圆的中档大题过关30题-2022年中考数学总复习必刷题（解析版）

专题09圆的中档大题过关30题(解析版)

专题简介：本份资料包含中考圆的中档大题模块中常考的各类主流中档大题，所选题目源自近四年各名

校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，具体分为六类题型

：垂径定理与圆心角圆周角的大题、切线的性质的大题、切线的判定(第।类：用等量代换证半径与直线

的夹角等于90°、第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°、第3类：用全等证半径与直线的夹

角等于90°、第IV类：用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径)，适合培训机构辅导老师给学生做一

轮专题复习时使用或者学生考前刷题使用。

垂径定理与圆心角、圆周角的大题

1.(青竹湖)如图，O。的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,ZDEB=30°.

(1)求圆心。到CD的距离OF；

(2)求CD的长.

【解答】解：(1)；BO=L(AE+BE)=工(1+5)=3,；.0E=3-1=2,在RtAEFO中，'：20EF=

22

30°：,OF=1,即点。到CD的距离为1；

(2)连接OD,如图，在Rtz\DFO中，OD=3,.,.。吐而淤一。笠2=也2一］2=2加,

OFLCD,CD=2D尸=4&；.CD的长为4如.

2.(长培)如图，中，直径CD,弦于E,于交于N,连接40.

(1)求证：AD=AN；

(2)若45=8,ON=3求。。的半径.

【解答】(1)证明：u：CD.LAB：.ZCEB=90°：.ZC+ZB=90°,同理NC+NC7W=9O°

AZCNM=ZB*：ZCNM=ZAND：.ZAND=ZB,VAC=AC，:・/D=/B,：./AND=/D,

：.AN=AD；

(2)解：设OE的长为x,连接O4・・ZN=/。，CDLAB：.DE=NE=x+\,：.OD=OE+ED=x+x+\=2x+\

：.OA=OD=2x+l,.,.在RtZkO/E中OE2+/E2=O/2,,-.X2+42=(2X+1)2.解得x=$或x=-3(不合题

3

意，舍去)，0A=2x+l=2X—+1

33

即o。的半径为」S.

3

3.(北雅)如图，。。的直径N8为10,弦力C为6,//CB的平分线交。。于点。.

(1)求5C,AD,2。的长；

(2)求CD的长度.

5C22=

【解答】解：(1)为直径，：.ZACB=ZADB=9Qa,在Rt^4C3中，=JAB-AC

平分乙ZACD=ZBCD=45°ZDBA=ZDAB=ZACD=ZBCD=45

J1Q2_62=8,4C8,A,A

...△，8。为等腰直角三角形，；./。=8。=返M=返乂10=5加,即8C,AD,8。的长分别为8,5加

22

，5A/2；

(2)过/点作4?/，C£)于X,如图，'：ZACH=45°,...△/口/为等腰直角三角形，

:.CH=AH=*AC=*X6=3近,在RtZX"如中,DH=4/一一气(妪产_(阪2=4圾,

：.CD=37近

4.(麓山国际)如图，等边A48c内接于。。，尸是弧4B上任一点(点P不与点48重合)，连接

AP,BP,过点。作CM||BP交E4的延长线于点

(1)求4PC的度数；

(2)求证：APCM为等边三角形；

(3)若E4=l,PB=3,求APCM的面积.

M

A

【解析】(1)：AA8C为等边三角形，，ABAC=NABC=ZACB=60°，ZAPC=ZABC=60°.

(2)又NBPC=NBAC=60°豆CM//BP,:.NPCM=NBPC=60°,:.NMPC=NPCM=60°,

：.APCM是等边三角形；

(3)取尸。=R4=1,ZAPD=60°,二A4P。为等边三角形，4D=4P=1,

/PAD=NBAC=60°

ZPAD-ZBAD=ABAC-/BAD,即ZPAB=ZDAC,在AAPD与AADC中

PA=DA

<ZPAB=ZDAC：.AAPB^AADC(SAS)：.DC=PB=3,：.PC=1+3=4

AB=AC

SAPCM=与义4?=4#>

5.(中雅)如图，48为。。的直径，。为。。上一点，。是弧8C的中点，BC与4D、OD分别交于

点、E、F.

(1)求证：DO//AC；

(2)求证：DEDA=DC\

1CF

(3)若tanNC4Z)=—,求---的值.

2EF

【解答】(1)证明：•.•。是弧3C的中点，.•./◎。=/。/2=工/。43,•.♦/。/8=工/。。8(圆心角

22

定理)，：.ZCAB=ZDOB,C.DO//AC.

(2)证明：：。是弧BC的中点，AZDCB=ZDAC,在△OCE和△D4C中，1/CDE=/ADC,

IZDCE=ZDAC

:.△DCEsADAC,...里即DE.D/uOC2.

DCAD

(3)解：是直径，AZACB=90°,：.tanZCAD=^=X,由(2)可知△Z)CESAD/C,

CA2

ADC_=CE=设CD=2加，则AD=4加，DE=m,AE=AD-DE=3m,'.,DO//AC,：.ZCAD^

ADACDC2

ZFDE,在和△。尸E中，［NCAE=/FDE,...△/C£SZ\DPE,.•.四=酗=①=3.

IZCEA=ZFEDEFDEm

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于

90°o

6.（长郡）如图，Rtz\48C中，NC=90°,。为直角边8c上一点，以。为圆心，OC为半径的圆恰好与

斜边N8相切于点。，与3C交于另一点E.

(1)求证：△/OC0△NOD；

（2）若BE=LBD=3,求。。的半径及图中阴影部分的面积S.

【解答】（1）证明：切。。于。，：.OD±AB,中，ZC=90°,

在RtzX/OC和RtZ\/OD中，f0C=0D：.Rt/\AOC^m/\AOD(HL).

IAO=AO

(2)解：设半径为r,在RtZ\O£>3中，^+32=(H-1)2,解得r=4；

由(1)有ZC=4D,AB=AD+DB=AC+DB=AC+3,3C=5E+2r=1+8=9,

在直角三角形/8C中，根据勾股定理得：AC2+92=（AC+3）2,解得NC=12,

：.S^^AC'BC-l-nr2=-l-X12X9--1TTX42=54-8n.

2222

7.（青竹湖）如图，在梯形/8CD中，AD//BC,NB=90°,以N5为直径作。0,恰与另一腰CD相切于

点E,连接。。、OC、BE.

（1）求证：OD//BE；

（2）若梯形/BCD的面积是48,设。。=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.

BB

【解答】（1）证明：如图，连接0E,

是O。的切线，J.OELCD,在RtzX。/。和RtZkOED,,J0A=0ERtAO^D^RtAO£D(HL)

lOD=OD

ZAOD=ZEOD=^ZAOE,在。。中，N4BE=L/AOE,：.NAOD=NABE,

22

J.OD//BE（同位角相等，两直线平行）.

(2)解：与(1)同理可证：RtACO^RtACOS,/.ACOE=ZCOB=^ZBOE,VZDOE+ZCOE

2

=90°，:•△COZ)是直角三角形，*：S^DEO=SADAO,S4OCE=S^COB，；・S梯形48cz)=2QSADOE~SACOE)

=2S^COD=OC*OD=48,即盯=48,又・・“十刀=14，.\x2+/=(x+y)2-2xj/=142-2X48=100,

在Rt/XCOD中，"=阮"办=J7+y/.CZ)=10.

8.（长郡）如图，48为。。的直径，弦CD与48相交于E,DE=EC,过点2的切线与AD的延长线

交于尸，过£作EG_L2C于G,延长GE交4D于

（1）求证：AH=HD：

4

（2）若cos/C=—,DF=9,求。。的半径.

5

【解答】(1)证明：为。。的直径，DE=EC,J.ABLCD,：.ZC+ZCBE=90°,

'JEGLBC,：.ZC+ZCEG=9Q°,：.ZCBE=ZCEG,'：ZCBE=ZCDA,ZCEG=ZDEH,

：.ZCDA=ZDEH,：.HD=EH,VZA+ZADC=90°,ZAEH+ZDEH=90°,:.AH=EH,

:.AH=HD；

(2)解：为。。的直径，：.ZADB=90°,;./BDF=90°,尸是OO的切线，

:./DBF=/C,VcosZC=A,DF=9,.,.tanZDBF^^-,:.BD=---------------=12,

54tan/DBF

.•.sinZ^=.l,；.4B=-BD—=20,，OO的半径为10.

5sin/A

9.(广益)如图，48是。。的直径，尸为切延长线上一点，过P作。。的切线，切点为C,CD平分

ZACB交00于D,交48于G.

(1)求证：APACMPCB.

(2)已知。。的半径为5,PC=2屈,过。作C"_L4B于H。

①求tanZADC；②求GH的长.

【解答】（1）证明：如图，连接0C,丁尸C是。。的切线，.,./OCP=90°,.•./OC/+N/CP=90°,

是。。的直径，AZACB=90°,：.ZB+ZCAO=90°,VOC=OA,：.ZOCA=ZOAC,

:.NB=/ACP,又,：/CPA=/BPC,:.△PACsAPCB；

（2）①由（1）知APACSAPCB,/.AP=PC=AC；,:PC=2瓜/8=5X2=10,：.J^=

PCPBCB2V610+AP

.".AP—2（取正值），—VAADC—AB,tanZADC—

CB2766CB6

②如图，连接0£）,平分N/C8,.•./5CD=N/C0=_k/4c2=45°,：./BOD=NDOA=90°

■:CHLAB,:.NCHG=90°=ZDOA,：.OD//CH,/\DOG^/\CHG,在RtZ\NBC中，^AC=x,则

：.x2+（而）2=1（）2,...尤=-1°曲（取正值），.•./C=1°迎,BC=10A,

777

1010

'：S^ABC^^-BC'AC^1AB'CH,V42X^=10CH,:.CH=1。捉,：tan/8=逅,

'227776

1岷

.•隹=_Z_=返，：.OH=BH-BO=也-5=生,,:△DOGs^CHG,

HBBH6777

5冬-GH.

•ODOG0

=即"r=~=-------，GH—-------

"CHGH，IAPV6GH7

7

10.(青竹湖)如图，在H/A45C中，ZABC=90°,。是ZC的中点，。。经过幺、B、。三点,

C5的延长线交O。于点£.

(1)求证：AE=CE；

(2)族与。。相切于点£,交NC的延长线于点尸.

①若CD=CE=2CM,求的直径

CF

②若而=〃(〃>0),求sinNC45.

【解答】(1)证明：连接DE,VZABC=90°/4BE=90°•是。。直径N4DE=90°

又：。是/C的中点是/C的垂直平分线.♦./£=(7£；

(2)解：在△/£)£1和中，；NADE=NAEF=90°，ZDAE=AFAE：./\ADE^/\EFA

噜嗡臂誉32后；

(3)解：是(DO直径，E尸是(DO的切线，ZADE=ZAEF=90°：.Rt/\ADE^Rt^EDF

AhD=D^VCF_AD=CD：.CF=nCD：.DF=(1+n)CDJ.DE^JT^CD

EDDFCD

在Rtz\CZ>E中，CE2=CD2+DE2=CD2+2=(〃+2)CD2

：.CE=4^+2^D:ZCAB=ZDEC：.sinZCAB=sinNDEC=型=J=五亘.

CEVn+2n+2

11.(雅礼)如图，28是。。的直径，点。是。。上一点，2。与过点C的切线垂直，垂足为。，直

线DC与28的延长线交于点尸，弦CE平分NACB,交AB于点、F,连接5£,BE=5s/2.

(1)求证：AC平分NDAB；

(2)若5c=5,求阴影部分的面积;

(3)若CD=3,求PC的长度.

【解答】(1)证明：连接OC.：O4=OC,.•./CMC=NOC4是。。的切线，ADLCD,

；./OCP=ND=90°，：.OC//AD.:.NCAD=NOCA=NOAC.即NC平分/D/2.

(2)解：连接4£.VZACE=ZBCE,，AE=BE，:.AE=BE.又•.23是直径，ZAEB=90°.

.•./2=如2£=如X5&=10,，：OB=5,：.BC=OB=OC=5,即△02C是等边三角形，

.,.ZBOC—60°,.*.O/7=^-QC=-^-,CH=｛为)11=多6：.SABOCM三乂5乂去&=卷7~^

骗形8℃=型_义^义52=空江，阴影部分的面积为

3606

(3)解：过点。作。7_1/8垂足为点〃，如图：由(2)得：OC=OB=5,平分ND4B,CHLAB,C

DYAD,:.CH=CD=3,二。31y在RtZ\O〃C中，tan/CO//=^=(,

在RtZ\COP中，tan/COP=W=3,，PC=3oc=匹.

OC444

切线的判定：①有切点，用几何方法：证半径与直线的夹角等于90°(含三小类

);

②无切点，用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径。

第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°

12.(青竹湖)如图，48为。。的直径，ODJ_NC于。，4C交。。于点E,。为4C上一点,

NAOD=NC.

(1)求证：8C为。。的切线；

(2)若48=10,OD=3,求弦NE的长.

【解答】(1)证明：'：OD±AC,：.ZADO=90°,：.ZAOD+ZA=90°,又,：NAOD=NC,

：.ZA+ZC=9Q°,AZABC=9Q°,：.AB±BC,为。0的直径，...BC是O。的切线；

(2)解：'：OD1.AE,：.AD=ED,在Rt/UOD中，OA=-LA3=5,OD=3,：.AD=^0^2-002=4)

：.AE=2AD=?,.

13.(周南)如图已知是。。的直径，48=10,点C,。在。。上，OC平分N/C2,点E在。。外，

NEAC=ZD.

(1)求证：/£是。。的切线;

(2)求ND的长.

【解答】(1)证明：是。。的直径，：.ZBCA^90°,：,ZB+ZBAC^90°,VZD^ZB,ZEAC

=ZD,：.ZEAC=ZB,：.ZEAC+ZBAC=90°,:.BALAE,'：BAi±O,，直线/£是。。的切线；

(2)解：连接8。，VZBCD=ZDCA,：.BD=AD,'：AB=\Q,返X10=5&.

2

14.(长郡)如图，△/8C内接于。。，为直径，过点。作。尸_L/8,交3。的延长线于点尸，交

/C于点。，E为DF上一点、,连接EC,其中£C=£。。

(1)求证：E是DF中点；

(2)求证：EC是。0的切线；

(3)如果O/=4,EF=3,求弦NC的长.

【解答】(1)证明：为。。的直径，，N/C8=90°,•..EC=ED,；.Nr)CE=NEDC,

在RtZ\DC尸中，ZDCE+ZECF=90°,：.ZCDE+ZECF=90°,"：ZCDE+ZF=90°,

/.ZECF=ZF,：.EC=EF,是DP的中点；

(2)证明:连接0。,：。/_1/氏二/。0/=90°,；.//+//。。=90°,：。4=0。，

AZA^ZOCA,：.ZOCA+ZADO^90°,,:/ADO=NCDE,：.NOCA+NCDE=90°,；NCDE=ND

CE,

：.ZOCA+ZDCE^9Q°,；.£'。_1。。,；.£1。是0。的切线；

⑶解:：斯=3,ED=EF,：.EC=DE=3,：.0E=^2=^2+32=5,

：.OD=OE-DE=2,在中，^=7oA2OD2=742+22=2^

在RtZX/O。和RtZ\4C3中，VZA=ZA,ZACB=ZAOD,：.Rt/\AOD^Rt/\ACB,Pl=AD；

ACAB

即工2恒二."二更L

AC85

15.（中雅）如图，48为。O的直径，点P在48的延长线上，点C在。。上，MPC2=PB-PA.

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）已知PC=20,PB=10,点。是下半圆48的中点，DE1AC,垂足为E,DE交AB于点、F,求

EF的长.

【解答】（1）证明：连接。C,如图1所示：\'PC2=PB'PA,即FA=里，VZP=ZP,MPBCSAP

PCPB

CA,

：.ZPCB=ZPAC,为。O的直径，AZACB=90°,AZA+ZABC=90°,VOC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,：.ZPCB+ZOCB=90°,即OC_LPC,；.PC是OO的切线；

(2)解：连接OD,如图2所示：'：PC=20,PB=13PC1=PB'PA,

：.PA=P£l=2C|2.=40,：.AB=P4-PB=3Q,V/\PBC^^PCA,/.AC=PA=2,

PB10BCPC

设3C=x,贝Ij/C=2x,在RtZUBC中，x2+(2x)2=302,解得：x=6炳,即3C=6旄，

丁点。是定的中点，48为。。的直径，AZAOD=90°,-JDELAC,：.ZAEF=90°,VZACB=90

,J.DE//BC,：.ZDFO=AABC,:.△DOFs^ACB,/.PL=^£=A,OF=AOZ)=H,即/尸=

ODAC222

15

2

,JEF//BC,.•.皿=更=工，

BCAB4

:.EF=LBC=^1-.

42

16.(长郡)如图，4B为。。的直径，直线CQ切。。于点M，BELCD于点、E.

(1)求证：ZBME=ZMAB；

⑵求证：BM2=BE-AB；

1o3

(3)若=sinZBAM=~,求线段W的长.

【解答】解：（1）如图，连接（W,：直线CD切。。于点儿亿＞=90°,

ZBME+ZOMB=90°,为O。的直径，ZAMB=90°.：.ZAMO+ZOMB=90°,：.ZBME

ZAMO,'JOA^OM,:.NMAB=/AMO,；.NBME=NMAB；

(2)由(1)有，NBME=/MAB,•:BE上CD,：.ZBEM=ZAMB=90°,：.

ABM_=BE_>:.BW=BE・AB；

ABBM

(3)由(1)有，/BME=/MAB,/.sinZSAffi'=Ji,在RtZXBEM中，

555

s,vaABME—^-=—,:.BM=6,在中，sinZBAM=—,sinZB^4M=^-=—,

BM55AB5

.•.48=$2M=10,根据勾股定理得，/Af=8.

3

17.(雅礼)如图，在RtZk4BC中，点。在斜边4B上，以。为圆心，。8为半径作圆，分别与BC、

45相交于点。、E,连接40,已知NC4O=/8.

⑴求证：是。。的切线:

(2)若N8=30°,NC=百.求劣弧AD与弦AD所围阴影图形的面积;

(3)若NC=4,BD=6,求4E的长.

【解答】(1)证明：连接0D,如图1所示：：08=0。，.•.N3=/8,VZB=Z1,/.Z1=Z3,

在RtZ\/CD中，Zl+Z2=90°,.,.Z4=180o-(Z2+Z3)=90°,

：.OD±AD,则4D为O。的切线;

(2)解：连接OD,^OFLBD^-F,如图2所示：'：OB=OD,Z5=30°,：.NODB=NB=30°,

ZDOB=nO°,VZC=90°,ZCAD=ZB=30°,

：.CD=^1-AC=\,BC=yf^4C=3,：.BD=BC-CD=2,\'OF±BD,

3

:.DF=BF=LBD=T,OF=®BF=®,：.OB=2OF=2愿,

2333

劣弧5。与弦助所围图形的面积一扇形。谢勺面积-△四的面积J。二警返

36023

凯-返;

93

(3)解：,：ZCAD=ZB,ZC=ZC,:.△ACDs^BCA,AC=C5L=AD,

BCACAB

:.AC2=CDXBC=CD(CD+BD),即42=CD(CD+6),解得：CD=2,或CZ)=-8(舍去),

：.CD=2,：.AD=Jir24rri2=2J5-*.,型=坦，；.2=2娓,：.AB=A-J^,丁力。是。。的切线,

YA。"ACAB4AB

:.AD2~AEXAB,:.AE~AD2_="二=疾.

ABW5

②第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°

18.(师大)如图，在A4BC中，NC=90°,/氏4c和平分线交8C于点。，点。在48上，以点。为圆

心，。4为半径的圆恰好经过点。，分别交NC,AB于点、E,F.

(1)试判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

⑵若50=3百，BF=3,求阴影部分的面积(结果保留》).

【解答】解：(1)直线5c与OO的位置关系是相切，理由是：连接OD,.•.NCMD=NOD4

平分/C/8,：.NOAD=NCAD,：.ZODA=ZCAD,：.OD//AC,VZC=90°,：.ZODB^90°

,即ODJ_8C,为半径，.•.直线8C与0。的位置关系是相切；

(2)设。。的半径为凡则。。=0尸=尺，在RtzXBD。中，由勾股定理得：OB2=2O2+OD2,

即(R+3)2=(3«)2+R2,解得：R=3,即。。的半径是3,阴影=2逝―之万.

22

19.(青竹湖)如图，已知48为。。的直径，点E在。。上，NE45的平分线交。。于点C,过点

C作ZE的垂线，垂足为。，直线。C与4B的延长线交于点尸.

(1)判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由；

3

(2)若tan/P=—,40=6,求。。的半径.

4

【解答】解：(1)结论：PC是O。的切线.理由：连接。C.平分/E48,.../£•/C=NC/2,

"：OA=OC,:.NCAB=NACO,：,ZEAC=ZOCA,J.OC//AD,\'AD±PD,

...NOCP=ND=90°,•.,点C在O。上，PC是。。的切线；

(2)连接BE.在RtZX/DP中，ZADP=90Q,AD=6,tan/P=3,tanZP=^-=-L=-1,

4PDPD4

：.PD=8,^=7AD2+PD2=10,设半径为八,-OC//AD,:.△PCOS&DA,

AOC=OP；即三=10-r,解得厂=区，

ADAP6104

即O。的半径为西.

4

20.(长郡)如图，在RfZUBC中，ZACB=9Q°,。为48的中点，以CD为直径的。。分别交NC,

BC于点、E,歹两点，过点少作EG,4s于点G.

(1)试判断EG与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若/C=3,CD=2.5,求EG的长.

【解答】解：(1)尸G与。。相切，

理由：如图，连接。尸，

VZACB^90°,。为N2的中点，；.CD=BD,

：.ZDBC=ZDCB,"：OF=OC,：.ZOFC=ZOCF,：.ZOFC=ZDBC

J.OF//DB,：.ZOFG+ZDGF=ISQ°,,：FGLAB,：.ZDGF=90°,：.ZOFG=90°,...PG与OO相

切;

(2)连接。尸，'：CD=2.5,：.AB=2CD=5,：.BC=4-：CD为O。的直径,

/.ZDFC=90°,：.FDLBC,"：DB=DC,：.BF=XBC=2,'：smZABC=^-=^-,

2ABFB

即3=四，:.FG=§

525

A

21.(青竹湖)如图，在△NBC中，AB=4C,以为直径作圆。，分别交8c于点。，交C4的延长

线于点E,过点。作。于点“，连接交线段CM于点尸。

(1)求证：。〃是圆。的切线；

(2)若/为M■的中点，求”的值；

FD

(3)若E4=EF=l,求圆。的半径.

EE

【解答】证明：(1)连接0D,如图1,「。3二。〃，是等腰三角形，NOBD=NODB①,

在△N3C中，'：AB=AC,:.NABC=NACB②,①②得：NODB=/OBD=NACB,C.OD//AC,

'JDHLAC,J.DHLOD,是圆。的切线；

(2)如图2,在0。中，,:/E=NB,.•.由(1)可知：/E=NB=NC,

二△矶*C是等腰三角形，:。H_L/C,且点/是阳中点，设4E=x,£C=4x,则NC=3x,

连接40,则在(DO中，ZADB=90°,ADYBD,:AB=AC,二。是8C的中点，

二。。是△/8C的中位线，J.OD//AC,0D=Lc=Lx3x=丝，'J0D//AC,:.NE=N0DF,

222

在△/£尸和△0D尸中，VZE=Z0DF,NOFD=NAFE,：./\AEF^/\0DF,

FDOD

•••A-E_x_.2,••.-E-F=™■2,.

ODl3FD3

2*v

(3)如图2,设OO的半径为r,即OD=O2=r,•;EF=EA,：.ZEFA^ZEAF,,COD//EC,

：.ZFOD=ZEAF,则NFOD=NE4F=NEFA=NOFD,：.DF=OD=r,：.DE=DF+EF=r+\,

：.BD=CD=DE=r+\,在中，•:/BDE=NEAB,：.ZBFD=ZEFA=ZEAB=ZBDE,

:.BF=BD,△皮力'是等腰三角形，：.BF=BD=m,：.AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1,

在△8FD和△EF/中，：1/BFD=NEFA,...△B即.•.里

l/B=/EFADFr-lr

解得：广=上正，/2=土返(舍)，综上所述，O。的半径为上正.

222

22.(雅礼)如图，。。是AABC的外接圆，AB为直径，NBAC的平分线交。。于点。，过点。作DE_LAC分别

交AC、AB的延长线于点E、F.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若AC=6,CE=2,求CB.

【解答】（1）证明：连接0D交8C于X,如图所示：：O/=OD,

•.1。平分/B/C,：.ZOAD=ZDAC,：.ZODA=ZDAC,：.OD//AE,'：DE±AC,

：.OD±EF,是O。的半径，上即是O。的切线；

（2）解：为OO的直径，：.ZACB=90°,:./HCE=90°,DELAC,

，NE=90°,由（1）得：ODJLEF,:./HDE=90°,二四边形CEDH是矩形，

：.HD=CE=2,:.NCHD=90°,：.ZOHB=90°,：.OD±BC,：.OH平分BC,

是△ABC的中位线，二O8=LC=3,：.OB=OD=OH+HD=5,；.4B=2OB=1。,

2

，CB=VAB2-AC2=7102-62=8-

23.(广益)已知：如图，Rt448C中，^ABC=90°,40平分NB/C交3c于。.

(1)用尺规画。。，使。。过N、。两点，且圆心。在边/C上.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)求证：8c与。O相切；

(3)设。。交N8于点E,若AE=2,CD=2BD.求线段BE的长和弧。£的长.

【解答】解：(1)O。即为所求:

(2)连接OD,；OA=OD,：.ZOAD=ZODA,•.,/£)平分NB/C,：.ZBAD=ZOAD,：.ZBAD=ZO

DA,：.OD//AB,：.ZODC^ZABC^9Q°,丁。。是半径，...BC与。。相切；

(3)连接。E,过点。作于点尸，•.【£=2,...由垂径定理定理可知：AF=\,'：CD=2BD,

/.BD=A,型=2,'JOF//BC,:.△AOFsAACB,\-OF=BD,BD=AF,

BC3BC3BCABBCAB

：.-L=X,：.AB=3,：.BE=AB-AE=\,'：OD//AB,：.^OCD^/\ACB,四="

AB3ABBC

：.OD=2,：.OA=OD=AE,二zX/OE是等边三角形，AZAEO^60°'COD//AB,

：.ZEOD=60°,，赢的长度是：6°°兀X2=2冗.

18003

24.(青竹湖)如图，在△N3C中,ZC=90°,4D平分/B4c如C于点D,。是48边上一点，以点。为圆

心，0/长为半径的圆经过点。，作于点E,延长。E交。。于点尸，连接F。并延长交。。于点G

(1)求证：3c是。。的切线；

(2)求证：O42=OB-OE；

(3)若AE=9,CD=3,求△/CO与△COE的面积之比.

【解答】(1)证明：如图，连接OD；。。经过£),平分/A4C,

：.ZOAD=ZCAD,：.ZODA=ZCAD,J.AC//OD,VZC=90°,J.ACLBC,J.ODLBC,

二叱是。。的切线；

(2)证明：ZODB=90°，DEVAB,：,ZODB=ZOED=90°，又,：/BOD=/DOE,

:.丛BODs丛DOE,.-.00.=OB,：.O伊=OB，OE,'JOA^OD,：.OA2^OB'OE；

0E0D

(3)连接OC,CE,丁/。平分N8/C,DCLAC,DELAB,CD=3,：.DE=CD=3,

设CM=OD=r,则OE=/E-04=9-r,在RtZ\OZ)£中，Olfi=OE2+DE2,；./=(9-r)2+32,

:.Y=5,.*.OA=OD=5,OE=4,AC//OD,S4OC=S"CD，

SS

.AACD=AA0C=0A=5

^ACOE^ACOE°E4

第3类：用全等证半径与直线的夹角等于90°

25.如图，在△8CE中，点/是边3E上一点，以为直径的。。与CE相切于点。，AD〃OC,点、F为OC与

。。的交点，连接4F.

(1)求证：C8是。。的切线；

【解答】(1)证明：连接OD,与N尸相交于点G,：CE与。。相切于点。，...OOLCE,.../。。二野。

,'CAD//OC,：.ZADO^ZDOC,ZDAO=ZBOC,'：OA^OD,：.ZADO^ZDAO,:.NDOC=/B

OC,

'CO=CO

在△80和△CB。中，<ZDOC=ZBOC>/.△CDO^ACfiO,：.ZCBO=ZCDO=90°,

,OD=OB

二。8是0。的切线.

(2)；NECB=6Q°,CD,CB是。。的切线，：.ZOCB=ZOCD=30°,,：ZCDO=ZCBO=90°,

:./DOC=NBOC=60°,ZEOD=ZDOC=ZCOB=60°,:.NDCO=NBCO=L/ECB=30。,

2

/.ZDOC=ZBOC=60°,AZDOA=60°,"：OA=OD,；.△CUD是等边三角形，：.AD=OD=OF,

'NGOF=/ADG

：在△NOG和△尸OG中，，ZFGO=ZAGD>

'ZGOF=ZADO,:.AADG<AFOG,.'.SAADG=SAFOG<

AD=OF

•；48=6,O。的半径r=3,S阴=S扇形OZ)F=6。)2—^———Tt.

3602

26.(长郡)已知：如图，。。的直径垂直于弦CD,过点C的切线与直径N3的延长线相交于点P,

连结PD.

(1)求证：PD是。O的切线.

⑵求证：PD2=PBPA.

(3)若PD=4，tanZ.CDB=—，求直径AB的长.

2

\--------/C

【解答】(1)证明：连接OD,OC,是。。的切线，.•./PCO=90°,'JABLCD,是直径,

rD0=C0

.•.弧BD=弧8C,:.ND0P=/C0P,在△OOP和△COP中，，ZD0P=ZC0P>

,OP=OP

：.ADOP”ACOP(SAS),AZPDO=ZPCO=90°,:。在(DO上，...PD是0。的切线；

(2)证明：是O。的直径，：.ZADB^90°,〈NPDO=90°,;./ADO=/PDB=90°-ZBDO

'：OA=OD,：.ZA=ZADO,：.ZA=ZPDB,'：ZBPD=ZBPD,:.APDBs^pAD,

APE^=PA；:.PD2=PA，PB；

PBPD

(3)解：'：DCLAB,：.ZADB=ZDMB=90°,ZA+ZDBM=90°,ZCDB+ZDBM=90°,

/.ZA=ZCDB,'：tanZCDB=1.,；.taiL4=_l=曲，APDB^APAD,/.PB=PD=BD=

22ADPDPAAD2

;PD=4,:.PB=2,P/=8,.•.45=8-2=6.

27.(广益)如图，已知P5与。。相切于点3,/是。。上的一点，满足PA=PB,

连接尸O,交AB于E,交。。于C,。两点，£在线段OD上，连接4D,OB。

(1)