空间向量的运算课件北师大版选修

空间向量的运算本课件主要介绍空间向量及其运算，包括向量加减法、数乘运算、点积运算和叉积运算等。同时，也会讲解空间向量的坐标表示以及几何意义。学习目标掌握空间向量的基本概念理解空间向量及其表示方法，并能进行基本运算。熟练运用向量运算掌握向量加减、数乘、点积、叉积等运算，并能解决实际问题。应用向量知识解决几何问题利用向量知识解决平面及空间中的距离、角度、面积等问题。向量的概念向量是一个既有大小又有方向的量。它可以表示运动、力、速度等物理量，也可以表示空间中的位置、方向等几何量。向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，起点是向量的起点，终点是向量的终点。向量的大小可以用线段的长度来表示，方向可以用有向线段的方向来表示。例如，向量a可以用有向线段AB来表示，起点是A，终点是B，长度是AB的长度，方向是从A指向B。向量的相等方向相同两个向量方向相同。大小相同两个向量大小相同。向量的加法平行四边形法则将两个向量首尾相接，以这两个向量为边作平行四边形，对角线即为两个向量的和。三角形法则将两个向量首尾相接，以这两个向量的首尾点和末尾点为顶点作三角形，第三条边即为两个向量的和。向量的减法1定义向量a-b定义为向量a加上向量b的相反向量。2几何意义向量a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量。3运算规则向量a-b=a+(-b)向量的数乘1定义λ为实数，a为向量，则λa为向量，称为a的数乘2方向λ>0,方向相同3模长|λa|=|λ||a|向量的分量1定义在空间直角坐标系中，向量可以分解为三个方向上的分量。2表示方法向量a的分量可以用a=(x,y,z)表示，其中x,y,z分别是a在x轴、y轴、z轴上的投影长度。3意义向量的分量可以方便地进行向量运算，如加减法、数乘等。向量的模定义向量a的模是指a的长度，记作∣a∣。若a=(x,y,z)，则∣a∣=√(x²+y²+z²)。性质1.非负性:∣a∣≥0，当且仅当a=0时，∣a∣=0。2.齐次性:∣ka∣=|k|⋅∣a∣(k为实数)。单位向量定义方向相同，模为1的向量称为单位向量。表示单位向量通常用字母i、j、k表示，分别代表x轴、y轴、z轴方向上的单位向量。向量的点积1定义两个向量a和b的点积是一个标量，记作a·b，定义为a的模长乘以b在a方向上的投影的长度，即a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b的夹角。2性质点积满足交换律、分配律和结合律。点积可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直，以及求向量在另一个向量上的投影。3应用点积在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如计算功、计算力矩、判断两个物体是否碰撞等。向量的性质向量加法满足交换律和结合律向量数乘满足分配律和结合律零向量是唯一的，任何向量加上零向量等于自身应用:平面及空间的方程平面方程利用空间向量可以表示平面，并得出平面方程。空间直线方程空间直线可以由方向向量和一个点来确定，从而推导出空间直线方程。向量在平面上的影射向量在平面上的影射是指将一个向量投影到一个平面上的过程，这个过程会将原向量分解成两个部分：一个平行于平面的部分和一个垂直于平面的部分。影射后的向量是原向量在平面上的投影，它仍然是一个向量，但其长度和方向都发生了变化。向量在空间中的影射在空间中，向量a在直线l上的影射是指从向量a的起点作l的垂线，垂足为B，则向量OB就是向量a在直线l上的影射。影射向量的大小等于向量a在直线l上的投影。向量在平面上的投影1定义向量在平面上的投影是一个向量。2方向投影向量方向与投影平面上的法向量一致。3长度投影向量的长度等于原向量在投影平面上的长度。向量在空间中的投影1定义向量**a**在向量**b**上的投影是指向量**a**在向量**b**方向上的分量，是一个长度为|**a**|cosθ的向量，其中θ为**a**和**b**的夹角。2计算向量**a**在向量**b**上的投影向量可以通过以下公式计算：proj**b****a**=(**a**·**b**/||**b**||2)**b**3几何意义向量**a**在向量**b**上的投影向量表示向量**a**在向量**b**方向上的分量，它是向量**a**在向量**b**上的“影子”。向量在平面上的叉积叉积定义平面上的叉积是指两个向量生成的平行四边形的面积，叉积结果是一个标量。计算公式设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a与b的叉积为：a×b=x1y2-x2y1几何意义叉积的绝对值表示两个向量生成的平行四边形的面积，叉积的符号表示两个向量的顺序关系。向量在空间中的叉积1定义两个向量叉积的结果是一个向量2方向垂直于两个向量所决定的平面3大小两个向量所决定的平行四边形的面积4应用求向量所决定的平面的法向量向量在平面上的应用位置向量确定点的位置直线方程用向量表示直线几何图形分析平面图形的性质向量在空间中的应用计算空间距离利用向量可以方便地计算空间中两点之间的距离，以及点到平面的距离等。确定空间位置向量可以用来确定空间中物体的位置，例如，可以用向量表示物体的坐标。描述空间运动向量可以用来描述物体在空间中的运动，例如，可以用向量表示物体的速度和加速度。实例演示1给定向量a=(1,2,3)和b=(2,1,0),求a+b和2a。a+b=(1,2,3)+(2,1,0)=(3,3,3)2a=2(1,2,3)=(2,4,6)实例演示2向量加法两个向量相加，得到一个新的向量，新的向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。向量减法两个向量相减，得到一个新的向量，新的向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。向量数乘一个向量乘以一个数，得到一个新的向量，新的向量的长度为原向量的长度乘以该数。实例演示3给定空间中两点A(-1,2,3)和B(2,-1,1)，求向量AB的坐标和模长。解:向量AB的坐标为：(2+1,-1-2,1-3)=(3,-3,-2)向量AB的模长为:√(3²+(-3)²+(-2)²)=√22实例演示4空间向量运算在空间中，给定两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。向量加法向量加法遵循平行四边形法则，即两个向量和为以这两个向量为邻边构成的平行四边形的对角线。向量减法向量减法遵循三角形法则，即两个向量差为以第一个向量为起点，第二个向量为终点构成的三角形的第三边。实例演示5设向量a=(1,2,3),b=(4,5,6),求向量a+b,a-b,2a-3b,以及a与b的点积.解:a+b=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9).a-b=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3).2a-3b=(2*1-3*4,2*2-3*5,2*3-3*6)=(-10,-11,-12).a·b=1*4+2*5+3*6=32.课堂练习1向量加法已知向量a=(1,2,3),b=(4,5,6)，求a+b2向量减法已知向量a=(1,2,3),b=(4,5,6)，求a-b3向量数乘已知向量a=(1,2,3)，求2a复习总结向量运算基础回顾向量加法、减法、数乘等基本运算，理解其几何意义及运算规则。向量点积与叉积掌握向量点积和叉积的定义、性质和计算方法，理解其在几何中的应用。空间向量应用运用向量知识解决空间中的