2025年春青岛版初中数学八年级下册教学课件：10.2一次函数和它的图象（第1课时　一次函数和正比例函数的概念）

10.2

一次函数和它的图象

第10章一次函数第1课时一次函数和正比例函数的概念学习目标掌握一次函数、正比例函数的概念。

（重点）知道正比例函数是一次函数的特例。（难点）121.什么叫函数?在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定唯一一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。2.函数有哪些表示方法?图象法、列表法、关系式法新课导入3.在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子？一列高铁列车自北京站出发，运行10km后，便以300km∕h的速度匀速行驶。如果从运行10km后开始计时，你能写出该列车离开浦东机场站的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系式吗？S=10+300t新课导入

1.某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。x/kg012345y/cm5.544.5533.5(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：(2)你能写出y与x之间的关系式吗？y=3+0.5x知识讲解问题2、某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L。(1)完成下表：汽车行使路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436

（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？（3）你能写出油箱余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有60L,每行驶50km耗油6L,行驶500km后,油箱就没有油了,所以x不会超过500km,即。y代表油箱剩余油量,所以y应该小于60但不能小于零，即。

(4)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?共同特点：（1）左边是因变量y，右边是一个常数加上或减去一个含自变量x的单项式；（2）自变量和因变量的次数都是一次的。y

=x+

60y

=

0.5

x

+

3yk(常数)x=

b(常数）+认真观察下列式子，它们有什么共同点？两个变量x，y间的关系可以表示成ｙ＝kx＋b（k，b为常数，k≠０）的形式，则称y是x的一次函数。一.次函数的定义一次函数的结构特征有哪些？次数为1取一切实数y

=kx

(k≠0的常数)比例系数自变量正比例函数一次函数

正比例函数

特别地，当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。二.正比例函数的定义1.判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？是一次函数的是

，

是正比例函数的是

。（填序号）（1）（3)（6)(1)（6）练一练2.下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

y是x的一次函数，不是正比例函数。y不是x的一次函数，也不是正比例函数。y是x的一次函数，也是正比例函数。

y是x的一次函数，也是正比例函数。y不是x的一次函数，也不是正比例函数。（1）y=-x-4（2）y=5x2+6（3）y=2πx(5)(4)y＝-

y＝

(6)y＝8x2+x(1-8x)y是x的一次函数，也是正比例函数。例函数，则m=

。

是关于x的正比-2例函数，则m=

;若是x的一次函数，则m

。

是关于x的正比-2≠2例1铜的质量m（单位：g）与它的体积v（单位：cm3）是成正比例的量.当铜的体积v=3cm3时，测得它的质量是m=26.7g（1）求铜的质量m与体积v之间的函数表达式；（2）当铜块的体积为2.5cm3时，求它的质量。解：（1）因为m与v是成正比例的量，所以设m=kv，其中k为比例系数。把v=3，m=26.7代入

，得26.7=3k，解得k=8.9。

所以质量m与体积v之间的函数表达式为m=8.9v(v＞0)（2）当v=2.5时，m=8.9×2.5=22.25。

所以，当铜块的体积为2.5cm3时，铜块的质量为22.25g。知识讲解

例2小亮用如图的装置测定一根弹簧的长度与所挂重物间的函数关系，把弹簧的一端固定在铁架的横梁上，将刻度尺直立于铁架台上.量出弹簧不挂任何重物时的长度l0

。

在弹簧下端挂上一个钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l1.类似地，在弹簧的弹性限度内，依次量出弹簧下端挂2个、3个、⋯、10个钩码时，弹簧的长度l2，l3，⋯，l10，并将得到的数据记录在下面的表格中：钩码弹簧刻度尺铁架钩码的个数n/个012345678910弹簧长度l/mm120125130135140145150155160165170（1）如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，随着n的逐渐增加，l

的变化趋势是什么？（2）n每增加1个时，长度l伸长了多少？由此你能写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式吗？l是n的一次函数吗？知识讲解解：（1）在弹簧的弹性限度内，当n逐渐增加时，l逐渐变大。（2）从上表可知，在弹簧不挂钩码时，弹簧长度l0=120cm，当弹簧下端每增加1个钩码，弹簧长度l均增加5mm.所以弹簧长度l与钩码个数n之间函数的表达式是l=120+5n，由此可知，在弹性限度内，弹簧长度l是钩码个数n的一次函数。知识讲解

练一练写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；(3)某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。y=60xy=15＋5x

y是x的一次函数,也是x的正比例函数。

y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.y是x的一次函数,但不是x的正比例函数。随堂训练1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）A. B. C. D.y＝x2+12.函数y＝（2m-1）xn+3+（m-5）是关于x的一次函数的条件为（）A.m≠5且n＝-2 B.n＝-2C.m≠

且n＝-2

D.m≠AC3.一根蜡烛高20cm，点燃后平均每小时燃掉4cm，则蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（h）之间的关系式是h＝

（0≤t≤5）。20-4t4.某种大米的单价是2.2元/kg，当购买xkg大米时，花费为y元.y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？

解：y=2.2x

，y是x的一次函数，也是正比例函数。5.如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶.设x（时）表示火车行驶的时间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值。解：（1）y=100+80x，y是x的一次函数；（2）当x=0.5时，y=100+80×0.5=140。随堂训练6.某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本。(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式。(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式。

(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?解:(1)y1=x.(2)y2=0.4x+12.(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算。7．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5

t的部分，按每吨2.6元收费。设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元。（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关