整式的乘除化简求值解答题（4大题型提分练）七年级数学下册同步课堂（北师大版2024）

PAGE1（北师大版）七年级下册数学《第1章整式的乘除》专题整式的乘除化简求值解答题题型一先化简再直接代入求值1．（2024秋•丰台区期末）求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2），其中x=−1【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣2x+x﹣2）＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣x+2＝3x+3，当x=−13时，原式＝3×（【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．2．（2023春•舞钢市期末）运用整式乘法公式先化简，再求值：（a﹣3b）2﹣（2b﹣a）（a+2b），其中，a＝1，b＝﹣1．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算即可．【解答】解：原式＝a2﹣6ab+9b2﹣（4b2﹣a2）＝a2﹣6ab+9b2﹣4b2+a2＝2a2﹣6ab+5b2，当a＝1，b＝﹣1时，原式＝2×12﹣6×1×（﹣1）+5×（﹣1）2＝13．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．3．（2024秋•凉州区期末）先化简，再求值：（x+y）2+（3y+x）（3y﹣x），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2+9y2﹣x2＝2xy+10y2，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2×（﹣1）+10×（﹣1）2＝﹣4+10＝6．【点评】本题的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．4．（2024秋•宁乡市期末）先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y）＝x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2＝2xy，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2024秋•红河县期末）先化简，再求值：（2x﹣3y）（3x+4y）﹣（6x2y﹣2xy2+3y3）÷y，其中x＝﹣9，y＝﹣1．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并同类项，再把已知数据可得答案．【解答】解：原式＝6x2+8xy﹣9xy﹣12y2﹣6x2+2xy﹣3y2＝xy﹣15y2，当x＝﹣9，y＝﹣1时，原式＝xy﹣15y2＝﹣9×（﹣1）﹣15×（﹣1）2＝9﹣15＝﹣6．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（2024秋•渭源县期末）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2+（4a2﹣2a）÷（﹣2a），其中a＝﹣2．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝1﹣a2+a2﹣4a+4﹣2a+1＝﹣6a+6，当a＝﹣2时，原式＝﹣6×（﹣2）+6＝18．【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．7．（2024•盐都区三模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．【分析】先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可．【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y）原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy＝4x2+3y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝4×（﹣1）2+3×22＝4+12＝16．【点评】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．8．（2024春•淮安区期末）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中x=−1【分析】先计算乘法，再合并同类项，然后把x=−1【解答】解：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x）＝x2﹣6x+9+x2﹣16+4x﹣2x2＝﹣2x﹣7，当x=−1原式=−2×(−1【点评】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，与平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键．9．（2024春•慈利县期末）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a=1，b=−1【分析】原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（a2﹣2ab）+（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣b2）＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2﹣a2+b2＝a2+2b2，当a＝1，b=−1原式＝1+2×（−12＝1+=3【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．10．（2024春•临淄区期中）化简求值：（1）2（x﹣5）（x+2）﹣（x﹣1）（2x+1），其中x＝﹣2；（2）[（a+3b）（﹣a+3b）﹣（2a﹣3b）2﹣5a（a﹣4b）]÷（2a），其中a＝2，b=−1【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答；（2）利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（1）2（x﹣5）（x+2）﹣（x﹣1）（2x+1），＝2（x2﹣3x﹣10）﹣（2x2﹣x﹣1）＝2x2﹣6x﹣20﹣2x2+x+1＝﹣5x﹣19，当x＝﹣2时，原式＝﹣5×（﹣2）﹣19＝10﹣19＝﹣9；（2）[（a+3b）（﹣a+3b）﹣（2a﹣3b）2﹣5a（a﹣4b）]÷（2a）＝[9b2﹣a2﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣5a2+20ab）÷（2a）＝（9b2﹣a2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣5a2+20ab）÷（2a）＝（﹣10a2+32ab）÷2a＝﹣5a+16b，当a＝2，b=−12时，原式＝﹣5×2+16×（＝﹣10+（﹣8）＝﹣18．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．题型二先化简再整体代入求值1．（2024春•深圳期中）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，合并同类项，求出x2﹣2x＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣1）﹣（x2+2x+1）＝2x2﹣2﹣x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x﹣3∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，原式＝x2﹣2x﹣3＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．2．（2024秋•大兴区期末）已知a2+a＝1，求代数式（a+1）2+（a+2）（a﹣2）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，整体代入计算即可．【解答】解：（a+1）2+（a+2）（a﹣2）＝a2+2a+1+a2﹣4＝2a2+2a﹣3，∵a2+a＝1，∴2a2+2a＝2，则原式＝2﹣3＝﹣1．【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．3．（2024秋•海淀区期末）已知m2﹣2m﹣1＝0，求（m+2）（m﹣2）﹣2m（3﹣m）的值．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m2﹣2m＝1代入化简后的式子中进行计算，即可解答．【解答】解：（m+2）（m﹣2）﹣2m（3﹣m）＝m2﹣4﹣6m+2m2＝3m2﹣6m﹣4，∵m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴当m2﹣2m＝1时，原式＝3（m2﹣2m）﹣4＝3×1﹣4＝3﹣4＝﹣1．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2024秋•朝阳区期末）已知x2+2x﹣2＝0，求x（x﹣2）+（x+3）2的值．【分析】先化简，再利用整体代入的思想解决问题．【解答】解：原式＝x2﹣2x+x2+6x+9＝2x2+4x+9，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴2x2+4x＝4，∴原式＝4+9＝13．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．5．（2024秋•顺义区期末）已知2x2+y2﹣3＝0，求代数式（x+y）2+x（x﹣2y）的值．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把2x2+y2＝3代入化简后的式子中进行计算，即可解答．【解答】解：（x+y）2+x（x﹣2y）＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy＝2x2+y2，∵2x2+y2﹣3＝0，∴2x2+y2＝3，当2x2+y2＝3时，原式＝3．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．（2024春•重庆期中）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x），其中x，y满足x﹣y＝﹣1．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x）＝[（x2﹣4y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x）＝（x2﹣4y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣x2+5y2）÷（﹣2x）＝（﹣4x2+4xy）÷（﹣2x）＝（﹣4x2）÷（﹣2x）+4xy÷（﹣2x）＝2x﹣2y，当x﹣y＝﹣1时，原式＝2（x﹣y）＝2×（﹣1）＝﹣2．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后对式子x2+4x﹣4＝0变形，即可解答．【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6＝﹣3x2﹣12x+18，∵x2+4x﹣4＝0，∴x2+4x＝4，∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．8．先化简，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），其中x，y满足x+y＝3，xy＝1．【分析】利用完全平方公式计算乘方，利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．【解答】解：原式＝（x2﹣9y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣3xy+7y2＝x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣3xy+7y2＝﹣3x2+xy﹣3y2，∵x+y＝3，xy＝1，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×1＝9﹣2＝7，∴原式＝﹣3（x2+y2）+xy＝﹣3×7+1＝﹣20．【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．题型三运用完全平方公式的变形求值1．已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式计算，进而将x2+y2和xy看作整体求出即可．【解答】解：∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，∴x2+y2+2xy＝12，x2+y2﹣2xy＝4，故2（x2+y2）＝16，解得：x2+y2＝8，故4xy＝8，解得xy＝2．综上所述，x2+y2＝8；xy＝2．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．2．（2024秋•十堰期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；（2）求m2+n2的值．【分析】（1）将原式展开后，再将m+n，mn代入即可求出答案．（2）根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．【点评】本题考查整式的乘法，涉及多项式乘以多项式，完全平方公式，属于基础题型．3．（2024秋•江安县期中）已知x+y＝3，xy＝﹣10，求：（1）（3﹣x）（3﹣y）的值．（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，把各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝﹣10，∴原式＝9﹣3y﹣3x+xy＝9﹣3（x+y）+xy＝9﹣3×3﹣10＝9﹣9﹣10＝﹣10；（2）∵x+y＝3，xy＝﹣10，∴原式＝（x+y）2+xy＝9﹣10＝﹣1．【点评】此题考查了完全平方公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．4．（2024秋•青浦区校级月考）已知（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）x4+y4．【分析】利用完全平方公式解答各题即可．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，∴x2+2xy+y2＝4①，x2﹣2xy+y2＝16②，①+②得：2x2+2y2＝20，则x2+y2＝10；（2）由（1）得①﹣②得：4xy＝﹣12，则xy＝﹣3，那么x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝（x2+y2）2﹣2（xy）2＝102﹣2×（﹣3）2＝100﹣18＝82．【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．5．（2024秋•浦东新区校级月考）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：（1）a2+b2的值；（2）4a2﹣3ab+4b2的值．【分析】（1）由题意易得a2（2）由题意可得ab=(a+b)【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴两式相加可得2（a2+b2）＝30，则a2+b2＝15；（2）两式相减可得4ab＝4，则ab＝1，那么4a2﹣3ab+4b2＝4（a2+b2）﹣3ab＝4×15﹣3×1＝57．【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．（2024春•娄星区校级期中）已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求：（1）a2+b2的值；（2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22；（2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝6，ab＝﹣7，∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8，∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80．【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．7．（2024秋•泉州期中）已知代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间存在这样的等量关系：（a+b）2＝a2+b2+2ab；根据这个等量关系，解决下列问题；（1）已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；（2）已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝52，求x﹣2020的值．【分析】（1）将已知代入完全平方公式，即可解得答案；（2）设x﹣2020＝a，代入已知可得a2＝25，即得x﹣2020的值为±5．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝4，a2+b2＝10，∴42＝10+2ab，∴ab＝3；（2）设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1，∴（a﹣1）2+（a+1）2＝52，∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝52，∴a2＝25，∴a＝±5，即x﹣2020的值为±5．【点评】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，能熟练运用换元法解决问题．8．（2023秋•东坡区校级期中）已知a+b＝3，ab=5（1）a2+b2；（2）a﹣b；（3）2﹣2b2+6b．【分析】（1）依据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，进行计算即可；（2）依据（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，进行计算即可；（3）依据a+b＝3，即可得到b2﹣6b+9＝a2，再根据2﹣2b2+6b＝2﹣b2﹣（b2﹣6b+9）+9进行计算即可．【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×54=（2）（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab=132−（3）原式＝2﹣2b（b﹣3）＝2﹣2b（﹣a）＝2+2ab＝4.5．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．9．（2024秋•普陀区期中）阅读理解．已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值．解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6．整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6．2（a﹣13）2+2＝6得（a﹣13）2＝2．请仿照上述方法，完成下列问题：（1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值．（2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值．【分析】（1）将（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10变形为[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣97）2+2＝10，即可求出（a﹣97）2的值；（2）将（a﹣2025）2+（2023﹣a）2变形为[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣2024）2+2，然后将已知条件代入求值即可．【解答】解：（1）由（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，可得[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，整理得（a﹣97）2﹣2（a﹣97）+1+（a﹣97）2+2（a﹣97）+1＝10，2（a﹣97）2+2＝10，得（a﹣97）2＝4；（2）（a﹣2025）2+（2023﹣a）2＝[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2＝（a﹣2024）2﹣2（a﹣2024）+1+（a﹣2024）2+2（a﹣2024）+1＝2（a﹣2024）2+2，当（a﹣2024）2＝8时，原式＝2×8+2＝18．【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．10．（2024春•江都区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝．（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．（3）已知x2+3x﹣1＝0，求x2【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解；（2）由题意得到（a+b）2+（a﹣b）2＝30，根据完全平方公式得出a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝30，化简即可求解．（3）两边同时除以x得，x−1x=−3【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝25，2ab＝6，∴a2﹣2ab+b2＝25，即a2﹣6+b2＝25，∴a2+b2＝31．故答案为：31；（2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，∴（a+b）2+（a﹣b）2＝30，a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝30，2a2+2b2＝30，∴a2+b2＝15；（3）∵x2+3x﹣1＝0，∴x+3−1即x−1(x−1x2∴x2【点评】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键．题型四结合几何图形进行计算求值1．（2023秋•端州区期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，都是死记硬背计算公式．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a、宽为b的小长方形（如图1），拼成了一个边长为a+b的正方形（如图2）．观察图形，解答下列问题：（1）图2中，阴影部分的面积是；（2）观察图1、图2，请你写出三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系；（3）应用：已知x+y＝7，xy＝10，求值：①（x﹣y）2；②x﹣y．【分析】（1）表示出阴影部分的边长即可得答案；（2）用两种方法表示四个长方形面积可得答案；（3）应用（2）的结论，可得答案．【解答】解：（1）阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，∴阴影部分的面积是（a﹣b）2，故答案为：（a﹣b）2；（2）由图可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①∵x+y＝7，xy＝10，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9；②x﹣y＝±3．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方式，掌握相应的运算法则是解题的关键．2．（2024秋•东城区期中）如图1有三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，老师用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2的面积关系，写出一个数学公式；（2）根据数学公式，解决问题：已知a+b＝7，a2+b2＝29，求（a﹣b）2的值．【分析】（1）观察图形可知图2的面积可以看作边长为（a+b）的正方形面积，也可以看成一个边长为b的正方形的面积+一个边长为a的正方形的面积+2个长为b，宽的a的长方形的面积，然后根据正方形和长方形的面积公式进行解答即可；（2）先根据（1）中所求公式和已知条件，求出2ab，再根据完全平方公式进行解答即可．【解答】解：（1）图2的面积可以看作边长为（a+b）的正方形面积，也可以看成一个边长为b的正方形的面积+一个边长为a的正方形的面积+2个长为b，宽的a的长方形的面积，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝7，a2+b2＝29，（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴29+2ab＝72，2ab＝49﹣29＝20，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝29﹣20＝9．【点评】本题主要考查了完全平方公式和它的几何背景，解题关键是熟练掌握完全平方公式和灵活应用数形结合的数学思想．3．（2023春•郏县期中）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，请用两种不同方式计算阴影部分的面积，并把得到的等式写出来．【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；（3）若用图一中的卡片拼成一个边长为y+3x的正方形，则需要甲型卡片张、乙型卡片张、丙型卡片张．【分析】（1）阴影部分面积可以用大正方形的面积减去两空白长方形的面积，也利用直接用两个小正方形面积之和来求，列出等式即可；（2）把a+b＝6两边平方，利用完全平方公式化简，把a2+b2＝10代入计算即可求出ab的值；（3）表示出正方形的面积，利用完全平方公式化简，即可确定出甲、乙、丙三种型号的卡片数．【解答】解：（1）根据题意得：（x+y）2﹣2xy＝x2+y2；（2）把a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，把a2+b2＝10代入得：10+2ab＝36，解得：ab＝13；（3）根据题意得：（y+3x）2＝y2+6xy+9x2，则需要甲型卡片9张、乙型卡片1张、丙型卡片6张．故答案为：9，1，6．【点评】此题考查了完全平方式，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（2023秋•龙南市月考）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿虚线将图1裁剪成四个大小相同的长方形，然后按图2的方式无缝隙地拼成一个正方形．（1）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积方法1：．方法2：．（2）①（x+y）2，（x﹣y）2，xy之间的数量关系是；②当m+n＝10，mn＝15时，求（m﹣n）2的值．（3）如图3，将大小不一的长方形和正方形无缝隙地拼成一个边长为（x+y+z）的正方形，根据面积的等量关系，可列式子：．【分析】（1）根据题意可知，图2中的阴影部分为正方形，表示出这个正方形的边长，利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积即可；图2中的阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，由此即可求解；（2）①根据（1）中阴影部分面积的不同表示方法可得等式；②利用①中得出的公式直接代入计算；（3）图3的面积可以表示为大正方形边长的平方，也可以表示为九部分的面积和，据此得出等式．【解答】解：（1）由图可得：方法1：（x﹣y）2；方法2：（x+y）2﹣4xy；故答案为：（x﹣y）2，（x+y）2﹣4xy；（2）①由（1）可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；故答案为：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；②∵m+n＝10，mn＝15，∴由①可得：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝102﹣4×15＝40；（3）根据面积的不同计算方法可得：（x+y+z）2＝x2+xy+xz+xy+y2+yz+xz+yz+z2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz，故答案为：（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．5．（2023秋•韶关期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积：方法1：，方法2：，根据上面两种面积表示方法，写出一个关于a，b的公式：；（2）已知图2的总面积为100，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为58，求ab的值；（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，如果b﹣a＝3，ab＝28，求图3阴影部分的面积．【分析】（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，a2+2ab+b2＝100，a2+b2＝58，两个等式作差可求得此题结果；（3）由题意得b22+a【解答】解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100，a2+b2＝58，∴ab==100−58=42＝21；（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：b22+=b=(a−b把b﹣a＝3，ab＝28，代入得：图3中阴影部分的面积为：(−3)【点评】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键．6．（2024春•拱墅区月考）用1张边长为a的正方形纸片，1张边长为b的正方形纸片，2张长和宽分别为a，b的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形．（1）观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含a，b的代数式表示）．代数式1：；代数式2：；（2）从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来；（3）利用（2）中得出的结论解决下面的问题：①若a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE与正方形CFGB，若AB＝7，两正方形的面积和为S1+S2＝25．求图2中阴影部分的面积．【分析】（1）代数式1：直接用代数式表示两个正方形的面积和即可；代数式2：从大正方形中减去两个长方形的面积即可；（2）由（1）中两个代数式相等可得答案；（3）①a+b＝5，a2+b2＝13，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入即可求出ab的值；②设正方形ACDE的边长为m，正方形CFGB的边长为n，由题意可得m+n＝7，m2+n2＝25，根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，求出mn的值，进而求出12mn【解答】解：（1）图1中两个阴影部分的面积和，也就是边长为a，边长为b的正方形的面积和，即a2+b2，图1中阴影部分的面积和也可以看作从边长为a+b的正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由（1）中两个代数式所表示的面积相等可得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①∵a+b＝5，a2+b2＝13，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴13＝25﹣2ab，∴ab＝6；②设正方形ACDE的边长为m，正方形CFGB的边长为n，由于AB＝7，两正方形的面积和为S1+S2＝25，即m+n＝7，m2+n2＝25，∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，即25＝49﹣2mn，∴mn＝12，∴S阴影部分=12【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．7．（2024春•雅安期末）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式，例如：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2就是完全平方式．请解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝20，则ab＝；（2）如果x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值为；（3）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2007）2＝169，求（2024﹣x）（x﹣2007）的值；（4）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．①CF＝，CE＝；（用含x的式子表示）②若长方形CEPF的面积为32，求图中阴影部分的面积和．【分析】（1）根据公式进行变形即可求得到答案；（2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值；（3）将（2024﹣x）和（x﹣2007）看成一个整体，利用公式进行计算即可得到答案；（3）①根据图形可以直接得到答案；②根据长方形CEPF的面积为32即可得到（10﹣x）（6﹣x）＝32，将（10﹣x）和（6﹣x）看成一个整体可求得（10﹣x）2+（6﹣x）2，再根据S阴影＝S正方形CFGH+S正方形CEMN即可得到答案．【解答】解：（1）∵