浙江省杭州市某校2024-2025学年高一年级上册第三次月考数学（实验班）试题（含解析）

高一实验班第一学期数学月考3

时间：120分钟满分:150分姓名

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

\a,—=\a2,a+b,Q\

1.已知aeR,beR,若集合1°J,则。,必+/必的值为()

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出/必+02025即可.

【详解】:2,.”彳0,卜,■}={/,a+b,o},...2=o,即b=o,

f2—1

二.{a,0,l}={〃，见。}，.二当<“时，。=一1或a=l,

【)[a=a

当。二1时，即得集合{1,0,1},不符合元素的互异性，故舍去，

当42时，。=1，即得集合{1,0」}，不符合元素的互异性，故舍去，

a=a

综上，a=—1,b=0,

..a2024+z?2025=(_1)2024+02025=E

故选：B.

2.已知2"=5,log83=Z),则4>3b=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14。5225

【详解】因为2“=5,6=log83=-log23,即2"=3,所以4=新=片±=转=石-

34(23b\39

故选：C.

3.已知向量万=（一1,2）3=（冽,1）,若@+23与25—3垂直，则实数加=（）

—7f7T1

A.一—或7B.一或-2C.——或2D.一一

2222

【答案】C

【解析】

【分析】确定1+23=（2加—1,4）,21—3=（—2—加,3）,根据垂直得至!|,+2很）（22—3）=0,代入数

据计算得到答案.

【详解】5=（-1,2）,^则1+2分=（2加—1,4）,21—B=（—2—加,3）,

彳+23与25—B垂直,

则（G+2B＞（21—B）=（2加一1,4）（-2—加,3）=（2m—1）（-2—加）+12=0,

7

解得加=2或加=——.

2

故选：C

4.函数卜inx的部分图象形状大致是（）

》八九

1-:e?,）一

A../,.B.

-2/-1O2\4x-2\-----/、/4x

—1--1-

九A

、1-

/~2/\T一

Cj/々2」今：D.-22\4x

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据函数解析式可判断函数/(x)为偶函数,再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.

【详解】根据题意可知/(x)=11--J[sinx=[=

--sinx,定义域为XER,

11+71)71+1

_-X11XX1

Hr/\71~1./、1—兀/.\71—1

而〃x)=i”.sin(x)=.(smx)=sinx=f（x）,

71+171+171+1

所以函数/（x）为偶函数，图像关于〉轴对称，可排除CD；

根据图象可利用/（2）=.sin2>0可排除B.

故选：A

5.已知函数丁=sin（»x+。）—2cos（〃x+e）（0<0<〃）的图象关于直线x=l对称，贝！Jsin2°=

3344

A.一B.--C.---D.

5555

【答案】C

【解析】

【详解】因为函数丁=sin（〃x+9）—2（:05（〃1+0）（。<0<〃）的图象关于直线工=1对称，所以

sin(%+0)-2cos+=,即一sin0+2coso=±V5/.sin2(p-4sin(pcos+4cos2cp=5,

4sin20一4sin0coscp+cos2(p=Q(2sincp+coscpf-0/.tancp--一,

2sin°cos02tan^-14

,sin269=

因此t"•222M，选c.

sm+cos(ptan0+1-+1

4

6.将一直径为5芯cm的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角0满足

3

COS6Z=-,则这块四边形木板周长的最大值为（）

A.20cmB.20百cmC.30瓜mD.30cm

【答案】D

【解析】

j-4I-

【分析】根据正弦定理得Mc|=2Rsin£>=5j5x1=4j5,进而由余弦定理结合基本不等式即可求解.

34

【详解】如图：不妨设a=NQ,cosa=cos£>=—，则sin£»=—,由正弦定理可得

55

|ZC|=2Rsin£>=5氐［=46,

在三角形/CD中，由余弦定理可得

|^C|2=|^Z>|2+|CD|2-2|^D|-|CZ）|cosD^80=（|^D|+|CD|）2-^\AD\-\CD\,

由于以外1。必必1,必），所以

260

(|^£>|+|CD|)-80=y|CD|<y-X(I^H!)\^D|+\^D|<20,

当且仅当|2。|=|。。|=10时，等号成立，

3

在V45。中，5=7T-D?COS5=-j,

由余弦定理可得\ACf=\AB^+\CBf-2\AB\-COSBn80=(|/月+|C8『-^AB\-\CB\,

由于以同•|C8|〈也”冲-，所以

C

(|^5|+|C5|)2-80=|C5|<|x(I^M^D"1+馍区io,

当且仅当|45|=忸。=5时，等号成立，

故这块四边形的周长|40|+|。。|+|48|+忸［<20+10=30,

所以这块四边形木板周长的最大值为30.

故选：D

7.设函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(X)=-X2-5X,则不等式/(x)—/(x—1)<0的

解集为()

A.(—1,2)B.(—1,3)C.(—2,3)D.(—2,4)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质，求出函数的解析式，画出函数的图象，根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】根据题意，设x〉0,则—x<0,

所以/(-X)=T2+5x,

因为/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(—x)=-x2+5x=-/(x),

所以f(x)=x2-5x,

当x<0时，/(x)=-x2-5x，

当x=0时，/(O)=0

若/(X)—/(x—D<0,即/(x—l)〉/(x),又由x—

x—1〉一3

且〃-3)=/(-2),/(2)=/(3),必有%<3时，小)-/(1)<。,

解得-2<x<3,

因此不等式的解集是(-2,3),

故选：C

【点睛】本题考查了已知函数的奇偶性求解不等式问题，考查了数形结合思想和数学运算能力.

8.已知函数/(x)=sin［2x+m］,若/(x)=］在］一：(］内的两个根为a,B(a<B),则

sin(a—/)=()

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数/（x）的图象对称轴，确定见夕的关系，再结合诱导公式、同角公式求

解作答.

【详解】由2x+^=E+4,得》=如+2（左eZ）,则/（x）的图象关于x=2对称，

32212v712

rji

而函数/（X）的周期7=兀，区间（—巴，巴）长度不超过彳，于是a+£=3，即，=巴一a，

63266

贝ijsin（6<-/?）=sin（2a一看）=sin[（2a+；）-']=一cos（2a+g）,而显然一巳<二<三，

即有0<2a+—<—,又sin（2a+—）=—,因此cos（2aH—）二

所以sin（a一夕）='

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.设a>0,6eR,贝!|“a>6”是“a〉网”的必要不充分条件

B."c<0”是“二次方程/+fox+c=0（"ceR）有两个不等实根”的充分不必要条件

C.设V45C的内角A,B,C所对边分别为。，b,c,贝〉8”是“a>6”的充要条件

D.设平面四边形4BCD的对角线分别为ZC,BD,则“四边形4BCD为矩形”是“NC=5。”的既不充分

也不必要条件

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】A.令a=1,6=—2,满足a>6,而〃<网，不充分；若。〉同，当人之0时，则a>6,当人<0时,

因为。>0,则a>6,所以必要，故正确；

B.当c<0时，A=〃_4C〉0,方程有两个不等实根，故充分；当方程方程有两个不等实根时，

A=Z?2-4C>0.则C<S，故不必要，故正确;

4

C.在V4BC中，大角对大边，大边对大角，所以“2〉3”是“。>6”的充要条件，故正确;

D.若四边形4BCD为矩形时，则ZC=HD,所以充分，故错误;

故选：ABC

10.若实数冽，孔>0,满足2加+〃=1,以下选项中正确的有（）

A.mn的最大值为工

B.—l—的最小值为4

8mn

29

C.\+T的最小值为5D.4/+〃2最小值为工

m+1n+22

【答案】AD

【解析】

【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值.

【详解】解：对于A,由冽，72〉0,得2%+77>2J2ZZ777，又2加+〃=1,

所以12242加〃，解得加当且仅当2加二〃，

8

即掰=1，时等号成立，

42

所以7W7最大值为一，选项A正确;

8

1-n2加、c八

对于B,—+—=(2m+n]=3+—+——>3+2

mnm4mn

2-V2

当且仅当二=迎，即<m----------

2时等号成立,

mn

n-A/2-1

所以工+工的最小值为3+2正，选项B错误；

mn

对于C,由2加+〃=1,得2（加+1）+（〃+2）=5,

所以高+达42（"）+（〃+2）］［备+达

=>13+3+国”印用3+2河=5,

当且仅当2（"+2）=18（加+1）,即［加：°时等号成立，又切,n>0,

m+1〃+2［〃=1

29

所以——+——>5,选项C错误；

m+1〃+2

对于D,由冽，n>0f2m+n=\,得

（2m+"J—4/722+/+4加〃—4加2+〃2+2,4加2•<2^4m2+/）

1

m=—

则4/+/2_L,当且仅当4加2=2,即<:4时等号成立,

2

n=一

所以4/+/的最小值为工，选项D正确.

2

故选：AD.

11.在锐角V48C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且/=b(b+c),则下列结论正确的有()

A.A=2B

B.3的取值范围为0，Y

,6

tan5taib4

【答案】AC

【解析】

【分析】由余弦定理可得c-b=2bcosZ,再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得/=28,

即可判断A,再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B,再根据三角函数的性质判断C、

D；

【详解】解：因为［2=6S+C）,又由余弦定理力=〃+o2—2bccos4，

即6（6+。）=/+c2-2bccos4,

所以6c=/—2bccosZ，所以6=c—2bcos/,即。-6二2bcos/,

由正弦定理可得sinC-sinB=2sinBcos4,

又sinC=sin（4+5）=sinAcosB+cosAsinB,

z.sinAcosB+cos4sin8—sin5=2sinBcosA,BPsinAcosB—sinB=sinBcosA,

sinAcosB一cos/sin5=sin（Z-B）=sinB,

•.,4,B,。为锐角，

:.A-B=B,即4=25,故选项A正确；

71

0<2B<-

2

一<B<.—,—<A<—，故选项B错误;

7T6432

0<7r-3B<-

2

asin42sinBcosB

=2COS5G（后,6）故选项C正确;

bsinBsinB

-............L+2sin/=sm（/一'）+2sin/=.sm1--0+2sin/=—1―+2sin/,

tan5tanAsin8sin/sin8sinNsin/

又工</<工，.,.吏<sin/<l,

322

令/=sin/（曰</<l）,则/（。=；+2/（停</<l）,

1V3

由对勾函数性质可知，/«)=-+2f在fe上单调递增,

‘冷、_1_V3_5A/31

又/『近+2丁亍，/(l)=；+2xl=3,

-----------------+2sin/=故选项D错误.

tanBtanA

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数/(x)="+I：；)?在区间卜2,2］上的最大值为M,最小值为N,则(M+N-1『°23的值为

【答案】1

【解析】

【分析】将所给函数分离常数，根据奇偶性，可求得M+N=2,代入所求关系式即可.

丫349

【详解】由题意知，/(司=三咛+1卜6卜2,2］),

X+1

设g(x)=E芹，则/(x)=g(x)+L

X十1

因为g(r)=_\：；x=_g3,

X十1

所以g(x)为奇函数，

所以g(x)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为0,

故M+N=2,

所以(M+N-1)2°23=(2—1严23=1.

故答案为：L

2

13.已知VZ8C的角A,B,C所对的边分别是。，b,c,且/+〃=02+一/，若VZ3C的外接圆

3

半径为£2,则V4BC面积的最大值为

2

【答案】40

【解析】

2?

【详解】：/+〃=c?+—品，BIJ^+^-C2=-ab,

33

2,

Ca2+b2-c2飞ab1.

cos6二-------------二-----二—

2ab2ab3

•.「2庭

・・sinC=-----•

3

又A48C的外接圆半径为逑

2

c=2x—xsinC=4.

2

由余弦定理得

224

c2=16—ci^+62—2clbcosC—a?+Z??—ub22ab—cib——cib,

333

ab<12,当且仅当a=b时等号成立.

•••S“BC=1^sinC<|xl2x^=4V2

故答案为：472

点睛：

解三角形时，余弦定理、三角形的面积公式经常结合在一起考查，解题时要注意公式的变形，如

a2+b2=(a+b)2-2ab,经过变形便出现了a+6和的形式，为整体代换创造了条件.另外对于三角形面

积最值的问题要注意基本不等式的应用，根据便可得到ab的最大值，然后根据面积公式求解

即可，不过解题时要注意不等式中等号成立的条件.

14.在V48c中，P在V45c的三边上运动，W是V48C外接圆的直径，若48=2,BC=3,AC=4,

则TM-PN的取值范围是.

【答案】1,0]

【解析】

【分析】设V4BC外接圆圆心为。，半径为R,利用平面向量的线性运算与数量积可得

-PN=[pd+OMy^Pd+ON^=^Pd+OMy^Pd-OM^=Pd2-OM2=PO2,再结合圆

的几何性质确定其最大最小值可得结论.

【详解】设V48C外接圆圆心为。，半径为夫，

由余弦定理有cos/=———~--=—,所以sinZ=J1-cos?Z=,

2-2-41616

由正弦定理有义J=2R,即&=生45,

sinZ15

PM-PN=(Pd+OMy(Pd+ON^=(P0+0M)-(PO-OM^

11-21”—21'—*264

=PO-OM=PO——,

15

所以西7•丽的取值范围是[-4,o].

故答案为：[—4,0].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=2「4、,xe[—2,1].

(1)求/(x)的值域；

(2)若对Vxe[—2,1],不等式/(x)〉2-加恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】(1)—2」

⑵心”

4

【解析】

【分析】（1）换元法转化成二次函数在给定区间求值域即可解决;

2

（2）分离参数后，再构造函数g（a=/+：-1,并求其值域，即可解决.

【小问1详解】

令/=2*，当xe［-2,l］时，/e；,2,

则可将原函数转化为y=f—〃=一+；,

当■时，＞max=:;当/=2时，Jmln=-2.

所以〃X）在［T』］上的值域为-2」.

_4_

【小问2详解】

令/=2工，当xe［—2,1］时，fe,

4_

则关于x的不等式2，-4、＞2-加.2,对Vxe［—2,口恒成立，可化为

/-「＞2-加/对V/e—,2恒成立，

4_

,2

所以7M/＞2+「—t，即冽＞fd---1,

t

2r-l

又g（。=，+?-1在（0,&］上为减函数，在［应,+oo）上为增函数，

门、29Fl129

g:卜：,g（2）=3,g（/）在-,2上的最大值为

41_4」4

29

因此实数m的取值范围为m＞—.

4

16.已知向量万，5满足同=网=1,且卜一砌=道卜。+q（左〉0）.

（1）试用上表示£石，并求出£石的最大值及此时&与5的夹角，的值.

（2）当万，5取得最大值时，求实数X,使归+2囚的值最小，并对这一结果做出几何解释.

k2+111

【答案】（1）a-b=-^—^，最大值为一—，（9=120°;（2）2=-,几何解释见解析.

4k22

【解析】

【分析】

（1）由归―庙卜道卜Z+可信〉0）,得到（Z—泥y=［G（左£+"『，整理得ZR=—幺二1,再结合基

4k

本不等式和向量的夹角公式，即可求解.

（2）由⑵知”的最大值为—；，化简口+阳=拈+肪2=JQ—权+；，结合二次函数的性质，

求得卜+2囚取得最小值，再根据向量的线性运算，即可求得几何解释.

【详解】⑴由题意，向量万，5满足同=网=1,且曰―砌=码筋+可（左〉0）,

可得（a-序＞=［百（版+及］2,整理得J一2左+左2片=3（左2a2+2ka-b+^b），

7.2+]

即1—2左75+左2=3左2+6左75+3,可得屋3=-----

4k

又由7坂=—H£

=---(A;+-)<--x2

4k4左42

当且仅当左=：,即左=1时等号成立，所以£石的最大值为-,，

k2

又由3$6=解|=一!，。€［0°』80。］,所以6=120°.

m2

（2）由（2）知的最大值为-务，

所以B+叫=j0+\）2=J1+2花1+%=⑦2—%+1=-1）2+|,

所以当X」时，|Z+刈取得最小值，最小值为包，

2112

这一结果的几何解释：平行四边形。48。中，OA=1,ZAOC=120°,当且仅当OC=g时，对角线08最

短为其

2

【点睛】对于向量的数量积和向量的模的运算方法：

1、定义法：已知或可求得两个向量的模和夹角；

2、基底法：直接利用定义法求得数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量的基本定理将待

求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；

3、坐标法：已知条件中（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求解数量积；

4、利用/=//及0+拉2=口2±2屋3+忖，把向量模的运算转化为数量积的运算；

5、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理

等方法求解.

17.在VZ8C中，内角48,C的对边分别为a,A,c,且2acosC=25—c.

（1）求A；

（2）求，一的最小值.

b+c

7T

【答案】（1）-

3

⑵-

2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式求解即可；

（2）法一：利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式，结合三角函数的性质即可得解；

法二：利用余弦定理与基本不等式即可得解.

【小问1详解】

因为2QCOSC=26—C,

由正弦定理得2sin4cosc=2sin5-sinC,

又sin5=sin（4+C）=sinAcosC+cos4sinC,

所以2cos4sinC=sinC，

又sinCwO,所以cosZ='，

2

TT

而/e（0,兀），所以/=

【小问2详解】

法一：

i-.、r•八.「•n./2兀八、.口.2兀八2兀.八

因为sm6+smC=sinB+sin（----B）=sinB+sin——coscos——sin5

=—sin5+—cosB=V3sin(B+,

226

a_sin/_V3

所以b+c-sinB+sine一26sin(B+与

6

因为Be(0,§),所以当5+巴=巴，即8='时，sinCB+乌)的最大值为1,

36236

故q的最小值为

b+c2

法二:

因为/=+c2-2bccosA=b?+c2—be，a>0,b>0,

a2Z?2+c2-be3bc

所以—；--；------=11-

(b+c)2b2+c2+2bcb-+c2+2bc

3bc,3bc3

又因为〃+02>2bc>所以<-------——

b-+c2+2bc2bc+2bc4

a2a1

所以------>-,当且仅当6=c时取等号，则---2—,

(Z?+c)74b+c2

故二的最小值为」.

b+c2

18.记V48C的内角48,C的对边分别为a,"c,已知a+26cosc=0.

(1)求tanC+3tan8的值；

2

(2)若V/8C的面积为J,求8；

6

(3)若6=2,当角A最大时，求VZ5C的面积

【答案】(1)tanC+3tan5=0

(2)3=45°

(3)V3

【解析】

【分析】(1)由正弦定理结合sin4=sin(J5+C)得到sinCcos5+3sin5cosC=0推导出

tanC+3tanB=0；

(2)方法1：由三角形的面积可得3asin5=c,结合正弦定理和三角恒等变换可得

2

人―

-3tanBzxr

tanC-——；-----------------,结合（1）可求5；

tan25-3tanS+1

方法2：同方法1可得3sin/sinB=sin。，结合（1）sinA=-2sinBcosC,可得tan。=-3tanB,

进而可得tanC=—6sin25，结合（1）可得—3tan3=—丁.11------,可求人

tan25-3tan5+1

（3）方法一：由余弦定理可得/=£±，可得cosZ=；（'+f],利用基本不等式可求A的最大值,

进而可求S“BC；

,2

tan—___________

方法二：结合（1）可得—"D1，结合基本不等式求出A的最大值，进而可求

3tan5+------△'几

tan5

【小问1详解】

,/a+2bcosC=0，由正弦定理可得：sin/+2sin5cosc=0,

sin（5+C）+2sin5cosC=0,sinCcos5+3sin5cosC=0,

两边同时除以cosBcosC,可得：tanC+3tan5=0.

【小问2详解】

2

、1c

方法1：S.=—acsinB=—，贝U3asinB=c,

ARr2o

结合正弦定理得，3sin/sinB=sinC，

即3sin3sin（5+C）=3sin5sin5cosc+3sin3cos5sinC=sinC,

-3sin2B3sin2B3tan2B

则miltanC=------------------=-----------------------------------二-----------------

1-3sin5cosBsin25+cos25-3sin5cosBtan2B-3tan5+1

所以一3tan3=——3tan'-----,即8—2tan5+1=0，

tan25-3tan5+1

解得tan8=l,又3c（0,兀），

TT

所以5='.

4

方法2：同方法1可得3sin/sinB=sinC,

由（1）可得sin/=-2sinBcosC,所以一6sinBcosCsin_5=sin。，

即tanC=-6sin2B，又tanC=-3tanB，

匚匚2八八•2c2sin2B2tan2B切4曰八1

所以tanB=Zsm25=—；--------；—=—；-------，解得，txanB=l

sin25+cos5tan25+lf

TT

所以8=2.

4

【小问3详解】

方法I：•・•a+26cosc=0,;.a+2b，a”———=o，

lab

2-h2

,2/+/?2一。2=(),.../二r

当且仅当。=同时等号成立，此时A取到最大值工,

6

Q6=2,•.・当A最大时，S^ABC~；6csin/=;x2x2百义；=也.

方法2：由（I）知tanC+3tanB=0,则tan。=一3tan5,

tanB+tanC2tan52

tanA——tan(3+C)——

所以2

1-tanBtanC1+3tanB3tanBH--一

tan5

<——=—1J3

~「3，当且仅当3tan5=------，即tan5二.时，取,

2J3tan5-------tan53

Vtan5

此时A=B――,则a=6=2,S^ABC=~absinC=VJ.

2

19.对于四个正数x/,z,w,如果研<尸，那么称(x,y)是(z,w)的"下位序列"

（1）对于2,3,7,11,试求（2,7）的"下位序列"；

⑵设a/,c,d均为正数，且（。,»是（c,d）的"下位序列"，试判断