最值模型之费马点模型（解析版）

专题26最值模型之费马点模型

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考

试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶•德・费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位

不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之

外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.费马点：三角形内的点到三个

顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论1：如图，点M为A43C内任意一点，连接//、BM、CM,当M与三个顶点连线的夹角为120。时，

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△NBC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此时费马点就

是最大角的顶点(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120。)

【模型证明】以48为一边向外作等边三角形A48E,将3M绕点8逆时针旋转60。得到8N,连接EN.

•••△ABE为等边三角形，.♦.4B=2E,MBE=60°.而乙MBN=60°,；./-ABM=cEBN.

AB=BE

在A4MB与△£N8中，“ZABM=ZEBN，:-AAMBmAENB(SAS).

BM=BN

连接MV.由三八项汨知，AM=EN.•；/LMBN=60°,BM=BN,；ABMN为等边三角形.

:.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.：.当E、N、M、C四点共线时，/M+3M+CM的值最小.

止匕时，Z5MC=18O°-zA^ffi=120°；UMB=4ENB=180°-乙BNM=120°；

zJA/C=360°-/.BMC-乙4MB=120。.

费马点的作法：如图3,分别以A48C的/8、/C为一边向外作等边A48E和等边A4CR连接C£、BF,

设交点为则点”即为aZBC的费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

结论2：点尸为锐角A48C内任意一点，连接/P、BP、CP,求x/P+yBP+zCP最小值。（加权费马点）

【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持AP不变，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+^-CP）,如图，B、P、P2,也四点共线时，取得最小值。

模型特征：PA+PB+PC（尸为动点）

①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与己知

三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③同时线段前可以有不为1的系数出

现，即：加权费马点。

例L（2023•湖北随州•统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同

一条直线上的三个点B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学

家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点"或"托里拆利点"，该问题也被称为"将军巡营"问

题.

⑴下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从"直角"和"等边"中选择填空,

②处从“两点之间线段最短"和"三角形两边之和大于第三边"中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三

角形的某个顶点）

当“BC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到“'PC,连接PP,

故尸P=PC,又P'A'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',4在同一条直线上时，P4+P8+PC取最小值，如图2,最小值为H8,此时

的P点为该三角形的“费马点"，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=⑶：

已知当。3C有一个内角大于或等于120。时，"费马点"为该三角形的某个顶点.如图3,若/A4C2120。，

则该三角形的"费马点”为⑷点.

(2)如图4,在“BC中，三个内角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,已知点P为“BC的"费

马点"，求尸/+P2+PC的值；

A

⑶如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知/C=4km,8C=26km,ZACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向4B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄4,B,C的铺设成本分别为“

元/km,。元/km,也°元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含a的式子表示)

【答案】⑴①等边；②两点之间线段最短；③120。；④4(2)5(3)2折。

【分析】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

(2)根据(1)的方法将绕，点C顺时针旋转60。得到A/'PC,即可得出可知当2,P,P,/在

同一条直线上时，P/+P2+PC取最小值，最小值为在根据乙4。8=30。可证明

NAC4=NA'CP+NBCP+NPCP=90°,由勾股定理求即可，

(3)由总的铺设成本=a(P/+P8+亚PC),通过将△/PC绕，点C顺时针旋转90。得到"PC,得到等

腰直角APPC,得到回C=PP,即可得出当8,尸，P,/在同一条直线上时，PH+P2+PP取最小值,

即PA+PB+®PC取最小值为A'B,然后根据已知和旋转性质求出A'B即可.

【详解】(1)W：;PC=P'C,ZPCP'=60°,

.•.△PCP'为等边三角形；.-.PP'=PC,NP'PC=NPPC=60。,

又PA'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'WA'B,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P,N在同一条直线上时，P/+PB+PC取最小值，

最小值为H8,此时的P点为该三角形的"费马点”，

ZBPC+ZP'PC=180°,NA'PC+NPP'C=180°,.-.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又："PC=^A'P'C,NAPC=ZAP'C=120°,

；.NAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°；

■■ZBAC>120°,：.BC>AC,BC>AB,：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三个顶点中，顶点/到另外两个顶点的距离和最小.

又•••已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，"费马点”为该三角形的某个顶点.

二该三角形的“费马点”为点/,故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)将△4PC绕，点C顺时针旋转60°得到AAP'C,连接尸P,

由(1)可知当3,P,P',/在同一条直线上时，P/+PB+PC取最小值，最小值为48,

•；NACP=ZA'CP',1•.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=NACB=30°,

又•••NPCP=60°ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,AB7BC?+4c2=J42+32=5,二尸/+依+尸C最小值为5,

(3)•:总的铺设成本=PA-a+PB-a+PC/a=a(PA+PB+叵PC)

当尸/+P3+41PC最小时，总的铺设成本最低，

将△川(2绕，点C顺时针旋转90。得到A/'PC,连接尸P,A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

•••PP'=6PC，PA+PB+亚PC=P'A'+PB+PF，

当2,P,P',/在同一条直线上时，尸讶+?8+尸口取最小值，即P/+P8+回C取最小值为H8,

过点H作4H13C,垂足为•.•44c3=60。，ZACA'=90°,ZA/CH=30°,

...A'H=^A'C=2km,HC=ylAC2-AH2=A/42-22=273（km），

BH=BC+CH=273+2指=46（km），：.A'B=^AH2+BH2=J（4后+2?=2^/13（km）

PA+PB+6PC的最小值为2Vi?km

总的铺设成本=取・。+必・。+尸0缶=。（尸工+尸8+行尸0=2旧。（元）故答案为：25a

【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股

定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键.

例2.（2023,广东深圳,二模）如图，是等边三角形，M是正方形48co对角线2。（不含3点）上任

意一点，BM=BN,NABN=15。（点N在4?的左侧），当NA/+8M+CN的最小值为6+1时，正方形的边

【答案】41

（分析］首先通过SAS判定△，必必会△EWB，得出㈤0=EN,因为ZABD+ZABN=60。，2"=8N,得出RMNB

是等边三角形，AM+BM+CM^EN+MN+CM,而且为最小值，我们可以得出EC=G+1,作辅助线，过点E

作所12C交C8的延长线于尸，由题意求出/EAF=30。，设正方形的边长为x,在RtAEFC中,根据勾

股定理求得正方形的边长为亚.

【详解】•；"BE为正三角形，；.NABE=60°,AB=BEZNBE=ZABE-ZABN=45°

-：BD是正方形ABCD的对角线，:2ABD=45°ZABD=ZNBE.

BM=BN

在4AMB和4ENB中<ZMBA=NNBE,△AMB^AENB(&4S)AM=EN

AB=EB

在△AffiN中，/ABD+ZABN=60。又•；BM=BN,；.AMBN为等边三角形，；.MN=BM.

■-AM+BM+CM最小值为V3+1..--EN+MN+CM的最小值为有+1即CE=百+1.

过点,E作EFJ.BC交CB的延长线于尸，可得ZEBF=90°-60°=30°.

设正方形的边长为X,则EF=；.

22

在RtAEFC,vEF2+FC2=EC2,■■(j)2+(^x+x)2=(V3+1)2

解得x=0(负值舍去)・・・・正方形的边长为正.故答案为：V2.

【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角

三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键.

例3.(2023春・江苏•八年级专题练习)如图，四边形ABCD是菱形，A8=6,且乙48c=60°,M是菱形内

任一点，连接/跖BM,CM,则/M+2M+CN的最小值为.

【答案】673

【分析】以AW为边作等边AS儿W,以3c为边作等边△8CE,如图，则4BCMSBEN,由全等三角形的对

应边相等得到Q3NE,进而得到脑V+7VE.当/、M、N、£四点共线时取最小值/£.根

据等腰三角形"三线合一”的性质得到AH=EH,根据30。直角三角形三边的关系即可得出结论.

【详解】以BM为边作等边4BMN,以8c为边作等边△8CE,贝！IW=5N=MMBC=BE=CE,

S1BN=LCBE=6O°,:.NBC=KBE,.-.ABCM=ABEN,:.CM=NE,：.AM+MB+CM^AM+MN+NE.当/、M、

N、E四点共线时取最小值NE.•.•/5=8C=8£=6,UBH=AEBH=6。。,：.BHLAE,AH=EH,乙B4H=30°,：.BH=

^AB=3,AH=^BH=3C，--AE=2AH=6^■故答案为6

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质.难度比较大.作出恰当

的辅助线是解答本题的关键.

例4.（2023春•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形N3CZ）内一点，且48=5,AD=8,N为

边3c上一点，连接M4、MD、MN,则K4+MD+MV的最小值为.

【答案】5+473

【分析】将■绕点N逆时针旋转60。得到V/D'”,连接。MM',然后即可得为等边三角

形，同理VRW为等边三角形，接着证明当M。、MM'、三条线段在同一直线上，MM'+M'D'+MN

的值最小，即M4+MD+MN的值最小，过点。必乍Z）'E_LBC于点E,即M4+MD+MN最小值为：D'E,

问题随之得解.

【详解】如图所示，将绕点/逆时针旋转60。得到V4D'”,连接MM',

根据旋转的性质有：ND4D'=60°,AD=AD',MD=M'D',

"DD'为等边三角形，同理V/M，为等边三角形,

AM=AM'=MM',AD=AD'=DD'=8,：.MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,

，当线段MD'、MM'、MV三条线段在同一直线上，且该直线与8C垂直时，++九W的值最小,

即M4+MD+MV的值最小，如下图，过点OC作DEL3c于点E,交4D于点尸,

M4+MD+MN最小值为：D'E,在矩形/BCD中，DELBC于点、E,

即可知四边形物跖是矩形，D'ELAD,BPAB=EF=5,

■■■^ADD'为等边三角形，D'FlAD,：.AF=FD=14D=4,

D'F=yJD'A2-AF2=4y/3，D'E=EF+D'F=5+473,

++的最小值为5+46，故答案为：5+473.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最

短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键.

例5.（2023,广东广州•校考二模）平行四边形/3C。中，点E在边2C上，连/E,点尸在线段/E上，连

BF,连/C.

D

，/VK//\X、IflyG/

/i\/i/•1ri.#Xj////工

/\\//z\\////

/x./«/^/~\4~\C//B^/F/.i

图I图2

⑴如图1,已知48//C,点E为8C中点，BFLAE.若2E=5,BF=2屈,求"的长度；

(2)如图2,己知N8=NE,ZBFE=ABAC,将射线/E沿/C翻折交C。于〃，过点C作CG，NC交/〃于

点G.若//CB=45。，求证：AF+AE=AG；

⑶如图3,已知工NC,若N4CB=3。。,48=2,直接写出4F+/+C尸的最小值.

【答案】(1)/尸=4(2)见解析(3)2万

【分析】(1)根据"直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到4E=BE=CE=5,再在直角所中,

利用勾股定理求出E尸，则/尸=/石-斯，即可求解；

(2)由题意可得，/C是/GCE的角平分线，且CGL/C,故延长GC交于点“，可证NG=/M,

要证NG=/E+N尸，\^AM=AE+EM,即证明/尸即可，延长3F交/C于N,过E作EP_L4。于

P,先证明A/8NGAE4尸，可以得到NN=EP,再证明四边形EQCP是正方形，得到EQ=EP="N,接着

证明A/NF会AEQM即可解决；

(3)如图3,分别以在'和/C为边构造等边三角形，构造"手拉手"模型，即可得到A/FC咨所以

CF=MN,FM=AF,则4尸+8尸+C尸=3F+FJW+MN,当B,F,M,N四点共线时，所求线段和的值

最小，利用NB/N=150。，AB=2,AC=AN=2。解A/8N即可解决.

【详解】(1)-：AB1AC,如图1,

_______________.D

/.ABAC=90°,E为BC的中点，AE=5,；.AE=BE=EC=5,

■■BFA.AE,.-.ZBFE=9Q°,在RtZiBE尸中，EF=NBE2-BF2=1，■-AF=AE-EF=4■.

(2)证明：如图2,设射线4E与射线GC交于点由题可设NC4M=/C4G=a,

VACVCG,ZACM=ZACG=90°,ZAMG=ZAGM=90°-a,AM=AG,

•・•/BFE=ABAC,・•./ABF+/BAE=/CAM+/BAE,・•./ABF=/CAM=a,

•••AB=AE,•••/ABE=ZAEB,・••/ABF+/FBE=NACB+/CAM,

•・•/ABF=/CAM=a,//CB=45。，ZFBE=ZACB=45°,延长3/交ZC于N,

:.BN=CN,/BNC=/ANF=90。,过E作于尸，贝lj尸£=/BAC4=90。，

ZBNA=NAPE

在AABN与AEAP中，｛/ABN=NEAP,"BNAEAP(AAS),AN=EP,

AB=EA

过E作E0LCW于0,.•./EQC=N4CM=NEPC=90。，・•・四边形E。。尸为矩形，

•/ZBCM=900-ZACB=45°,ZBCM=ZACB,：.EP=EQ=AN,

・・.矩形£0C尸为正方形，.♦./〃E0=/E4N,

'/ME。=/FAN

在△ME。与中，\EQ=AN,AEQM^A^2VF(ASA),AF=EM,

\ZEQM=ZANF=90°

-AM=AE+EM,.'.AG=AE+AF；

(3)解：如图3,把4c绕点4逆时针旋转60。得到/N,得到等边△ZCN,同理以"'为边构造等边

/\AFM,

EB匕——■

图3'

/.AF=AM=FM,AC=AN=CN,ZFAM=ZCAN=60°,

・•・ZFAM-/MAC=/CAN-ZMAC,・•.ZCAF=/NAM,

AF=AM

在与A4W中，IzCAF^ZNAM,AAFC^AAMN（SAS）,

AC=AN

■■,CF=MN,.-.AF+BF+CF=BF+FM+MN,

当B,F,M,N四点共线时，4F+8尸+C尸最小，即为线段BN的长度，如图4,

过N作NT_LR4交其延长线于T,：.NBTN=90°,

■：AB1AC,.-.ZBAC=90°,-AB=2,ZACB=30°,.-.BC=2AB=4,

■■AC=^BC2-AB2=2A/3.AN=AC^2^3,■■^BAN=ZBAC+ZCAN=150°,

ZTAN=180°-ZBAN=30°,在RMaN中，TN=、AN=C,

2

■■AT=>jAN2-TN2=3>■-TB=TA+AB=3+2=5,BN=yiTN2+TB2=2/7>

AF+BF+CF的最小值为2J7.

【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短"在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本

辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段/C既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突

破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是

解决此间的关键.

例6.（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王

的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私

人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条

直线上的三个点4B,C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点尸的位置.托里拆利成功地解决了费

马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点4B,C距离之和最小的点称为A/5C的费马-托

里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点.问题解决：

（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将△8PC绕点8顺时针

旋转60。得到A3DE,连接PD,可得△APD为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，P/+P8+PC的最小值与线段_的长度相等；

（2）如图2,在直角三角形4BC内部有一动点尸，NA4c=90。，乙4c2=30。，连接PN,PB,PC,若/3=2,

求P/+P2+PC的最小值；（3）如图3,菱形/BCD的边长为4,UBC=60。,平面内有一动点E,在点£运

动过程中，始终有N8EC=90。，连接4E、DE,在AADE内部是否存在一点P,使得PN+PA+PE最小，若存

在，请直接写出P/+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)两点之间，线段最短；AE；(2)2疗；(3)存在，2岳-2

【分析】(1)连接NE,由两点之间线段最短即可求解；

(2)在放AIBC中先求出4C,将ABPC绕点C顺时针旋转60。得到△(?£)£,连接尸£＞、AE,由两点之间线

段最短可知，P/+P2+PC的最小值与线段/£的长度相等，根据勾股定理即可求解；

(3)在/XADE内部取一点尸，连接尸4、PD、PE,把△取£＞饶点。顺时针旋转60。得到△/GD,根据旋转

的性质和两点之间线段最短可知，P/+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾

股定理即可求出GE,故可求解.

【详解】(1)连接4E,如图，由两点之间线段最短可知，P4+P5+PC的最小值为线段/£的长

故答案为：两点之间线段最短；AE；

图1

(2)•.•在/ZL48C中，N3NC=90°,々C3=30°,AB=2

；.BC=2AB=4由勾股定理可得心JBC?-//=26

如图2,将aBPC绕点C顺时针旋转60。得到△CDE,连接PD、AE,可得△CP。为等边三角形，乙BCE=60°

A

Pl

B

：.PD=PC由旋转可得。£=P8,C£=5C=4.-.PA+PB+PC=PA+DE+PD

由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段/£的长度相等

•.•ZJCE="C3+Z5c£=30°+60°=90°.•.在RtAACE中，AE=^AC2+CE2=2币

即PA+PB+PC的最小值为2将；

(3)存在在A/DK内部是否存在一点尸，使得P/+PD+PE最小，

如图3,在ZUOE内部取一点P,连接上4、PD、PE,把饶点。顺时针旋转60。得到△尸G。，连接

PF、GE、AG,可得△2£＞「、ZUDG均为等边三角形

：.PD=PF由旋转可得PA=GF

.■.PA+PD+PE=GF+PF+PE,两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等

••・A8EC=90。.■.点E在以8C为直径的。。上，如图3贝！|O8=OC=13C=2

2

如图3,连接OG交OO于点〃，连接CG交/。于点K,连接/C,则当点E与点〃重合时，G£取最小值,

即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长

•菱形ABCD的边长为4,/,ABC=60a：.AB=BC=CD=AD=4

；.AABC、AACD均为等边三角形；.AC=CD=AD=DG=AG=4,乙4c庆乙4CD=60。

••・四边形/CZ）G是菱形，乙4CG=g乙4。。=30。.-.CG,互相垂直平分

：QK=yAD=2.,.根据勾股定理得CK=JCD2-DK2=2G--CG=2CK=46

•.•z<9CG=A4C5+Z^CG=60°+30o=90°.-.^Rt/^OCG中,OG=VoC2+CG2=2而

■：OH=OC=1：.GH=OG-OH=2V13-2即PA+PD+PE的最小值为2岳-2.

【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之

间的距离特点.

例7.（2023•江苏•校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形N8C。的四个顶点上，/8=10公里，BC=15公

里，现在要设立两个车站E,F,则区4+座+£〃+尸。+即的最小值为公里.

【答案】15+106

【分析】将A4E8绕A顺时针旋转60°得AAGH,连接BH、EG,将△DFC绕点D逆时针旋转60。得到

4DFM,连接CM、FM、FF,如图2,此;时£77、EF、尸N共线，K4+EB+EF+FC+FD是最小值,利用旋转

的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论.

【详解】解：如图1,将绕4顺时针旋转60。得△/G”,连接8"、EG,将△0PC绕点。逆时针旋转

60。得到△。尸跖连接CM、FF,

图1

由旋转得：AB=AH,AE=AG,乙EAG=^BAH=60°,BE=GH,

；&EG和ZU3”是等边三角形，.•./E=EG,

同理得：△£>"'和△£>CM是等边三角形，DF=FF,FC=FM,

:•当H、G、E、F、F、M在同一条直线上时，E4+EB+EF+FC+FD有最小值,如图2,

图2

■：AH=BH,DM=CM,是48和CD的垂直平分线，：.HMLAB,HMLCD,

"AB=10,.-.AABH的高为5石，

.■.EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+50+56=15+106，

则E4+£2+EF+PC+ED的最小值是（15+10行）公里.故答案为：（15+106）.

【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和尸

的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论.

例8.（2023下•陕西西安•九年级校考阶段练习）问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种

基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之

间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化.

融+28+尸。的最小值.

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为

折），再利用"两点之间线段最短"求最小值（化折为直）.

问题解决：如图2,将△8PN绕点8逆时针旋转60。至连接PP、AC,记A'C与交于点、D,易

知BA'=BA=BC=1,ZA'BC=NA'BA+NABC=120°.由BP'=BP,ZP'BP=60°,可知中BP为正三角形，

有PB=P'P.

^LPA+PB+PC=P'A+P'P+PC>A'C=y/3.因止匕，当/'、p、尸、c共线时，PN+尸8+尸C有最小值是火.

学以致用：（1）如图3,在“8C中，NA4c=30。,/2=4,。=3,「为448。内部一点，连接P4PB、PC,

则尸/+P5+PC的最小值是.（2）如图4,在。中，/BAC=45。,AB=26,CA=3,P为—BC内

部一点，连接尸4PB、PC,求行P/+P8+PC的最小值.

【答案】（1）5（2）亚

【分析】⑴将△4PC绕点A逆时针旋转60。得到△回£,易知“FP是等边三角形，ZEAB=90°,转化为

两定点之间的折线（化星为折），再利用"两点之间线段最短"求最小值（化折为直）.（2）将A4尸8绕点A逆

时针旋转90。得到易知是等腰直角三角形，NE48=135。，作交2/的延长线于

H.转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用"两点之间线段最短"求最小值（化折为直）.

【详解】（1）解：如图3中，

小'、

将LAPC绕点A逆时针旋转60°得到A4FE，,AP=AF,NBAF=NCAE=60°,

是等边三角形，AEAB=90°,在中，BE=J/炉+AB?=5，

■;PA+PB+PC=EF+FP+PB>BE,PA+PB+PC>5,P/+P8+PC的最〃、值为5.故答案为5.

(2)如图4中，

将尸8绕点A逆时针旋转90。得到△/尸E,.•.4F=/P,NFAP=NBAE=90。,

.•.△/灯是等腰直角三角形，；./区48=135。，作EHL2/交24的延长线于7/.

在RtZXEN”中，ZH=90°,AEAH=45°,AE=AB=272/.EH=AH=2,

在RtZXEHC中，EC=yll2+52=V2942PA+PB+PC=FP+EF+PC>CE，

■-41PA+PB+PC2区,■-6PA+PB+PC的最小值为V29.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时

的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置.

课后专项训练

1.（2022•宜宾•中考真题）如图，A/BC和A4DE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，点、D是BC

边上的动点（不与点3、C重合），DE与AC交于点F,连结CE.下列结论：①BD=CE；

4

②ZDAC=NCED；③若BD=2CD,则——=—；④在AZBC内存在唯一一点尸，使得尸/+PB+PC的值

AF5

最小,若点。在/尸的延长线上，且NP的长为2,则CE=2+VL其中含所有正确结论的选项是（）

C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】证明之即可判断①，根据①可得4〃）8=//EC,由//OC+N/EC=180。可得

4，C,E四点共圆，进而可得乙EUC=NOEC,即可判断②，过点A作/GL8C于G,交助的延长线于点

CF4

H,证明AE4"SAFCE,根据相似三角形的性质可得F=即可判断③，将△/PC绕A点逆时针旋转

60度，得到△/QP,则“尸尸是等边三角形，根据当9,P,P,C共线时，尸/+尸5+尸。取得最小值，可得

四边形/OCE是正方形，勾股定理求得。尸，根据。£=/。=/尸+尸。即可判断①.

【详解】解：：A/3C和A/DE都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.•.△BAD咨4CAE2。=CE故①正确；

AB4D知C4EZADB=ZAECNNOC+NNEC=180°，42C,E四点共圆，

•.•CO=CD4c=/D£C故②正确；如图，过点A作NG,2c于G,交E。的延长线于点X,

B

ABAD知CAE,；.NACE=ZABD=45°,ZACB=45°ADCE=90°FC//AH

r)c1CD1

vBD=2CD,BD=CEtmZDEC=——=-,—=-

CE2BC3

设5C=6Q,则。。=2Q,AG=-BC=3a,EC=2DC=4。贝ljGO=GC—DC=3。-2。二。

2

GDI

FC//AH：.tan”=——=一:.GH=2GD=2aAH=AG+GH=3a+2a=5a

GH2

,cCFCECF4a4n,CF4生厂、-

.〔AE4HsAFCE.•.二；=『==则下•=［；故③正确

AFAHAF5a5AF5

如图，将A4BP绕A点逆时针旋转60度，得到△4BF,贝葭4PP'是等边三角形，

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC>B'C,当B',P,P,C共线时，P/+PB+PC取得最小值，

止匕时ZCPA=180°-NNPP=180°—60°=120°,乙4PB=ZAP'B'=1SQ°-ZAP'P=180°-60°=120°,

ZBPC=360°-ZBPA-NAPC=360°-120°-120°=120°,此时NAPB=NBPC=NAPC=120°,

AC=AB=AB',AP=AP',NAPC=NAP'B',:.AAP'B&APC,PC=P'B'=PB,

■：ZAPP'=ZDPC=60°,:.DP平分NBPC,PD±BC,

•.•4D,C,E四点共圆，ZAEC=ZADC=90°,

又4D=DC=BD,ABAD知CAE,AE=EC=AD=DC,则四边形4）CE是菱形，

又/4DC=90。，.,.四边形ADCE是正方形，

ZB'AC=ZB'AP'+APAC+AP'AP=90°+60°=l50°,

则8'/=8/=/C,AB'=AACB'=1（180°-AB'AC}=15°,

ZPCD=30°,DC=43PD,■-DC=AD,AP=2,

2

则/尸=/£）-£）尸=（若一1）Z）P=2,:必=忑~^=拒+\,

AP=2,CE=AD=AP+PD=y/3+3,故④不正确，故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形

的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关

2.（2023•成都实外九年级阶段练习）如图，在。3c中，NCAB=90°,AB=AC=1,P是“8C内一点，

求尸/+尸8+PC的最小值为.

【分析】将41PC绕点C顺时针旋转60。得△。尸C,可得PC=PF,DF=AP,将P/+P8+PC转化为

FD+BP+PF,此时当8、P、F、。四点共线时，P4+P8+PC的值最小，最小值为8D的长；根据勾股

定理求解即可.

【详解】解：将A4PC绕点C顺时针旋转60。得△。/C,连接PRAD.DB,过点。作。£1民4,交助的

延长线于点E；；.4P=DF,4PCF=UCD=60°,PC=FC,AC=CD,

•••△PCRZUCZ）是等边三角形，.•.尸C=PRAD=AC^1,。4c=60。

:.PA+PB+PC=FD+BP+PF,

.•・当2、P、F、。四点共线时，尸/+P8+PC的值最小，最小值为AD的长；

•；NCAB=90°,ACAD=6Q°,:"AD=30。,

DE=--AD=—,AE=VAD2—ED2=,

222

■-BE=\+—,:.BDZBE2+DE?="+后,

22

PA+PB+PC的值最小值为a*五.故答案为：&也

22

4：，—"序

v*

/I

/

BT-.......-.........—,C

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将A4PC绕点C顺时针旋转60。得△。尸C,将三条线段的长

转化到一条直线上.

3.（2023•广东广州•一模）如图,在出入48。中，4BAC=90°,AB=AC,点P是边上一动点，作PD1BC

于点。，线段4D上存在一点0,当Q/+Q2+QC的值取得最小值，且/。=2时，则如=________.

A

C

【答案】3+V3

【分析】如图1,将△BQC绕点3顺时针旋转60。得到△2NA1,连接0N,当点/，点0,点N,点〃■共线

时，Q/+02+0C值最小，此时，如图2,连接MC,证明/〃垂直平分BC,证明40=8。，此时尸与。重

合，设PD=x,则。0=x-2,构建方程求出x可得结论.

【详解】解：如图1,将绕点2顺时针旋转60。得到△BMW,连接。N,

2（尸）

：.BQ=BN,QC=NM,乙QBN=60°,.•.△5QN是等边三角形，

■■.BQ=QN,.-.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

二当点/，点0,点N,点/共线时，0N+Q8+QC值最小，此时，如图2,连接

•.•将△?℃绕点8顺时针旋转60。得到."。"可，BC=BM,4QBN=60°=4CBM,

••・△8QN是等边三角形，&CBM是等边三角形，；/BQN〃BNQ=60°,BM=CM,

■：BM=CM,AB=AC,,•••垂直平分8C,"AD1BC,乙BQD=60。,：.BD=^QD,

"B=AC,4B4C=90°,ADLBC,：.AD=BD,此时P与。重合，设尸D=x,则。Q=x-2,

.1.x=tan60°x（x—2）=^3（x—2）,.\r=3+百，.■.尸£>=3+百.故答案为：3+*）.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是

正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题.

4.（2019・湖北武汉•中考真题）问题背景：如图，将A4BC绕点A逆时针旋转60。得到AIDE,DE与BC交

于点P,可推出结论：PA+PC=PE

问题解决如图，在AMNG中，MN=6,ZM=15°,MG=4^/L点。是AMNG内一点，则点。到AMNG

三个顶点的距离和的最小值是

rE

A

——\fp、C/*0\

DN乙----------

【答案】2屈

【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60。，得到△MPQ,易知△MOP为等边三角形，继而得到点。

到三顶点的距离为：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,由此可以发现当点N、。、P、Q在同一条直线上时，

有ON+OM+OG最小，此时，ZNMQ=75o+60o=135°,过Q作QA_LNM交NM的延长线于A,利用勾股定

理进行求解即可得.

【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60。，得到△MPQ,

显然△MOP为等边三角形，.•.OM+OG=OP+PQ,

.,.点。到三顶点的距离为：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,

二当点N、0、P、Q在同一条直线上时，有ON+OM+OG最小，此时，ZNMQ=75o+60°=135°,

过Q作QA1NM交NM的延长线于A,则NMAQ=90。，.­.zAMQ=180°-ZNMQ=45,,,

•••MQ=MG=4收，.-^（1=AM=MQ»cos450=4,

■1.NQ=^AN2+AQ2=7（4+6）2+42=2729,故答案为2月.

【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定

的难度，正确添加辅助线是解题的关键.

5.（2023・重庆•九年级专题练习）如图，MBC中，NBAC=30。且AB=AC,P是底边上的高A”上一点.若

AP+BP+CP的最小值为2a,贝!]BC=.

【答案】V6-V2

【分析】如图将4ABP绕点A顺时针旋转60。得到AAMG.连接PG,CM.首先证明当M,G,P,C共线时,

PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.

【详解】如图将4ABP绕点A顺时针旋转60。得到aAMG.连接PG,CM.

•；PA=PA,•••△BAP^ACAP(SAS),.・.PC=PB,

•.-MG=PB,AG=AP,NGAP=60。，•••△GAP是等边三角形，

.■.PA=PG,：.PA+PB+PC=CP+PG+GM,

.•.当M,G,P,C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

•••AP+BP+CP的最小值为2亚，；.CM=20,

••1ZBAM=60°,ZBAC=30°,.•ZMAC=90°,；.AM=AC=2,

作BN1AC于N.贝l|BN=，AB=：L,AN=5CN=2-6,

•••BC=^BN2+CN2=Jl2+(2-73)2=V6-亚•故答案为76-72.

【点睛】本题考查轴对称-最短问