圆柱形谐振腔和同轴线型谐振腔｡9.5.1谐振腔的基本参数在低频谐振腔回路中,常使用的基本参数是电阻､电容､电感｡在分布参数的谐振腔中,这些参数是没有意义的,也是无法测量的｡在高频用一些能实际测量的等效参量来代替它们才是有意义的｡通常,谐振腔的参量包括谐振波长､品质因数和等效电导｡1.谐振波长由于传输线型谐振腔是一段均匀传输系统在纵向两端封闭而成的,因而在横向上与传输系统具有相同的边界条件,所不同之处是在纵向上电磁场也要满足类似的边界条件｡根据波导理论,均匀波导中电场的横向分量可以表示为对于TEM波传播系统,λ0=2l/p,说明沿纵向两端短路,长为λ/2整数倍的TEM波传播系统是电磁谐振回路,或者说任意长度的纵向两端短路的TEM波传输系统可以谐振于若干不同的波长｡对于非TEM波传播系统,由于λ0取决于系统的结构与波型,故其谐振波长不同｡它与传输系统相似,腔的谐振波长取决于腔的形状和腔内存在的振荡模式｡因腔内可以存在无限多个振荡模式,所以同一个腔可谐振于无限多个谐振频率｡谐振波长最长的模式称为腔的最低谐振模式或主模｡很明显,谐振波长是腔内电磁场满足麦氏方程的波的一个解｡2.品质因数由于谐振腔一般是封闭的,因而腔内电磁能量不能辐射至腔外,而只能在腔内以电能和磁场的形式存储与交换,如果腔是有耗的,则腔内将损耗电磁能量,使电磁能量逐渐衰减,直至消失｡显然,衰减的快慢与储能多少及损耗大小有关｡谐振腔的这一特性通常用品质因数来表征,其定义与普通LC谐振回路相同｡当响应下降到谐振点值的70.7%时,谐振频率与偏离谐振频率的宽度(Δf)的比值决定品质因数,即3.等效电导为了研究谐振腔的外部特性,常在某一振荡模式的谐振频率附近,将腔等效为低频的谐振回路,考虑到谐振腔应用在微波电真空器件中,电子束的作用可视为并联的电子导纳,为保证它与腔的等效导纳相加,腔的等效电路应采用如图9.5.1所示并联电导的电路,这样谐振腔的等效电导为它表征谐振腔的功率损耗特性｡与波导一样,在腔中,电压也是非单值的,故电导的值也是不确定的｡但当腔中任意两点给定时,电场的线积分是可以找