圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】原卷版-2025年新高考数学一轮复习

锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题

【八大题型】

►题型归纳

【题型1椭圆的弦长问题】.....................................................................2

【题型2双曲线的弦长问题】...................................................................3

【题型3抛物线的弦长问题】...................................................................4

【题型4长度及其最值(范围)问题】..........................................................5

【题型5长度之和问题】.......................................................................6

【题型6长度之差问题】.......................................................................7

【题型7长度之商问题】.......................................................................8

【题型8长度之积问题】.......................................................................9

►命题规律

1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题

是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、

数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，

复习时要加强此类问题的训练.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线中的弦长问题】

1.椭圆的弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

Y2V2

⑵弦长公式：设直线/:片如•+加交椭圆层+会=1(a>6>0)于z,尸2(电了2)两点,

则出Al=,1+左2比一X1或田尸B—y2\.

2.双曲线的弦长问题

2

(1)弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=y/1+k\xi-x?\=+-p\yi-y2\■

(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

(4)双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在〉轴上，双曲线的通径总等于”2b.2

3.抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于/(4,%),乃)两点，则

2

|/3|=M(1+r)(%—Xz)2=y/\+k-，(％+X2)2—4X1X2或

|叫=1+—处)2=+(•,5+处尸—4乂为(左为直线的斜率，存0).

4.弦长公式的两种形式

(1)若43是直线＞=履+机与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去丹得到一元二次方程

ax2+bx+c=G,则|48|=1|xi—啊|=+I。•.

I。I

(2)若48是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x,得到一元二次方程

222

ay+by+c=O,则=y/l+m|j^i—y2\=y/l+m•-^-y-.

►举一反三

【题型1椭圆的弦长问题】

【例1】(2024•云南昆明•模拟预测)已知直线/是圆C:/+y2=i的切线，且/与椭圆£：9+y2=i交

于N,8两点，则的最大值为()

A.2B.V3C.V2D.1

2-TT

【变式1-1](23-24高二上•浙江绍兴•期末)已知椭圆C.+y2=i,过原点。且倾斜角为4的直线交椭圆于

48两点，则|4引=()

AV10R2同3Vmn4同

A--r-

22

【变式1-2](2024•河南•模拟预测)己知椭圆。条+底=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,点P(g,g)

为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2份.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若倾斜角为:的直线/与C相交于两个不同的点4B,求|AB|的最大值.

【变式1-31(2024•河北衡水一模)已知椭圆％|+3=l(a>b>0)过(1,|)和(四,乎)两点.七尸2分别为

椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点(P不在x轴上)，过椭圆右焦点&的直线，与椭圆交于&B两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求|4B|的范围.

【题型2双曲线的弦长问题】

【例2】(2024•北京•模拟预测)已知双曲线。步―9=1的两个焦点分别为%尸2,过％的直线与双曲线C

的同一支交于4B两点，且=2|AFi|,则线段4B的长度为()

927

A.-B.9C.—D.6

44

【变式2-1](2024•山东•模拟预测)过双曲线炉—川=2的左焦点作直线Z,与双曲线交于48两点，若

\AB\=4,则这样的直线/有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

22

【变式2-2](2024•海南•模拟预测)已知双曲线C套一言=l(a>0,b>0)的实轴长为2vL点P(2,㈣在

双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点P且斜率为2e的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.

22

【变式2-3](2024•陕西安康•模拟预测)已知双曲线C套一废=l(b>a>l)的左、右焦点分别为％、F2,

两条渐近线的夹角为60。，M(低打)是双曲线上一点，且△M%F2的面积为4逐.

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线/与双曲线C交于P、Q两点，且坐标原点。在以PQ为直径的圆上，求|PQ|的最小值.

【题型3抛物线的弦长问题】

【例3】(2024•河南开封•一模)已知。为坐标原点，过抛物线。产=8%焦点尸的直线与C交于4,8两点,

若[4F|=\AO\,贝!11aBi=()

A.5B.9C.10D.18

【变式3-1](2024•安徽马鞍山•模拟预测)已知抛物线=4%的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线/过

其焦点尸且与C交于4,B两点，若直线力M的斜率为等，则|4B|=()

D.5

【变式3-2](2024•全国•模拟预测)已知点P(a,6)(a>0,6>0)在抛物线=2pK(p>0)上，记。为坐标

原点，|OP|=|,以P为圆心，|OP|为半径的圆与抛物线C的准线相切.

(1)求抛物线C的方程；

(2)记抛物线C的焦点为F,过点F作直线/与直线PF垂直，交抛物线C于4B两点,求弦4B的长.

【变式3-3](2024•广西•模拟预测)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

⑴求C的方程；

(2)若P为直线/:久=—2上的一动点，过P作抛物线C的切线P4PBAB为切点，直线48与咬于点M,过产作AB

的垂线交/于点N,当|MN|最小吐求|4B|.

【题型4长度及其最值（范围）问题】

【例4】（23-24高三上•湖北武汉•开学考试）设双曲线电%2—9=1的左右焦点为％,左顶点为4点

M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线交双曲线E的左支于点N,若M4〃MF2，则IMF2I=（）

AIB-C-D-

A.42J34

【变式4-1］（2024・吉林•模拟预测）已知抛物线。产=4光的焦点为尸,A是C上一点，。为坐标原点，若△AOF

的面积为迎+1,则|4/|=（）

A.2^2^+2B.2^2^+4

C.4V2+2D.3V2+2

【变式4-2］（23-24高三下•河南周口•开学考试）在平面直角坐标系xOy中，一动圆过点F（l,0）且与直线久=—1

相切，设该动圆的圆心C的轨迹为曲线匚

（1）求「的方程；

（2）设P为r在第一象限内的一个动点，过P作曲线r的切线0，直线％过点P且与A垂直，l与「的另外一个交点

为Q,求|PQ|的最小值.

22

【变式4-3］（2024•河北张家口•三模）己知点尸1/2分别为椭圆。器+方=l（a>b>0）的左、右焦点，过

%（—c,0）的直线/（斜率不为0）交椭圆C于P,。两点，当直线/的斜率不存在时，\PQ\=3c.

（1）求椭圆。的离心率；

（2）若点/,8分别为椭圆C的左、右顶点，且△P4B面积的最大值为2旧，直线PA与直线QB相交于点

求|。蛇的取值范围.

【题型5长度之和问题】

【例5】(2024•河北承德・二模)已知椭圆嗒+3=1(a>6>0)的左顶点到右焦点的距离是3,且C的离

心率是，过左焦点F的直线/与椭圆交于4B两点，过左焦点且与直线/垂直的直线。与椭圆交于两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵求|4B|+|MN|的取值范围.

【变式5-1](23-24高三上•陕西西安•开学考试)已知点F为抛物线。铲=2p久(p>0)的焦点，点P(l,2),

<2(0,1),且|PF|=\QF\.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若正方形4BCD的顶点4、B在直线/:久―y+2=0上，顶点C、。在抛物线C上，求|FC|+|FD|.

【变式5-2](2024•内蒙古赤峰•一模)己知抛物线P:y2=2px(0<p<5)上一点Q的纵坐标为4,点Q至憔

点F的距离为5,过点尸做两条互相垂直的弦AB、CD.

(1)求抛物线P的方程.

(2)求|2B|+|CD|的最小值.

【变式5-3］（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆*|+'=1（£1>6>0）的左、右焦点分别为尸1尸2,上、

下顶点分别为4/2，四边形公尸遇2/2的面积为2旧且有一个内角为方

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若以线段F1%为直径的圆与椭圆C无公共点，过点4（1,3）的直线与椭圆C交于P,Q两点（点P在点Q的上

方），线段PQ上存在点M,使得黑=瑞，求|MFi|+|MF2l的最小值.

【题型6长度之差问题】

【例6】（24-25高三上•全国•阶段练习）设椭圆C：3+9=1的右焦点为F,动点P在椭圆C上，点4是直线

4x—5y—12=0上的动点，贝U|P川—|PF|的最小值为（）

A16V41B-闻©-低4D4-俯

*41*4141,41

【变式6-1］（23-24高二上•天津•期末）已知双曲线E［—?=1（爪>0）的离心率为2,右焦点为F,动点P

在双曲线右支上，点4（0,2）,则|PF|—|P川最大值为（）

A.V5B.V5-2

C.2V2D.2V2-2

【变式6-2］（23-24高二上•上海•课后作业）已知点P是双曲线慈一经=1右支上的一点，点M、N分别是圆

y10

（久+5）2+*=4和（久一5）2+产=1上的点,求|PM|—|PN|的最大值.

【变式6-3](2024•山东济南•三模)如图所示，抛物线产=2px(p>0)的准线过点(一2,3),

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若角a为锐角，以角a为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于/、3两点，作线段4B的垂

直平分线/交x轴于点P,证明：|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值.

【题型7长度之商问题】

【例7】(2024•四川绵阳•三模)过点4(2,0)的直线，与抛物线=2px(p>0)交于点M,N(M在第一象

限)，且当直线I的倾斜角为:时，|MN|=3V2.

(1)求抛物线的方程；

(2)若B(3,0),延长MB交抛物线C于点P,延长PN交x轴于点Q,求需的值.

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)已知直线=kx+m(m2=k2+l,k丰0)和椭圆T[+y2=1.

(1)证明：[与T恒有两个交点；

(2)若4B为/与7的两个交点，过原点且垂直于/的直线交T于C,D两点，求黑的最小值.

【变式7-2](2024・重庆•模拟预测)已知双曲线吗|—看=1缶＞。力＞0)的左、右焦点分别为乙尸2，点

4(一2,3)在双曲线M上，且|/|+1/1=8.

⑴求双曲线M的方程；

(2)记的平分线所在的直线为直线/,证明：双曲线M上存在相异两点B,C关于直线/对称，并求出提

(E为BC的中点)的值.

【变式7-3](2024•四川遂宁•模拟预测)已知过点(0,2)的直线，与抛物线C:/=2py(p＞0)交于4B两点,

抛物线在点4处的切线为小在8点处的切线为路直线"与直线％交于点M,当直线1的倾斜角为45。时，

\AB\=4V6.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设线段4B的中点为N,求温的取值范围.

【题型8长度之积问题】

[例8](2024•江苏南通•模拟预测)已知双曲线容一看=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为％尸2，焦

距为4,C上一点P满足COSNFF2P=—字且的面积为2VL

⑴求C的方程；

(2)过C的渐近线上一点:T作直线I与C相交于点M,N,求|TM|•|TN|的最小值.

【变式8-1](2024•陕西安康•三模)已知M(l,2)为抛物线C:y2=2px上一点.

(1)求抛物线C的准线方程；

⑵过点7(0,1)的直线/与抛物线C交于/,8两点，且直线M4与MB的倾斜角互补，求的值.

【变式8-2](2024•黑龙江哈尔滨•二模)已知直线Z与椭圆+=1交于「(八加依物⑸两不同点，且

△OPQ的面积SA°PQ=1,其中。为坐标原点.

(1)证明：犹+看和比+%均为定值；

(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值.

【变式8-3](2024•江西•一模)已知双曲线C:'—，=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为去C的

右焦点F到该渐近线的距离为2b.

(1)求C的方程；

(2)若过尸的直线与C的左、右支分别交于点4,B,与圆0:%2+7=02交于与/,2不重合的加，N两点.

(i)求直线斜率的取值范围；

(ii)求|4B|•|MN|的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•河北秦皇岛•二模)己知/,3为椭圆C：9+?=1上两个不同的点(直线力B与y轴不平行)，F

为C的右焦点，且|4用+|BF|=4,若线段4B的垂直平分线交x轴于点P,则|FP|=()

A.I"B.|C.|D.1

2.(2024・新疆•三模)已知抛物线C：产=久的焦点为R在抛物线C上存在四个点p,M,Q,N,若弦PQ

11

与弦MN的交点恰好为凡且PQ1MN,则两+两=()

A.苧B.1C.V2D.2

3.(2024•陕西西安•模拟预测)已知双曲线唁一看=l(a>0/>0)的左焦点为心，圆。:炉+必=42.若

过F1的直线分别交C的左、右两支于/,5两点，且圆。与相切，C的离心率为3,Fi到C的渐近线的距离为

2位，则|4B|=()

432-30-20-16

A.—B.—C.—D.—

4.(2024•黑龙江齐齐哈尔・二模)已知椭圆C：5+餐=l(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为4左顶点为

B,Fi，尸2分别是C的左、右焦点，且AFi/lB的面积为亨，点P为C上的任意一点，则高+高的取值范

围为()

A.[1,2]B.[V2(V3]C.[V2,4]D.[1,4]

5.（2024•全国•模拟预测）如图，已知双曲线C:\—，=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为91尸2产为双曲

线右支上一点，且F2P的延长线交y轴于点4且aaPFi的内切圆半径为4,aPFFz的面

积为9,贝UMF2IIPF2I=（）

A.18B.32C.50D.14

2-I

6.（23-24高二上•河南商丘•阶段练习）设双曲线/一y2=i的左、右焦点为％、F2,渐近线方程为y=±

X,过Fi直线，交双曲线左支于4、8两点，则M&l+田尸2|的最小值为（）

A.9B.10C.14D.y

7.（2024•内蒙古包头•模拟预测）已知抛物线。产=6x的焦点为凡。为坐标原点，倾斜角为。的直线2过点

F且与C交于M,N两点，若△OMN的面积为3VI，则（）

A.sin0=1

B.\MN\=24

C.以MF为直径的圆与y轴仅有1个交点

D3=渔或3=g

WW3^\NF\VD

8.（2024高二上•江苏•专题练习）已知椭圆E：卷+!=1的左焦点为F,过尸的直线2与E交于4B两点，则

下列说法正确的是（）

A.若直线续直于x轴，则|盟=当

B.|AB|6律,61

C.若［4用=5,则直线1的斜率为苧

D.若［4F|=2\BF\,则|4B|=y

二、多选题

9.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知直线y=—x+1经过椭圆E：《+\=l（a>6>0）的一个焦点和一

个顶点Q,且与E在第四象限交于点P,E的左、右焦点分别为用尸2,贝I（）

A.E离心率为：B.的周长为4鱼

C.以PFi为直径的圆过点QD.|PQ|=2V2

10.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C:9—y=1的右焦点为乩动点M,N在直线■=|上，且

FM1FN,线段FM交C于点P,过P作/的垂线，垂足为R,贝U（）

A.AFMN的面积S*B.鼠=孚

C.\MR\-\HN\^\FH\-\PR\D.扁\M局P\-\N为F\定值

11.（2024•福建龙岩•三模）已知抛物线C:y2=2p久（p>0）与圆0:久2+必=20交于N,g两点，且

=8.过焦点尸的直线I与抛物线C交于N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线

。的准线与坐标轴的交点，则（）

A.若丽^3前，则直线1的斜率为士苧B.|MF|+4|NF|的最小值为18

C.NMON为钝角D.点P与点尸的横坐标相同时，篇J最小

三、填空题

2

12.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知P为双曲线*=1的右支上一点，点A,B分别在。的

两条渐近线上，。为坐标原点，若四边形。APB为平行四边形，且|P*=1,则|PB|=,

13.（2024•重庆•模拟预测）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸是圆（久一2/+y2=1的圆心，过点F的直

线I,自上而下顺次与上述两曲线交于点4BCD,则|48