浙江绍兴越城区2024-2025学年九年级上学期期末考数学试卷（含答案解析）

浙江绍兴越城区2024-2025学年九年级上学期期末考数学试卷

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.设有〃个数%,%，了3,…，龙"，其标准差为S1.另有〃个数%，%，为，…，”，其标准差为邑.其

中外=2々+3（无=1,2,3L.,〃），则下列说法正确的是（）

A.邑=21+3B.S2=2S}C.S2=yp2Sl+3D.S2=y/2S1

2.若证明命题：“对于任意实数x,y，W+W=|x+M恒成立”是假命题，只需要举一个反例，

则这个反例可以是（）

A.x=-2,y=-3B.x=0,y=0C.x=4,y=4D.x=-5,y=6

3.已知三角形A5C的三边长分别为。，瓦。，有以下4个命题：

（1）以6,扬,«为边长的三角形一定存在.

（2）以2a,a+b,a+c为边长的三角形一定存在.

（3）以I」?,。?为边长的三角形一定存在.

（4）以。+6,b+c,（z+c为边长的三角形一定存在.

以上命题正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.如图，四边形A3CD中，是AB的中点，EF工CD于点F,若EF=6,四边

形458的面积为24,则C。的长为（）

5.阅读理解：对于三个数。,瓦。，用max{a,8c}表示这三个数中最大的数.例如:

max{-1,2,3}=3.则max12x+；；x+l,-x+21的最小值为（）

6.某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个,

剪出的多边形的边数之和为79,那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（）

A.66B.70C.74D.78

7.如图，是0。的直径，AB=4,弦BC=2,P是。。上的动点，取AP的中点则CD

的最大值为（）

A.V7+1B.2A/2+1C.2+石D.2百

8.有一列数4,%,生,…,”2024.满足如下条件：对于4=1,2,3,…,2024,都有处比其余2023

个数的和大上,则4的值为（）

253r1518-759-506

A.-------B.---------C.--------D.-------

33720231012675

9.如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,AC=4f过A作于点E,过3

作于点EAE与M交于点若A/f=2,则的长为()

7

C.-D.y/10

10.设%是实数，不大于工的最大整数记作区，如［1.3］=1,卜2.5］=-3,令

11

：-------------=r+,•,+•j=-----------------------■

(4x5-1产(5x6-l)2(2023x2024-I)2,则［120S］的值为（）

4x55x6-2023x2024

A.29B.30C.31D.32

试卷第2页，共4页

二、填空题

2x+5>4x-15

11.若关于X的不等式组有4个整数解，则。的取值范围为

x+3<2x+a

12.如图，将矩形ABC。沿对角线AC折叠，点8落在点E处，连结。E,若A8=6,3C=8,

则DE的长为

13.已知六边形ABCDEF的每个内角为120。，其中AB=x,3c=600,CD=80,DE=500,

且此六边形的周长为2024,则x的值为.

14.某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两

盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为.

15.在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标：①直线y=-x+2必经过

这样的点；②对于加取不等于零的任何值，关于X的二次函数y=—g?+(3—2利卜+3m+1都

不经过这样的点.则这个点的坐标为.

16.若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”.如

图，已知ZMON=45。，OP=3,OA=AB=2y/2,以点P为旋转中心，将线段A3逆时针旋转

90°,得到线段CD.以射线上的一动点E为圆心，半径为2作。E,若OE是C。的“关

联圆”，则OE的取值范围为.

17.已知关于尤的方程/+如3+9尤2+4办+16=0有实数解，则a的取值范围为

三、解答题

18.定义：若两个函数的图象关于直线x=T对称，则称这两个函数互为“镜子”函数.

⑵如图，某直线与函数y=-函>0,尤>0)的图象交于点43,与函数y=-(兀>0,x>0)的“镜子”

XX

函数图象交于点C.

①当左=3时，求函数y1(x>0)的“镜子”函数.

X

②若CB=AB,且点C的横坐标为-5,求点A的横坐标.

19.已知二次函数y=d+ax+b.

⑴若对于任意lWx<5,有lVyV5恒成立，求。和6的值.

(2)若b=-2,且对于任意-LWaVl,有了20恒成立，求x的取值范围.

⑶设关于%的方程/+公+6=0的根为占<%2),关于x的方程

f+(a+0.1)x+(b+0.1)=0的根为毛,工4(不4%).是否存在。力，使得％-%>2024?并说

明理由.

20.如图，已知4B是0。的直径，C是0。上的动点(不与A8重合)，D是A3上一点,

”是CO的中点，且=

A.D2AC,田/士

Q)右二=丁，求工厂的值，

A。3JDC

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCBCCAABA

1.B

【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键.

根据平均数与方差的计算公式计算即可求解.

_]

【详解】解：X=—（玉+%2+*3+…，

*.*yk=2%左+3(左=1,2,3,•••,〃)

n

——(2玉+3+2X+3+2忍+3+...++3)

n2

=2x—(%+/+%+…+%〃)+3

=2x+3，

s；=+（%-+（%-,『+-+（券-川

——[（2为+3—2x—3）+（2x,+3—2x—3）+（2三+3—2x—3）+…+（2x“+3—2无一3）]

=一14（不一x）+4（羽-x）~+4（三—x）+…+4（X”-x）~]

=45,2

S2=2S].

故选：B.

2.D

【分析】本题考查假命题的判定，举反例，熟练掌握假命题的判定方法：举一个符合命题的

条件，不满足结论即判定是假命题是解题的关键.

把各选项数据分别代入等式左右两边计算，再比较即可求解.

【详解】解：A、若x=—2,y=-3,则忖+忖=卜2|+卜3|=5,|x+y|=卜2—3|=5,

所以W+|y|=|x+y|成立，故此选项不符合题意；

答案第1页，共19页

B、、若x=0,y=0,贝！]W+|y|=|O|+O=O,|x+y|=|O+O|=O,

所以N+|y|=|x+y|成立，故此选项不符合题意；

C、若x=4,y=4,则W+M=H+|4]=8,|x+y|=|4+4]=8,

所以N+|y|=|x+y|成立，故此选项不符合题意；

D、若x=-5,y=6,则国+凡=卜5|+问=11,归+丁|=卜5+6]=1,

所以N+|y|=|x+y|不成立，故此选项符合题意；

故选：D.

3.C

【分析】本题主要考查三角形，考查转化能力，根据已知条件，结合三角形的性质，以及不

等式的性质，即可依次求解.

【详解】解：不妨设aNb2c>0,

贝!J6+c>a,

对于(1),(而+五)-(&)=b+c-a+2y/bc>0,

则扬+G>\[a,

故以々，后，正为边长的三角形一定存在，故(1)正确，

对于(2),a+b+a+c=2a+b+c>2a,

所以，以2a,a+6,a+c为边长的三角形一定存在，故(2)正确；

对于(3),令。=5,6=4,c-2,满足b+c>a,但〃+/</,

故以a\b2,°2为边长的三角形不一定存在，故(3)错误，

对于(4),b+c+c+a-(^a+b^=2c>0,

所以，以a+6,6+c,a+c为边长的三角形一定存在，故(4)正确.

故选：C.

4.B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线

是解题的关键.

过点E作C。的平行线交BC于点G,交D4延长线于点凡则可证明AMF丝ABEG(AAS),

答案第2页，共19页

继而s△语=S^BEG，可证明四边形EDCG是平行四边形，故四边形A5CD的面积与平行四边

形EDCG的面积相等，即可求解.

【详解】解：过点E作CD的平行线交BC于点G,交ZM延长线于点足

ZF=ZGEB

是AB的中点，

/.AE=BE,

又：ZAEF=ZBEG,

：.&AEF均BEG(AAS),

,•S^AEF=S^BEG，

VAD//BC,FG//CD,

四边形FDCG是平行四边形，

，四边形ABC。的面积与平行四边形EDCG的面积相等，

SorZFznCcCcz=CDxEF=247,

,?EF=6,

：.8=4,

故选：B.

5.C

【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是理解题意，进行分类讨论.分三种

C11111cl

2xH—2—x+1—X+122xH——x+222xH—

222

情况：当＜:时，当•:2时，当＜时，分别进行求解即

2xH—2—x+2—x+12—x+2—x+2之一x+1

2122

可.

答案第3页，共19页

2cxH—1N—1x+1

2时，解得:>1

【详解】解：当IAX—，

2

2xH—2—x+2

2

止匕时

max{2x+g,gx+l,—x+2=2xH—,

2

Vx>-,

2

2x+—>—,

22

,此时max，2尤+：1,：1x+L-x+21的最小值为3；

I22I2

11cl

—X+122xH—

当:2时，此不等式组无解;

—x+1之一x+2

12

—x+222xH—

21

当时，解得：x<-,

-x+2>-x+l2

2

止匕时：，

max(2%+5%+1,—%+2——x+2,

•・尤J

2，

3

—x+22-,

2

此时max，2x+：,<x+l,-x+21的最小值为。；

[22J2

综上分析可知：max12x+：，;x+l,-x+2]的最小值为：；

I22I2

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了多边形内角与外角，根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和

凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求出剪一个四边形，一个五边

形，一个六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可.

【详解】解：由多边形的内角和可知四边形最多有四个直角，五边形和六边形最多有三直角，

剪一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，4+3+3=10个直角,

剩下79-15=64条边都是四边形并且都是矩形直角最多，

64条边组成16个矩形，共有64个直角，

所以，所剪的多边形中的内角是直角的个数最多是10+64=74.

答案第4页，共19页

故选：c.

7.A

【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正

确寻找点。的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题.

如图，连接首先证明点。的运动轨迹为以40为直径的。K,连接CK,当点。在

CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.

【详解】解：如图，连接OROC,

•/AD=DP,

：.OD±PA,

：.ZADO=90°,

点。的运动轨迹为以40为直径的OK,连接CK,DK,

,?CD<CK+DK,

当点。在CK的延长线上时，CD的值最大，

是。。的直径，AB=4,弦3C=2,

BC=OB=OC=2,

△OBC是等边三角形，

.."03=60。，

取OB的中点。，连接CQ,

则。。人。8,OQ=BQ=OK=1,CO=2,CQ=43,

在放AQCK中，CK/QK?+QC?=布,

■.■DK=-OA=\,

2

：.CD=y/l+l,

答案第5页，共19页

・・・C。的最大值为5+1,

故选：A.

8.A

【分析】本题主要查了数字类规律题.根据题意可得%=%+/+…+出024+1，

%=%+〃3+,,•+。2024+2,%=%+。2+〃4•,'+。2024+3,.......

506x2025

“2024=Q]+。2+。3+,,,+。2023+2024从而得到4+%+。3+•••+12023+12024=由

^1012=q++〃3■1----------*■^1011+〃1013+^1014----------42024+1012,得至[J

2%012=+。2+。3----------卜”2024+1。12即可求解.

【详解】解：・.•对于k=1,2,3,…,2024,都有以比其余2023个数的和大3

%=%+。3+,•,+%024+1，

Cl?=%+。3+，，，+%024+2,

“3=%++〃4•,,+〃2024+3,

“2024=。1+%+〃3+，，，+%023+2024,

q+/+/+••,+/023+%。24=2023（巧+外+/+••,+出023+外。24）+1+2+•••+2024,

2024x2025506x2025

Id?I^^3I•••I^^2023+^^2024

2022x2―1011

•"1012=q+“2+”3+"ion+”1013+“1014+,•,+”2024+1012,

2〃]0]2=q+〃2+〃3+,,,+〃2024+1012,

2%012

._253

・・-2=一行

故选：A

9.B

【分析】根据题意推出A、B、C、。四点共圆，进而证明AA/ZFSAACB、ADFBS^CBA,

由对应边的比例即可求得BD的长.

答案第6页，共19页

【详解】解：由题意知，A、B、C、。四点共圆,

ZADB=ZACB,/CAD=/CBD,

VZAZ)B+ZZME=90o,ZAHF+ZZME=90°,

ZADB=ZAHF,

,：ZADB=ZACBf

：.ZAHF=ZACB,

'：ZAFH=ZABC=90°

AAAHF^^ACB,

AFAH_2即sinZABF=1

AB~AC-4-5

AZABF=30°,

—=tan30°=—,

BF3

BF=6AF.

VZDFB=ZABC=90°,/FDB=ZACB,

：.&DFBs展JBA,

.BFAB

••一9

BDAC

日口y/3AF2AF

R|J-----------------------f

BD4

解得：BD=2币,.

故选：B.

【点睛】本题考查了四点共圆、相似三角形的应用、解直角三角形，掌握相似三角形的证明

方法是解题的关键.

10.A

【分析】本题考查了实数的运算，数字规律的探究.先找到规律

11

(〃-1)("+2),利用裂项相消法求得

〃(几+1)

1114040

-+—+——JiL)再计算得到120s=30-记,据此求

346202320242025)20242025

解即可.

答案第7页，共19页

1_1

-1——，2--

【详解】解：：G5+1)T」1+〃一2+1

M"+i)L"(〃+i)

]]

n2+n-2(n-l)(n+2)

11]

S=：----------r^T+j=-----------~-

(4X5T)2(5X6-1)2(2023x2024—1)2

4x5——5^6—2023x2024

-----------1-------------F,••H--------------------------

3x64x72022x2025

11r'11]]

[fl卜.•+(2025JJ

34H、47,,2022

111、

)

31(346202320242025,

404040404040

120S=一十一+----

346202320242025

40____40__40

=30—

/.[120S]=29,

故选：A.

11.—3<a<—2

【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆

推不等式组的解集.

先将。当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有4个整数解，可

得出a的取值范围.

,f2x+5>4x-15①

【详解】解：a。⑨，

［无+3<2x+a②

解不等式①，得x<10,

解不等式②，得x>3-a,

•••不等式组有4个整数解，依次为：9,8,7,6,

5<3-o<6,

解得：-3<a<-2,

故答案为：-3<a<-2.

答案第8页，共19页

【分析】如图，记AD，CE的交点为尸，证明/ZMC=NACB,AC=V62+82=10-由对折

257

可得：NACB=NACF,证明AF=CV,求解一，W=CE—。b=—，证明△。自

44

再利用相似三角形的性质可得答案.

【详解】解：如图，记ARC石的交点为产，

•・•矩形A3CD,AB=6,BC=8,

ZB=ZADC=90°,AD〃BC,AD=BC=8,AB=DC=6,

**,^DAC=ZACB,AC=^62+82=10，

由对折可得：ZACB=ZACFf

：.ZFAC=ZFCA,

：.AF=CF,

CF2=（8-CF）2+62,

25

角军得：CF=—,

4

257

AAF=CF=—,DF=—，

44

由对折可得：CB=CE=AD,

7

・•・EF=CE—CF=—,

4

7

.DFEF_4_7

**AF-CF-25-25J

4

•：ZDFE=ZAFC,

:・ADFES公AFC,

.DEDF7

**AC-AF_25'

答案第9页，共19页

714

Z)E=——xlO=——，

255

14

故答案为：—

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定,

相似三角形的判定与性质，熟练的证明是解本题的关键.

13.164

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、多边形的内角与外角的关系构造等边三角形、

根据等边三角形的三边相等的性质求解成为解题的关键.

延长并反向延长A3、⑺、族，构成一个等边三角形，再利用六边形的各边和周长与"/GM

各边的关系列出等量关系是，即可解出

【详解】解：如图，分别延长A5、DC,相交于点G,分别延长C。、FE,相交于点H,

分别延长_£尸、BA,相交于点

H

•・•六边形ABCDEF的每个内角为120。，AB=x,5C=600,CD=80,DE=500,

・・・六边形每个外角为60。，

:•公BGC、ADEH,^AFM,都是等边三角形，

.\BC=BG=CG=600,DE=DH=EH=500fAF=MA=FM,

:.HG=CG+CD+DH=EH+EF+AF=MA+AB+BG=1184,

设AF=y,EF=z,

y+z=680,

AB+3C+CO+OE+£F+E4=2024,

即x+600+80+500+z+y=2024,

:.x=164；

故答案为：164.

14.126

答案第10页，共19页

【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键.

根据题意转化为有12-4=8盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进

而求解即可.

【详解】解：：路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时

关闭，

...可以理解为有12-4=8盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间

共有9个位置

/.（9x8x7x6）-（4x3x2xl）=126（盏）.

...不同的关灯方案种数为126盏.

故答案为：126.

15.（L1）或（—3,5）或

【分析】本题考查了二次函数与不等式，设点（尤0,%）满足上述条件，则%=-%+2,对任

意实数机都有y0-mxg+（3-2m）Ao+3m+l,解之即可得出答案.

【详解】解：设点（毛,%）满足上述条件，则%=-毛+2,对任意实数机都有

%丰-IWCQ+（3-2m）x0+3m+l,

消去为整理得+3乂5—1）W45—1,

从而可知当％=-3或1或;时才适合题意，

•••适合题意的点为（1,1）或（-3,5）或\],有三个.

故答案为（1,1）或（-3,5）或、].

16.7-73<0£<5+73

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，旋转的性质，坐标与图形；以。为原点，QV为

x轴建立平面直角坐标系，根据题意求得点的坐标，进而根据题意解一元二次方程，结

合图形取舍即可求解.

【详解】解：如图：以。为原点，QV为无轴建立平面直角坐标系，

答案第11页，共19页

依题意，A（2夜,0）,B（4V2,0）,

取AB的中点T（3形,0）,连接PT,

•.*OP=3,ZMON=45°,

OP2+PT2=OT2,

...AOPT是等腰直角三角形，

:以点P为旋转中心，将线段A8逆时针旋转90。，得到线段CO.

以点尸为旋转中心，将点T逆时针旋转90。，得到线段点。，则。（38,3忘卜

,:AT=TB=4i，

：.QC=QD=4i,

：.C（30,20）,O（3行,40）,

ZMON=45°,设E（m,m）,

依题意，ED=2时，。在。E上，且点E在点。的左侧时，OE取得最小值，

.“机-3忘了+（切-4&『=2?,

解得：皿二］^一瓜或皿=瓜+76（舍去）

22

OE=®m=I

当EC=2时，C在。E上，且点E在点。的右侧时，OE取得最小值，

（〃-3@2+仅-2何2=2?,

答案第12页，共19页

解得：洸=>+5立或〃,=5—（舍去）

22

,OE=A/2W=5+73

Al-yf3<OE<5+y/3

故答案为：7-V3<O£<5+A/3.

17.a<或aN—

44

【分析】本题主要考查了一元二次方程，换元法解一元高次方程，方程有实数解的问题等知

识点，对于高次方程，可以尝试通过变形将其转化为我们熟悉的解一元二次方程的形式来求

解，然后根据非负数的性质和不等式的性质来确定。的取值范围，熟练掌握换元法变形方程

是解决此题的关键.

【详解】：当x=0时，方程左边=16/0,

尤=0不是方程的解，

，将方程X，+G?+9x?+4依+16=0两边同时除以f得，

x2+ax+9+—+”=0,

XX

整理可得，+3+。［+：［+9=0,

2

令f=x+&,贝+=x+^4+8,

xI元J%

.•.炉+与=1-8,

・••原方程就变为产―8+必+9=0,BPt2+at+l=0,

,*,方程％4++9x2+4ax+16=0W实数解，

***A=tz2—4>0>

a之2或a<—2,

x

答案第13页，共19页

X

..4

・t=x~\—,

X

・S4或，V-4,

设方程/+W+1=0的两根。，，2,

••4+芍=-afA•q=],

1

*,•'2=丁，

h

1

-a=tx-\--,

4

,117

当4=4时，t},

h4

1、17

.•.当时，,

117

.^a=tl+>

・.・<〃«--1-7,

4

17

同理可得，％V-4时，a>—,

4

综合以上情况，〃的取值范围是。V--17或。之17

44

1717

故答案为：ci<--■或二.

44

18.⑴y=2x+9

3

（2/Dy=——-（x<-2）；②A点横坐标为15

x+2

【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正确运用“镜子”函数的定义（若两个

函数的图象关于直线犬=-1对称，则称这两个函数互为“镜子”函数）是解答本题的关键.

（1）设“镜子”函数上某点的坐标为（x，V）,得出关于直线x=T的对称点为（f-2,y）,代

入y=-2x+5即可得解；

答案第14页，共19页

(2)①依照(1)的思路可得解；②根据“镜子”函数的定义可得点C的坐标为设A

点坐标为［3］,由中点坐标公式得8点坐标为(号，号次］,结合反比例函数解析式得

a)I26〃J

区〃一」S竺file-I产-Wk=%,进一步可得结论.

26a

【详解】(1)解：设“镜子”函数上某点的坐标为(x,y),

则关于直线x=-l的对称点为(f-2»),

所以函数>=-2x+5的“镜子”函数为y=-2(—x—2)+5=2x+9

(2)解:①设“镜子”函数上某点的坐标为(x,y),

则关于直线x=-l的对称点为(r-2,y),

333

所以函数y=—(%>0)的“镜子”函数为尸————-(x<-2)

x-x-2x+2

“k

②・・・函数y=£(%>0)的“镜子，，函数为y=—-(X<-2)

%x+2

.•(点坐标为1-54：

设A点坐标为］,

•：CB=AB,即8为线段AC的中点，

一।「〃一5ak+3k)

.•.B点坐标为［^，二一，

I26aJ

?.-a-—-5-a-k-+-3-k=k,

26a

二.(a—15)(Q+1)=0

\,a>0

.-.a=15,即A点横坐标为15.

19.⑴。=-6,6=10

(2)xV—2或尤22

(3)存在，理由见解析

【分析】该题主要考查了二次函数的性质和图象，一次函数的性质，一元二次方程等知识点，

解题的关键是理解题意.

(1)把尤=135分别代入列出不等式，根据题意得出三式的等号均成立，即可求解.

答案第15页，共19页

(2)把。看成自变量，y=xa+/-2为关于。的一次函数，故只需保证。=一1和。=1时y'O

即可，据此列出不等式求解即可.

(3)由题意得，尤二"+J/-他-(。+0.1)+/"+0.1)2-4仅+0.1),从而得出

22'42

扬一46+0.2a-0.39-协-46TTT?1a~m"J。.2a—0.39市

取b=——，贝!I%=----------，取

■^4-^2=-----------------------4------------------------------------------------2

8

fl=5xl0+2,可以得出，x4-x2>2024,即可求解.

【详解】(1)解：把x=l，3,5分别代入，可得l+a+bV5①，25+5a+b<5®,9+3a+b>l

③.

(Z)+(2)可得3a+b<—8,又由③矢口3a+bN—8,

故以上三式的等号均成立，解得。=-6,6=10.

(2)解：把。看成自变量，y=m+V-2为关于。的一次函数,

故只需保证a=-］和a=］时yN°即可,

.［x2*4+%—2^0

'，\X2-X-2>0,

解得：x<-2^x>2.

_(Q+0.1)+J(a+0.1)2—40+0.1)

(3)解：由题意得，1他

22