长春市某中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题（含答案及解析）

2024-2025学年度上学期

初二数学优效作业（一）

开学测试

一、单选题（每题3分，共24分）

1.若》〉、，下列不等式不成立的是（)

xy

A.x-5>y-5B.3x>3yC.—>—D.—2x>—2y

77

2.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图,则这个不等式组的解集是（)

A.—1<x<2B.-l<x<2C.-l<x<2D.-l<x<2

3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（)

A.1cm、2cm、4cmB.4cm、6cm、9cm

2cm、3cm、5cmD.5cm、7cm、13cm

4.下列计算正确的是（

42|3=m12n1,6

A,〃广+m2=m5B.mn

C.m4-m3=m12D.m6+m3=m2

5.若一个多边形每一个内角都为144。，则这个多边形的边数是（）

A.6B.8C.10D.12

6.如图，数轴卜.表示2、逐的对应点分别为C、以点。是A3的中点,则点A表示的数是（）

CB

B.2-V5D.V5-2

7.若。+匕=3,则2/+4。6+2/一6的值为（)

A.12B.6C.3D.0

8.如图，长方形A5CD中，AD=8,AB=4.点。为A5中点，点尸从点2出发以每秒3个单位的速

度沿8—C-。一＞A的方向运动，当点P运动到点A时，点尸停止运动.设点P运动的时间为r

（秒），在整个运动过程中，当△BPQ是面积为2的钝角三角形时，则此时f的值是（）

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332

二、填空题（每题3分，共18分）

9.因式分解：2a3-8。=.

10.如图，将△ABC沿方向平移到UDE/,若A、。之间的距离为2,CE=4,贝

11.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在四边形3CDE的内部的A处，若/A=40。，

Nl=25°,则N2=.

13.已知3"'=2，3"=5，则32m+H的值是.

14.如图，将AABC绕点A顺时针旋转110。，得到△ADE,则ZBE£>=

三、解答题（共78分）

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一“r、e2x+lx-3«

15.解方程：------------=1.

34

16.在等式y=Ax+Z?中，当尤=2时，y=-l,当x=-l,y=5.求左、b的值.

x—1<4(x+2)

17.解不等式组：.J“，\，并把解集在数轴上表示出来.

5(x-2)<2(x+l)

-4-3-2-I0I234

18.在正"边形中，每个内角与每个外角的度数之比为3:2

(1)求”的值;

(2)正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为,正五边形对角线的总条数为.

19.图①、图②、图③均是3x3的正方形网格，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点称为格

点，在图①、图②、图③中画出不同的口DEE,使△ABC和口。EE关于某条直线成轴对称.

20.如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边A5上的高，488=35°,求:

(1)NEBC的度数;

(2)NA的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).

解：⑴---CD1AB(已知)，

NCDB=,

ZEBC=ZCDB+ZBCD()

/•NEBC=+35°=(等量代换).

(2)•/=ZA+ZACB,

/•ZA=—NACB(等式的性质)，

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：.ZACB=90°（已知）,

AXA=^EBC-90°=（等量代换）.

21.某超市采购48两种品种的苹果进行销售，A品种苹果的进货价格为每千克4元，8品种苹果的进货

价格为每千克2元，该超市销售2千克A品种苹果和5千克B品种苹果时售价为37元，销售3千克A品种

苹果和4千克B品种苹果时总售价为38元.

（1）求该超市销售1千克A品种苹果和1千克B品种苹果的售价分别是多少元？

（2）该超市准备采购A,8两种品种苹果共200千克，若这批苹果全部售出，且利润不低于528元，则

该超市最多采购A品种苹果多少千克？

22.因为比〈百<4，即1<e<2,所以6的整数部分为1，小数部分为G-1.类比以上推理解答

下列问题：

（1）分别求而的整数部分a和小数部分b的值

（2）若根是11—而的小数部分，w是11+而的小数部分，求机+〃的值.

23.数学课时，老师在讲完乘法公式（a±b）2=/±2。》+/的多种运用后，要求同学们运用所学知识解

答：求代数式必+4》+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x2+4x+5=x2+4x+4+l=（x+2）2+1

v（x+2）2>0,

・・・当x=—2时，（x+2『的值最小，最小值是0,

.-.（X+2）2+1>1

・・・当（x+2『=0时，（x+2『+l的值最小，最小值是1,

x2+4%+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题：

（1）知识再现：求x为何值时，代数式Y—4x+6有最小值，并求出这个值；

（2）知识运用：若y=-必+4%+5,当％=时，丁有最______值（填“大”或“小”），这个值

是.

24.如图，已知MN〃GH,点、C在MN上,点在GH上.在△ABC中，ZACB=90°,ABAC=45°,

点E、厂在直线3c上，在QDEE中，ZEDF=90°,ZDFE=30°.

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M

（1）图中NBCN的度数是°；

（2）将口。所沿直线5c平移，当点。在MN上时，求NCDE的度数；

（3）将口OEE沿直线3c平移，当以C、D、尸为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出NCDE

的度数.

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2024-2025学年度上学期

初二数学优效作业（一）

开学测试

一、单选题（每题3分，共24分）

1.若x〉y,下列不等式不成立的是（）

A.x-5>y-5B.3%〉3yC.—>—D.—lx>—2y

''77

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】解：A、：》〉',二》—5〉y—5,故本选项不符合题意；

B、3x〉3y,故本选项不符合题意；

C,VX>y,.*.->2,故本选项不符合题意；

77

D,vx>y,：.-2x<-2y,故本选项符合题意.

故选：D.

2.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（）

A.-l<x<2B.-1<%<2C.-l<x<2D.-l<x<2

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案，

本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一

般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，

不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：-l<x<2,

故选：B.

3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.1cm、2cm、4cmB.4cm、6cm、9cm

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C.2cm、3cm、5cmD.5cm、7cm、13cm

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大与第三边，任意两边之差小于第三边.判定三条线

段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可.

【详解】解：A、1+2<4,故1cm、2cm、4cm不能组成三角形，A不符合题意；

B、4+6>9,故4cm、6cm、9cm能组成三角形，故B符合题意；

C、2+3=5,故2cm、3cm、5cm不能组成三角形，故C不符合题意；

D、5+7<13,故5cm、7cm、13cm不能组成三角形，故D不符合题意.

故选：B.

4.下列计算正确的是（）

A.m3+m2=m5B.^m4n2\—m12n6

C.m4-m3=m12D.M+m3=m2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了同底数累的乘法，积的乘方，合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键.

根据同底数幕的乘法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A、m3与病不属于同类项，不能合并，故不符合题意；

B、（切，2）3=加2“6,计算正确，符合题意；

C、m3.m4=m7,计算错误，故不符合题意；

D、加$与机3不是同类项，不能合并，故不符合题意；；

故选：B.

5.若一个多边形每一个内角都为144。，则这个多边形的边数是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数是〃，根据多边形的内角和公式列方程求解即

可.解题的关键是掌握多边形的内角和公式：〃边形的内角和等于（〃-2>180。.

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【详解】解：设这个多边形的边数是〃，

依题意，得：144。”=（"—2"80。，

解得：〃=10,

•••这个多边形的边数是10.

故选：C.

6.如图，数轴上表示2、e的对应点分别为C、8,点C是AB的中点，则点A表示的数是（）

ACB

，1IL»

02〃

A.-V5B.2-亚C.4-V5D.V5-2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上A3之间的距离是AB=|XA-

设点A表示的数是。，求出3c之间的距离，求出AC,即可得出关于。的方程，求出即可.

【详解】解：设点A表示的数是。，

•••在数轴上数表示2,V5的对应点分别是C、B,

:.B、C之间的距离是BC=石—2，

•・•点C是AB的中点，

：.AC=BC=0-2,

••・C点表示的数是2,A点表示的数是。，

2-a=A/5-2，

解得：a=4-

故选：C.

7.若。+6=3,则2。2+4。匕+2/—6的值为（）

A.12B.6C.3D.0

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式因式分解，将。+6=3整体代入，即可求解.

【详解】解：：a+6=3,

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2a2+432〃—6=2（。+6）2-6=2x3?-6=12,

故选：A.

8.如图，长方形ABC。中，AD=8,AB=4.点。为A3中点，点尸从点8出发以每秒3个单位的速

度沿A的方向运动，当点尸运动到点A时，点尸停止运动.设点P运动的时间为f

当△BPQ是面积为2的钝角三角形时，则此时f的值是（）

23

C.一D.6

332

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查一元一次方程的几何应用，三角形的面积计算等知识点，根据点。为A3中点得

BD=2,①当点尸在3C边上运动时，△BPQ始终为直角三角形，不存在钝角△BPQ,②当点尸在CD

边上运动时，SQPBQ=^BQ-AD=8,不存在面积为2的钝角△BPQ,③当点尸在AD边上运动时，由

S口利°=2得进而得AP=2，则。尸=AD—AP=6,进而得BC+CD+DP=18,据

此可求出点尸运动的时间/的值.

【详解】解：：四边形ABCD为长方形，AD=8,A3=4,

CD=AB=4,BC=AD=8,ZA=ZABC=90°,

•••点。为AB中点，

:.BD=-AB=2,

2

①当点P在BC边上运动时，△BPQ始终为直角三角形，如图1所示:

故当点P在边上运动时，不存在钝角△BPQ,

②当点尸在边上运动时，SOPBQ=^BQ-AD=^2X8=8,如图2所示:

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故当点P在CD边上运动时，不存在面积为2的钝角A3尸。,

③当点尸在AD边上运动时，如图3所示：

.SQBPQ=2,

:.^BQAP=2,

即304P=2,

2

AP=2,

:.DP=AD-AP=6,

BC+CD+DP=8+4+6=1S,

:点P以每秒3个单位的速度运动，

3?=18,解得t=6,

故选：D.

二、填空题(每题3分，共18分)

9.因式分解：2a3_8a=

【答案】2a(a+2)(a-2)

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键.先提公因式2a,再利用平方差公式

分解因式即可.

【详解】解：24—8a

2a(a2—4)

2a(a+2)(a—2),

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故答案为：2a(a+2)(a—2).

10.如图，将△ABC沿3C方向平移到口DEE,若A、。之间的距离为2,CE=4,则2/=.

【答案】8

【解析】

【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到BE=CF=2,即可求解.

【详解】解：.•・将△ABC沿3c方向平移到QDEP,若A,。之间的距离为2,

BE=CF=2,

•••CE=4,

BF=CF+BE+CE=2+2+4=8.

故答案为：8.

11.如图，将三角形纸片ABC沿直线OE折叠，使点A落在四边形3CDE的内部的A处，若乙4=40。，

Z1=25°,则N2=.

B

【解析】

【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据平角定义和折叠的性质，得

Zl+Z2=360°-2(Z3+Z4),再利用三角形的内角和定理进行转换，得

Zl+Z2=360°-2(180°-ZA)=2ZA.

【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得Nl+N2=360。—2(N3+N4).

又N3+N4=180°—NA,

Zl+Z2=360°-2(180°-ZA)=2ZA=80°,

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N2=80°—25°=55°,

故答案为：55°.

%〉—5

12.关于x的不等式组《仅有3个整数解，则加的取值范围是.

x<m

【答案】—2Wm<—l

【解析】

【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围，熟练掌握以上知识是解题的关键.

不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有3个整数解，确定出机的范围即可.

%>—5

【详解】解：不等式组<,

x<m

解得：一

由不等式组有3个整数解，即整数解为-4,-3,-2,

则m的取值范围是一2Vm<一1.

故答案为：—2Wm<—1.

13.已知3"'=2，3"=5，则32nl+"的值是.

【答案】20

【解析】

【分析】本题主要考查了同底数幕乘法和幕的乘法逆用，首先根据3'"=2,求出32"'的值是多少，然后根

据同底数幕的乘法的运算方法，求出32nl+"的值是多少即可.

【详解】解：；3'"=2，3"=5,

32m=（3m）2=22=4,

32"""=32"•3"=4x5=20.

故答案为：20.

14.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转110°,得到△ADE,则ZBED

【答案】70°##70度

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【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，多边形内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

由旋转的性质可知，ZBAD=110°,NABC=NADE,由点E恰好在C3的延长线上，可得

ZABC+ZABE=180°,则NADE+NA5E=180°,根据

ZBED=360°-ZBAD-（ZADE+ZABE）,计算求解即可.

【详解】解：由旋转的性质可知，ZBAD=110°,ZABC=ZADE,

•：点E恰好在CB的延长线上，

ZABC+ZABE=1SO°,

：.ZADE+ZABE=180°,

：.ZBED=360°-ZBAD-（NADE+ZABE）=70°,

故答案为：70°.

三、解答题（共78分）

15.解方程：与1—二=1.

34

【答案】；

【解析】

【分析】本题考查解一元一次方程，按照解一元一次方程的一般步骤求解即可.

【详解】解：去分母得：4（2x+l）-3（x-3）=12,

去括号得：8x+4-3x+9=12,

移项得：8元一3元=12-4-9,

合并得：5x=—1,

系数化为1得：x=-1.

16.在等式y=^+b中，当％=2时，y=-l,当x=—l,y=5.求人、。的值.

【答案】k=-2,b=3.

【解析】

【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程

是解此题的关键.

把％、y的值代入'=乙+》得出方程组，再求出方程组的解即可.

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-1=2k+b①

【详解】解：根据题意得：<

5=—左+。②

由①-②，得-6=34,

解得：k=-2,

把左=—2代入②，得5=2+6,

解得：b=3,

即左=—2,b=3.

x—1<4（%+2）

17.解不等式组：<并把解集在数轴上表示出来.

□------1-----1_>

0234

【答案】-3<x<4,数轴见解析

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取

小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可.

x-l<4（x+2）@

【详解】解：〈

5（x-2）<2（x+l）（2）

解①得x〉—3

解②得xV4

—3<x<4

如图,

18.在正九边形中，每个内角与每个外角的度数之比为3:2

（1）求”的值;

（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为,正五边形对角线的总条数为

【答案】（1）5（2）2,5

【解析】

【分析】本题考查正多边形的内角和外角，多边形的对角线:

（1）设每个内角的度数为3x。，每个外角的度数为2尤。，列出方程进行求解即可;

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(2)根据从一个多边形的顶点出发可以引出(“-3)条对角线，总共有";③)条对角线,进行求解即可.

【小问1详解】

解：设每个内角的度数为3x°,每个外角的度数为2x。，

则：3x+2%=180,

x=36,

：.2x°=72°,

360°「

n=------=5；

72°

【小问2详解】

正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：5-3=2,正五边形对角线的总条数为："5-3)=5；

2

故答案为：2,5

19.图①、图②、图③均是3x3的正方形网格，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点称为格

点，在图①、图②、图③中画出不同的口，使△ABC和口。EF关于某条直线成轴对称.

・・・

•1•・•♦・*11

•1•«•••**■

•til

:：c：

ABAfi4B

图①图②图③

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查作图-轴对称变换,熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.根据轴对称的性质作图

即可.

【详解】解：如图所示.

1

tsz，N...

：Z:•:；::

«।••।««

：c：：:：c：

ABM(D)R4(F)-BID)

图①图(②图③

20.如图，在直角三角形ABC中，是斜边AB上的高，ZBCD=35°,求:

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E

D

C

（1）NE3C的度数；

（2）NA的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解:（1）•：CD1AB（已知），

ZCDB=,

ZEBC=ZCDB+ZBCD（）

，NEBC=+35°=（等量代换）.

（2）=ZA+ZACB,

/.ZA=-ZACB（等式的性质），

/.ZACB=90°（已知），

ZA=ZEBC-9Q°=（等量代换）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查三角形的外角：

（1）根据垂直的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可；

（2）根据三角形的外角的性质，进行求解即可.

【详解】解：⑴'：CDLAB（已知），

ZCDB=90°,

NEBC=ZCDB+ZBCD（三角形外角的性质）

AZEBC=900+35°=125°（等量代换）.

（2）VZEBC=ZA+ZACB,

：.ZA=ZEBC-ZACB（等式的性质），

ZACB=90°（已知），

：.ZA=ZEBC-90°=35°（等量代换）.

21.某超市采购A,8两种品种的苹果进行销售，A品种苹果的进货价格为每千克4元,B品种苹果的进货

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价格为每千克2元，该超市销售2千克A品种苹果和5千克8品种苹果时售价为37元，销售3千克A品种

苹果和4千克B品种苹果时总售价为38元.

（1）求该超市销售1千克A品种苹果和1千克B品种苹果的售价分别是多少元？

（2）该超市准备采购A,B两种品种苹果共200千克，若这批苹果全部售出，且利润不低于528元，则

该超市最多采购A品种苹果多少千克？

【答案】（1）该超市销售1千克A品种苹果的售价是6元，1千克8品种苹果的售价是5元

（2）该超市最多采购A品种苹果72千克

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

（1）设该超市销售1千克A品种苹果的售价是X元，1千克8品种苹果的售价是丁元，根据“该超市销售

2千克A品种苹果和5千克B品种苹果时售价为37元，销售3千克A品种苹果和4千克8品种苹果时总售

价为38元”，可列出关于X,丁的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该超市采购m千克A品种苹果，则采购（200-m）千克B品种苹果，利用总利润=每千克的销售利

润*销售数量（购进数量），结合总利润不低于528元，可列出关于根的一元一次不等式，解之取其中的最

大值，即可得出结论.

【小问1详解】

解：设该超市销售1千克A品种苹果的售价是x元，1千克8品种苹果的售价是V元,

2x+5y=37

根据题意得:

3x+4y=38

x=6

解得:

y=5

答：该超市销售1千克A品种苹果的售价是6元，1千克B品种苹果的售价是5元;

【小问2详解】

解：设该超市采购用千克A品种苹果，则采购（200-千克B品种苹果,

根据题意得：（6—4）加+（5—2）（200—加丝528,

解得：m<72,

,机的最大值为72.

答：该超市最多采购A品种苹果72千克.

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22.因为&<g<“，即1<逝<2,所以6的整数部分为1，小数部分为6-1.类比以上推理解答

下列问题：

（1）分别求布的整数部分a和小数部分b的值

（2）若根是n-而的小数部分，〃是n+JTT的小数部分，求根+〃的值.

【答案】（1）a=3,Z>=VTT-3；

（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据阅读材料知，加的整数部分是3,然后再去求其小数部分；

（2）仿照例子，找出整数部分和小数部分后即可得出〃Z+”的值；

【小问1详解】

解：,.,V9<VIT<V16-

；•3<布<4，

加的整数部分a=3,小数部分Z，=VTT-a=VTl-3；

【小问2详解】

：3<VH<4，

,•—4<—\/lT<—3，

•■•7<11-A/TT<8>

即n-而的整数部分为7,

同理，n+JTT的整数部分为14,

：也是11-的小数部分，”是n+&T的小数部分，

；•根=11-而-7=4-而，H=11+V1T-14=A/1T-3

:.m+n=4-711+711-3=1.

【点睛】本题考查了无理数的估算和实数的混合运算，熟悉无理数的大小估算是解题关键.

23.数学课时，老师在讲完乘法公式（a±6）2=/±206+〃的多种运用后，要求同学们运用所学知识解

答：求代数式尤2+4%+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

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解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1

v（x+2）2>0,

,当x=—2时，（x+2『的值最小，最小值是0,

.-.（X+2）2+1>1

，当（X+2）2=0时，（x+2）'+l的值最小，最小值是1,

x2+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题：

（1）知识再现：求x为何值时，代数式尤2—4%+6有最小值，并求出这个值；

（2）知识运用：若丁=一/+4%+5,当工=时，y有最______值（填“大”或“小”）,这个值

是.

【答案】（1）当x=2时，犬_4》+6的值最小，最小值为2

（2）2,大，9

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握］±2ab+〃=（a±6）2是解答本题的关键.

（1）利用完全平方公式对代数式%2-4X+6变形得（x-2『+2,可得当x=2时代数式必一4x+6可取

最小值2；

（2）利用完全平方公式对y=—必+4%+5的右边变形得y=—（x—2『+9,可得当x=2时，y有最大

值9.

【小问1详解】

解：%2-4x+6

=x2-4x+4-4+6

=（x-2『+2,

V（x-2）2>0,

...当（x—2『=0时，（x—27+2的值最小，最小值为2,

...当x=2时，/_4龙+6的值最小,最小值为2；

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【小问2详解】

解：y=-x2+4x+5

=-(X2-4X+4-4)+5

--(X-2)2+9,

V-(X-2)2<0,

当—(x—2)2=0时，—(%—2『+9的值最大，最大值为9,

...当x=2时，y=-r+4%+5的值最大，最大值为9；

故答案为：2,大，9.

24.如图，已知MN