湖北省2025届高三T8联盟模拟考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省2025届高三T8联盟数学模拟考试卷试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则实数（）A. B.0 C.1 D.1或【答案】A【解析】不等式，所以不等式解得，故，所以若，则集合A需满足，解得故选：A.2.已知，，若，则实数的值为（）A.-4 B.0 C.-4或0 D.4【答案】D【解析】由可设，且，所以，解得或，当时，不符合，故舍去，当时，，则符合题意，所以.故选：D.3.从集合中任取3个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设集合，，，任取三个数和为3的倍数，分为两类，一类是从集合或或取三个数，一类是从三个集合各取一个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为故选：B.4.已知，C是关于直线的对称点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，因为C是关于直线的对称点，故，解得，即，又，，故，故选：C5.甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（）A.720种 B.1440种 C.2880种 D.4320种【答案】B【解析】环排问题线排策略，增加一个凳子．九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种．甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种，由分步计数原理得总数种．故选：B.6.已知三棱锥满足，，，且其体积为，若点（正投影在内部）到，，的距离相等，则三棱锥的表面积为（）A.18 B.21 C.24 D.27【答案】C【解析】由，，知为直角三角形，设点在底面的射影点为，由题意得为的内心，，得，内切圆半径为．点到三边的距离均为，．故选：C7.在中，为边的中点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，如图AM中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心，OA为半径做圆O.由题可得，则，即C点部分轨迹为优弧（还有部分轨迹为优弧关于AM的对称优弧）.如图，设CB与圆O交于D，连接AD，由外角定理，，当且仅当C与D重合，即CB与圆O相切时取等号.由圆幂定理，当CB与圆O相切时可知，由弦切角定理可知，设.在中，由正弦定理可得，又注意到，则，解得，结合图形可得，则此时．故选：B8.已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，即方程有两个不等根，函数与图象有两个不同交点，与互为反函数，则两函数图象关于对称，则与图象的交点都分布在直线上，问题等价于与有两个不同交点，即有两根，即函数图象与直线有两个交点.设，则，令，则在上单调递增，在上单调递减，.又，可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点，需满足.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点，直线，其中是的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（）A.直线过定点 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ABD【解析】因为是的等差中项，得到，直线，即，由，得到，所以直线过定点，所以选项A正确，又因为，又，所以点的轨迹是以为直径，即以点为圆心，5为半径的圆，方程，对于选项B，如图，当时，即与重合，此时最大，最大值为，所以选项B正确，又易知，，，得到，所以选项C错误，选项D正确，故选：ABD.10.已知，满足，且，则下列结论正确的有（）A. B. C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABC【解析】由展开式得，又，联立两式可得，化简得到，即，，A，B正确；．，由均值不等式，时取等号，即，解得，当时，取得最小值，C正确，D错误，故选：ABC11.已知正项数列满足，，则下列说法正确的有（）A. B.存在，使得C. D.【答案】ACD【解析】对于A：正项数列满足，，则，故，A正确；对于B：因为，且，则，可得，所以，，设，，所以，，由题意可得，，则，，所以，，所以，，因为，则，所以，，则，所以，数列为等比数列，其公比为，所以，，则，因为数列单调递减，且函数在上单调递增，所以，数列单调递减，故数列是递减数列，选项B错误；对于C：因为，所以，，选项C正确；对于D：设，则，所以，函数在0,+∞上为增函数，所以，，由此可知，那么，选项D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数在区间上恰有两个极大值点和一个极小值点，则正实数的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意，当x∈0,π时则由题意得，解得．故正实数的取值范围是.故答案为：.13.已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】点A的横坐标为，点A在椭圆上，∴可知，由对称性可取，.直线的倾斜角为，.设，，BC中点为N，作差得，可得，即，因是的重心，则N，O，A三点共线，则，，解得．椭圆的离心率为．故答案为：14.定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则的取值范围是_____．【答案】【解析】记在上的最大值为，最小值为，．，．①当时，，，，解得；②当时，，，，解得；③当时，，，，，均不合题意，或，则的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第年，不礼让行人车数为（单位：百辆）．/年12345/百辆5.85.24.53.72.8（1）求不礼让行人车数与执行时间之间的经验回归方程；（2）预测该路口2025年不礼让行人车数．参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．解：（1）由题意得，，，由最小二乘法估计可得，不礼让行人车数与执行时间经验回归方程为；（2）在2025年年底时，该方案已执行7年，令得到，2025年该路口不礼让行人车数的预测值是140辆．16.在中，三个内角所对的边分别为，，．（1）求证：；（2）若点是边上靠近点的三等分点，求的最小值．（1）证明：因为，所以所以可得，即．即，，即，由正弦定理可得．（2）解：设，，由题可知，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得，两式相加得，解得．的最小值是，当且仅当，，时取等号．17.已知函数在点处的切线与轴重合．（1）求函数的单调区间与极值；（2）已知正项数列满足，，，记数列前项和为，求证：．解：（1）因为，且，由题意可得，即，可得，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以有极大值，无极小值．（2）由（1）可得，当且仅当时取等号，可得，当且仅当时取等号，等价变形为，即，当且仅当时取等号，代入题干中可得，则，即，当时，，即，且符合上式，所以，，则，由，令得，即，所以.18.现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3．（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线交双曲线左支于A，B两点（点在点上方），判断是否是定值，并给出理由；（3）在（2）的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于C，D两点（点在点上方），与相交于点，求证：为定值．（1）解：设，则，由得．在区间上单调递减，时，取最大值3，，解得．．由题意可得双曲线的标准方程为．（2）解：设Ax1,直线为，联立得，，，，.（3）证明：如图：由对称性可知，，，．易知，，由（2）可知，代入上式可得，同理可得，，为定值.19.三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．（1）证明三余弦定理；（2）如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；（3）已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：．（1）解：如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接，即为斜线与平面所成角，即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角，，，，又，，，平面，平面，平面，，根据