高中数学讲义（人教B版2019必修一）第05讲123充分条件必要条件

1.2.3充分条件、必要条件TOC\o"13"\h\u题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断 2◆类型1定义法 3◆类型2集合法 5◆类型3传递法 8题型2由充分、必要、充要条件求参数 10◆类型1与不等式结合 10◆类型2与一元二次方程结合 13◆类型3充要条件求参数 17题型3充要条件的证明 21知识点一.充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件．注意：对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：“若p，则q”形式的命题为真命题；（2）由条件p可以得到结论q；（3）p是q的充分条件或q的充分条件是p；（4）只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；（5）q是p的必要条件或p的必要条件是q；（6）一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的.显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已.知识点二.充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.知识点三.充分条件、必要条件与充要条件如果p⇒q，则称p是q的_充分条件_____，q是p的_必要条件_____.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件p是q的充分不必要条件记作__p⇒q_____且_q⇏p__p是q的必要不充分条件记作__p⇏q____且__q⇒p___p是q的充分必要条件（简称充要条件）记作__p⇔q___p是q的既不充分又不必要条件记作_p⇏q___且_q⇏p____题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断【方法总结】方法小结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．◆类型1定义法【例题11】（2022秋·安徽合肥·高一校考开学考试）已知a、b、c∈R，则“a<bA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】当c=0【详解】若a<b，当c=0若ac2<bc故“a<b”是“故选：B【变式11】1.（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）“3x−1为整数”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件必要条件的概念即得.【详解】当x为整数时，3x当3x−1为整数时，x不一定为整数，例如当3x所以“3x−1为整数”是“故选：B.【变式11】2.（2023·高一单元测试）若a,b∈RA．ab>1且a+b>2 C．a+b>2且(a−1)(【答案】D【分析】对于选项A和B，可通过对a,b取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选项C中的条件，得出【详解】对于A，当a=12,b=4时，有对于B，当a=−2,b=−3时，有ab>1且对于C，由(a−1)(b−1)>0，得到a>1且b>1或a<1且b综上，可知符合条件的为选项D.故选：D.【变式11】3.（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数x，y，则“x+y=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取特殊值可判断充分性，根据x2+y【详解】取x=−1,y=1，此时x+y=0，但当x2+y2=0时，x=y故“x+y=0故选:B.【变式11】4.（2021秋·高一课时练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断即可.【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.【变式11】5.（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（

）条件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据已知条件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情况，由此判断属于何种条件.【详解】根据条件可知：“有毛”则一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”，即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”，所以“有毛”是“有皮”的充分不必要条件，故选：A.◆类型2集合法【例题12】（2021·高一课时练习）设集合A={x|x满足条件p}，（1）如果A⊆（2）如果B⊆（3）如果A=试举例说明.【答案】（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.【分析】（1）利用集合间的关系结合充分条件的定义推导；（2）利用集合间的关系结合必要条件的定义推导；（3）由（1）（2）可得.【详解】（1）若A⊆B，则有即p⇒q，所以p是q的充分条件.如A={A⊆B，x>1（2）若B⊆A，则有即q⇒p，所以p是q的必要条件.如A={x|x>0是x（3）若A=B，则A⊆B，x>1是x【变式12】1.（2020秋·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）条件p:x>2，条件q:xA．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】根据集合xx>2与集合xx>3的关系，直接判断出【详解】因为xx>2所以p是q的必要非充分条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A=xpx,B=xqx，若AB，则p是【变式12】2.（2022秋·高一单元测试）设p：x>2或x<23；q：x>2或xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别写出¬p【详解】根据题意可得¬p:23≤x易知23,2是−1,2的真子集，所以因此，¬p是¬故选：A【变式12】3.（2020秋·上海嘉定·高一统考期末）已知条件甲“|x|=1”，条件乙“A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】由|x|=1⇔x=±1【详解】由题意，|x|=1⇔x=±1又条件乙为“x=1所以甲是乙的必要非充分条件.故选：B.◆类型3传递法【例题13】（2023·全国·高一假期作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,【详解】因为p是r的的充分不必要条件，所以p⇒r，r推不出因为q是r的的充分条件，所以q⇒因为s是r的必要条件，所以r⇒因为q是s的必要条件，所以s⇒因为q⇒r，r⇒s，所以q⇒s，又因为p⇒r，r⇒s，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；因为r⇒s，s⇒q，所以r⇒因为s⇒q，q⇒r，所以所以r是s的充要条件，命题④错误；故选：B.【变式13】1.（2021·高一课时练习）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，则s是q的______条件，r是q的______条件，p是s的______条件．（填“充分”“必要”或“充要”）【答案】充分充分必要【分析】由题设，写出p，q，r，s的推出关系，进而判断各条件间的充分、必要关系.【详解】由题设，r⇒∴s⇒q，综上，s是q的充分条件，r是q的充分条件，p是s的必要条件.故答案为：充分、充分、必要【变式13】2.（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知p是r的充分条件，而r是q的必要条件，同时又是s的充分条件，q是s的必要条件.试判断：(1)s是p的什么条件?(2)p是q的什么条件?(3)其中有哪几对条件互为充要条件?【答案】(1)必要条件(2)充分条件(3)q与s、s与r、q与r【分析】（1）推导出p⇒r，（2）由q⇔s⇔（3）由q⇔（1）解：由题意，q⇒r⇒又因为p⇒r，则p⇒s，所以，（2）解：由（1）可知q⇔s⇔r，p⇒r，则（3）解：由（1）可知，q⇔s⇔r，则q与s、s与r、【变式13】3.（2021秋·高一课前预习）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：（1）s是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）p是q的什么条件？【答案】（1）s是q的充要条件；（2）r是q的充要条件；（3）p是q的必要不充分条件．【分析】按p，q，r，s的关系画出用“⇒”与“⇐”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系．【详解】解：p，q，r，s的关系如图所示:（1）由关系图，知q⇒s，且s⇒r⇒（2）因为r⇒q，q⇒s⇒（3）由关系图，知q⇔r⇒p，但p推不出q，所以题型2由充分、必要、充要条件求参数◆类型1与不等式结合【例题21】（2023·江苏·高一假期作业）已知p:−2≤x≤10【答案】m|0<【分析】由题意可得x|1−m≤x≤1+m是【详解】因为p是q的必要不充分条件，所以x|1−m≤故有1−m≥−2解得m≤3又m>0，所以实数m的取值范围为m【变式21】1.（2023秋·云南红河·高一统考期末）集合A=x|−1<(1)当m=2时，求A(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围条件①：x∈B是条件②：A∪条件③：A∩注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)x(2)m【分析】（1）根据并集的定义求解；（2）根据相关的定义求解.【详解】（1）当m=2时，A则A∪（2）若选①，则有B⊆A，即若选②，则有B⊆若选③，则有B⊆【变式21】2.（2023·高一单元测试）已知全集U=R，集合A=x(1)当m=4时，求A∪B(2)若“x∈A”是“【答案】(1)x|x(2)m【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当m=4时，集合A因为B=x|所以A∪B（2）因为“x∈A”是“所以A是B的真子集，而A不为空集，所以m+1≤4，因此m【变式21】3.（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合A=x(1)当m=2时，求A(2)若______，求实数m的取值范围．请从①∀x∈A且x∉B【答案】(1)A(2)答案见解析【分析】（1）先求两个集合，再求交集；（2）若选择①，则A∩B=∅，再分集合B若选择②，则A⊆B，列式求【详解】（1）当m=2时，B=（2）若选择条件①，由∀x∈A且x当B=∅时，m−2≥2m当B≠∅时，m−2<2m−2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤综上所述：m的取值范围为：m≥4或m若选择条件②，由“x∈B”是“x∈即m−2≤12m◆类型2与一元二次方程结合【例题22】（2021秋·高一课时练习）方程x2−2x【答案】a≤1a【分析】由方程x2−2x+a=0有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当【详解】解：因为方程x2所以Δ≥0，即(−2)2−4a反之，当a≤1时，Δ≥0，则方程x所以a≤1是方程x当a=1时，方程x2−2而当方程x2−2x所以a=1是方程x故答案为：a≤1；a【变式22】1.（2022秋·辽宁本溪·高一校考阶段练习）设集合A=(1)用列举法表示集合A；(2)若x∈B是x∈【答案】(1)A(2)m【分析】（1）解方程后得集合A，（2）由推出关系得A⊆【详解】（1）x2+3x+2=0⇒x+1x（2）若x∈B是x∈x2解得x=−1或x=−m，又A得m=2【变式22】2.（2020秋·湖南张家界·高一统考期中）已知集合A=xx2−4(1)命题P∶“∀x∈B(2)若x∈A是【答案】(1)1或2(2){−23＜【分析】（1）根据题意转换为B⊆A，然后根据B=（2）根据题意转化为C⊆（1）A={1，3}，∵p为真命题∴又∵B=①若B=1，则2②若B={1，3}，则2a因此，a的值可能为1或2（2）∵x∈A是x因此集合C有四种情况①当C=此时Δ=−m此时m=4②当C=1，此时③当C=3时，此时④当C=∅时，∴Δ=m综上所述，m的取值范围{−23＜【变式22】3.（2021秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）已知集合A(1)若m=0,写出A(2)若“x∈A”是【答案】(1)∅,(2)m【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；（2）由题意得到B⊆A，分B中没有元素即B=∅，B【详解】（1）A=若m=0，则B=x所以A∪B子集为（2）若“x∈A”是①若B中没有元素即B=∅则Δ=4m+12−4m②若B中只有一个元素，则Δ=0，此时m=−2则B=x|③若B中有两个元素，则Δ>0，此时m>−2因为A中也有两个元素，且B⊆A，则必有由韦达定理得−6×1=m2−3综上所述，当m≤−2时，B所以实数m的取值范围：m|【变式22】4.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知p：关于x的方程x2−2ax+a(1)若命题¬p是真命题，求实数a(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)a>2(2)m≤−1【分析】（1）由命题¬p是真命题，可得命题p是假命题，再借助Δ<0，求出a（2）由p是q的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【详解】（1）因为命题¬p是真命题，则命题p是假命题，即关于x的方程x因此Δ=4a2−4(所以实数a的取值范围是a>2（2）由（1）知，命题p是真命题，即p:因为命题p是命题q的必要不充分条件，则{a|m因此m+3≤2，解得m所以实数m的取值范围是m≤−1◆类型3充要条件求参数【例题23】（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程x2+kxA．k=3 B．k=0 C．k=1【答案】D【分析】先利用判别式求得k的取值范围，然后结合充要条件的知识求得k的值.【详解】方程x2+kx解得k≤−22或方程x2+2x解得k≤1综上所述，k≤−2若方程x2+kx+2=0与则x12+由于k−2≠0，所以x所以1+k当k=−3时，两个方程分别为x2−3方程x2−3x方程x2+2x即方程x2+kx综上所述，方程x2+kx+2=0与故选：D【变式23】1.（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式x−m<1成立”的充要条件为“x【答案】1【分析】解不等式x−m<1【详解】解不等式x−m<1因为“不等式x−m<1成立”的充要条件为“x<2”，所以所以，m=1故答案为：1.【变式23】2.（2022秋·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知P={(1)是否存在实数m，使x∈P是(2)是否存在实数m，使x∈P是【答案】(1)不存在，理由见解析.(2)(−∞,0]【分析】（1）x∈P是x∈（2）x∈P是x∈【详解】（1）若x∈P是x即1−m故实数m不存在.（2）若x∈P是x当S≠∅时，有1−m≥1当S=∅时，1−m>1+综上：m≤0故m的取值范围为(−∞,0].【变式23】3.（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合A=xx(1)用列举法表示集合A；(2)若x∈B是x∈【答案】(1)−1,−2(2)2【分析】（1）直接解方程即可；（2）根据条件得A=B，可得−2是方程x2【详解】（1）集合A=即A=（2）由已知A=−1,−2，若x∈B是x∈∴−m∴m【变式23】4.（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合A={x|0≤x≤4}，B=x(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由？(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．【答案】(1)不存在满足条件的a，理由见解析(2)若选①，问题中的a存在，且a的取值集合M=aa≥3，若选②，问题中的a存在，且【分析】（1）转化为A=（2）若选①，根据A是B的真子集列式可求出结果；若选②，根据B是A的真子集列式可求出结果.【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则A=B，则1−a∴不存在满足条件的a.（2）若选①，则A是B的真子集，则1−a≤0且1+a≥4（两等号不同时取），且∴问题中的a存在，且a的取值集合M=选②，则B是A的真子集，当B=∅时，1−a>1+a，即a<0当B≠∅时，1−a≤1+a，即a≥0，由B是A的真子集，得1−综上所述：a≤1所以问题中的a存在，且a的取值集合M={题型3充要条件的证明【方法总结】从条件到结论是充分性，从结论到条件