中考数学专项复习：一元一次不等式（组）及其应用（讲义）（原卷版）

第08讲一元一次不等式（组）及其应用

目录

题

一、考情分析题型06根据含参数不等式解集的

二、知识建构情况求参数的取值范围

题型与一元一次不等式有关的

考点一不等式及不等式的基本性质07

新定义问题

题型01不等式的概念及意义

题型02列不等式题型08含绝对值的一元一次不等

式

题型03取值是否满足不等式

题型不等式与方程组综合求参

题型04利用不等式的性质判断式09

子正负数的取值范围

考点三一元一次不等式组

题型05根据点在数轴位置判断式

子正负题型01一元一次不等式组定义

题型解不等式组

题型06利用不等式的性质比较大02

小题型03求不等式组整数解

题型由不等式组整数解求字母

题型07利用不等式的性质证明（不）04

等式取值范围

题型由不等式组的解集求参数

题型08利用不等式的性质确定参05

数的取值范围题型06与不等式组有关的新定义

题型09不等式性质的应用问题

考点二一元一次不等式题型07根据程序图解不等式组

题型01判断一元一次不等式题型08不等式组与方程的综合

题型02根据一元一次不等式求参考点四不等式（组）的实际应用

数值题型01利用一元一次不等式解决

实际问题

题型03求一元一次不等式解集

题型利用一元一次不等式组解

题型04利用数轴表示一元一次不02

等式解集决实际问题

题型05一元一次不等式整数解问

考点要求新课标要求命题预测

不等式及不等式的>结合具体问题，了解不等式的意义，探中考数学中，一元一次不等式（组）

基本性质索不等式的基本性质的解法及应用题时有考察.其中不等式

性质、解一元一次不等式（组），通常是以

>能解数字系数的一元一次不等式，并能

一元一次不等式选择题或填空题的形式出现，难度不大.

在数轴上表示出解集

而不等式（组）相关的应用题常会和其它

>会用数轴确定两个一元一次不等式组成考点（如二元一次方程组、二次函数等）

一元一次不等式组

的不等式组的解集.结合考察，常以解答题形式出现，此时难

度上升，需要小心应对.对于兀次不

等式（组）中含参数问题，难度偏大，但

不等式（组）的实>能根据具体问题中的数量关系，列出一

是考察几率并不大，为避免丢分，学生应

际应用元一次不等式，解决简单的问题.

在复习过程中扎实掌握.

不等式的定义：用不等

号表示不等关系的式

子，叫做不等式.

关不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

不

概

念

等不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个题型01不等式的概念及意义

题型列不等式

式不等式的解集.02

题型03取值是否满足不等式

及

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.题型04利用不等式的性质判断式子正负

不

题型05根据点在数轴位置判断式子正负

等解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

题型06利用不等式的性质比较大小

式

基若a>b,贝［Ja±c>b±c题型07利用不等式的性质证明（不）等式

本

的★题型08利用不等式的性质确定参数的取值范围

性若则士

基a<b,ac<b±c题型09不等式性质的应用

质

本若AbQO,则公>儿（或"）

性

质

若心M0,则〃儿（或沁）（易错）

不等式的左右两边都是整式判

断

特征只含有一个未知数方题型01判断一元一次不等式

一

法题型02根据一元一次不等式求参数值

元

元未知数的最高次数是

1题型03求一元一次不等式解集

一

一题型04利用数轴表示一元一次不等式解集

次去分母不等式性质2、3题型05一元一次不等式整数解问题

次

不

去括号分配律去括号法则题型06根据含参数不等式解集的情况求参数的

等

不取值范围

式步骤移项不等式性质1

等题型07与一元一次不等式有关的新定义问题

题型08含绝对值的一元一次不等式

式合并同类项合并同类项法则

题型09不等式与方程组综合求参数的取值范围

{系数化为1不等式性质2、3

组

}

概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,

及组成一元一次不等式组.

其

一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部

题型01一元一次不等式组定义

应

分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.题型02解不等式组

元

用题型03求不等式组整数解

一数轴法取公共部分

题型04由不等式组整数解求字母取值范围

次

不等式组解集的确定有两种方法大大取大题型05由不等式组的解集求参数

不

小小取小题型06与不等式组有关的新定义问题

等口诀法题型07根据程序图解不等式组

式大小、小大中间找题型08不等式组与方程的综合

组

大大、小小取不了

解一元一次不等式组的一般步骤

题型01利用一元一次不等式解决实

•元一次不等式（组）的应用题的关键语句际问题

不等式（组）的实际应用<用一元一次不等式（组）解决实际问题的赢

题型02利用一元一次不等式组解决

实际问题

考点一不等式及不等式的基本性质

—夯基-必备基础知识梳理

一、不等式的相关概念

不等式的定义：用不等号“>"、“》"、“<”、"W”或“力”表示不等关系的式子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.

不等式■示a>ax<ax^axCn

融“*示~~—•A

解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

二、不等式的性质

基本性质1若a>b,则a±c>b±c

若a<b,贝!Ja±c<b±c

基本性质2若a〉b,c>0,则ac>bc（或

基本性质3若a>b,c<0,则ac<bc（或士<-）

cc

易混易错

1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.

2.常见的不等号有：>,2,<,W五种.

3.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.

4.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：

1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.

2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.

3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.

5.在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.

同时要根据关键词准确地选用不等号.另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际.

6.运用不等式的性质的注意事项：

1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.

2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.

3）等式两边不能同时除以0,即0不能作除数或分母.

4）运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘（或除以）同一个

数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.

提升-必考题型归纳

题型01不等式的概念及意义

【例1】以下表达式：①4x+3y<0；②a>3；③/+xy-,®a2+b2=c2-,@x45.其中不等式有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式1-11（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙>150毫克”，它的

含义是指（）

A.每100克内含钙150毫克

B.每100克内含钙不低于150毫克

C.每100克内含钙高于150毫克

D.每100克内含钙不超过150毫克

题型02列不等式

【例2】（2020•河北•统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（）

A.“小不是负数”表示为巾>0B.“小不大于5"表示为m<5

C.“n与4的差是正数”表示为n—4>0D.“几不等于4”表示为n>4

【变式2-1］（2023•甘肃陇南•统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500

米.若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，贝反满足的关系为（）

A.%<3500B.%<3500C.%>3500D.%>3500

【变式2-2］（2023南宁市模拟）。是非负数的表达式是（）

A.a>0B.\a\>0C.a<0D.a>0

题型03取值是否满足不等式

【例3】（2023•河北保定・统考二模）在一VI—2,1,-3四个数中，满足不等式x<—2的有（）

A.-2B.-3C.-V2D.1

【变式3-1］（2021.四川南充.统考中考真题）满足》43的最大整数》是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3-2］（2023・广东东莞•东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（）

1

A.%+1V4B.—x>2C.2%+1<5D.3x-2>9

2

题型04利用不等式的性质判断式子正负

【例4】（2023•湖南长沙•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果％<-3,那么下列不

等式成立的是（）

A.x2>-3%B.x2>—3%C.x2<—3xD.x2<—3x

【变式4-1］（2023•湖南常德・统考模拟预测）已知Q>b,则下列不等式变形不正确的是（）

A.a-2>d-2B.—2d>—2bC.a+2>b+2D.—>—

22

【变式4-2］（2023•浙江嘉兴・统考二模）已知见hgd是实数，且a-b>c-d,下列说法一定正确的是

（）

A.若b=d,则a>cB.若a=c,贝帕>d

C.若b>d,则a>cD.若a>c,则b>d

【变式4-3］（2023•浙江杭州•杭州市丰潭中学校考三模）设％,y,c为实数，则（）

A.若久>y,贝！J%+3c>y—2cB.若久>y,则％c>yc

c.若x>y,则久c2>yc2D.若宏>卷则%〉y

题型05根据点在数轴位置判断式子正负

【例5】（2023•黑龙江大庆•统考一模）实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

（）

cb0a

A.-a—c>—b—cB.ac>beC.|a—b\—ct—bD.a<—b<—c

【变式5-1］（2023•上海徐汇・统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B

对应的实数分别是a、b,下列结论一定成立的是（）

AB

-----111>>

a-0-----------b

A.a+b<0B.b—a<0C.—2a>—2bD.|a|>\b\

【变式5-2］（2022•江苏镇江•统考中考真题）如图，数轴上的点A和点2分别在原点的左侧和右侧，点4、

8对应的实数分别是a、b,下列结论一定成立的是（）

AB

-----------*-----------14-------A

a0b

A.a+b<0B.b—a<0C.2a>2bD.a+2<b+2

【变式5-3］（2023•福建福州•福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位

置与各点所表示的数，若数轴上有一点。点所表示的数为d,|d-5|=\d-c\,则。点的位置（）

ACB

-5c05

A.在A的左边B.在A、C之间C.在C、。之间D.在0、3之间

【变式5-4］（2023•河北石家庄•石家庄市第四十一中学校考模拟预测）w，”在数轴上对应的点如图所示，

下列各式正确的是（）

-------1------------1--------------------►

mn0

A.x<x—n<x—mB.x—n<x<x—m

C.x—m<x—n<xD.x<x—m<x—n

题型06利用不等式的性质比较大小

【例6】（2022•浙江丽水・统考一模）数m,m+1,-2（zn>0）的大小顺序是（）

A.—m—2<m<m+lB.—m—2<m+l<m

C.m<m+1<—m—2D.m<—m—2<m+1

【变式6-1］（2022•浙江杭州•统考一模）已知M=%2—2X+4,N=/一钮+4,请比较M和N的大小.

以下是小明的解答：

•：M=（x-I）2+3>3,N=（久一2A20,

：.M>N.

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答.

40.（2021.江苏南京.南师附中树人学校校考一模）阅读：

（1）若a〈b,则2a-3V26-3,简述理由：

小明的解法：

2a<2b,（不等式性质2：）,

：.2a-3<2b-3,（不等式性质1）.

小亮的解法：令y=2x-3,

k—2>0,

随x的增大而增大.

:.2a-3<2b-3.

小敏的解法：

,：a<b,观察函数y=2x-3的图象可知，图象上点（a,2a-3）在点（b,2b-3）的左边，而图象由左

往右呈上升趋势，

2a-3V2b-3.

⑵若f<。,请用两种不同的方法比较，与一牌大小•

（3）若比较（a+2）2+1与（6+2）2+1的大小，简述理由.

(4)若且加2,以-2,直接写出一篇与一煞的大小关系.

方法技巧

根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断.如果两个数或

式子分另U为m和n,若m-n>0,贝！Jm>n；若m-n=0,贝！Jm=n；若m-n<0,则m<n.

题型07利用不等式的性质证明（不）等式

【例7】（2022•江苏南京•南师附中树人学校校考二模）根据不等式的性质：若无-y>0,贝b>y；若久-y<0,

则为Vy.利用上述方法证明：若几V0,则巴^>巴：.

17nn-1

【变式7-1]（2019上•江西赣州•九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一个

面积最大的矩形？

小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9nn2.请用你

所学的二次函数的知识解释原因.

思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9加2且周长最小的矩形？

小明猜测：围成正方形时周长最小.

为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：

结论：在a+b>2VHF（a、b均为正实数）中，若ab为定值p,则a+6》2赤，当且仅当a=b时，a+b有

最小值2行.

a+b>2<ab（a,b均为正实数）的证明过程：

对于任思正实数a、b,（yfcL—VF）2》0,二a—27ab+b》0,

a+b>2Vah»当且仅当a=b时，等号成立.

解决问题：

⑴若x>Q,则％+(当且仅当;c=时取"=”)；

(2)运用上述结论证明小明对问题2的猜测；

(3)当%>—1时，求y=的最小值.

【变式7-2](2022•山东日照.日照市新营中学校考二模)2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园

3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图(如图1),该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方

形的面积大于4个直角三角形的面积之和...

22

设直角三角形的边长为a,b,则S正方形>4SRTA,(a+fa)>4(^ab^,即a2+b2>2ab；

当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即a?+b2=

4=2ab,

综上所述，a2+b2>2ab,当且仅当a=b时等号成立.

使用上述结论，“a?+匕222a6,当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题：

(1)证明：“若a,6为正实数，则a+bN2而.当且仅当a=b时等号成立”.

(2)a,6均为实数，若ab为定值4,贝b+b有最小值________；若a+b为定值6,则ab有最大值

(3)请结合函数图象(图2)研究y=x+]中函数值y的取值范围.

(4)如图3,已知尸是反比例函数y=^(x>0)图象上任意一动点，0(0,0),4(-1,a),其中。是常数，a>0,

试求SAP%的最小面积(用a表示).

【变式7-3X2023•江苏扬州•统考一模)将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为>a>0).

(1)再往杯中加入机(6>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为;

⑵请证明(1)中的数学关系式；

(3)在A4BC中，三条边的长度分别为a,b,c,证明：<2.

题型08利用不等式的性质确定参数的取值范围

【例8】(2023・重庆・重庆实验外国语学校校考二模)若a=3麻-2,则。的取值范围是()

A.2<a<3B.3<a<4C.4<a<5D.5<a<6

【变式8-1］（2023路南区二模）若x<y,且（a—3）x>（a-3）y,贝l］a的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【变式8-2］（2023・江苏无锡•江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式（a+2）x<1的解集为%>京,

则。的取值范围为.

【变式8-3］（2023•浙江杭州•统考二模）已知实数x,y,a满足尤+3y+a=4,x-y-3a=0.若一1<

a<1,t=x+y,那么t的取值范围是.

题型09不等式性质的应用

【例9】（2023•河北保定•校考一模）已知实数a,b,c满足a+2b=3c,则下列结论不正确的是（）

A.a-b=3（c—b）B.=c—b

C.若a>b,则a>c>6D.若a>c,贝W-a>

【变式9-1］（2023武威县模拟）若x+y=3,yNO,则2x+3y的最小值为（）

A.0B.3C.6D.9

【变式9-2］（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以

是（）

考点二一元一次不等式

f夯基•必备基础知识梳理

一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1,像这

样的不等式叫一元一次不等式.

一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或a冗+6>0（aW0）.

步骤具体做法依据注意事项

去分在不等式两边都乘以各分母的不等式性1）不要漏乘不含分母的项；

母最小公倍数质2、32）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，

再去分母.

3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.

去括先去小括号，再去中括号，最后分配律1）去括号时，括号前的数要乘括号内的每一

号去大括号去括号法项；

则2）括号前面是负数时，去掉括号后，括号内各

项都要变号；

3）括号前面是正数时，去掉括号后，括号内各

项都不变号.

移项把含有未知数的项移到不等式不等式性1）移项时不要漏项；

左边，其它项都移到不等式右边质12）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.

而在不等式同一边改变项的位置时不变号.

合并把不等式变为a%<b或a、>合并同类1）不要漏项；

同类6（aW0）的形式项法则2）系数的符号处理要得当.

项

系数将不等式两边都除以未知数系不等式性1）不等式两边都除以未知数系数；

化为1数a,得到不等式的解质2、32）当系数为负数，不等号的方向发生改变.

易混易错

1.一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最

高次数是1.

2.进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否

改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论.

3.在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序,要根

据不等式的形式灵活安排求解步骤.

提升-必考题型归纳

题型01判断一元一次不等式

【例1】（2021•全国•九年级假期作业）在数学表达式：一3<0,a+b,x=3,x2+2xy+y2,%W5,

%+2>y+3中，是一元一次不等式的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1］（2021.陕西.九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（）个.

①a—3<2；②一久一5>3；@x-y<0；®x2+3x<1；⑤”》瞪

A.1B.2C.3D.0

题型02根据一元一次不等式求参数值

［例2］已知|（m+4）xM-3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（）

A.4B.±4C.3D.±3

【变式2-1］若（m-1）式网—3>0是关于x的一元一次不等式，则小的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

【变式2-2］若（k-l）xlfel+3>0是关于x的一元一次不等式，贝旅的值为.

题型03求一元一次不等式解集

【例3】（2023・湖南长沙•校联考模拟预测）下列变形中正确的是（）

A.由-2%<1；得久<--B.由2%+1>3%—1,得x>—2

C.由2%+l>x—1,得%>2D.由％+2<2%—2,得%>4

【变式3-1］（2022.安徽.统考中考真题）不等式言>1的解集为.

【变式3-2］（2022.安徽宣城.统考一模）解不等式：2%-3<^i.

题型04利用数轴表示一元一次不等式解集

【例4】（2022•浙江嘉兴・统考中考真题）不等式3x+l<2x的解在数轴上表示正确的是（）

-2-10-2-1

-2-10-2-1

【变式4-1］（2023下•重庆渝中•九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）不等式x-1>2x的解集在数轴上表

示正确的是（）

A―!।।,B-11~►Ci।D----1------1-----1a

-101-1015-101-101

【变式4-2］（2021.浙江金华・统考中考真题）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是

（）

____________|_______II______»

-2-10123

A.%+2>0B.%—2<0C.2%>4D.2—%<0

【变式4-3］（2022.湖北宜昌.统考中考真题）解不等式六2詈+1，并在数轴上表示解集.

-4-3-2-101234

题型05—元一次不等式整数解问题

【例5】（2022.河北.统考中考真题）整式3©—的值为P.

017

（1）当加=2时，求P的值；

⑵若尸的取值范围如图所示，求机的负整数值.

【变式5-1］（2022下.广东江门.八年级统考阶段练习）求一元一次不等式1-等的负整数解.

【变式5-2］（2023•陕西咸阳•校考二模）解不等式：^-^>-1,并写出该不等式的最小整数解.

［变式5-3］（2022.广东深圳・深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：（--1）-应卢

k2-x）X2-4

其中X是不等式2x-1<6的正整数解.

方法技巧

与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法：

类型一求一元一次不等式特殊解的方法

解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解.可以借助数轴进行数形

结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题.

类型二已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值.

解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件

得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

题型06根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围

［例6］（2023•福建漳州•统考一模）关于x的不等式久-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）

A.—3<b<-2B.—3<b<—2C.-3WbW—2D.-3WbV—2

【变式6-1］（2021・四川眉山・统考中考真题）若关于％的不等式x+m<1只有3个正整数解，则6的取值

范围是.

【变式6-2］（2023•黑龙江大庆•统考三模）若关于x的一元一次不等式x-2<n+3有且只有5个正整数

解，则〃的取值范围是—.

【变式6-3］（2023•江苏南通・统考一模）若关于％的不等式x+t22x-3恰有3个正整数解，贝亚的取值范

围是.

【变式6-4）（2023•江苏扬州・统考二模）已知％=3是关于x的不等式3x-吩<点的解，求a的取值范围.

题型07与一元一次不等式有关的新定义问题

［例7］（2022下•广西•七年级统考阶段练习）定义新运算：对于任意实数a,b都有a=a（a-b）+l,

如：2㊉5=2（2—5）+1=—5,那么不等式4®x>2的正整数解的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1］（2023•河北沧州・统考模拟预测）对于〃、b定义a团人=义，已知分式方程％目（-1）=缶的

解满足不等式（2-a）］-3>0,则。的取值范围是（）

A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3

【变式7-2］（2023.广东广州•统考二模）定义运算七团b”为:当aNb时,a^b=a+b；当aVb时，>砂=

a-b.例如：1目（-2）=1+（-2）=-1,（-2）01=-2-1=-3.若（3m—1）目（m+1）>8则根的取

值范围为（）

A.m>2B.m>5C.2<m<5D.m<2或m>5

【变式7-3］（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a,b（a，0）都有a*b=2-a+b,等式右边是

a

通常的加、减、除运算，比如2*1=3-2+1=-a

（1）求4*5的值：

（2）若2*（x+2）不大于4,求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来.

.1>io~~i~5~i4,

【变式7-4］（2023•河北沧州•校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b,规定a助=ab2+

ab+a,例如：2团5=2x5?+2x5+2=62.

⑴求5团（一2）的值.

（2）若（TH—a）目2>14,求7H的取值范围.

题型08含绝对值的一元一次不等式

【例8】（2020.四川自贡.统考中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；

数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式-21的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对

应的点之间的距离；因为优+1|=所以忱+1］的几何意义就是数轴上%所对应的点与所对

应的点之间的距离.

（1）.发现问题：代数式|x+l|+|x-2|的最小值是多少？

（2）.探究问题：如图，点4B,P分别表示的是一1,2,久,AB=3.

APB

IIIL1.1_lII>

-4-3-2-10x1234

V|x+l|+|x-2|的几何意义是线段P4与的长度之和

当点P在线段4B上时，P2+PB=3;当点点P在点4的左侧或点B的右侧时PA+PB>3

A|x+l|+反-2|的最小值是3.

⑶.解决问题：

①.|x-4|+|x+2|的最小值是一；

②.利用上述思想方法解不等式：|%+3|+|%-1|>4

［____________।_________।___________।______________।______________।___________।___________।____________］>

-4-3-2-101234

③.当a为何值时，代数式|x+a|+|x-3|的最小值是2.

【变式8-1］（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|N2"

可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2,贝I］：

①“⑷<2”可理解为一；

②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为_和一.

我们定义：形如“|x|Wm,\x\>m,|x|<m,|x|>zn”（zn为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使

一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.

（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.

11-1----1----111IA----

-3-2-101234-3-2-101234

由上图可以得出：绝对值不等式印>1的解集是尤<-1或%>1,

绝对值不等式阳<3的解集是—3<xW3.贝ij：

①不等式|幻>4的解集是

②不等式<2的解集是

（3）【拓展应用】解不等式|%+1|+|%-3|>4,并画图说明.

【变式8-2］数学实验室：

4B在数轴上分别表示