上海市青浦区2025届高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市青浦区2025届高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试题学生注意:1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.3.可使用符合规定的计算器答题.一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.在复平面内，复数（其中是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第_____象限.【答案】四【解析】因为，所以，所以复数对应的点在第四象限.故答案为：四2.已知集合，则_____.【答案】【解析】因为，所以，故答案为:.3.不等式的解集为_______．【答案】【解析】不等式化为：，即，则，解得，所以不等式的解集为.故答案为：4.已知直线与直线平行，则____.【答案】1【解析】因为与平行，所以，解得或.当时，直线，直线，两直线平行.当时，直线，直线，化简为，此时两直线重合，不符合要求，舍去.故答案为：1.5.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】两条渐近线互相垂直，由对称性可知，两渐近线的倾斜角分别为，渐近线方程为，故，所以渐近线的离心率为.故答案为：6.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】因为①，当时，②，①②得，所以，所以.故答案为：7.在中，已知，若，则的面积为______.【答案】【解析】在中，，，由余弦定理得，解得，所以的面积为.故答案为：8.已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等.若圆柱和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为_____.【答案】3【解析】圆柱的体积为，设圆锥的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为，则，故，解得，故圆锥的底面半径为3.故答案为：39.的展开式中，项的系数为_____.【答案】【解析】展开式的通项为，，所以含的项为，即项的系数为.故答案为：10.已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有_____个.【答案】14【解析】由函数定义，转化为给安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数，给取3个自变量，则对应1个自变量，有种，给取2个自变量，则对应2个自变量，有种，给取1个自变量，则对应3个自变量，有种，所以由分类加法计数原理知，共有种不同的对应方式，故答案为：1411.已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____.【答案】【解析】等价于在上的投影，如图1，在单位圆圆上任取两点、，则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小，作于点，设，取中点，有，则，，则，由，故；如图2，在单位圆圆上任取两点、，则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大，作于点，设，取中点，有，则，，则，由，故；综上所述，.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.12.已知且满足，则下列关系式恒成立的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】对A，取，则，A错误；对B，取，则，即，B错误；对C，取，满足，但，C错误；对D，因为幂函数在定义域R上单调递增，且，所以，D正确；故选：D.13.若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（）．A.关于xOz平面对称 B.关于x轴对称C.关于y轴对称 D.关于坐标原点对称【答案】D【解析】点关于xOy的对称点为A，则A坐标；点关于z轴的对称点为B，则B坐标；则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称.故选：D．14.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则关于函数在R上的零点的说法正确的是（）.A.有4个零点，其中只有一个零点在区间上B.有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上C.有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上D.有5个零点，都不在上【答案】D【解析】由于函数是定义在R上的奇函数，故，即0是函数的一个零点；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，且，即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点，又函数是定义在R上的奇函数，故函数在和也内各有一个零点，综合上述可知函数有5个零点，都不在上故选：D15.对于数列，设数列的前项和为，给出下列两个命题:①存在函数，使得;②存在函数，使得.则①是②的（）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取，存在，使得成立，此时由函数定义知，不存在函数，使得，当存在函数，使得成立时，由于与为一一对应关系，所以就可以写成反函数，即可以用表示，即存在函数，所以存在，综上可知，①是②的必要不充分条件.故选：B二、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。16.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若，且，求的值.解：（Ⅰ）因为所以f(x)的最小正周期为，最大值为.（Ⅱ）因为，所以.因为，所以，即.所以，故17.如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面；证明：（1）因为、分别为线段、上的点，且，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，所以，所以，，连接，又，所以，所以，又，所以，所以，因为平面平面，交线为，平面，所以平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面.18.第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表:（单位:个）产品产品产品普通装180400精品装300420600现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中款产品有30个.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率;（3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差（精确到0.01）.解：（1）由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个，则，解得.（2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品.因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为（3）由题意，某项指标总体的平均数为，所以由分层抽样的总体方差公式可得19.已知椭圆为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点.（1）若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；（2）设点，当时，求点的坐标；（3）设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围.解：（1）由题意可知，，∴F1,0,又∵当直线垂直于轴时，直线的方程为，由得，，∴弦AB的长为.（2）∵，且直线过点F，∴，在中，，∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点,∴,又由椭圆的定义可得，∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上，∴为椭圆的上顶点或下顶点，∴或.（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设，∴，故；当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：y=kx-1，设Ax由得，，∴，∴，化简得，①当，，当且仅当时等式成立；②当，，当且仅当时等式成立；③当，；综上所述可得，的取值范围为.20.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于在点处的切线的斜率?若存在，求出所有满足条件的点的坐标;若不存在，说明理由;（3）证明:函数图像上任意一点都不落在函数图像的下方（1）解：定义域为，，显然在上严格增，且.所以当时，；当时，.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：，假设存在三点满足条件，设三点的