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高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省襄城县部分学校2025届高三上学期教学质量检测数学试题一、单选题(共8小题)1.设集合,,若,则的取值范围为()A.-∞,0 B. C. D.2,+∞【答案】A【解析】,,由得,所以.故选:A2.已知函数在上单调递增,则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由或.所以函数在上单调递减,在上单调递增.又函数在上单调递增,所以.即的取值范围为:.故选:D3.已知为虚数单位,复数满足,则下列说法正确的是()A.复数的模为2 B.复数的共轭复数为C.复数的虚部为 D.复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】因为,则,,故A错;复数的共轭复数为,故B错;复数的虚部为,故C错;复数在复平面内对应的点为,在第一象限,故D正确.故选:D.4.已知的图像关于点对称,且对,都有成立,当时,,则()A.-2 B.2 C.0 D.-8【答案】A【解析】的图像关于点对称,所以f(x)关于原点对称,为奇函数由于,所以,所以f(x)是周期为所以.故选:A5.已知函数在区间上单调递增,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由,,.由,,.所以得:.故选:B6.若过点可以作曲线的两条切线,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】在曲线上任取一点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,可得,令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,,由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示:由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选:D.解法二:画出函数曲线的图像如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选:D.7.在三棱锥中,平面,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由于三棱锥中,平面,故将该三棱锥置于一个长方体中,如下图所示:则体对角线即为外接球的直径,又所以,所以外接球的半径,故三棱锥的外接球表面积,故选:C.8.已知E为所在平面内的点,且.若,则()A. B.3 C. D.【答案】A【解析】因为,则,所以,所以,所以,,故.故选:A.二、多选题(共3小题)9.已知是等差数列,是其前n项和,则下列命题为真命题的是()A.若,,则B.若,则C.若,则D.若和都为递增数列,则【答案】BC【解析】A中,由,,得,所以,由,错误;B中,由,正确;C中,由,所以,又,则,正确;D中,因为为递增数列,得公差,因为为递增数列,得,所以对任意的,,但的正负不确定,错误.故选:BC.10.如图,等边三角形的边长为4,E为边的中点,于D.将沿翻折至的位置,连接.那么在翻折过程中,下列说法当中正确的是()A.B.四棱锥的体积的最大值是C.存在某个位置,使D.在线段上,存在点M满足,使为定值【答案】ABD【解析】对于A:因为,即,,因为,,面,则平面,因为平面,所以,故A正确;对于B:当平面平面时,四棱锥的体积最大.由A易知为二面角的平面角,此时.即,,,,面,此时平面,即为四棱锥底面上的高,由题意可得,四棱锥的体积的最大值为:,故B正确;对于C:假设存在某个位置,使得,连接,由正三角形性质得,因为,,面,所以平面,由平面,所以,由A知,因为,,面,所以平面,由平面,所以,则,与题设矛盾,假设不成立,故C错误;对于D:由题设,点M在线段上,且,取中点N,连接NB,则,,由底面三角形的边长为4,则,,,因为平面,所以面,面,所以,所以为直角三角形,且,,故为定值,故D正确.故选:ABD.11.已知函数的部分图象如图所示,令,则下列说法正确的有()A.的一个对称中心B.的对称轴方程为C.在上的值域为D.的单调递减区间为【答案】BCD【解析】由题图可得,,解得.又,可得,解得.因为,所以,所以,所以对于A,当,,所以不是的一个对称中心,故A错误;对于B,令,可得,故的对称轴方程为,故B正确;对于C,时,,所以,故在上的值域为,故C正确;对于D,令,解得,所以的单调递减区间为,故D正确.故选:BCD.三、填空题(共3小题)12.已知,则在点处的切线斜率是__________.【答案】2【解析】∵,∴∴时,,则在点处的切线斜率是2.故答案为:2.13.已知,,若,则________.【答案】【解析】由题意,得.因为,所以,解得.故答案为:14.已知,,则的值为________.【答案】【解析】由,,可得,,..故答案为:.四、解答题(共5小题)15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.(1)求角B的大小;(2)设,,求的值.解:(1)在中,由正弦定理得:,因为,所以,可得,即,,又,可得;(2)在中,由余弦定理得:,,由,以及,可得,因为,所以A是锐角,所以,因此,,所以,.16.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱上的点,,,.(1)求证:平面平面;(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.(1)证明:因为,,为的中点,则且,所以四边形为平行四边形,所以,因为,所以,即.又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面;(2)解:因为,为的中点,所以.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又因为,如图,以为原点,以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,,,,,设,其中,所以,,又,设平面的法向量为,则,所以,取,得,由题意知平面的一个法向量为,因为二面角为,所以,因为,解得,所以,易知平面的一个法向量为,.所以与平面所成角的正弦值为.17.已知数列的前n项和为,且,.(1)求实数的值和数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.解:(1)当时,,又,则,所以;当时,,整理得,因此数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以数列的通项公式为.(2)由(1)知,,则,于是,两式相减得,所以.18.如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为的中点,且.(1)求;(2)求二面角的正弦值.解:(1)[方法一]:空间坐标系+空间向量法平面,四边形为矩形,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则、、、、,则,,,则,解得,故;[方法二]如图,连结.因为底面,且底面,所以.又因为,,所以平面.又平面,所以.从而.因为,所以.所以,于是.所以.所以.[方法三]:如图,联结交于点N.由[方法二]知.在矩形中,有,所以,即.令,因为M为的中点,则,,.由,得,解得,所以.(2)[方法一]设平面法向量为,则,,由,取,可得,设平面的法向量为,,,由,取,可得,,所以,,因此,二面角的正弦值为.[方法二]:如图,构造长方体,联结,交点记为H,由于,,所以平面.过H作的垂线,垂足记为G.联结,由三垂线定理可知,故为二面角的平面角.易证四边形是边长为的正方形,联结,.,由等积法解得.在中,,由勾股定理求得.所以,,即二面角的正弦值为.19已知函数(1)若曲线在点处的切线垂直于直线,求a的值;(2)求函数在区间上的最小值.解:(1)曲线在点处的切线垂直于直线,又直线的斜率为1,函数的导数为,(2)①当时,在区间上此时函数在区间上单调递减,则函数在区间上的最

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