浙江省宁波市2022-2023学年高一年级上册数学期末试卷（含答案）

浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单选题

1.已知全集为R,集合4=[-2,2],集合3={%|/-3久20},则4n(CRB)=()

A.[—290]B.[—293]

C.(0,2]D.(—oo,-2]U[3,+oo)

2.函数/（久）=log3久+%-5的零点所在的区间为（）

A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

3.已知a,b为非零实数，则"01"是“|a|〈网''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数y=2tan（3光+强）的定义域是（

A.{刈k^^7T+左兀，kEZ}B.。诵7T+/ct,kEZ]

C.看+k6Z）D.{用久75+空，keZ}

5.已知定义在R上的奇函数fO）满足/•（尤+1）=—f（x）,则“2022）=（

A,-1B.0C.1D.2

sin(7T—a)+2cos(yr+a)_

6.已知tana=3,则sing+a)+cos(¥+a)()

A-1B.1於D

224c.4-1

7.已知x,yER,%2+y2+%y=1,贝I]()

A./+产的最大值为擀且久+y的最大值为学

B./+产的最大值为，且x+y的最小值为0

2

C.%+产的最小值为，且x+y的最大值为学

D./+y2的最小值为|■且久+y的最小值为0

8.若关于x的方程?+喘¥=6恰有三个不同的实数解%X2,如且/<。r<X3,其中znCR,

1

1

贝1K尤1+天）（%2+%3）的值为（）

A.-6B.-4C.-3D.-2

二、多选题

9.下列说法正确的有（）

A.若。是锐角，贝岭是第一象限角

B.1°=［gorad

C.若sin6>0,贝”为第一或第二象限角

D.若。为第二象限角，则%为第一或第三象限角

10.关于函数/（久）=耳短，下列说法正确的是（）

A.函数/（%）定义域为R

B.函数fO）是偶函数

C.函数/（久）是周期函数

D.函数/（%）在区间（-兀，0）上单调递减

。一炉（久>0）的图象可能是（）

log3b+loga4,则下列关系式可能正确的是（）

A.3a,bE(0,+00),使—B.3a,bE(0,+oo),使ab=1

C.Va,bE（1,+oo）,有b<a<£>2D.Ya,bG（0,1）,有扭<。<£）

三'填空题

13.化简求值：log43X（log32+log92）=.

14.已知函数y=f（£）的图象是一条连续不断的曲线，当2,2］时，值域为［-2,2］,且在［-2,2］上

有两个零点，请写出一个满足上述条件的/（%）=.

15.炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇

完全展开后，得到的扇形ABC面积为1007T2cm2,则当该纸叠扇的周长最小时，AB的长度为cm.

2

BC

A

16.已知函数/(%)=遮sins:+cos3、(3〉0),若函数/(%)在区间(5，方)内没有零点，则实数3的最大值

是.

四、解答题

17.在①％ez是％e8的充分不必要条件；②zu8；③/nB=。这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)

问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合/={%|租一1<%<m+1},集合3={%||%|42}.

(1)当TH=2时，求AuB；

(2)若,求实数机的取值范围.

-1

18.已知函数/(%)=sinx+cos%,且/(«)=一百，aE(0,Ji).

(1)求/(一优)的值；

1TT

(2)若cos(a—S)=T/?E(0,彳)，求cos/7.

19.已知函数/(%)=Q/—2(Q+1)%—a+3,aER.

(1)若g(%)=/(%)-(a-1)』+。一3在(0,3)上有零点,求实数a的取值范围;

(2)若八支)在区间弓，3]上的最小值为-2,求实数a的值.

20.已知函数/(久)=[n(s+0)(3>0)的图象如图所示.

3

（1）求函数/（X）的对称中心;

（2）先将函数y=f（X）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上

所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移告个单位后得到函数y=g。）的图

象.若—HV1对任意的久e[-普，（T|恒成立，求实数t的取值范围.

21.近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城

市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国

内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销

售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格/（久）（单位：元）与时间%（单

位：天）（1〈久W30,xeN*）的函数关系满足/■（£）=10+（（k为常数，且k〉0）,日销售量g（x）（单位：

件）与时间尢的部分数据如下表所示：

X15202530

9（工）105110105100

设该文化工艺品的日销售收入为M（x）（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.

（1）求k的值；

（2）给出以下四种函数模型：

x

①g（X）=ax+b；②g（%）=a\x-m\+b；③g（%）=a-b；④g（%）=a-\ogbx.

请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量gQ）与时间》的变化关系，并求

出该函数的解析式；

（3）利用问题（2）中的函数g（%）,求M（%）的最小值.

22.定义在R上的函数f0)满足：对任意的%1G[k,+00),都存在唯一的血C(—8,k),使得/(%2)=/(5)，

则称函数/(%)是"(k)型函数”.

(1)判断/(%)=/+1是否为"(-1)型函数”?并说明理由；

2

(2)若存在实数k,使得函数g(x)=log2(x+a%+1)始终是，(k)型函数”，求k的最小值;

X+——1,X1

(3)若函数伏%)=x,是，(1)型函数”，求实数。的取值范围.

\x-a\,x<1

5

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】%2-3%=x(x-3)>0,解得工W0或尤23,

所以B=(x\xW0或％之3},所以CRB={%|0<%<3},

所以2C(CRB)=(0,2].

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合B,再结合交集和补集的运算法则，进而得出An

(CRB)。

2.【答案】B

【解析】【解答】在(0,+8)上单调递增，

f⑶=-1<0,f(4)=log34-1>0,

所以的零点在区间(3,4).

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数/(%)=10g3x+%-5的零点所在

的区间。

3.【答案】A

【解析】【解答】当。<与<1时，a,b同号且非零，则0<犒<1,所以|可<网.

当时，如a=—l,b=2,则\<。，无法得到。<髀1.

所以“0<^<1"是“|可<网”的充分不必要条件.

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“0<胃<1"是“|a|<|勿”的充分不必

要条件。

4.【答案】D

【解析】【解答】由3久+髀时+会解得%吗+竽

所以函数的定义域是{久|久。专+空，kez).

故答案为：D

6

【分析】利用已知条件结合正切型函数求定义域的方法，进而得出函数y=2tan(3支+方)的定义域。

5.【答案】B

【解析】【解答】“久)是定义在R上的奇函数，所以/(o)=0,

/(%+2)=/(%+1+1)=—f(x+1)=/(%),

所以/(%)是周期为2的周期函数，所以f(2022)=f(0)=0.

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合奇函数的性质和函数的周期性，进而得出函数的值。

6.【答案】B

_ksin(兀-a)+2cos(?r+a)_sina-2cosa_tana-2_3-2_1

【解析】【解口】sing+a)+cos(争+a)-cosa+sina-1+tana-1+3-4.

故答案为：

sin(7i—a)+2cos(7r+a)

【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，进而得出sin&+W+cos('+a；的值。

7.【答案】C

【解析】【解答】利用/+y2N247,则/+y2+盯=1w%2+y2+当”整理得久2+y2之|,

当且仅当%=y,即/=y2=即寸取得等号，即/+俨的最小值为|；

22222

利用0+y)2>4xy,x+y+xy=1=(%+y)-xy,即Xy=(%+y)-1<(久?",整理得Q+y)<

pn2通/12n

即——<%+y<-，

当且仅当％=y=等时取得等号，故久+y的最大值为竽.

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。

8.【答案】A

【解析】【解答】依题意可知久70,

由(%+1)2+叫_1尸=$整理得x+1+m-4-2m-々=0①，

即关于％的方程恰有三个不同的实数解%1，%2，%3，且％1<0<%2<%3，

4t=x+--则tW—2或t22,

X

则①转化为t+m—4—2m•9=(),

7

即产+—4)t—2m=0,A=(m—4)2+8m=m2+16>0,

i

根据对勾函数的性质可知t=%i+—=-2是方程F+(m-4)t-2m=0的一个根，

所以(一+(TH—4)X(—2)—2m=0,m=3,

所以F—「―6=0,解得t=—2或t=3,

所以%2，%3是方程％+g=3的根，即/—3%+1=0的根，

所以％2+%3=3,

1

所以(%1+有)(%2+%3)=(-2)X3=-6.

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合判别式法和根与系数的关系，再结合对勾函数的性质和韦达定理，进而得出(巧+

1

天)(利+%3)的值。

X1

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】A选项，。是锐角，即0<6<去所以。是第一象限角，A选项正确.

B选项，根据弧度制的定义可知1°=儡rad,B选项正确.

C选项，当。=鄂寸，si谤=1,但。不是象限角，C选项错误.

D选项，8为第二象限角，即2/OT+£<8<2k兀+兀，kn+^<^-<kii+^-,kCZ,

所以4为第一或第三象限角，D选项正确.

故答案为：ABD

【分析】利用已知条件结合象限角的求解方法、角度与弧度的互化公式三角函数值在各象限的符号，进而找

出说法正确的选项。

10.【答案】B,C,D

【解析】【解答】由于COS7T=-1,1+COS7T=0,所以/(X)的定义域不是R,A选项错误.

由1+COSK。。得COSX。-1,所以X。2/C7T+71,kEZ,

所以/(%)的定义域是｛x|x。2/OT+兀，keZ),/(久)的定义域关于原点对称，

11

/(一久)=l+cos(r)=17^=&),所以/(%)是偶函数，B选项正确―

/(龙+2兀)=1+3；计2兀)=』=/(久)，所以/㈤是周期函数，C选项正确.

8

当久W2kn+兀，/c6Z时，1+cosx>0恒成立，

y=l+cos尤在(—兀，0)上单调递增，所以/(久)=i+:sx在区间(一兀,。)上单调递减，D选项正确.

故答案为：BCD

【分析】利用已知条件结合函数的定义域求解方法、偶函数的定义、周期函数的定义和减函数的定义，进而

找出说法正确的选项。

11.【答案】A,D

【解析】【解答】依题意a>0且aH1,

0。_泗=一1<0,B选项错误.

/⑴=1-a

当l-a>0,0<a<l时，/(I)>0,且/'(X)=-a”在(0,+8)上递增，A选项符合题意.

当1—a<0,a>l时，f(l)<0,在CD选项中，C选项错误，则D选项正确.

故答案为：AD

【分析】利用已知条件结合特殊点排除法、分类讨论和单调函数的定义判断出函数的单调性，进而找出当a〉0

且a71时的函数f(x)=xa-ax(x>0)的可能的图象。

12.【答案】A,B,C,D

11

lox

【解析】【解答】对于A,由log3a+log&3=log3Z?+】oga4得log3b-正静=3a一恒/令/(K)=§3-

ii

厢彳则/(%)分别在(0,1)和(1,+8)上单调递增，令g(x)=log3久一函彳则g(久)分别在(0,1)和(1,+oo)

上单调递增，当xe(0,1)时，/(%)的值域为R,当xe(2,+oo)时，g(x)的值域为(log32-2,+oo),所

以存在b6(0,1),ae(2,+8),使得f(b)=g(a)；同理可得，存在be(2,+oo),ae(0,1),使得/(b)=

g(a),因此ma,bE(0,+oo),使A符合题意；

对于B,令ab=l,则方程logs。+log。？=logsb+log04可化为logE+logb4=21og3b,由换底公式可得

(Inb)2=ln3；nl2〉o,显然关于b的方程在(0,+8)上有解，所以ma,bG(0,+oo),使ab=l,B符合题

悬；

111

对于C，当a,be(1,+8)时，因为log3b一团=10g3a一耐<log3a-陪，

111

所以/(b)</(a),又/(%)在(1,+8)上单调递增，所以b<a.又bg3b-碱区=1°g3a一幅〉匕8，。一五杀，

令/1(久)=%一］,则九(久)在(0,+8)上单调递增，因为h(log3b)>/i(log4a)，所以log3b〉log4a,从而可得

9

log3b>log4a=log2V^>所以b>口.综上所述可得bVaCb?,C符合题意；

1ii

对于D，当a,be(0,1)时，因为1咤3力一而筋=log3"-廊*>1咤3。一而丽，所以/(b)>/(a),又/(%)

ill1

在(0,1)上单调递增，所以b>a•又log3b一厢/=log3a一廊氯<l°g4a-礴0，令八(%)=久一三，则八(久)

在(0,+8)上单调递增，因为hQogsb)<h(log4a),所以log3b<log4a,

从而log3b<log4a=logzV^<logsV^,所以b<而.综上所述可得扭<a<b,所以D符合题意.

故答案为：ABCD

【分析】利用已知条件结合函数的单调性和全称命题和特称命题真假性判断方法，进而找出关系式可能的关

系式o

13.【答案】|

[1

【解析】【解答】log43x(log32+log92)=log43x(log32+logs2)=xlog32V2

1lg3lg2V211A3

=5X—彳X—；-5-=Xlog?22=

2lg2lg324-

故答案为：|

【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式，进而化简求值。

14.【答案】久2-2(答案不唯一，如2印一2亦可)

【解析】【解答】根据函数自变量久C［—2,2］时，函数值域为［—2,2］,可考虑二次函数/•(>)=/—2,

根据二次函数性质可知久€2,2］时,fO)min=/(。)=-2,/(%)max=/(2)=/(-2)=4—2=2,

令/(x)=0,解得％=±/，即在［—2,2］上有两个零点.

故答案为：%2-2(答案不唯一，如2国—2亦可)

【分析】利用已知条件结合二次函数的图象求值域的方法、函数零点求解方法，进而找出满足条件的函数的

解析式。

15.【答案】1071

【解析】【解答】设扇形ABC的半径为rem,弧长为碗，则扇形面积S=R

由题意得=100兀2,所以包=200兀2.

所以纸叠扇的周长C=2r+l>2V2rZ=2/400兀2=40兀，

10

2r—/

当且仅当]，即r=10兀，1=20兀时，等号成立，

rl=200兀2,

所以此时AB的长度为lOncm.

故答案为：10兀

【分析】利于已知条件结合扇形的面积公式和扇形的周长公式，再结合均值不等式求最值的方法，进而得出

该纸叠扇的最小值，从而得出此时对应的AB的长度。

16.【答案】学

【解析】【解答】/(%)=V3sino)x+cosa)x=2sin(o)x+^),

由％e(W'2)可倚"S"+6<+G<~2~+不，

(j.(D1T.71

TTTT/C7T<-Q----rN

又八£)在区间(耳，》)内没有零点，则七兀兀36,kGZ,

国+甘(卜+1)兀

解得与kez,

(6k—1v6/c+5

又解得(普，又kez,所以k=l或k=2,

I2>0

当k=l时，%3<争当k=2时，冬

综上所述：3的最大值为学.

故答案为：学.

【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象和零点存在性定理,

进而得出3的取值范围，从而得出3的最大值。

17•【答案】(1)解：|%|<2«-2<%<2,所以B=[—2,2].

当？n=2时，A=[1,3])

所以4UB=[-2,3].

(2)解：由(1)得B=[—2,2],

选①，xC4是久CB的充分不必要条件，

则[m2,且等号不同时成立，解得一1Wm<1.

—1>—z

选②，AQB,

11

贝町呈解得twmwl

选③，^4ClB=0,

则TH—1>2或m+1<—2,

解得TH>3或TH<—3.

【解析】【分析】(1)利用m的值得出集合A,再结合并集的运算法则得出集合A和集合B的并集。

(2)利用已知条件结合充分条件和不要条件的判断方法或集合间的包含关系或交集的运算法则和空集的定义,

进而得出实数m的取值范围。

18.【答案】(1)解：由题意.(a)=sina+COStZ——引OLG(0971),

由于sina>0,所以cosa<0,

.1

故由］sina+cosa=—耳

sin2a+cos2a=1

可解得sina=亮，cosa=—/

7

所以_a)=—sina+cosa=一耳.

(2)解：由(1)可知：aEf7i)f/?E(0,，)，则a—Se(0,TT)

因为cos(a-/?)=5所以sin(a-0)=Jl—(|-)2=

所以coSjS=cos(a—(a—/?))=cosa-cos(a—/?)+sina-sin(a—/?)=6^^\

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和代入法，进而得出/(-a)的值。

(2)利用(1)可知：兀)，/?e(0,J),再结合不等式的基本性质和同角三角函数基本关系式和角

之间的关系式，再结合两角差的余弦公式得出cosS的值。

19.【答案】(1)解:0(%)=/—29+1)%=%［%—2(〃+1)］在(0,3)上有零点,

所以X=2(a+l)e(0,3),a+le(0,彳)，

1

所以—1,2).

(2)解：由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，

所以只需考虑一下三种情况并检验即可：

①若/8)=2=-2,二£1=竽.

/(久)的图象开口向上，对称轴而喘>最不成立，舍.

②若/⑶=2a—3=—2,=|

此时/'(X)的图象开口向上，对称轴x=3,成立.

12

右f(―+1)=1—2d—=—2,CL=•或a=l.

dci乙

此时人尤)的图象开口向上，对称轴尤=：+1,而此时：+1eg,3],成立.

综上可知，a=g或a=1.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合零点存在性定理，进而的=得出实数a的取值范围。

(2)由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验

即可。①若/(1)=2-^=-2,进而得出a的值,再利用函数/(乃的图象开口向上,对称轴久=||，而我>最

不成立，舍。

②若外3)=2a—3=—2,得出实数a的值，此时/(%)的图象开口向上，对称轴％=3,成立。

③若/■(工+l)=l—2a—工=一2,得出实数a的值，此时/(久)的图象开口向上，对称轴久=工+1,而此时，+

CLCLCLCL

16[1,3],成立。综上所述，从而得出满足要求的实数a的值。

20.【答案】(1)解：由图可知：%=%_务=?所以T=*=等，所以3=4,/(%)=^-sin(4x+(p),

又f(j-2)—可sin(可+(p)—可，sin(可+(p)=1,可+0=2k兀+,,

TT

所以0=2/CTT+石，keZ.

所以/(%)=^sin(4x+2kn+.)=^sin(4x+^).

令4%+看=kn,kEZ,

则％=竽-%kez.

所以fQ)的对称中心为(竽一去，0),kEZ.

(2)解：由题g(%)=sin(2(%+争)+着)=sin(2%+"ITT).

当X6[-,0]92x+E[0,时,g(%)E[0>1].

因为41对任意的％e[-招，0]恒成立，

|j||i(g(X)maxW1+t

'IgOOmin之-1+f

所以te[o,1].

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦型函数的图象结合正弦型函数的最小正周期公式得出3的值，再结合

五点对应法得出0的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象求对称中心的方法，

进而得出正弦型函数f(X)的图象求出其对称中心。

(2)利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合x的取值范围和不等式的基本

13

性质和函数求值域的方法，进而得出正弦型函数的值域，再结合|g(X>-t|w1对任意的XC[-招，0]恒成

立和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数t的取值范围。

21•【答案】(1)解：因为第15天的日销售收入为1057元，

所以M(15)=f(15)5(15)=(10+/)x105=1057,解得k=1.

(2)解：由表中的数据知，当时间久变化时，g(久)先增后减.

x

而函数模型①g(%)=ax+b；③g(%)=a-b；④g(%)=a\ogbx都是单调函数，

所以选择函数模型②g(%)=a\x-m\+b.

fg(15)=g(25)

由,g(15)=5a+b=105,解得“=—1,b-110,m-20.

(g(20)=b=110

所以日销售量g(%)与时间x的变化关系为g(%)=-|x一20|+110(1<x<30,N*).

x+90,1<%<20,xEN*

(3)解：由(2)知g(%)=|x-20|+110=

—x+130,20<%<30,xeN*

f(10+-)(%+90),1<%<20,xEN*

所以M(x)=fO)g(x)=<1"

((10+?)(一久+130),20<%<30,xEN*

90

10%+—+901,l<x<20,xEN*

130

-10%+—+1299,20<x<30,xCN*

(x

当l〈x〈20,xEN*时，由基本不等式得，f(x)=10%+^+901>2V900+901=961

当且仅当10x=空，即久=3时，等号成立.

X

当20<xW30,久CN*时，/(%)=—10久+拳+1299单调递减，

所以/(%)2/(30)=999+号>961.

综上所述：当尤=3时，八支)取得最小值，最小值为961.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合表中数据和代入法，进而得出实数k的值。

(2)利用已知条件结合函数建模的方法，进而得出函数的解析式。

x+90,1<%<20,xEN*

(3)由(2)知g(x)=—|x—20|+110=所以M(x)=f(x)g(x)=

-x+130,20<%<30,xEN*

f(10+-)(%+90),1<%<20,N*

1”，再利用分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法或函数的单

((10+2)(7+130),20<x<30,N*

调性求最值的方法，