中考数学函数专项复习：一次函数中的三角形问题（含答案及解析）

专题09一次函数中的三角形问题

।知识对接

考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题

1.求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积

专项训练

一、单选题

1.已知直线6：y=爪+k+1与直线4：y=（%+Dx+左+2,（%为正整数），记直线4和'与x轴围成的三角

形面积为品，则百+S2+S3+…+4。的值为（）

,5„10r50

A.—B.—C.—D.

111120101

2.已知a+b=2,bV2,那么对于一次函数、=依+%给出下列结论：①函数，一定随尤的增大而增大；②

4

此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为下列判断正确的是（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①，②都正确D.①，②都错误

3.将一次函数y=2x+4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9,则平移距离是（）

A.4B.5C.6D.7

4.下列关于一次函数y=-x+2的图象性质的说法中，不正确的是（）

A.直线与x轴交点的坐标是（0,2）B.与坐标轴围成的三角形面积为2

C.直线经过第一、二、四象限D.若点3（1,6）在直线上，则。＞〃

5.如图，直线y=-2x+2与x轴和y轴分别交与A、2两点，射线于点A.若点C是射线AP上的

一个动点，点。是无轴上的一个动点，且以C、£»、A为顶点的三角形与AAOB全等，则。。的长为（）

A.2或逐+1B.3或正C.2或百D.3或在+1

NCAD=/OBA,

6.将一次函数y=3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24,则平移距离（）

A.4B.6C.60D.12

7.已知一次函数的图象过点（0,3）,且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3,则这个一次函数

的表达式为（

A.y=1.5x+3B.y=1.5x-3C.y=-1.5x+3D.y=-1.5x-3

8.如图，在直角坐标系中，一次函数＞=-2%+5的图象与正比例函数的图象4交于点M（九3）,一次函数

丁=依+2的图象为几且《，/2,()

A.-2B.1

9.在平面直角坐标系中,一次函数y=-2X+6与坐标轴围成的三角形面积是：（）

A.6B.9C.15D.18

10.如图，在R3ABO中，AB1OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,

则S与t之间的函数关系式为（）

2

A.S=t(0</<3)B.S=1t(0<Z<3)

2

C.S=t2(0<Z<3)D.S=|t-l(0<Z<3)

二、填空题

11.直线y=4%-4与坐标轴所围成的三角形面积为.

12.已知点A（7,0）,B（0,m）,且直线A3与坐标轴围成的三角形面积等于28,则加的值是

13.已知直线4：y=-2x+3,和直线4：y=x-6,若直线4：，=依-2与'不能围成三角形，则后=

14.已知一次函数y=履-4的图像与两坐标轴围成的三角形周长为12,则上的值为.

15.将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形.如图

中的一次函数图像与轴分别交于点A,反那么为此一次函数的坐标轴三角形.一次函数

y=-gx+4的坐标轴三角形的面积是.

三、解答题

16.如图，在平面直角坐标系中，ABC的各顶点坐标分别4(-2,0),8(2,0),C(0,2括)，直线/过点8,

(2)若0<£<180。，在ABC的旋转过程中，当ABC的一边与直线/互相垂直时，记A点的对应点为

求点A的坐标；

(3)当夕=210。时，记旋转后顶点A,C的对应点分别为M,N,长度为3的线段PQ在直线/上移动，

2

连结MQ,NP,试求四边形M0PN周长的最小值.

4

17.如图，在平面直角坐标系中，直线4：>=与直线4：y=丘+。相交于点A,点A的横坐标为3,直

线6交y轴负半轴于点8,且08=04.

(1)求点B的坐标及直线4的函数表达式;

(2)过点B作/3〃乙交无轴于点C,连接AC,求.ABC的面积.

18.定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条

面积等分线.

(1)如图1,已知ABC,请用尺规作出ABC的一条面积等分线.

(2)已知：如图2,在平面直角坐标系xOv中，矩形O4BC的边在X轴的正半轴上、。。在y轴的正半

轴上，Q4=6,OC=4.

48

①请判断直线J是否为矩形OABC的面积等分线，并说明理由;

②若矩形Q4BC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4,请直接写出此面积等分线的函数表达式.

(3)如图3,在，ABC中，点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(4,3),点C的坐标为(2,0),点。的坐标

(0,-2),求过点D的一条ABC的面积等分线的解析式.

(4)在ABC中点A的坐标为(TO),点8的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,1),直线y=d+久。＞0)是

ABC的一条面积等分线，请直接写出b的取值范围.

19.在如图所示的平面直角坐标系中，直线”过点A(0,-2)且与直线/交于点8(3,2),直线/与y轴

正半轴交于点C.

(1)求直线”的函数表达式；

(2)若△ABC的面积为9,求点C的坐标；

(3)若AABC是等腰三角形，且求直线/的函数表达式.

20.如图,OB.

⑴求“、%的值;

(2)求的面积;

(3)直接写出“<%时，x的取值范围.

21.如图直线人=丘+5与y轴交于点A直线〃=-x+1与直线/i交于与y轴交于C,已知点8的纵坐标

为2.

(1)确定直线/1的解析式；

(2)直线/1、〃与y轴所围成的三角形的面积为；

(3)垂直于x轴的直线x=a与直线/卜/2分别交于M、N,若线段的长为2,求。的值.

12

22.如图，一次函数>=依+6(鼠b为常数，片0)的图象与反比例函数y=-一的图象交于A、2两点，且

x

与X轴交于点C,与y轴交于点。，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3.

(1)求一次函数的表达式;

(2)求△AO8的面积.

23.已知直线Li为yi=x+l,直线乙2为y2=ax+b两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上,

直线乙2与x轴的交点8的坐标为(2,0).

(1)求。、b的值.

(2)求使第、以的值都大于0的x的取值范围.

(3)求这两条直线与无轴所围成的△ABC的面积.

专题09一次函数中的三角形问题

知识对接

考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题

1.求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积

专项训练

一、单选题

1.已知直线6：y=爪+k+1与直线4：y=（%+Dx+左+2,（%为正整数），记直线4和'与x轴围成的三角

形面积为品，则百+S2+S3+…+4。的值为（）

.5n10

A.—B.—C.一

111121

【答案】A

【分析】

变形解析式得到两条直线都经过点（-M）,即可证出无论左取何值，直线4与6的交点均为定点（-M）；先求

出、=丘+左+1与x轴的交点和丫=（左+1口+/+2与工轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出耳，求出

4=；x丁'=:,S,=1-x（,以此类推％=；x（,相加后得到［x。-］）.

Z1XZ4乙L3，1U11Z1.JL

【详解】

解：.直线4:y=hr+k+l=k（x+l）+l,

直线4：y=H+A+l经过点（TD；

直线/2:y=（左+l）x+左+2=—x+l）+（x+l）+l=（左+l）（x+l）+l,

直线4：y=（左+1）尤+1+2经过点（-1,1）.

无论左取何值，直线4与4的交点均为定点（-1,1）.

直线乙：＞=履+%+1与％轴的交点为（-宁，0）,

k

直线/z：y=（A+l）x+左+2与X轴的交点为（一L-4丝-0，0）,

1.k+\k+2.,1

SK—_v_______I_____IX/I—________

~2kk+1-2人（女+1）

121x24

/•S.+S0+Sq+...+S,Q=—[-----1--------F...-------]

1231021x22x310x11

2223

11

=X

2--

11

110

=­X-

211

=7T

故选：A.

【点睛】

此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与天轴的交点的

纵坐标为o,与y轴的交点的横坐标为o.

2.已知a+b=2,H2a,那么对于一次函数y="+b,给出下列结论：①函数）一定随》的增大而增大；②

4

此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为I,下列判断正确的是（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①，②都正确D.①，②都错误

【答案】A

【分析】

根据一次函数的性质、配方法即可解决问题；

【详解】

解：a+b=2,

:.b=2-a,

b<2a,

.,.2—a<2a,

2

:.a2一,

3

:.y=ax+2-a,

,a>0,

随》的增大而增大，故①正确，

函数图象与坐标轴所围成的三角形面积西=：./,

2a2a

此函数没有最大值，故②错误,

故选：A.

【点睛】

本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数知识解决问题,

属于中考常考题型.

3.将一次函数y=2x+4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9,则平移距离是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案

【详解】

设平移的距离为左（％>0）,

则将一次函数y=2x+4向右平移后所得直线解析式为：y=2（x-k）+4=2x-24+4.

易求得新直线与坐标轴的交点为（h2,0）、（0,-2Z+4）

所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：\2-k^\-2k^9|十=,

变形得（2-左>=9,

解得仁5或七-1（舍去）.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键.

4.下列关于一次函数y=-x+2的图象性质的说法中，不正确的是（）

A.直线与x轴交点的坐标是（0,2）B.与坐标轴围成的三角形面积为2

C.直线经过第一、二、四象限D.若点3（1,6）在直线上，则。

【答案】A

【分析】

根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项.

【详解】

解：由一次函数y=-x+2,可得：k=-l<0,b=2>0,

一次函数经过第一、二、四象限，故C不符合题意；

令x=0时，则y=2,令y=0时，贝U0=—x+2,解得：x=2,

•••直线与X、y轴的交点坐标为（2,0）和（0,2）,故A错误，符合题意；

，直线与坐标轴围成的三角形面积为gx2x2=2,故B正确，不符合题意；

Vk<0,

；.y随x的增大而减小，

若点A（T,a）,8（1,6）在直线上，则故D正确，不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键.

5.如图，直线尸-2x+2与无轴和y轴分别交与48两点，射线APLA8于点A.若点C是射线AP上的

一个动点，点。是无轴上的一个动点，且以C、O、A为顶点的三角形与AAOB全等，则。。的长为（）

A.2或符1B.3或逐C.2或若D.3或出+1

【答案】D

【分析】

利用一次函数与坐标轴的交点求出AAOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB.根据已知可得/CAD

=ZOBA,分别从NACD=90。或/ADC=90。时，即当△ACD之△BOA时，AD=AB,或△ACD注△BAO

时，AD=OB,分别求得AD的值，即可得出结论.

【详解】

解：•・•直线y=-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，

当y=0时，x=l,当x=0时，y=2,

.,.A(1,0),B(0,2).

，OA=1,OB=2.

AB=7CM2+OB2=712+22=6-

VAPXAB,点C是射线AP上，

，/BAC=90°,即NOAB+/CAD=90°,

VZOAB+ZOBA=90°,

.•.ZCAD=ZOBA,

若以C、D、A为顶点的三角形与AAOB全等，则NACD=90。或NADC=90。,

即AACD^ABOA或AACD丝△BAO.

如图1所示，当AACDgZkBOA时，ZACD=ZAOB=90°,AD=AB,

.*.OD=AD+OA=V5+1;

如图2所示，当△ACD04BAO时，ZADC=ZAOB=90°,AD=OB=2,

.,.OD=OA+AD=1+2=3.

综上所述，OD的长为3或g+l.

故选：D.

【点睛】

此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质

是解题的关键.

6.将一次函数y=3尤向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24,则平移距离()

A.4B.6C.6夜D.12

【答案】A

【分析】

根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案.

【详解】

解：设平移的距离为k(k>0),则将一次函数y=3x向左平移后所得直线解析式为：y=3(x+k)=3x+3k.

易求得新直线与坐标轴的交点为(-k,0)、(0,3k)

所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：・3k=24,

2

解得：k=4或-4(舍去).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查一次函数图象与几何变换，由题意正确得出平移后解析式是解题的关键.

7.已知一次函数的图象过点（0,3）,且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3,则这个一次函数

的表达式为（）

A.y=1.5x+3B.y=1.5x-3C.y=-1.5x+3D.y=-l,5x-3

【答案】C

【分析】

设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k#0）,与x轴的交点是（a,0）,根据三角形的面积公式即可求得a

的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式.

【详解】

设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k#0）,与x轴的交点是（a,0）,

•••一次函数y=kx+b（k/0）图象过点（0,3）,

；.b=3,

..•这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3,

.•.1x3x|a|=3,

解得:a=2,

把（2,0）代入y=kx+3,解得：k=-1.5,则函数的解析式是y=-1.5x+3；

故选：C.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x

轴的交点坐标是解题的关键.

8.如图，在直角坐标系中，一次函数>=-2》+5的图象丸与正比例函数的图象4交于点M（犯3）,一次函数

>=履+2的图象为4，且4,4，4能围成三角形，则在下列四个数中，%的值能取的是（)

A.-2B.1

【答案】C

【分析】

把M(m,3)代入一次函数y=-2x+5得到M(1,3),求得L的解析式为y=3x,根据h,L,b能围成三角

形，h与b,b与12有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M(1,3),于是得到结论.

【详解】

解：把M(m,3)代入一次函数y=-2x+5得，可得m=l,

；.M(1,3),

设h的解析式为y=ax,

则3=a,

解得a=3,

h的解析式为y=3x,

Vh,12,13能围成三角形,

与b,b与b有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M(1,3),

/.k#3,k齐2,厚1,

，k的值能取的是2,

故选C.

【点睛】

本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件

是解题的关键.

9.在平面直角坐标系中，一次函数y=-2元+6与坐标轴围成的三角形面积是：()

A.6B.9C.15D.18

【答案】B

【分析】

根据函数关系式求出图像与坐标轴的交点坐标，即可求出图像与坐标轴围成的三角形的面积.

【详解】

根据题中的关系式，可画出函数图像

当x=0时，y=6,所以点A的坐标为(0,6)

当y=0时，％=3,所以点B的坐标为(3,0)

SOAB=^OB^OA

1c/

=—x3x6

2

=9

故答案为B.

【点睛】

解题的关键是能够根据函数关系式求出函数与坐标轴的交点坐标.

10.如图，在R3ABO中，ABXOB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,

则S与t之间的函数关系式为()

A.S=t(0<Z<3)B.S=1t2(0<Z<3)

C.S=t2(0<Z<3)D.S=|t2-l(0</<3)

【答案】B

【分析】

由42、的长度求出点A、点2的坐标，进而求出OA所在直线的解析式，令x=f,求出y,确定/的范围,

利用三角形面积公式表示出S即可.

【详解】

\'AB=OB=3,

：.A(3,3),

所在直线解析式为y=x,

当0<於3时，令x=t,则y=t,

：.S=-t2(0</<3).

2

故选B.

【点睛】

本题为一次函数与几何综合题，主要考查一次函数解析式的求解.

二、填空题

II.直线y=4x-4与坐标轴所围成的三角形面积为.

【答案】2

【分析】

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式可求

出直线与坐标轴所围成的三角形面积.

【详解】

解：当X=0时，y=4x0-4=-4,

直线y=4x-4与y轴的交点坐标为(0,-4)；

当y=0时，4x-4=0,解得：尤=1,

•••直线y=4x-4与x轴的交点坐标为(1,0).

直线y=4x-4与坐标轴所围成的三角形面积=；、4、1=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是把求线段的长的问题转化为求函数的交点.

12.已知点A(7,0),B(0,m),且直线A3与坐标轴围成的三角形面积等于28,则根的值是.

【答案】±8

【分析】

先分别求出点4点8到坐标轴的距离即OB,再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：：点A(7,0),B(0,m),

OA=1,OB=\m\,

・・,直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于28,

；x7x|m|=28,

解得：m=±8,

故答案为：±8.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的

面积的方法是解答的关键.

13.已知直线4：y=-2x+3,和直线4：y=x-6,若直线几y=kx-2与1八'不能围成三角形，则后=

【答案】-2或1或-;

【分析】

由题分析可得，平面直角坐标系中，三条直线4,LA不能围成三角形，有三种情况：①八〃/3,②/2〃/3,③

三条直线交于同一点，由此展开讨论即可求得答案.

【详解】

解：若/1〃/3贝U左=一2;

若/2〃瓦则1=1；

若三条直线交于一点，

y=-2%+3x=3

,解得

y=x-6>=一3

即4与4交于一点-3),

则4过该点，代入：

—3=3左一2,解得左=一§,

综上所述，上为-2或1或

故填：-2或1或-1.

【点睛】

本题考查一次函数图像和性质，两直线平行上相等，一次函数与二元一次方程组，解题关键是理解和掌握

一次函数图像与性质与求两一次函数交点的方法.

14.已知一次函数'=履-4的图像与两坐标轴围成的三角形周长为12,则％的值为.

【答案】±4|

【分析】

先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的周长列出方程求得k即可.

【详解】

解：令x=0,有y=0-4=-4,

4

令y=0，有*4=0,x——,

k

_4

，直线、=依-4与坐标轴的交点坐标为（0,-4）和（丁，0）,

k

:一次函数>=丘-4的图象与两坐标轴所围成的三角形的周长等于12,

.•・a+中+上+I=12

1

：.k=±-,

3

经检验：左=±；4是方程的解,

4

故答案是：±g.

【点睛】

本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据三角形的周长列出方程是解答此题的关键.

15.将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形.如图

中的一次函数图像与轴分别交于点A,民那么为此一次函数的坐标轴三角形.一次函数

y=龙+4的坐标轴三角形的面积是

【答案】16

【分析】

求出点A,点B坐标，根据三角形的面积公式解答即可.

【详解】

解：对于y=—1x+4,

当x=0时，y=4,当y=0时，x=8

AA(8,0)B(0,4),

所以。4=8,08=4,

SAAOB=gx8x4=16.

故答案为：16.

【点睛】

本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基

础.

三、解答题

16.如图，在平面直角坐标系中，ABC的各顶点坐标分别4(-2,0),8(2,0),(7(0,2百)，直线/过点8,

(2)若0<e<180。，在,ABC的旋转过程中，当ABC的一边与直线/互相垂直时，记A点的对应点为AL

求点A'的坐标；

(3)当&=210。时，记旋转后顶点A,C的对应点分别为N,长度为且的线段PQ在直线/上移动,

2

连结MQ,NP,试求四边形M0PN周长的最小值.

【答案】(1)等边，丫=@-2百；(2)A'(2-2日2)或(2,4)或(2+26,2)；(3)3M+6+8

2

【分析】

(1)利用点的坐标，求出。4=08=2,0c=2退,利用勾股定理得出边长即可；设/：y=kx+b,把8、E点、

的坐标代入即可；

(2)分43，/,A'C'l/,3C'，/三种情况分别画出符合的图形，然后再分别求解即可;

(3)由题意先确定出点N坐标，在四边形M2PN中，MN=4,PQ=正，要想周长最小，则只需要MQ+PN

2

的值最小即可，如图，过点M作然后取M尸=PQ==且，分别作出点/、F关于直线/的对称点

2

M',F',再分别过点M、尸作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点G,连接N尸，则N尸的长就是MQ+PN长

的最小值，求出N尸的长即可.

【详解】

(1):无轴，y轴，

J.OCLAB,

又(-2,0),B(2,0),C(0,2有),

：.OA=OB=2,OC=2y/3,

：OC是A3的垂直平分线，

：.BC=BA,

在肋OBC中，BC=JOB。+OC?=也+(2同=4,

AB=OA+OB,

：.AB=BC=AC=4,

.ABC为等边三角形；

设直线/与y轴的交点为E,在RfOBE中，ZOBE=60°,OB=2

；・OE=26,.

：.E(0,-26),

设/：y=kx+b,

代入2(2,0),E(0,-25,

2k+b=0k=y/3

•••,、后，解得r-，

b=-2,3b=—2-y3

:・y=^x・2币；

(2汝口图，当43，/时，过点4作轴于点尸,

AZA!B£=90°,ZA'FB=90。，

ZOBE=60°,

・・・a=ZA,BF=900-60o=30°,

：.A'F=^A'B=2,BFXA'B2-A'F?=26，

，OF=BF-OB=A'8-08=2下1-2,

:.£(2-26,2)；

如图，当A'C」/时，垂足为凡

ZA'BF=-ZA'BC'=30°,ZA'FB=9Q°,

2

,/NOBE=60。，

a=NA'BA=180o-30°-60o=90°,

AA'BYAB,即A'3_Lx轴，

(2,4)；

如图，当3C」/时，A'C，交无轴于点R

/EBC=90°,

'：ZOBE=60°,

：.ZFBC'=180o-90°-60o=30°,

二N4'BF=ZA'BC-ZFBC=60o-30o=30o,

.,.a=N/'8/=180°-30°=150°,ZA'FB=90°,

：.A'CLAB,即轴，

：.A'F=2,BF=2日

：.0F=0B+BF=2+6,

：.Ar(2+25/3,2)；

综上，/'的坐标为：(2-2退，2)或(2,4)或(2+273,2)；

(3)a=210°时，ZABM=360°-210°=150°,

NABN=/ABM-NMBN=9Q0,

：.N(2,-4)

在四边形M2PN中，MN=4,PQ=正，要想周长最小，则只需要MQ+PN的值最小即可，

2

如图，过点M作MH//BE,然后取分别作出点M、/关于直线/的对称点ATF',再分别过

2

点、少作尤轴、y轴的垂线，两垂线交于点G,连接NF,则的长就是MQ+PN长的最小值，

2

由对称性可知点/〃R4=30。，又（1）可知M'（2-2有，2）,

在AA/■尸'G中，F'G=-M'F'=—,M'G=~,

244

AF(2-2A/3--,2--\LipF'f2--

I44JI44J

•F,Nh902口4§丫3晒

北4JI4；2

•••周长的最小值为：诬+与4=3晒+0+8.

222

【点睛】

本题考查了旋转，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.

4

17.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=与直线4：>=床+。相交于点A,点A的横坐标为3,直

线4交》轴负半轴于点8，且。3=。4.

（1）求点B的坐标及直线4的函数表达式;

（2）过点B作4/4交了轴于点C,连接AC,求ABC的面积.

【答案】（1）y=3x-5；⑵等

O

【分析】

（1）利用直线4的解析式求出点A的坐标，再根据勾股定理求出的长度，从而可以得到08的长度，根

据图象求出点B的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线4的函数表达式；

（2）根据题意易求得直线4为y=4即可求得c（［15,0）,根据直线4的解析式求得与X轴的交点。的

坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果.

【详解】

解：（1）・点人的横坐标为3,

44

...将x=3代入y=§尤，得：y=-x3=4,

•••点A的坐标是（3,4）,

:.OA=yj32+42=5>

OA=OB,

OB=OA=5,

•・•点B的坐标是（0,-5）,

把A、8的坐标代入丫=依+万得：

/3%+6=4

\b=-5'

k=3

解得

b=-5

，直线12的函数表达式是y=3X-5；

(2)♦•工/%且点3的坐标是(0,-5),

4

直线4为)=§工_5,

令y=。，则％=

4

，若，。),

设直线4与％轴的交点为。,

将y=0代入y=3九一5,得：x=-|,

。(：，0),

3%选

17575

/.ABC的面积=]X五x(4+5)=—

【点睛】

本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求直线的解析式,三角形的面积，求出交点的坐标是解

题的关键.

18.定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为平面图形的一条

面积等分线.

图3

(1)如图1,已知，ABC,请用尺规作出A8C的一条面积等分线.

(2)己知：如图2,在平面直角坐标系中，矩形Q4BC的边。4在x轴的正半轴上、OC在y轴的正半

轴上，OA=6,OC=4.

48

①请判断直线>=是否为矩形。4BC的面积等分线，并说明理由；

②若矩形0LBC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4,请直接写出此面积等分线的函数表达式.

(3)如图3,在ABC中，点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(4,3),点C的坐标为(2,0),点。的坐标

(0,-2),求过点。的一条ABC的面积等分线的解析式.

(4)在ABC中点A的坐标为点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,1),直线y=d+刈。>0)是

ABC的一条面积等分线，请直接写出b的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)①直线y=g4尤8不是矩形。4BC的面积等分线；②产缄-4或产e0x+4m；(3)

y=2x-2；(4)0<b<l

【分析】

(1)作出线段BC的垂直平分线，找到8c中点。，连接A。，A。即所求的的一条面积等分线.

(2)①连接AC,交于点M,根据。4=6,OC=4求出点M的坐标，然后由矩形性质可知形0ABe的面

48

积等分线必过点将M点的坐标代入y=判断M点不在一次函数图像上，即可判断出直线

48

y=耳龙-§不是矩形。46C的面积等分线；

②先设出矩形面积等分线的解析式，利用和坐标轴围城的三角形面积是4建立方程求解即可；

(3)根据题意设出三角形面积等分线的解析式，求出直线42的解析式，然后两条直线联立表示出交点坐

标，根据三角形面积的一半列出方程求解即可；

(4)根据图像结合面积等分线的性质即可求出b的取值范围.

【详解】

解：(1)如图1所示，作出BC的垂直平分线交BC于点。，连接AD,

：.AD是三角形ABC的中线，

AAC所在直线即要求的，ABC的一条面积等分线.

(2)①如图2所示，连接AC,OB交于点林

'：OA=6,OC=4,

/.A（6,0）,C（0,4）,

”（3,2）,

:四边形OABC是矩形,

矩形OABC的面积等分线必过点M,

将x=3代入＞=§4九一：8中，得：

4c84c

y=—x3—=—w2,

333

48.

直线y=-x--不过点LM,

48

・・・直线y=§不是矩形OABC的面积等分线;

②如图所示,

由①知，矩形。43。的面积等分线必过点M(3,2),

设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E,与y轴相交于F,

：.3k+b=2,

b=2—3k,

・・・矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2-3kf

令x=0,y=2-3kf

AF(O,2—3%),

・•・OF=\2-3k\9

令产0,

.3k—2

..x=-----

k

；.£■(牛0),

k

3k-2

：.OE=

k

・・,矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4,

：.-OE^OF=4,

2

：.OE・OF=8,

3k-2

・・・|2—3价|---1=8,

k

9

k=2或k=-,

24

・・・矩形的面积等分线函数表达式为y=2x-4或产.

(3)如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为y=^+时交x轴于点片交A8于点E.

:三角形ABC面积的等分线y=辰+万过点D,

将。（0,-2）代入表达式得：b=-2,

.,.表达式为y=b-2.

2

将y=o代入y="—2得：x=-,

k

•，•414

•*»AF=—F2.

k

:点A的坐标为（-2,0），点B的坐标为（4,3）,

利用待定系数法可得AB的表达式为J=1x+1,

和交于点£,

y=—x+l

...联立表达式得：,2

y=kx-2

6

x=-------

2k-1

解得：*

y=^-2

2k—1

S/4\AMCIB=C—X4X3=6,

,•OAAEF_20AACS一0，

—xAFxy=3,

2%

L12+2X导2

代入得:=3,

2

整理得：4左2—7左一2=0,

解得：左i=2,k=-(舍去)，

24

・・・三角形ABC面积的等分线的表达式为y=2x-2.

(4)如图所示，

助卜

3-

-3-2-1()-1—23x

-1

-2-

-3.

..•直线y=依+可。＞0)是，ABC的一条面积等分线，

由图像可知，

当21或》＜0时，无论。取何值，直线，=依+6(。＞0)都不能把'ABC的面积平分，

0＜&＜1.

【点睛】

此题考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形中线的性质，基本作图，矩形的性质等知识，解题的关

键是设出直线表达式，根据三角形面积列出方程求解.

19.在如图所示的平面直角坐标系中，直线a过点4(0,-2)且与直线/交于点8(3,2),直线/与y轴

正半轴交于点C.

(1)求直线w的函数表达式；

(2)若△ABC的面积为9,求点C的坐标；

【分析】

(1)用待定系数法求直线”的函数解析式；

(2)根据AABC的面积为9可求得AC的长，可得出结论；

(3)过点B作轴于点。，则Cr»=AZ)=4,得C(0,6),设直线/的解析式为：y=kx+b,将2,

代入即可.

【详解】

解：(1)设直线”的解析式为：y=kx+b,

•.•直线"：y=Ax+6过点A(0,-2),点2(3,2),

，直线〃的函数解析式为：y=g尤-2；

(2)•.•若△ABC的面积为9,

：.9=-AC-3,

2

：.AC=6,

'：OA=2,

・・,点。在y轴正半轴，

：.C(0,4)；

(3)当A8=8C时，过点5作BOLy轴于点

：.CD=AD=4,

：.C(0,6),

设直线/的解析式为：y=kx+b,

将5(3,2),C(0,6)代入得:

"+b=2

[b=6'

解得，3,

b=6

4

二直线/的解析式为：y=--x+6.

【点睛】

本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴

交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题.

20.如图，直线”=3x-5与反比例函数%=7的图象交于点4(2,租)、8(〃,-6)两点，连接OA、OB.

(1)求相、〃、%的值；

(2)求的面积；

(3)直接写出％时，x的取值范围.

1351

【答案】(1)m=l,n=—，左=3；(2)一；(3)0<x<2或％<-三

363

【分析】

(1)根据题意可先出根，n,可得A(2,l)、-6)再代入反比例函数解析式求出即可;

(2)先求出直线与y轴的交点坐标，可得AOB的面积=+5救，即可求解;

(3)观察一次函数图象在反比例函数图象下方时的x的取值范围，即可求解.

【详解】

解：(1):直线％=3x-5与反比例函数%=?的图象交于点4(2,间、3(”,-6)两点,

...当x=2时，勿=2x3—5=1,

当、=一6时，一6=3〃一5,解得：n=-j,

将A(2,l)代入反比例函数%=勺1，得：1k-1

X2

解得：k=3，

(2)设直线A8与x轴交于点C,交y轴于点

当x=0,乂=一5,

・・・。（0,-5）,

即0。=5,

^AOB的面积=S,AOD+S