2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.4统计与概率的应用应用案巩固提升新人教B版必修第二册

PAGE1-5.4统计与概率的应用[A基础达标]1．“今日北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是()A．可能北京今日降雨了，而上海没有降雨B．可能上海今日降雨了，而北京没有降雨C．可能北京和上海都没有降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：选D.因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．2．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选D.4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参与某项活动，每名学生被抽到的概率为eq\f(1,4)，其中说明正确的是()A．4名学生中，必有1名被抽到B．每名学生被抽到的可能性为eq\f(1,4)C．由于抽到与不被抽到有两种状况，所以不被抽到的概率为eq\f(1,2)D．以上说法都不正确解析：选B.依据概率的意义可以知道选B.4．某竞赛为两运动员制定下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面对上，甲发球，反面对上，乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，假如同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，假如同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公允的规则是()A．规则一和规则二 B．规则一和规则三C．规则二和规则三 D．规则二解析：选B.规则一每人发球的概率都是相等的，公允．规则二全部状况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为eq\f(1,3)，不公允．规则三全部状况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公允．5．通过模拟试验，产生了20组随机数：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754假如恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.解析：由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有三个数字在1，2，3，4，5，6中，这样的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，共5个，所求的概率约为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)6．某汽车站，每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车．某天袁先生打算在该汽车站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车依次．为了尽可能乘上上等车，他实行如下策略：先放过第一辆，假如其次辆比第一辆好则上其次辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为________．解析：上、中、下三辆车的动身依次是随意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，6种状况，若其次辆车比第一辆好，有3种状况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种状况；若其次辆不比第一辆好，有3种状况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种状况符合条件．所以袁先生乘上上等车的概率P＝eq\f(2＋1,6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．某公司有5万元资金用于投资开发项目，假如胜利，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丢失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．投资胜利投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元．解析：应先求出投资胜利与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x元，假如胜利，x的取值为5×12%，假如失败，x的取值为－5×50%.一年后公司胜利的概率约为eq\f(192,200)，失败的概率约为eq\f(8,200)，所以估计一年后公司收益的平均数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×12%×\f(192,200)－5×50%×\f(8,200)))×10000＝4760(元)．答案：47608．某人捡到不规则形态的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．假如再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________．石块的面12345频数3218151322解析：第四面落在桌面上的概率为P＝eq\f(13,100)＝0.13.答案：0.139．为调查某森林内松鼠的繁殖状况，可以运用以下方法：先从森林中捕获松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林．经过半年后，再从森林中捕获50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只．试依据上述数据，估计此森林内约有松鼠的数量．解：设森林内的松鼠总数为n.假定每只松鼠被捕获的可能性是相等的，从森林中任捕一只，设事务A＝{带有记号的松鼠}，则由古典概型可知，P(A)＝eq\f(100,n)①，其次次从森林中捕获50只，有记号的松鼠共有5只，即事务A发生的频数m＝5，由概率的统计定义可知，P(A)≈eq\f(5,50)＝eq\f(1,10)②，由①②可得：eq\f(100,n)≈eq\f(1,10)，所以n≈1000，所以，此森林内约有松鼠1000只．[B实力提升]10．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采纳随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35解析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一，它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10个，因此所求的概率为eq\f(10,20)＝0.50.11．假如消息M发生的概率为P(M)，那么消息M所含的消息量为I(M)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(P（M）＋\f(1,P（M）)))，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是()A．小明在第4排B．小明在第5列C．小明在第4排第5列D．小明在某一排解析：选C.本题考查了信息的理解迁移及其应用，小明在4排的概率P(A)＝eq\f(1,4)，则I(A)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋4))＝log2eq\f(17,4)；P(B)＝eq\f(1,8)，I(B)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)＋8))＝log2eq\f(65,8)；P(C)＝eq\f(1,32)，则I(C)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(1,32)))；P(D)＝1，则I(D)＝1，故最大值为选项C.12．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从________箱中取出的．解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100)，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此可知，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．答案：甲13．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，所以估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，因此，甲应当选择路径L1，同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分布为48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，所以估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙应当选择路径L2.[C拓展探究]14．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，详细见下表．质量指标Y[9.4，9.8)[9.8，10.2](10.2，10.6]频数82416一年内所需维护次数201(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种状况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，推断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？解：(1)指标Y的平均值＝9.6×eq\f(1,6)＋10×eq\f(3,6)＋10.4×eq\f(2,6)≈10.07.(2)由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1、A2、A3；指标Y在(10.2，10.6]内的有2件，记为B1、B2；指标Y在[9.4，9.8)内的有1件，记为C.从6件产品中随机抽取2件产品，共有样本点15个(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，C)、(A2，A3)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，C)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A3，C)、(B1，B2)、(B1，C)、(B2，C)．其中，指标Y都在[9.8，10.2]内的样本点有3个：(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)．所以由古典概型可知，2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(3)不妨设每件产品的售价为x元，