结构化视角下以表现性评价促进学生空间观念发展的策略

摘要：由于小学高年级学生的数学知识呈现丰富化和系统化特点，因此教师要注重引导学生在结构化的视角下发展数学核心素养。在教学设计中，教师应充分发挥评价的育人导向作用，坚持以评促学、以评促教，让教学真正落到实处。教师可以基于结构化视角，以表现性评价为媒介设计教学，有的放矢，促进学生空间观念的发展。关键词：结构化视角；表现性评价；空间观念；数学核心素养《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）中强调要设计体现结构化特征的课程内容，探索发展学生核心素养的途径。课程内容结构化旨在凸显内容的关联，迁移知识和方法，促进核心素养的形成。表现性评价是一种强调真实情境、注重学习过程、落脚学生能力发展，能够全面考查学生多种能力的评价方式，它具有情境性、过程性、综合性和发展性特征。表现性评价通常要求学生在某种特定的真实或模拟情境中，运用前认知完成某项任务或解决某个问题，以考查学生对知识与技能的掌握程度，或者问题解决、交流合作和批判性思维等多种复杂能力的发展状况。它强调创设情境，引导学生在现实生活中提升分析问题和解决问题的能力。这种评价与新课标中的结构化理念不谋而合。空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。空间观念有助于学生理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。空间观念的形成，应经历具体、半具体、半抽象到抽象的过程。它是一个看不到、摸不着的发展过程，通过表现性评价，能形象、具体地呈现出来。例如，在人教版小学数学教材六年级上册“圆的周长”一课中，评价目标旨在考查学生对“圆的周长”这一知识点的理解程度、实践操作能力、推理能力、问题解决能力以及团队协作能力。在这一评价任务实施过程中，教师可以引导学生逐步形成空间观念。一、基于表现性评价的情境性，促使学生学习方法结构化，唤醒空间观念学生对于周长并不陌生，教师若只是停留在对圆的周长概念的简单教授，学生的学习只能停留在认知层面，也就只能是浅层、零散的知识学习。教师应基于课程理念，对内容进行结构化整合，借助表现性评价的情境性及具体评价标准，引导学生系统地结构化相关知识，将新知与旧知进行类比、转化学习，经历空间观念形成的具体阶段（实物直观），唤醒学生的空间观念。环节一：实物直观，唤醒空间观念师：这节课我们探究圆的周长，你能说说什么是圆的周长吗？生：圆外面这一圈的长度。师：（出示长方形、正方形、三角形、梯形等图片）圆的周长与这些图形的周长有什么异同点？生：都是指图形一周的长度。前者都是线段围成的，而圆是一条弯的线围成的。师：课前大家完成了自学任务，如何测量圆的周长？请同桌互相介绍自己的测量方法。师：老师挑选了一些比较有代表性的作品，请你们使用学具，结合具体的操作步骤再跟大家说一说。生：找到物品圆的面，用一根毛线绕一圈，起点和终点的地方做好记号，拉直，用直尺测量出毛线的长度，就是圆的周长了，我们把它叫作“绕绳法”。生：给物品的圆面上点一个点，压在直尺的刻度上，圆面在直尺上滚动一圈，读出尺子上的刻度，就是圆的周长，我们把它叫做“滚动法”。师：为什么这样测量呢？生：我们知道长方形、正方形等图形的周长，可以通过测量它们直直的边来计算，这里也把曲线拉直，转化成直直的线，就可以测量了。师：它们都把围成圆的曲线的长度转化成直的线段的长度，便于测量。我们把这种方法叫做“化曲为直”。这个方法将新知转化成了旧知，是一个很好的学习方法。本环节评价任务为，学生能准确解释圆的周长概念。学生先结合学过平面图形的周长概念，发现图形周长测量的一致性及不同图形周长测量的差异，在对比中明确圆的周长概念。接着，教师引导学生经历空间观念形成的具体阶段，安排实物测量，在具体动手操作中，让学生感知曲线、掌握测量方法，在为达到准确测量的调整中，更深入具象化认识圆的特征。学生根据测量的需要，促发化曲为直的必要性，感悟化曲为直思想。环节二：制造冲突，引发猜想真实情境：在某学校举办的课程研学活动中，烘焙小组想要制作这样一个蛋糕，使用金箔纸绕蛋糕一圈作为装饰，需要准备多长的食用金箔纸？师：需要解决什么问题？生：实际上就是求蛋糕的周长。师：如何解决这个问题呢？生：拿绳子绕一周，滚动一圈。生：拿绳子绕一圈，或者滚动一圈，蛋糕就坏了。师：怎么解决呢？（课件出示长方形、正方形图形）回顾一下我们是怎么计算长方形和正方形的周长的？它们的周长和什么有关？生：用边长来计算，与其长和宽有关。师：圆的周长可能与什么有关？我们该如何求圆的周长？（课件出示长方形、正方形及他们的周长计算公式以及圆的图形）生：在研究长方形和正方形时，我们也是在研究它们各部分要素，我觉得我们可以考虑研究圆的各部分要素，看有没有联系。生：我们知道直径越长，圆越大，所以我觉得，圆的周长应该是跟直径或者半径有关。生：长方形的周长是长加宽和的两倍，正方形的周长是边长的四倍，都是倍数关系。如果我们能知道直径和周长的倍数关系，就可通过测量圆的直径、半径来求圆的周长。直径和半径也是直的，好测量。师：同学们的猜测有理有据，通过猜测是否存在倍数关系，把不好测量的周长，再次转化到可测量的直径和半径上。这也是一种化曲为直的思想。本环节评价任务为合理猜测，旨在让学生初步感知周长和直径之间的关系。教师通过情境的矛盾冲突，促发学生主动思考解决方法；引导学生通过勾连新旧知识，有理有据地大胆猜测；引导学生思考遇到新知如何找到研究切入口、如何思考转化成旧知进行学习；培养学生的解决问题能力，再次感悟化曲为直思想，培养学生的空间观念。教师引导学生与前认知建立勾连，主动进行小学阶段所学图形周长知识结构化，进行知识的生长，学习圆的概念，使学习知识螺旋上升且有宽度。在教学中，学习内容不拘泥于概念的描述和测量的直接经验，而是指向对研究方法的合理选择与思考，促使学生深入认知圆的形状、大小，唤醒空间观念，使学习更有深度。二、基于表现性评价的过程性，引导学生经历探究过程，发展空间观念新课程理念要求探索发展学生核心素养的路径，重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系。这一理念指导教师在教学设计上要注重学生的学习过程。表现性评价不仅仅关注最终的学习结果，更加关注学生在学习过程中的表现。教师应以表现性评价为导向，使学生亲历数学知识的形成探究过程，从中逐步深入了解知识的内涵。教师应基于空间观念形成的第二阶段（半具体）、第三阶段（半抽象），引导学生从具体实物中抽象出半具体的圆片，再从半具体到抽象推理，逐步深入发展空间观念，夯实数学核心素养。环节三：探究活动一任务要求：量一量，测量你所带圆形物品的周长和直径，并记录到表格中。算一算，用计算器计算出圆的周长和它直径的倍数关系（结果保留两位小数）。议一议，在小组中交流发现。学生将不同周长和直径的数据填入表格中。师：一起观察这几组数据，你发现了什么？生：周长与直径的比值大多是在3倍多一些，个别的比3倍少一些。师：这个时候有办法解决求蛋糕周长的问题吗？生：不行，没有找到一个固定的倍数，要像正方形那样，周长是边长的4倍，这个4倍是固定的，才能求圆的周长。师：为什么它们的比值没办法固定下来呢？生：数据都在3倍左右，我觉得可能是测量时产生了误差，如果能有一个更精密的测量方法，这个倍数关系应该会确定下来。教师引导学生用操作法、观察法进行研究，能够正确使用测量工具、记录数据、整理数据、描述数据特征，初步感知“周三径一”。学生在探究中得到的规律如果存在，那么圆周长的计算就可以利用这个关系。但是，操作和观察得出的规律，并无法支撑结论的获得，如果这个时候探究就戛然而止，那么学生的思维就停滞不前，也失去了这一环节的探究效果。为此，这一探究环节恰恰是知识开始生长的起点，也是空间观念形成的第二个心理环节，不可或缺。基于此，教师应遵循学生空间观念发展的“半具体到抽象”的规律，设计更加深入的探究环节，引导学生从理性层面进行推理。环节四：探究活动二师：同学们的探究很有价值，但是要想得到更有价值的数据，要借助更精准的方法。任务要求：请观察以下两幅图（如图1），先独立思考，再在小组内分享你的思考。1.圆的直径和正方形、正六边形的边长有什么关系？2.圆的周长和正方形、正六边形的周长有什么关系？3.圆的直径和圆的周长有什么关系？生：圆的直径和正方形的边长相等，圆的周长小于正方形的周长，正方形的周长是边长的4倍，所以圆的周长小于正方形边长的4倍，也就是圆的周长小于直径的4倍。生：六边形的六个顶点都在圆上，且从形成的六个小等边三角形来看，圆的半径和正六边形的边长相等，也就是正六边形的周长是半径的六倍，是直径的3倍，圆的周长大于正六边形的周长，所以圆的周长大于直径的3倍。生：由此可见，圆的周长大于直径的3倍、小于直径的4倍。师：通过以上探究，同学们再检验探究活动一中的数据，哪些数据是不合理的？请结合这几组数据说说测量过程中可能出现了什么问题。生：在测量圆的周长的时候，绳子拉得比较紧，拉直测量时，绳子松了，变短了，倍数关系就小了。师：能够借助推理数据，反思操作，是个了不起的探究方法。同学们，我们通过操作法、观察法、推理检验等，发现圆周长与直径的比值缩小到一定的范围内，已经非常了不起了。其实，在两千多年前，中国古代数学著作中就有“周三径一”的说法，意思是说，圆的周长约是它直径的3倍。到底是3倍多几呢？我们一起来看看数学家们又做了什么研究（出示割圆术的介绍视频）。师：圆的周长与直径的比值，我们称它为圆周率，是一个固定的值，是无限不循环小数，用字母“π”来表示，读作pai，在精确度要求不高的情况下，一般将π取值3.14来计算。在空间观念形成的第三个心理环节（半抽象环节），推理对于学生来说学习难度加大了。学生克服畏难心理，需要有效的问题引领。在表现性评价机制的导向下，教师应引导学生积极参与推理活动，在推理的过程中明确圆周率的取值范围，经历圆周率的产生过程。通过两次探究活动，学生亲历数学知识的形成和发现过程，在操作、观察、推理之后，教师又介绍割圆术，渗透极限思想。在这里，学生对圆周率的体验与感悟更加深刻，圆周长的计算方法呼之欲出。这样的探究过程使学生对圆的周长的研究从粗略走向精确，培养了学生的动手操作能力和严谨求实的研究态度。在研究的不断进阶中，学生掌握了科学的研究方法。三、基于表现性评价的发展性，促进学生反思中形成结构化，夯实空间观念表现性评价旨在促进学生的全面发展，包括知识、技能、情感态度和价值观等方面。圆的周长的探究是一个学习载体，学生在经历数学知识形成过程后，对学习过程进行反思，在反思总结中将知识结构化，在知识应用中促进知识螺旋上升，促进学习方法的有机生长。环节五：反思探究师：同学们，通过以上研究，你会计算圆的周长了吗？生：圆的周长=直径×圆周率。师：如果知道圆的周长，直径怎么求？生：圆的直径=周长÷圆周率。师：现在有办法解决求蛋糕周长的问题了吗？请根据给出的数据，进行解答。学生完成变式练习：画一个周长是9.42分米的圆，圆规两脚间的距离应为多少分米？学生完成提高练习：如图2，将圆片沿着尺子向右滚动，点Ｐ第2次接触直尺