中考数学重要的几何模型之中点模型（二）（原卷版）

专题39重要的几何模型之中点模型（二）

中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四

边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中

点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十

分重要的意义。

常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全

等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。

本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：直角三角形斜边中线模型

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

如图1,若4D为放△N3C斜边上的中线，贝U：

（1）AD=LBC=BD=DC；（2）AABD,为等腰三角形；（3）ZADB=2ZC,

2

NADC=2NB.

图1图2

拓展：如图2,在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM=MD；（2）

ZAMD=2ZABD.

模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）

例L（2023•江苏盐城•统考中考真题）如图，在必。8C中，为斜边48上的中线，若CD=2,则

AB=.

例2.（2023•江苏扬州,统考中考真题）如图，在RtA/3C中，//C8=90。，点。是48的中点，过点。作

DE1BC,垂足为点E,连接CD,若8=5,BC=8,则。£=.

例3.（2023•河南新乡•统考三模）如图，点。为菱形48CD的对角线/C,8。的交点，过点C作CEL48

于点£,连接若OD=3,OE=2,则菱形/BCD的面积为.

例4.（2023上•四川成都•九年级校考期中）如图，四边形48CD中，ZABC=NADC=90°,N84D=45。,

连接/C、BD.M是NC的中点，连接2初、DM.若NC=10,贝鼠2地＞的面积为.

例5.（2023•江苏常州•中考真题）如图，48是。。的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与/、8重合）,

CHYAB,垂足为〃，点M是2C的中点.若。。的半径是3,则长的最大值是（）

C.5D.6

例6.（2023•辽宁鞍山•校考三模）如图，在中，ZABC=90°,//C3=30。，将。8C绕点C顺时

针旋转60。得到ADEC,点/,3的对应点分别是。，E,点尸是边/C的中点，连接3尸，BE,FD,则下

列说法不正确的是（）

D

A.BE=BCB.ZDFC=90°C.DG=3GFD.四边形BTOE是平行四边形

模型2：中位线模型

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

如图，在三角形/2C的/瓦/C边的中点分别为。，E,则DE//8C且。£,AADE“AABC。

2

中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积

的四分之一。

模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。

例1.（2023•浙江金华・统考中考真题）如图，把两根钢条04的一个端点连在一起，点C,。分别是

OA,的中点.若CD=4cm,则该工件内槽宽43的长为cm.

例2.（2023•四川泸州•统考中考真题）如图，Y/8CD的对角线/C,8。相交于点。，/4DC的平分线与

边48相交于点尸，E是尸。中点，若4D=4,CD=6,则EO的长为（）

DC

A.1B.2C.3D.4

例3.（2022,湖北荆州•统考中考真题）如图，已知矩形N8CD的边长分别为a,b,进行如下操作：第一次,

顺次连接矩形/5CD各边的中点，得到四边形4片a。；第二次，顺次连接四边形4百G2各边的中点，得

到四边形4鸟。2。2；…如此反复操作下去，则第"次操作后，得到四边形4纥G2的面积是（）

ab

C.—D.

2向

例4.（2022•浙江台州•统考中考真题）如图，在“8C中，44c8=90。，D,E,尸分别为48,BC,CA

的中点.若E尸的长为10,则CD的长为.

例5.（2023,广西•统考中考真题）如图，在边长为2的正方形N3CD中，E,尸分别是BC,上的动点,

M,N分别是跖，N尸的中点，则儿W的最大值为.

例6.（2023•江苏镇江•统考中考真题）【发现】如图1,有一张三角形纸片/BC,小宏做如下操作:

ffll图2图3

Cl)取NB,/C的中点。，E,在边BC上作MN=DE；(2)连接瓦W,分别过点D,N作DGLEM,

NHYEM,垂足为G,X；(3)将四边形BOGM剪下，绕点。旋转180。至四边形4DP。的位置，将四边形

CEHN剪下,绕点£旋转180。至四边形4EST的位置；

(4)延长尸。，ST交于点?小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点。，A,7在一条直线上；②

四边形"GS是矩形；③NFQT'HMN；④四边形"GS与A48c的面积相等.

【任务1】请你对结论①进行证明.【任务2】如图2,在四边形/BCD中，AD//BC,P,。分别是42,

的中点，连接尸0.求证：尸。=g(/O+8C).

4

【任务3］如图3,有一张四边形纸48cD,AD//BC,AD=2,BC=8,CD=9,sinZDCB=-,小丽

分别取CD的中点尸，Q,在边8c上作MV=P。，连接M0,她仿照小宏的操作，将四边形/3CD分

割、拼成了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求8M的长.

模型3：中点四边形模型

中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。

中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉

及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。

结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形.

如图1,已知点M、N、P、。是任意四边形48co各边中点，则四边形MVP0为平行四边形。

aSS

图1图2

结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形.（特例：筝形与菱形）

如图2,已知点M、N、P、。是四边形/BCD各边中点，AC1DB,则四边形为矩形。

结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形.（特例：等腰梯形与矩形）

如图3,已知点M、N、P、0是四边形/BCD各边中点，AC=DB,则四边形MVP。为菱形。

□S

图3图4

结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形.

如图4,已知点M、N、P、0是四边形N5CD各边中点，AC=DB,AC1DB,则四边形MVP0为正方形。

推广与应用

1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。

2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的工。

2

例1.2023•广东阳江・统考二模）若顺次连接四边形23CD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形23CZ）

的两条对角线/C,BD一定是（）

A.互相平分B.互相平分且相等C.互相垂直D.相等

例2.（2023•江苏南通•统考二模）如图，四边形4BCD中，E,厂分别是边ND,2c的中点，G,X分别是

对角线2D,/C的中点，若四边形EGF"为矩形，则四边形/BCD需满足的条件是（）

A.AC=BDB.ACVBDC.AB=DCD.ABLDC

例3.（2023・辽宁抚顺・中考模拟）如图，AC,是四边形/BCD的对角线，点E,尸分别是ND,2C的

中点，点”，N分别是NC,AD的中点，连接瓦0,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形，则需

添加的条件是（）

A.AB=CD,ABLCDB.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC1BDD.AB=CD,ADIIBC

例4.（2023•云南昆明•统考二模）如图，在任意四边形48CD中，E,F,G,H分别是48,BC,CD,

D4上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论,

其中错误的是（）

A

A.当E,F,G,H是各边中点，且ZC=8D时，四边形EFGX为菱形

B.当E,FG,H是各边中点，且/Cl8。时，四边形EFG8为矩形

C.当E,F,G,b不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFG8不可能为菱形

例5.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，在菱形/BCD中，AB=4,乙4=120。，顺次连接菱形/BCD各

边中点£、F、G、H,则四边形EFGH的周长为（）

C.4+46D.6+46

例6.（2023上•广东佛山•九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得

到的新四边形叫做原四边形的"中点四边形如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形

叫做"中方四边形

【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形"的是.

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【性质探究】：（2）如图1,四边形230是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形/BCD的对角线

AC,8。的关系；

【问题解决】：（3）如图2.以锐角力BC的两边/C为边长，分别向外侧作正方形N3DE和正方形

ACFG,连接BE,EG,GC.求证：四边形8CGE是"中方四边形”；

【拓展应用工如图3,己知四边形48C。是“中方四边形”，M,N分别是CD的中点.

（4）试探索4c与血W的数量关系，并说明理由.（5）若4C=2,求4B+CA的最小值.

M

;逡

cDNc

C

图1图2图3

课后专项训练

1.（2023•河北石家庄•校考模拟预测）如图,在中，NACB=9。。，CD是48边上的中线，若

BC=6,/C=8,贝UtanN/CD的值为（）

ADb

3443

A.—B.—C.—D.一

5534

2.（2023•黑龙江哈尔滨・统考三模）如图，在“3C中，点。、£分别是边48、/C的中点，点厂在5C边

上运动（不与2、C重合），AF交DE于点、G,则下列等式错误的是（）

野脚磨

A.BC=2DEB.BF=2DGC.AF=2AGD.EG=2DG

3.（2023•海南海口•校联考模拟预测）如图，在平行四边形43。中，对角线NC、3。相交于点。，点£

是A4的延长线上一动点，连接OE交4D于点F，若CD=5,BC=8,4E=2,则,的长为（）

.4X—V---------------曰D

/jS^******^/

//

B^—------------^C

A16-16c17cc

A.-B.—C.—D.2

979

4.（2023・河南周口•校联考三模）如图，在边长为6的正方形中，DE=CF=2,连接。尸，AE,

G,H分别是/£,。厂的中点，连接G”,则G”的长为（）

A.2B.20C.72D.4

5.（2023•陕西•统考中考真题）如图，在匚〃BCD中，AB=5,BC=8.£是边8C的中点，F是匚L4BCD内

一点，且NBFC=90。.连接/厂并延长，交。于点G.若斯1148,则DG的长为（）

22

6.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在菱形N3CD中，对角线/C与3D交于点O,若BD=16,

4

，即/OCZ）=H，点£是边的中点，则O石的长为（）

An

A.5B.4C.6D.8

7.（2022•四川德阳・统考中考真题）如图，在四边形48CD中，点、E,F,G,7/分别是4B,BC,CD,

D4边上的中点，则下列结论一定正确的是（）

A

E.Ji

A.四边形EFGH是矩形

B.四边形EFG*的内角和小于四边形48CD的内角和

C.四边形ErG"的周长等于四边形N8CD的对角线长度之和

D.四边形EFG”的面积等于四边形/BCD面积的1

4

8.（2023下•福建福州•八年级校考阶段练习）如图，E,F,G,〃分别是3。，BC,AC,4D的中点，且

48=CD,下列结论①四边形斯G8是菱形②EG1FH；③若/A4O+//OC=245。，则/EM=27.5。；

@EG=^BC-AD）.其中正确的个数是（）

C

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2023•山东临沂•统考一模）四边形N3CZ）的对角线NC,BD交点、O,点、M,N,P,。分别为边28,

BC,CD,Z）/的中点.有下列四个推断，

①对于任意四边形/BCD,四边形MVP。可能不是平行四边形；

②若AC=BD,则四边形祢VP0一定是菱形；③若AC上BD,则四边形MVP0一定是矩形；

④若四边形/BCD是菱形，则四边形肱VP。也是菱形.所有正确推断的序号是.

10.（2023下・江苏南京•八年级校考期中）点4B,C为平面内不在同一直线上的三点.点。为平面内一个

动点（不与4B,C重合）.线段.AB,BC,CD,的中点分别为M,N,P,Q.在点。的运动过程

中，有下列结论：①存在无数个中点四边形跖\?0是平行四边形；②存在无数个中点四边形MVP。是菱

形；③存在无数个中点四边形MVP。是矩形；④存在一个中点四边形跖\丁。是正方形.所有正确结论的

序号是.

11.（2023•广东深圳•校考模拟预测）如图，在矩形/BCD中，AB=3,BC=4,E为边3C上一动点，F为

/E中点，G为。石上一点，BF=FG,则CG的最小值为.

12.（2023•江西上饶•校联考二模）在。8C中，AC=6,BC=8,AB=10,。是48的中点，尸是CD上的

动点，若点P到“8C的一边的距离为2,则CP的长为.

13.（2023,广东广州•校考三模）如图，RtZX/BC中，44c8=90。，AC=4,BC=8,CD是小8c的中线,

£是边上一动点，将ABE。沿即折叠，点8落在点尸处，EF交线段CD于点G,当AOFG是直角三角

形时，则CE=.

14.（2023・陕西西安•校考模拟预测）在四边形43CD中，对角线3。平分/C,E、F、G分别为N8、

CD、3c中点，连接EF交BD于P,交NC于。，若40=5,0D=8,1.4Ssoc=S^AOD,则嘴

15.（2023•河南周口•校联考三模）如图，在矩形48cD中，点E为/。的中点，将。E绕点。旋转得到

DF,连接小，G为肝的中点，连接8G,若AB=26,AD=4,,当。尸〃8G时，8G的长

为.

16.（2023•安徽•校联考二模）如图，在。3c中，ZABC=9Q°,AB=BC=6,延长8C到点。，CD=4,

点E是4D的中点，BE交AC于点、F,则A/E厅的面积为

17.（2023•江苏南通・统考一模）如图，NC是四边形/BCD的对角线，448=90。，点£在边4D上，连接

BE交AC于F,取CE•的中点G.若/尸=£尸=3斤，CD=3,AD=5,则FG的最小值为.

18.（2023・浙江•模拟预测）如图，已知Rt44BC丝RtzXOEV,ZC=ZF=90°,AC=DF=3,

BC=EF=4,“JEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC.BC所在的直线于点P、Q.当丛BDQ

为等腰三角形时，/P的长为.

19.（2023下•山西临汾•八年级统考期中）综合与探究：如图1,四边形N8OC中，E、F、G、”分别是

AC.AB.BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H.

图1

⑴猜想四边形斯G8的形状是（直接回答，不必说明理由）.

（2）如图2,尸在四边形/8OC内一点，使尸C=P/,PD=PB,NAPC=NBPD,其他条件不变，试探究四

边形EFG”的形状，并说明理由.⑶在（2）的条件下，PA=6,PB=2y[3,ZAPC=ZBPD=60°,

NCPO=90。，求四边形EFG”的面积.

20.（2023下•河北石家庄•八年级统考期中）四边形/BCD中，点£、F、G、，分别为48、BC、CD、DA

边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形.

（1）我们知道：无论四边形怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的：

①当对角线/C=8D时，四边形/BCD的中点四边形为形；

②当对角线/C/8D时，四边形ABCD的中点四边形是形.

（2）如图：四边形48co中，己知NB=NC=60。，^.BC=AB+CD,请利用（1）中的结论，判断四边

形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.

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21.（2023・广东深圳・深圳市海湾中学校考三模）类比探究

【问题背景】已知。、E分别是。8C的N8边和/C边上的点，豆DE〃BC,则△4BC“把

绕着力逆时针方向旋转，连接8。和CE.

①如图2,找