2021-2022学年福建省福州教育学院附中实验班九年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

202L2022学年福建省福州教育学院附中实验班九年级（下）第

二次月考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.下列无理数，与71最接近的是（）

A.炳B.TloC.D.任

2.钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）

A.110°B.75°C.105°D.90°

3.如图，在数轴上，点A、8分别表示“、〃，且a+A=0,若|a-〃|=6,则点A表示的数为

（）

ABx

A.-3B.0C.3D.-6

4.中国古代大建筑群平面中统率全局的轴线称为“中轴线”，北京中轴线是古代中国独特

城市规划理论的产物，故宫是北京中轴线的重要组成部分.故宫中也有一条中轴线，北

起神武门经乾清宫、保和殿、太和殿、南到午门，这条中轴线同时也在北京城的中轴线

上.图中是故宫博物院的主要建筑分布图.其中，点A表示养心殿所在位置，点。表示

太和殿所在位置，点3表示文渊阁所在位置.已知养心殿位于太和殿北偏西21。18,方向

上，文渊阁位于太和殿南偏东58°18,方向上，则NAO5的度数是（）

5.九曲桥是我国经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好

地观赏风光，如图，某两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含

的数学道理是（)

A.两点确定一条直线

B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短

D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

6.如图，A3是。。的直径，是的弦，先将标沿BC翻折交AB于点。，再将俞沿

A3翻折交8c于点E.若标=而，则NBC。的度数是（）

7.已知二次函数-x+4-,若尤="时，y<0；则当x=〃-I时，对应的函数值范围

判断合理的是（）

A.y<0B.0<y<^-C.—D.丫〉9/,

88y8y8

8.如图，在半径为代的。。中，弦A8与。。交于点E,NDEB=75°,AB=4,AE=\,

则8长是（)

C.3V2D.2VI1

9.已知线段A8=〃，延长线段AB到点C；若点历是线段AC的中点，点N是线段6c的

中点，且。是方程上经=空安

・3的解，则线段MN的长为（

「

A.41B•券59D.67

17C3646

10.如图，点C在以A3为直径的半圆上，A3=8,ZCBA=30°,点。在线段A8上运动,

点E与点。关于AC对称，DFLDE于点D,并交EC的延长线于点”，下列结论：①

CE=CF；②线段E”的最小值为2畲：③当AO=2时，E”与半圆相切：④若点”恰好

落在弧BC上，则AO=2遥.其中正确结论的序号是（）

A.①@B.②③C.①②③D.①②®④

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.已知27m=3%则/〃的值是

12.一个长方体的长、宽、高分别是5cm,3cm,2cm,把它锻造成一个正方体,则这个正

方体的极长是

13.如图，在平面直角坐标系中，。是直线尸枭2上的一个动点，将。绕点P（-I,0）

乙

逆时针旋转90°,得到点。，连接OQ,则OQ'最小值为.

14.已知在平面直角坐标系工。丫中，点A的坐标为（5,12）,M是抛物线），=底+公+1（a

#（））对称轴上的一个动点,小明经探究发现：当上的值确定时，抛物线的对称轴上能使

△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线产加+公+1（*0）的对称

轴上存在3个不同的点M,使△4OM为直角三角形，则上的值是

a

15.如图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG”拼成的一个大正方形

S阴影

ABCD,连C”和A/，若CH=CB,则:———=.

S正方形ABCD

16.如图.F方形A8CO的访长为1,经过点COW为QO的百杼.UCM=\.过点

M作。。的切线分别交边A8,八。于点G,H.BD与CG,C"分别交于点£F,Q0

绕点C在平面内旋转（始终保持圆心。在正方形A8CO内部）.给出下列四个结论：

①HD=2BG；②NGC〃=45°；③从F,E,G四点在同一个圆上：④四边形CGA”面

积的最大值为2-

其中正确的结论有_____（填写所有正确结论的序号）.

解答题：共9小题，共86分

2x46-x①

17.解不等式组:

3x+l>2(乂-1滴

18.如图，点。、E分别为△A3C的边AC、8c的中点，连接。E.

求证:

(I)DE//AB；

19.先化简，再求代数式卑五|+2二9”9的值,其中〃=2sin60°+3.

a-§a+/a乙-4

20.如图，A8为半圆。的直径，C£)=£AB=2板，AD,BC交于点E,且石为C8的中点,

乙

尸为弧AC的中点，连接E匕求EE的长.

21.某店三八节推出A,B,C三种花束，每种花束的成本分别为105元俅，135元谏，70

元/束.在3月7日，4,B,C三种花束的单价之比为3：4：2,销量之比为I：1：3.在

3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3

月7日有所增加.A,C花束增加的销售额之比为【：2：3月8日8花束的单价.上调25%

且4,B花束的销售额之比为4：5.同时三种花束的销量之比不变，若3月8日三种花

束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，求3月8日当天的利润率.

22.如图I,A3是OO的直径,A6绕点A顺时针旋转得到线段AC,连接6c交。。于点，

过。作。反LAC于瓦

(I)求证：。后是。。的切线：

(2)过。作。口LA8,交0。于点F,直线AC交。。于点G,连接/G,DG,BF.

①如图2,证明：FG//BD-.

②当AC旋转到如图3的位置，在8尸上取一点“，使得。〃=OF.若BF_LDG,证明:

D,O,”在同一条直线上.

23.疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下

午3点开始，设6个采样窗I」，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排

队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：

时间X0153045759095100110

（分）

人数y601151601952352401801200

（个）

小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图

象如图，请你解答：

（I）求曲线A8C部分的函数解析式：

（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？

（3）如果采样进行45分伊后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采

样可以随到随采，那么至

少需新增多少个采样窗口？

（4）疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单

位进行全员核酸检测，如果采样时间P（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30Wf

W60）,则开设的采样窗口数量"（个）的范围是.

24.在RtZ\48C中，AC=BC,/4C8=90°,点。在8C上方，连接。Q,将CO绕点。

顺时针旋转90°到EO.

（1）如图1,点。在AC左侧且在点4上方，连接CE,若NACQ=15°,/18=2加,

CE=1+3^3*求AE的长.

（2）如图2,点。在AC左侧且在点A上方，连接交C。于点M,F为BE上一点,

连接。立过点尸作FG〃八。交8。延长线干点G.连接GM.EG.AD,若/EDF+/EBG

=/DEB,GM=BM.求正：AD=EF.

（3）如图3,已知8c=3,CD=6,连接BE交CQ于点M,连接C£将△CEM沿直线

EM翻折至所在平面内，得△<:'EM,当AM+CM最小时，求。到BC的距

图I图2

25.已知二次函数），=r-〃优「〃（/〃为常数）.

（I）当机=4时.

①求函数顶点坐标，并写出函数值），随x增大而减小时x的取值范围.

②若点P"W）和。（5,»）在其图象上，且时.则实数/的取值范围是.

（2）记函数），=炉-加计，〃（xW/n）的图象为G.

①当图象G与直线＞，=-只有一个交点时，求利的值.

②矩形48C。的对称中心为坐标原点，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2,2

-〃力，当图象G在矩形48C/）内部（包括边界）对应的函数值），随x的增大而逐渐减

小，并且图象G在矩形4BCO内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为

2时，直接写出，〃的值.

参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.下列无理数，与n最接近的是()

A.V9B.710C.D.-/12

【分析】求出M的近似值即可得出答案.

解：・.52~9.87,

An最接近Y15，

故选：B.

2.钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为()

A.110°B.75°C.105°D.90°

【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答.

解：由题意得：

3X300+—X30°

2

=900+15°

=105°,

••・钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为105。，

故选：C.

3.如图，在数轴上，点4、8分别表示a、b,且"〃=0,若加=6,则点A表示的数为

()

1I.

ABx

A.-3B.0C.3D.-6

【分析】根据相反数的性质，由a+b=0,得“VO,b>0,b=-a,故|a-b|=b+(-a)

=6.进而推断出。=・3.

解：'：a+b=O,

：.a=-b,即“与人互为相反数.

又•例=6,

*.b-«=6.

：.2b=6.

：.b=3.

，a=-3,即点A表示的数为-3.

故选：A.

4.中国古代大建筑群平面中统率全局的轴线称为“中轴线”，北京中轴线是古代中国独特

城巾.规划理论的产物，故宫是北京中轴线的重要组成部分.故宜中也有一条中轴线，北

起神武门经乾清宫、保和殿、太和殿、南到午门，这条中轴线同时也在北京城的中轴线

匕图中是故宫博物院的主要建筑分布图.其中，点A表示养心殿所在位置，点。表示

太和殿所在位置，点B表示文渊阁所在位置.已知养心殿位于太和殿北偏西21。18,方向

上，文渊阁位于太和殿南偏东58°18,方向上，则/AO8的度数是（）

A.79、36，B.143cC.I4OAD.153c

【分析】先求出58°18,的余角，然后再加上90°与21。18,的和即可解答.

解：由题意可得：

90°-58°18'=89°60'-58°18'=31°42',

AZAOB=2\°18'+90°+31°42'=143°.

故选：B.

5.九曲桥是我国经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好

地观赏风光，如图，某两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含

的数学道理是（）

A.两点确定一条宜线

B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短

D.过一点有且只有一条宜线与已知直线垂直

【分析】根据线段的性质进行分析即可解答.

解：某两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：

两点之间，线段最短，

故选：C.

6.如图，是。0的直径，是OO的弦，先将版沿8C翻折交十点。，冉将前沿

A3翻折交8C于点£若标=而，则NBCZ）的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【分析】证明/CA8=3a,利用三角形内角和定理求出a,可得结论.

解：设乙4BC=a,

则标，CD菽的度数都为2a,

.•⑥的度数=4%

•・•翻折，

••・奇的度数=4a，

.*•C值的度数=2a+4a=6a,

•••金的度数+菽的度数=180。，

•・.2a+6a=180°,

.,.a=22.5°.

•••面的度数=90°

；.NBCD=45°.

故选：C.

7.已知二次函数丁=5-x+返■,若x=a时，yVO；则当x=a-l时，对应的函数值范围

8

判断合理的是（）

AApn---V2厂V2&•返n4-+V2

A.y<0B.0<v<--C.-——-------------D.7>1-

88y8y8

【分析】易求得抛物线对称轴，可以找出。的大小范围，即可确定a-1的大小范围，即

可解题.

解：对称轴为：x=-^-.

.,•当x=，，尸返工<0,

28

当x=0时，尸零■,

O

当x=l时，），=亚.

8

**x=a,>,<0,

...-\<a-l<0.

又•・•当x=-1时，返，

3

・%_.-V2--I6+V2

..3x=a-I|IHFj,--<y<-----:—.

88

故选：c.

8.如图，在半径为巡的0O中，弦与CO交于点E,/DEB=75°,AB=4,AE=1,

则CO长是（)

•o

E

A

A--|V2B.275C.3V2D.Wil

【分析】连接。从0E,过点。作0G_LA8,垂足为G,过点。作O£LC。，垂足为尸,

根据垂径定理可得AG=BG="|/1B=2,CD=2DF,然后在RjGB中，求出0G,从

而求出NOEG=45°,进而求出NOEO=30°,即可求出0尸，最后在RlZXOFO中，求

出。居进行计算即可解答.

解：连接08,0E,OD,过点O作OG_LAB,垂足为G,过点O作0rl.C。，垂足为F,

：.AG=BG=^AB=2tCD=2DF,

•：AE=\,

：.EG=AG-AE=2-1=1.

在Rt^OGB中，OB=曲,

=22=

^GVBO-BGV(V5)2-22=1'

：.EG=0G=\,

：.NOEG=NEOG=45°,

：.OE=®OG=®,

•:/DEB=75°,

:・NDE0=NDEG-NOEG=3U°,

：.0F=-10E=V-^?-,

22

22=

在RtADFO中，DF=VO3-OFJC

:,CD=2DF=3近,

故选：c.

9.已知线段A8=”，延长线段A3到点C：若点M是线段AC的中点，点N是线段4c的

中点，且〃是方程上件_3x+l

-3的解，则线段MN的长为（)

7

、4152

A.-BD.C,更D.以

17213646

【分析】先解一元一次方程求出。的值，然后分两种情况，点M在点8的左侧，点M在

点B的右侧.

解:詈=限3

7(I-2x)=3(3x+l)-63

7-I4A=9X+3-63

-14x-9x=3-63-7

-23x=-67

67

23,

分两种情况：

当点M在点B的左侧，如南：

1----------------n—s~予―

•・•点M是线段AC的中点，点N是线段的中点,

：.MC=^；AC,NC=±BC,

22

:・MN=MC-NC

=当0-与°

22

=—AB

2

_67

—记

当点M在点B的右侧，如织：

•--------------------•~•---------•----------

ABVN

•・•点M是线段AC的中点，点N是线段8C的中点,

：,MC=—AC,NC=—BC,

22

：.MN=MC-NC

=当。-

22

=斗3

2

__67

一记

・•・线段MN的长为累，

46

故选：D.

10.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=S,NCM=30",点D在线段A8上运动,

点E与点。关于AC对称，DF_LDE于点D,并交EC的延长线于点尸，下列结论：①

CE=CF；②线段EF的最小值为心履：③当月。=2时，“与半圆相切；④若点尸恰好

落在弧8C上，则AO=2遥.其中正确结论的序号是（）

A.®®B.②③C.①②③D.①@©④

【分析】①连接DC,根据题意可得：CE=CD,从而可得/E=NCQ£再利用等角的

余角相等可得/尸=/。。忆进而可得CO=C6即可判断：

②由①可得即=2CQ,所以当CO最小时，则即最小，所以当CO_LA8时，先在!＜【△

ABC中求出AC,再在RtZ\ACO中求出CO,即可判断；

③连接OC,先证明△AOC是等边三角形，从而可得N4CO=60°,然后利用等腰三角

形的三线合一性质可得

.•・NACO=30°,进而可得NECA=30°,然后再证NOCE=90°,即可判断；

④连接AF、BF,根据题意可得。E_LAC,从而可得少七〃8C进而可得FH=DH,/BHD

=90。，从而证明8c是OF的垂直平分线，然后再利用等腰三角形的三线合一性质可得

/尸84=60°,最后在RtZ\4尸8中求出8凡即可求出B。，即可判断.

解：连接。C，

•・•点E与点D关于AC对称,

：,CE=CD,

:・NE=NCDE,

DFA.DE,

ZEDF=90°,

JNE+N产=90”，

•・•/CDE+NCO尸=90°,

1・NF=NCDF,

：.CD=CF,

:,CE=CD=CF,

故①正确；

•：CE=CD=CF,

：,EF=2CD,

当CO最小时，则七尸最小，

・••当CO1.AB时，CD最小，

•••A8是半0O的直径，

AZACB=90°,

•；AB=8,ZCBA=30°,

：.AC=^-AB=4NCA8=90°

t-ZCfiA=60c,

2

=4X当=2^，

在RtAADC中，C3=ACsin60°

.\EF=2CD=4^2,

二线段"的最小值为4炳，

故②不正确：

连接。。，

*：OA=OC,NA=60",

•••△49C是等边三角形，

••・NAC0=6(F,

*：AD=2,OA=4,

/.OD=OA-AD=4-2=2,

：.AD=OD,

：.ZACD=^-ZACO=30°,

2

•・•点E与点。关于AC对称,

：.ZECA=ZACD=30°,

・・・NOCE=NEC4+NACO=90°,

TOC是半。。的半径，

.•・Eb与半。。相切，

...当AO=2时，防与半圆相切，

故③正确：

：.AC±DE,

・・・N4GO=90°,

VZACB=90°,

/.ZACB=ZAGD=90a,

J.DE//BC,

•;CF=CE,

：.FH=DH,

VZEDF=90°,BC//DE,

：.ZBHD=ZEDF=9^,

...8C是。尸的垂直平分线，

：.BF=BD,

：.ZF5A=2ZC54=60°,

•・Y8是半OO的直径，

...NAF8=90°,

，F8=48cos60°=8X—=4,

2

.\BD=BF=4,

.•・AO=48-8O=8-4=4.

故④不iF确.

所以，正确结论的序号是①③，

故选：A.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.已知27m=3%则m的值是5.

【分析】根据事的乘方法则，把27。变为33m,得出关于〃?的方程，解方程即可得出答案.

解：力口也

.•・(33)

.-.3^=315,

:.3m=15

I.m=5,

故答案为：5.

12.一个长方体的长、宽、高分别是5cm,3cm,2cm,把它锻造成一个正方体，则这个正

方体的棱长是R国cm.

【分析】利用长方体的体积、正方体的体积公式和立方根的定义计算即可求解.

解：设这个正方体的楂长是，山人

依题意得：“3=5X2X3=30,

解得：〃=丁§5,

即：这个正方体的棱长是W胸。〃.

故答案是：漏cm.

13.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=£x+2上的一个动点，将。绕点。(-1,0)

逆时针旋转90°,得到点。，连接。。，则。Q'最小值为_代_.

【分析】设Q"费什2),过点尸作人8”轴，过点Q作八QUB交于八点，过点0

乙

作Q'3_LA3交于B点，可证明△APQg/XB。'尸(AAS),由此可求。'(-'-3,/+1),

令x=-3,>,=r+l,可得Q，在直线y=-2x-5上运动，再由ianNCQO=~^=tanN

OEQ',OE=5,当OO，_LE。时，。。的值最小，即可求。。的最小值为代.

解：设Q(/>获f+2),

乙

过点尸作/IBLr轴，过点。作AQ_LAB交于人点，过点。祚QBJ_/历交于8点，

•••/QPQ'=90。,

・•・NQPA+/Q'P8=90°,

•••/QPA+NAQP=9(T,

：.4QPB=4AQP,

\'QP=A'P,

：・4APQWABQP(AAS),

:・QA=PB,AP=Q'B,

•:P(-1,0),

：,QA=-1,AP=-i/+2,

乙

Q，(-~t~3>/+!)>

2

令x=-得f-3,>-=r+l,

乙

，y=-2x-5,

・••。在直线y=-2x-5上运动,

在)'=£x+2中,

令x=0,则y=2,令)，=0,则x=-4,

AC(0,2),D(-4,0),

:.lanNCZ)O=《，

2

■:NCDO=/DOE,

二.tanNOE。得，

：.Q'E=2OQ',

在y=-lr-5中，令x=0,则y=-5,

：.E(0,-5),

：.OE=5,

当OO，_LE。时，。。'的值最小,

•・・oe=西

・・・Q2'的最小值为衣,

14.已知在平面直角坐标系X。/中，点A的坐标为（5,12）,M是抛物线）〜”2+/次+1

W0）对称轴上的一个动点,小明经探窕发现：当上的值确定时，抛物线的对•称轴上能使

△4OM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线），=加+辰+1（〃W0）的对称

轴上存在3个不同的点M,使△AOM为直角三角形，则上的值是

a

・18或8.

【分析】AAOM为直角三角形时，为直角，/O为直角各自只有一种情况，只有当

为直角只有一种情况，也即以OA为直径的圆与对称轴相切时才满足3个不同点M,

根据勾股定理求出直径，再求对称轴即可.

解：当抛物线（。/0）的对称轴上存在3个不同的点M,使△40M为直角

三角形，

此时以OA为直径的圆与抛物线的对称轴相切，如图所示，

点坐标为（5,12）,艰据勾股定理，得

04=13,

，对称轴X=O”+3M=^T=9,或X=OH-T=-4

2222

也即噌及或焉二一4

•••£=-18或8.

15.如图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG”拼成的一个大正方形

$阴影1

ABCD,连C”和AF,若CH=CB,则7———

S正方形ADCD10

【分析】记。〃与。尸的交点为点N,AF与BH的交点为点M,设直角三角形的较短宜

角边的长为“，长直角边的长为力，然后得到正方形A8CO的面积，CF=BE=a,BH=

CE=b,得到再由CE_L8〃，CH=C8得到从而得到人=

加，4CFNs4CEH,再由相似三角形的性质求得的长.即可求得阴影部分的面枳,

最后求得结果.

解：如图，记CH与。F的交点为点M从r与8〃的交点为点M,则四边形是平

行四边形，

设直角三角形的较短直角边的长为。，氏直角边的长为。，

:•S无力影ABCD=AD2=出+b，,CF=BE=a,BH=CE=b,

：.EH=EF=b-a,

■:CE1BH,CH=CB,

:.BE=EH=a,

.\b=2a,

・'•S正方彩八8(7。=。2+/=。2+(2a)2=5〃2,EF=2。-a=a,

*：NNFC=NHEC=90",

：.FN//EH,

：,4CFNS4CEH,

.FN.FC|inFN__a_

••西丽TW，

解得：FN=-^a,

：.Swvi=FN*EF=^ci*a=^(r,

12

.•・$阴影区a=J,

S正方形ABCD5a210

故答案为：得■.

16.如图，正方形ABC。的边长为1,0O经过点C,CM为0。的直径，且CM=1.过点

M作。0的切线分别交边AB,A。于点G,H.BD与CG,。〃分别交于点E,F,。。

绕点C在平面内旋转(始终保持圆心。在正方形ABCO内部).给出下列四个结论：

®HD=2BG；②/GC〃=45°：③从F,E,G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面

积的最大值为2-y/~2.

其中正确的结论有小④(填写所有正确结论的序号).

【分析】①在O。绕点。在平面内旋转(始终保持圆心。在正方形A3CD内部)过程中,

3G增大时，。，随着减小，BG减小时，。〃随着增大，可判断①不正确：

②先证明RgC〃£>gRgC〃M(/〃)，可得：HD=HM,NHCD=NHCM,NCHD=

乙CHM,同理：GB=GM,£GCB=Z1GCM,NCG6=NCGM即可得出：ZGC//=45A,

可判断②正确:

③根据NC/〃)+N〃CO=90°,NBCH+N，CQ=90°,可得NCHQ=N8CH,进而推出:

ZC™+ZFEG=180°,OPH,F,E,G四点在同一个圆上，即可判断③正确:

④设〃O=x,BG=a,则，M=%,MG=a,AH=1-x,AG=1-a,利用勾股定理可得

出〃=*设四边形CG4”的面积为y,则：—"…-

1x-1

?V2(x+l)'整埋，得：(2y-2)A+(2y-1)=(),由根的判别式得:A=(2>-

-2)2-4XlX(2y-1)20,即(y・2+«)(厂2-6)NO,可得出yW2-

即四边形CGAH的面积的最大值为2-近,可判断④正确.

解：①在0O绕点。在平面内旋转(始终保持圆心O在正方形A8CO内部)过程中,

8G增大时，。”随着减小，8G减小时，。〃随着增大，故①不正确:

②;正方形A8C。的边长为1,

...NA=NA8C=N8CO=NAOC=9(T,AB=BC=CD=AD=\,

，：GH与OO相切于点M.

AZCMH=ZGWG=90°.

•••CM为。。的直径，且CM=1,

...BC=CM=CD=1,

在RtAC//D和RtACWA/中,

/CD=CM

'CH=CH，

:.RtACHD且RtACHM(HL),

/.HD=HM,/HCD=/HCM,/CHD=/CHM,

同理：GB=GM,/GCB=NGCM,4CGB=4CGM,

•:/HCD+/HCM+/GCB+/GCM=()()°.

.,.2(/HCM+NGCM)=90°,

・・・NGC〃=45°,故②正确：

③。：/CHD+/HCD=90°,NBCH+/HCD=90°,

:./CHD=/BCH,

♦：/CHM=NCHD,

；.NCHM=NBCH=45°+ZGCB,

</CEF=45°+NGCB,

:.NCHM=NCEF,

VZCEF+ZF£G=180°,

ZCHW+ZFEG=180°,

/.四边形EFHG是圆内接四边形，

即，，F,E,G四点在同一个圆上，故③正确；

④设HD=x,BG=a,则HM=x,MG=a,AH=1x,AG=1a,

:.GH=HM+GM=x+a,

在RtZXAG”中，AH2+AG2=GH2,

.•・(1-x)2+(1-«)2=(X+fl)2,

._1-X

••Cl—7"，

X+1

设四边形CG4〃的面积为y,

则：)'=S正方形A8{7)_S“DH-5ACBG

=AB2-^CD*DH-募BUBG

-—•1*x

2-和M

x-1

/.>'=i-1

—2+-2---(7-x--+--l--)

整理，得：/+(2y-2)x4(2y-i)=0,

/.A=(2y-2)2-4XIX(2y-1)20,

.'.y2-4)叶220,

/.(y-2+72)(J-2-V2)20，

y-2+V2>0pfy-2+V2<0

•或rvl*.

•v-2-V2>0^lv-2-V2<0,

解得：*2+加或）W2-迎，

j，WS正方彬A8CD=I，

・•・），22+&不符合题意，舍去，

.,.）W2-^2，

即），的最大值为2-加,

••・四边形CGAH的面积的最大值为2-近,

故④正确，

故答案为：②③©.

三、解答题:共9小题，共86分。

(2x46-x①

17.解不等式组:限+1〉2(乂-1诊

【分析】分别求出每•个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

解：解不等式①，得：x&2,

解不等式②，得：x>-3,

则不等式组的解集为-3VxW2.

18.如图，点。、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，连接。£

求证:

(I)DE//AB,

【分析】（I）延长。£至点凡使连接BE证明SBX4OF8是平行四边形,

可得结论：

（2）利用平行四边形的性质解决问题即可.

【解答】证明：（I）延长。上至点尸，使£〃=。£,连接8F.

,・•点E为8C的中点,

：.CE=BE,

•：/CED=/BEF,

:.ACDE出ABFE(SAS),

：.CD=FB,/C=/FBC,

J.BF//AC,

•・•点。为AC的中点，

：.CD=AD,

：.AD=BF,

工四边形"FQ是平行四边形,

：.DE//AH,

（2）由（1）知：四边形A8FD是平行四边形,

：,DF=AB.

♦：DE=EF,

工DE[DF，

,DE]AB.

19.先化简，再求代数式彗芸+/瞥电的值，其中”=2sin6()°+3.

z

a-3a+2a-4

【分析】先根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算，求出。的

值，最后代入求出答案即可.

tma+1a-3.a^-6a+9

解：吞百丁下丁

a+1a-3.(a+2)(a-2)

a-3a+2(a-3)2

a+1_a-2

a-3a-3

—(a+1)-(a-2)

a-3

_3

一

当a=2sin60°+3=2X哼+3=«+3时，

原式=常三=/=遮.

20.如图，A8为半圆O的直径，CD吾AB=2巾,AD,3C交于点E,且£为C8的中点,

乙

尸为弧AC的中点，连接E3求下尸的长.

【分析】连接。瓜OF、AC.OC、OD,AC与OF相交于“点,如图，先证明△OCO

为等边三角形得到/。。。=60°,则根据圆周角定理得到NCW=30°,NAC8=90°,

再根据垂径定理得OE_L8。，OF1AC,CH=AH,所以四边形OKCH为矩形，丁是得到

/EOF=90。，OE=CH=^AC,设CE=x,利用含30度角的直角三角形三边的关系得

乙

到AC=J§.r,在RlZXACB中利用勾股定理得到(后)2+(2r)2=(4^7)?，解方程

求出x得到。£=入分，然后在RlAOEF中利用勾股定理可计算出EF的长.

解：连接OE、OF、AC.OC、OD,AC与O/相交于〃点，如图,

'：CD=—AB,

2

：.CD=OC=OD,

.,•△OCQ为等边三角形，

，NCOD=60°,

AZC/1D=4ZCOD=30°，

2

•••AB为半圆O的直径，

AZACB=9Q°,

・・・E为。的中点，

：.OELBC,

•・•尸为弧AC的中点,

：.OF1.AC,CH=AH,

・•・四边形OEC”为矩形，

AZEOF=90°,OE=CH=^AC,

设CE=x,则4E=x,

在RtZ\ACE中，VZCAE=30°,

:.AC—^3CE=^/~3^，

在RlZ\AC8中，（心）耳（2x）2=（W7）2,

解得x=4,

••・AC=4近，

：.OE=2y/3,

在RtAOEF中，£尸=近232r（2«）2+（2行）2=2疝­

21.某店三八节推出A,B,C三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70

元/束.在3月7日，A,B,C三种花束的单价之比为3：4：2,销量之比为1：1：3.在

3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3

月7日有所增加.A,C花束增加的销售额之比为I：2；3月8日“花束的单价上调25%

且A,3花束的销售额之比为4：5.同时三种花束:的销量之比不变，若3月8日三种花

束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，求3月8日当天的利润率.

【分析】根据题意设出3月7日，A,B,。三种花束的单价分别为3%,4x,2r,销量分

别为小，m,3m,3月8日的三种花束的销量分别为〃，〃,3〃，把这两天三种花的单价、

销量均表示出来，根据3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多

96元，列出方程求出x,再用整体法求出利润率即可.

解：由题意设3月7日，A,B,。三种花束的单价分别为微，4%,lx,销量分别为，小

，〃，3m,

V3月8日的三种花束的销量之比不变,

••・设3月8日的三种花束的销量分别为〃，〃，3”,

•••3月8日4花束的单价上调25%,

，3月8日4花束的单价为4x(1+25%)=5x,

••,3月8日A,3花束的销售额之比为4：5,

，3月8日3花束的销售额为5m-,A花束的销售额为4/tr,

，3月8日4花束的单价为—=4x,

n

•••3月8日三A,C花束增加的销售额之比为1：2,

花束增加的销售额为：4/tr-3〃次,

AC花束增加的销售额为：8以-6,心,

8nx-6mx+6mx8

••・3月8日。花束的单价为:

3n3V

•••3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元,

Q

...4x+5.v+~^x-(3x+41r+2t)=96,

3

•*.A=36,

4nx+5nx+8nxT05nT35n-70X3r

「・3月8日的利润率为:X100%=36%,

105n+135n+210n

••・3月8日的利润率为36%.

22.如图I,AB是的直径.AB绕点4顺时针旋转得到线段AC,连接HC交于点D,

过。作O£_LAC于E.

(1)求证：。七是。。的切线;

(2)过。作。/_LA&交0O于点F,直线AC交。。于点G,连接/G,DG,BF.

①如图2,证明：FG//BD,

②当AC旋转到如图3的位置，在分'上取一点〃，使得。〃=。£若3〃_LOG.证明:

【分析】(1)如图1，连接OD、AD,根据旋转可证得△ABC是等腰三角形，根据直径

所对的圆周角是直角可得出ADA.