浙教版八年级数学专项复习：图形的轴对称、等腰三角形（解析版）

第08讲图形的轴对称等腰三角形

看知识点梳理

—＞轴对称图形

轴对称图形的定义

一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它

的对称轴.

要点：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称

轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

二、轴对称

i.轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线

对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.

要点：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对

称的两个图形一定全等.

2.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和

轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，

若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.

三、轴对称与轴对称图形的性质

轴对称、轴对称图形的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应

角相等.

要点：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

四、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在AABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,/A是顶角，/B、

/C是底角.

2.等腰三角形的作法

己知线段a,b（如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的对称性

（1）等腰三角形是轴对称图形

（2）ZB=ZC

⑶BD=CD,AD为底边上的中线.

（4）ZADB=ZADC=90°,AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三

条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.

要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45。，等腰三角形的底角只能为锐角，不能为

1QQO_/人

钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.NA=180°-2ZB,NB=NC=---------.

2

（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中

要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.

（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三

角形.

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记

/?反

于心，比如边长为a的等边三角形它的高是面积是X—

24

船典倒号第阚

：I例1.下列说法中正确的是（）

①对称轴上没有对称点；②如果AABC与△40。关于直线L对称，那么SAABCMS/BC；③如果线段

AB=H8,直线L垂直平分AAL则AB和A3关于直线L对称；④射线不是轴对称图形.

A.②B.①④C.②④D.②③

【答案】A

【分析】

根据轴对称的性质和定义，对题中条件进行一一分析，选出正确答案.

①对称轴上有对称点，错误；

②如果AABC与△ABC关于直线L对称，那么5AAsc=，正确；

③如果线段=直线L垂直平分AA',由于位置关系不明确，则和A8不一定关于直线L对

称，错误；

④射线是轴对称图形，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴

对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.

02）例2.下列说法中，正确的是（）

A.有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称

B.全等三角形是关于某直线对称的

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧

D.关于某直线对称的两个三角形是全等三角形

【答案】D

【分析】

根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进

行判断即可.

A、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称，错误，例如图三：

故此选项错误；

图二

全等三角形是关于某直线对称的错误，例如图一,

故此选项错误；

。、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧错误，例如图二:

图二

故此选项错误;

。、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，此选项正确;

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形的应用，主要考查学生的理解能力,关键是熟练把握轴对称的定义.

3.等腰三角形的对称轴是()

A.底边上的中线B.顶角平分线C.底边上的高D.底边的垂直平分线

【答案】D

【分析】

根据等腰三角形的性质和图形的对称轴是直线解答即可.

解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是等腰三角形的对

称轴,

选项A、B、C中底边上的中线，顶角平分线，底边上的高都是线段，故不符合题意;

选项D中，底边的垂直平分线是一条直线，符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的轴对称性，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.

4.列四个图案中，不是轴对称图案的是()

【答案】B

【分析】

根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

解：A.此图案是轴对称图形，不符合题意;

B.此图案不是轴对称图形，符合题意；

C.此图案是轴对称图形，不符合题意；

D.此图案是轴对称图形，不符合题意；

故选:B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

在2例5.有下列图形：角，线段，直角三角形，等边三角形，长方形.其中一定是轴对称图形的有（

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形的定义依次判断即得答案.

解：根据轴对称图形的定义，角，线段，等边三角形和长方形一定是轴对称图形，共有4个.

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的定义和常见的轴对称图形，熟知概念是解题关键.

如图,AABC中，。点在8C上，将。点分别以A3、AC为对称轴，画出对称点£、F,

并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求NEAF的度数为何？（）

C.129°D.134°

【答案】D

【分析】

连接AD,利用轴对称的性质解答即可.

解：连接AD,

E.

62°51°

z—J----------J—

BD

Q。点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，

:.ZEAB=ZBAD,ZFAC=ZCAD,

vZB=62°,ZC=51°,

:.ZBAC=ZBAD+ZDAC=1SO0-6T-510=6T,

ZEAF=2ZBAC^134°,

故选D.

【点睛】

本题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答.

7.如图，将△ABC沿直线OE折叠后，使得点3与点A重合.已知AC=10cm,AAOC的周

长为34cm,则8C的长为（）

C.24cmD.44。"

【答案】C

【分析】

先根据折叠的性质可得=再根据三角形的周长公式可得AD+DC=24on,然后根据线段的和

差、等量代换即可得.

,/将△ABC沿直线OE折叠后，使得点3与点A重合,

AD=BD,

,•^ADC的周长为34cm,AC=10cm,

二AD+DC=34—10=24(cm),

,/AD=BD,

BD+DC=AD+DC-24cm,

即BC=24cm,

故选：C.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键.

8.如图,△ABC与关于直线对称，P为上任一点（P不与AA共线），下列

A.AAA'P是等腰三角形B.垂直平分A4'

C.A47/CCD.AP±AC

【答案】D

【分析】

根据轴对称的性质可以判断出图中各点或线段之间的关系.

解：:△ABC与AAEC关于直线对称，P为上任意一点,

...△AAP是等腰三角形，MN垂直平分AV,CC,AA'//CC,

4P和AC不一定垂直，

故选：D.

【点睛】

本题考查轴对称的性质与运用，等腰三角形的定义，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应

点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都

相等.

GTl例9等边三角形是特殊的____________三角形，因此它也是_____________图形，有条对称轴.

【答案】等腰轴对称3

【解析】

【分析】

根据等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性即可得出结论.

解：等边三角形是特殊的一等腰—三角形，因此它也是一轴对称一图形，有—3—条对称轴.

故答案为：等腰；轴对称；3.

【点睛】

本题考查等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性，掌握等

边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性是解题关键.

亡］例10.等腰三角形的一腰上的中线将三角形的周长分成9和15两部分，则该等腰三角形的腰长是

【答案】10

【分析】

等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和15两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成腰+腰一

半和底+腰一半两部分的长，哪个是9,哪个是15,因此，有两种情况，需要分类讨论；再利用三角形三

边关系判断是否符合题意.

①若腰长和腰长的一半的和是9,则腰长为6,

底边长为15—^x6=12,V6+6=12,

2

...此时不能组成三角形，

②若腰长和腰长的一半的和是15,则腰长为10,

底边长为9-^xl0=4,能组成三角形，

2

综上所述，该等腰三角形的腰长是10.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质、中线的概念、三角形三边关系、分类讨论等知识点，难易程度适中，是一

类典型的等腰三角形内容的训练题.答题的关键是理解等腰三角形腰上中线分成的两部分分别表示什么，

并要注意利用三角形三边关系判断答案是否符合题意.

心蹑除翻瀛

一、单选题（共0分

1.下列图案中是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念逐一分析即可.

【解析】解：第1个图形与第4个图形能确定这样的直线，使图形沿这条直线对折后，直线两旁的部分能

够完全重合，所以是轴对称图形，第2个，第3个图形不是轴对称图形，

故选B

【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是解本题的关键，一个图形沿某条直线

对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形.

2.如图，若AABC与AA'3'C'关于直线对称，BB'交MN于■点、0,则下列说法中不一定正确的是（）

A.AC=AC'B.AB//B'CC.AALMND.BO=BO

【答案】B

【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解析】解：•.•△/IBC与△A'3'C'关于直线对称，

AC=A'C,AA'LMN,BO=B'O,故A、C、D选项正确，

AB〃笈C'不一定成立，故B选项错误，

所以，不一定正确的是B.

故选：B.

【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线

段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.

3.如图，点尸在锐角的内部，连接。尸，OP=3,点尸关于。4、QB所在直线的对称点分别是片、

鸟，则4、鸟两点之间的距离可能是（

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【分析】由轴对称的性质可得Oq=OP=3,OP=OP2=3,再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得

出结果.

•・•点P关于。4、所在直线的对称点分别是£、P2,

:.OPl=OP=3,OP=OP,=3,

OPX+OP2>P}P2,

<6,

故选：D

【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，解本题的关键是熟练

掌握轴对称性和三角形三边关系定理.

4.如图，AC是四边形ABC。的对称轴，若则下列结论中正确的有（）

@AB//CD；®AB=CD；®AB=BC;@AO=OC.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③

【答案】A

【分析】首先根据AC是四边形A5CZ)的对称轴，AD//BC,得出ND4C=NAC8,ZDAC=ZBAC,BC=CD,

进而可判断①②③，通过证明ZkACE之△CQD可得出AO^OC.

【解析】解：•・,AC是四边形ABC。的对称轴，AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,NDAC=NBAC,BC=CD,

：.ZBAC=ZACB,

・・・ZACB=ZACDf

：.ZBAC=ZACD,

：.AB=BC9AB//CD,

,:BC=CD,

：.AB=CD,

J①②③正确；

在“08和△COD中，

ZBOA=ZDOC

<NOAB=NOCD

AB=CD

：.AAOB^ACOr>(S4S),

：.AO=OC,

・••④正确，

故选：A.

【点睛】此题考查了轴对称的性质，三角形全等的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练

掌握以上知识点.

5.如图，R3ABC中，ZC=90°,NA=38。，点。在A3上，且点。与点3关于直线/对称，则/ACD的

度数为（）

A

B

A.10°B.14°C.38°D.52°

【答案】B

【解析】先求出/B，再根据轴对称的性质，求出NCD3=/B=52。，用三角形外角等于不相邻的两个内角

和列方程，即可解得答案.

【分析】解：：NC=90。,ZA=38°,

ZB=52。，

:点。与点8关于直线/对称，

ZCDB=ZB=52°,

,/ZCDB=ZACD+ZA,

52°=ZACD+38°,

/.ZACD=14°,

故选：B.

【点睛】本题考查轴对称以及三角形的外角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质，求出NCDB=52。.

6.等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为3cm,则其腰长为（）

A.3cmB.3Si或4.5c:wC.4.5cmD.以上都不对

【答案】C

【分析】分3为腰和底两种情况求解，注意三角形的存在性：通过两个短边和大于最长边可判断三角形存在,

反之则无法构成三角形.

【解析】因为等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为3aw,

当3c7"为腰长时，其余两边的长分别为3cm,6c九3+3=6三角形不存在；

当3c冽为底边长时，其余两边的长都为（12-3）-2=4.5cm,三角形存在；

故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，熟练掌握等腰三角形的性质，准确分类

是解题的关键.

7.若等腰三角形有一个角等于50。，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可.

【解析】解：：已知三角形是等腰三角形，

；•当50。是底角时，顶角=180。一（50。+50。）=80。；

当50。是顶角时，符合题意；

综上所述，等腰三角形的顶角度数为50。或80。.

故选D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答

本题的关键.

8.如图，AD是AABC的中线，E是AO上一点，3E交AC于/，BE^AC,BF=9,CF=6,则.的长

度为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【答案】B

【分析】延长AD到G使得。G=4）,连接BG,证明△力"三△戚（玄S）,根据全等三角形的性质可

得到NCW=NG,AC=BD,等量代换得到BE=BG,再由等腰三角形的性质得到NG=NBEG,推出EF=AF,

即可解决问题；

【解析】如图，延长AD到G使得OG=AD,连接BG,

G

VAD是AABC的中线,

ACD=BD,

在△ACD与4GBD中,

CD=BD

<NADC=ZBDG,

AD=DG

：.MACD三XGBD俾S),

AZCAD=ZG,AC=BD,

「BE二AC,

ABE=BG,

:./G=/BEG,

■:ZBEG=ZAEFf

：.ZAEF=ZEAF,

・・・EF=AF,

JAF+CF=BF-AF,

即AF+6=9—AF,

3

・•・AF=~；

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键.

9.如图，在"RC中，NC=90°,点A关于边的对称点为A,点3关于AC边的对称点为笈，点。关

于A5边的对称点为C,则△ABC与△49。的面积之比为(

D-1

【答案】B

【分析】连接CC并延长交AE于D,连接CBlCA',依据AC=AC,BC=BC,ZACB=ZA'CB',可得

△ABC咨△ABC,进而得出SAABC=SAA'B'C,再根据CD=CE=EC',可得SAA'B'C=|SAABC',进而得到SAABC

_1°

=­SAA'B'C.

【解析】连接CC并反向延长交A®于O,交A5于£,连接CE,CAf.

・・,点A关于边的对称点为A，点5关于AC边的对称点为*，点。关于AB边的对称点为C',

AAC=A!C,BC=BC,CE=C'E,ZACB=ZACBf,AB垂直平分CC',

・・・LABC^AB'C(SAS),

**•Swc=Lie,ZA=ZAAB，

AB//AB,CDJ_AB,

・••根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD=CE=EC',

•e,S^ABC=3S^AB'C''

S.ABC

AABC与AAAC的面积之比为1.

故选B.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如

果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

10.如图所示，ZMON=45。，点尸为NMON内一点，点尸关于OW、ON对称的对称点分别为点片、P2,连

接。尸、。6、尸片、PR、PXP2,勺鸟分别与OM、ON交于点AB,连接4P、BP,则/APB的度数为()

M,

7P,

A.45°B.90°C.135°D.150°

【答案】B

【分析】由ZMON=45。，根据三角形的内角和定理可得到NQ4B+NOR4的值，再根据对顶角相等可以求出

+ZP2BN的值,然后由点P与点：、鸟对称的特点,求出ZMAP+ZNBP,进而可以求出NPAB+NPBA

的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出

【解析】VZMON=45°

二ZOAB+ZOBA=180°-ZMON=180°-45°=135°

,/ZPtAM=ZOAB,ZP2BN=ZOBA

：.ZP,AM+ZP2BN=135°

又：点尸关于OM、ON对称的对称点分别为点不P2

：.ZMAP=ZPtAM,ZNBP=ZP2BN

NMAP+NNBP=135°

/.ZPAB+ZPBA=360°—135°x2=90°

.ZAPS=180°-(ZPAB+/PBA)=180°-90°=90°

故选：B

【点睛】本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差

的转化是解题的关键.

二、填空题(共0分

11.等边三角形的边长为①则它的周长为,等边三角形共有条对称轴.

【答案】3a3

【分析】根据周长公式求解即可，根据轴对称图形的概念及对称轴求解即可.

【解析】解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a,所以它的周长为3a；等边三角形共有

对称轴有3条.

故答案为：3a,3.

【点睛】本题利用了等边三角形的三边相等的性质以及轴对称图形的对称轴的概念.

12.等腰三角形周长为35,其中两边长之比为3：1,则底边长为.

【答案】5

【分析】已知等腰三角形的两边间的比例关系，但是没有明确这两边哪边是底，哪边是腰，因此要分两种

情况讨论.

【解析】解：设等腰三角形的一边长为3x,则另一边长为羽

则等腰三角形的三边有两种情况：3尤，3x,x或x,尤，3x,

则有：①3x+3x+_x=35,得x=5,

所以三边为：15、15、5,

5+15>15,符合三角形三边关系，则底边长为5；

②尤+x+3_r=35,得产7,

所以三边为7、7、21,

7+7<21,不符合三角形三边关系，舍去.

综上，该等腰三角形的底边长为5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题从边的方面考查三角形，利用分情况讨

论的思想方法求解是解题的关键.

13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60。，那么这个等腰三角形的顶角的度数为.

【答案】30。或150。

【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案.

【解析】根据题意得：AB=AC,BD±AC,

如图（1）所示，ZABD=60°,则NA=30。，即顶角为30。；

如图（2）所示，ZABD=60°,贝lJ/ZMB=30。,

.ZBAC=150°,

即顶角为150。；

故答案为：30。或150。.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键.

14.如图所示，点尸为—AO3内一点，分别作出尸点关于。4、03的对称点6、P2,连接64交。4于

交OB于N,4£=15,贝隈PMN的周长为

【答案】15

【分析】根据轴对称的性质得到PN=P2N,据此利用三角形周长公式求解即.

【解析】解：点关于。4、03的对称点6、p2,

：.PM=PXM,PN=P2N.

:.&PMN的周长为PM+PN+MN=MN+PtM+P2N=PtP2=15.

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键.

15.已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分

长2,则三角形的腰长是.

【答案】8或4

【分析】根据中线的定义，知道两部分的差实际上是腰与底的差的绝对值，计算即可.

【解析】解：如图，是A4BC腰AC的中线，

：.AD=DC,

J.AB+AD-(BC+DC)=2BC+DC-(AB+AD)=2,

VBC=6,

.•.AB=8或AB=4.

故答案为：8或4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的定义即三角形的顶点与对边中点的连线，分类思想，正确

进行分类计算是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，AC=BC,/8=42。，点。是边A8上一点，点8关于直线的对称点为当

笈D〃AC时，则的度数为.

【答案】27。/27度

【分析】由AC=BC可得根据笈D〃AC,得到NA=NADQ=N3；根据点3、E关于直线对

称，得到NCDB=NCDB',即有NCD3=NCDB'=NaM+NADS',根据三角形外角定理有

NCDA=NB+NDCB,Z.CDB=ZB+ZBCD+ZADB',再根据三角形内角和定理有

NCDB+ZB+NDCB=180%即问题得解.

【解析】'：AC=BC,ZB=42°,

ZA=ZB=42°,

B'D//AC,

ZA^ZADB',

NA=NADS'=42°，

•••点B关于直线CD的对称点为B',

：.NCDB=NCDB',

：.ZCDB=ZCDB'=ZCDA+ZADB',

ZCZM=ZB+ZDCB,ZB=ZADB'=42°，

•*.NCDB=NB+NBCD+ZADB'=84°+ZBCD,

ZCDB+ZB+ZDCB=180°,

•*.84°+NBCD+ZB+ZBC£>=180°,

/.84°+/BCD+42°+/BCD=180°,

/.ZBCD=2T,

故答案为：27°.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和、三角形的外角定理及平行线的

性质等知识，根据轴对称的性质得到NCDB=ZCDB'是解题的关键.

17.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍

长三角形"，底边BC的长为3,则腰A8的长为.

【答案】6

【分析】分类讨论：AB=AC=23C或BC=2AB=2AC,然后根据三角形三边关系即可得出结果.

【解析】解：ABC是等腰三角形，底边BC=3

：.AB=AC

当A8=AC=28C时，△ABC是“倍长三角形”；

当BC=2AB=2AC时，AB+AC=8C,根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；

所以当等腰△ABC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰的长为6.

故答案为6.

【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用

分类讨论思想是解题的关键.

18.如图，点P是/403内一点，点尸关于OA的对称点为C,点P关于。8的对称点为。，连结CD交

0A,08于点”和点N,连结PM、PN.若N4OB=70。，则N7WPN的大小为_____度.

【答案】40

【分析】接OC、。尸、OD,根据轴对称的性质得出

NOCP=NOPC,NOPD=ZODP,ZMCP=TMPC,4NPD=NNDP,NCOM=ZPOM,乙POB=NDOB,

结合图形及三角形内角和定理求解即可.

【解析】解：连接oc、OP、0D,

:点P关于的对称点为C,点尸关于OB的对称点为D

：.OC=OP=OD,CM=MP,PN=ND,

：.NOCP=ZOPC,Z.OPD=AODP,AMCP=ZMPC,ZNPD=ZNDP,

NCOM=ZPOM,NPOB=NDOB,

：.ZOCP-ZMCP=/OPC-ZMPC,ZOPD-ZNPD=NODP-ZNDP,

即NOCD=NMPO,ZOPN=ZODC,

'：ZAOB=70°,BPZAOP+ZPOB=70°,

zcor>=140°,

AZOCD+ZODC=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=NOCD+ZODC=40°,

故答案为：40.

【点睛】本题主要考查轴对称的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质，找准各角之间的关系

是解题关键.

三、解答题(共0分

19.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.

(1)(2)(3)(4)(5)

【答案】第(1)(2)(3)(5)是轴对称图形，对称轴见解析.

【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可.

【解析】解：第(1)(2)(3)(5)是轴对称图形,

对称轴如下:

【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完

全重合是解题的关键.

20.燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形.已知N1=N4=45。，求N2和N5

的度数.

【分析】利用对顶角的定义以及轴对称图形的性质求出即可.

【解析】：风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形，Z1=Z4=45°,.\Z2=Z4=45°

（对顶角相等），Z5=Z4=45°.

【点睛】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称图形的性质求出是解题的关键.

21.（1）已知等腰三角形的一边等于2cm,另一边等于4cm,求它的周长；

（2）一个等腰三角形的周长为18,若腰长的3倍比底边的2倍多6,求各边长；

（3）一个等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,求其它两边的长；

（4）一个等腰三角形的周长为12cm,一边与另一边的差是3cm,求三边的长；

（5）等腰三角形的腰长是整数，周长是8,求它的各边长.

【答案】（1）10cm；（2）6,6,6；（3）6cm,8cm或7cm,7cm；（4）5cm,5cm,2cm；（5）3,

3,2

【分析】（1）分2cm为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形的三边关系，从而可得答案；

（2）设腰长为尤，底边长为以再根据周长为18,腰长的3倍比底边的2倍多6,列方程组，再解方程组可

得答案；

(3)分6cm为腰长或底边长两种情况讨论，结合三角形周长与三角形的三边关系可得答案；

(4)设腰长为％则底边长为x+3或尤-3,再分两种情况讨论，结合三角形的周长求解x，再结合三角形的

三边关系可得答案；

(5)设腰长为x,底边长为y,x，y都为整数，再利用三角形三边关系求解y的范围，利用周长为8列方程,

从而可得答案.

【解析】解：(1)当2cm为腰长时，2+2=4,不合题意，舍去，

当2cm为底边长时，则腰长为4皿，此时三角形存在，

所以三角形的周长为：2+4+4=10cm.

(2)设腰长为无，底边长为以则

J2x+y=18

[3尤=2y+6

所以三角形的三边长分别为：6,6,6.

(3)当6cm为腰长时，则底边长为：20-6x2=8cm,此时三角形存在,

则另外两边长分别为：6cm,8cm,

当6cm为底边长时，则腰长为：失刍=7cm,此时三角形存在，

则另外两边长分别为：1cm,7cm,

(4)设腰长为x,则底边长为无+3或x-3,

当腰长为无，底边长为x+3时，则2x+x+3=12,

x=3,此时三角形不存在，舍去，

当腰长为羽底边长为九-3时，则2i+x-3=12,

.\x=5,

所以三角形的三边分别为：50n,5cm,2cm,此时三角形存在，

(5)设腰长为无底边长为八工，丁都为整数，则

2%+y=8,

41

%=4—y,

2

而卜

而3、

[2x>y

所以：ovy<4,且>是2的倍数，

y=2,x=3,

所以三角形的三边长为：3,3,2.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等，灵活应用分类讨论，方程思想是

解本题的关键.

22.已知一个等腰三角形的周长为24cm.

(1)若一条边的长为10cm,求其余两条边的长；

(2)若一条边的长为4cm,求其余两条边的长.

【答案】(1)10cm,4cm或7cm,7cm

(2)10cm,10cm

【分析】(1)分两种情况：当腰长为10cm时，当底边长为10cm时，即可求解;

(2)分两种情况：当腰长为4cm时，当底边长为4cm时，即可求解.

【解析】(1)解：当腰长为10cm时，

底边长为24-10-10=4cm,

即其余两条边的长分别为10cm,4cm,能组成三角形；

当底边长为10cm时，

腰长为2上4-1产0=7cm,

即其余两条边的长分别为7cm,7cm,能组成三角形.

，其余两条边的长分别为10cm,4cm或7cm,7cm；

(2)解：当腰长为4cm时，

底边长为24-4—4=16cm,

此时三条边的长分别为4cm,4cm,16cm.

:4+4<16,

不能组成三角形；

当底边长为4cm时，

74-4

腰长为一y-=10cm,

此时三条边的长分别为4cm,10cm,10cm,能组成三角形.

，其余两条边的长分别为10cm,10cm.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角的两腰相等是解题的

关键.

23.如图，点尸为NAO3内一点，分别作出点尸关于。4,的对称点片，鸟，连接[巴，交。4于点

交OB于点、N,则APMN的周长等于图中哪一条线段的长？说明理由.

【答案】APMN的周长等于《乙的长，见解析

【分析】根据轴对称的性质可得=PN=P2N,,然后求出APMN的周长=u

【解析】解：APAW的周长等于耳舄的长.理由：

由对称性可知，NP2=NP,MP\=MP,

所以APMN的周长=NP+NM+MP=NE+NM+岬=[£.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对

应点之间的距离相等.

24.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm的两个部分，求这个等腰三角形底

边的长.

【答案】这个等腰三角形底边的长为4cm

【分析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行

检验.

【解析】解：如图所示，在AABC中，AB=AC,是AA5C的中线，

AD=CD,

①如图，当AB+AD=9cm,3C+CD=15cm时，

VAD=DC,AB=AC,

2AD+AD=9cm,

AD=CD=3cm,

AB=6cm,BC=12cm,

AB+AC=12cm=6C

...不能构成三角形，故舍去;

②如图，当AB+A£>=15cm,BC+CD=9cm,

同理得：AB=10cm,BC=4cm,

AB-BC<AC<AB+BC,

，能构成三角形,

这个等腰三角形底边的长为4cm；

综上所述，这个等腰三角形底边的长为4cm.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情

况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键.

25.已已知a、b、c为AABC的三边长，且从c满足(瓦5)2+(c-7)2=0,a为方程|。-3|=2的解，求△48C

的周长，并判断△ABC的形状.

【答案】AABC的周长为17,AA8C是等腰三角形.

【分析】依据非负数的性质，即可得到6和c的值，再根据。为方程|。-3|=2的解，即可得到。=5或1,依据

三角形三边关系，即可得到。=5,进而得出△ABC的周长，以及△ABC的形状.

【解析】解：；(加5)2+(c-7)2=0,

,JZ?-5=0

1|c-7=0,

b=5

解得

c=7'

为方程|a-3|=2的解,

/.a=5或1,

当。=1,b=5,c=7时，l+5<7,

不能组成三角形，故。=1不合题意；

••4=5,

AABC的周长=5+5+7=17,

a=b=5,

.•.△ABC是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则

其中的每一项都必须等于0.

26.如图，点。在AC上，AB=AC,.你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三

角形的腰、底边和顶角.

【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答.

【解析】解：：AB=AC,

AABC为等腰三角形，

AABC中，腰：A2和AC,底边：BC,顶角为NA；

AD=BD,

.•."MB为等腰三角形，

中，腰：和底边：AB,顶角为-4DB.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰,

另外一条边为底边，底边所对的角为顶角.

27.如图，的顶点A,B,C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图.

(1)画△A21G,使它与AABC关于直线/成轴对称；

(2)在直线/上找一点P,使点P到点A,点B的距离之和最短；

(3)在直线/上找一点0,使点。到边AG3c的距离相等.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)如图所示，在网格上分别找到点4点夙点c的对称点点A、点与、点G，连接4月、AC、

BG即可；

(2)连接A3交直线/于P,利用两点之间线段最短可判断尸点满足条件；

(3)根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可.

【解析】(1)解：如图，为所作；

(2)解：根据(1)的结论，点A、点A关于直线/成轴对称，

PAt=PA

：.PA+PB=PAi+PB,

如下图，连接AB

...当点P在直线/和A8的交点处时，尸A+PB=AXB为最小值，

二当点尸在直线/和AB的交点处时，B4+PB取最小值，即点尸到点A、点8的距离之和最短；

(3)解：如图所示，连接CG，

根据题意的：NACG=ZBCG

.•.点。在直线/和CG的交点处时，点。到边AG3c的距离相等.

【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解

题的关键.

28.如图，AABC与△DEF关于直线对称，其中/C=90。，AC=8cm,£>E=10cm,BC=6cm.

(1)连接A£>,线段AD与MN的关系是什么？

(2)求N/的度数；

(3)求AA5C的周长和的面积.

【答案】(DMN垂直平分4)

(2)ZF=90°

(3)24cm；24cm2

【分析】(1)利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分可以得到;

(2)利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等；

(3)利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到周长和面积相等.

【解析】(1)解：:△ABC与/关于直线肱V对称，

:.MN垂直平分A。；

(2)解：••.△ABC与△£)£；/关于直线MN对称,

:.AABC=^DEF,

•/ZC=ZF=90°；

(3)解：VAC=8cm,DE=10cm,BC=6cm,

DE=AB=10cm

=6+8+10=24(cm)；

%EF=gx6x8=24(cm2).

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，解题的关键是了解关于某条直线对称的两个图形全等.

29.如图，AABC和AAOE关于直线对称，BC与。E的交点尸在直线上.

(1)图中点C的对应点是点,的对应角是

(2)若DE=5,BF=2,则CE的长为；

(3)若/BAC=108。，ZBAE=3Q°,求/EAF的度数.

【答案】(1)E,ZD

(2)3

(3)ZEAF=39°

【分析】(1)根据AABC和AADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E,的对应角是ND；

(2)根据△ABC与AADE关于直线MN对称，得到△ABCgAWE,推出BC=OE=5,根据8尸=2,得到

CF=BC-BF=3；

(3)根据/8AC=108。和N8AE=30。，推出/CAE=108。-30。=78。，根据对称性得到/E4F=/CAF,推

出NEAP=gf)C4E=39°.

【解析】(1)：△ABC与"OE关于直线MN对称，

，图中点C的对应点是点E,的对应角是

故答案为：E,ZD.

(2):△ABC与AAOE关于直线跖V对称，

AABC^AADE,

：.BC=DE=5,

VBF=2,

:.CF=BC-BF=3.

故答案为：3.

(3)VZBAC=108°,ZBAE=30°,

/.ZCAE=108°-30。=78。，

根据对称性知，ZEAF=ZCAF,

：.ZEAF^-DCAE=39°.

2

【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等

性.

30.【定义】如图1,0M平分/A02,则称射线。2,。4关于0M对称.

(1)【理解题意】如图1,射线08,OA关于。M对称且NAOB=45。，则/AOM=度；

(2)【应用实际】如图2,若/AOB=45。，OP在/AOB内部，OP,OP/关于02对称，OP,0P2关于。1对

称，求/B。尸2的度数；

(3)如图3,若乙4。2=45。，。尸在/AOB外部，且0。＜/4。尸＜45。，0P,。尸/关于。2对称，0P,。巳关

于。4对称，求/尸/。刊的度数；

(4)【拓展提升】如图4,若NAO3=45。，OP,。尸/关于44。2的边对称，NA0Pi=4NB0Pi,求/AOP

(直接写出答案).

【答案】(1)22.5。；

(2)90°；

(3)90°；

(4)44。尸=30°或54°；

【分析】(1)根据轴对称的性质即可得到结论；

(2)根据OP和OPX关于OB对称,得到NPO。=2ZBOP,根据OP和。鸟关于对称，得到

NPO鸟=2ZAOP,根据角的和差即可得到结论；

(3)根据OP和。片关于。8对称，得到NPO4=2/BOP,根据OP和。鸟关。4对称，求得

NPOP。=2ZAOP，根据角的和差即可得到结论；

(4)①。尸在/AO8内部，如图4,②当。尸在/AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论.

(1)

解：•.,射线。2,关于0M对称且乙4。2=45。，

ZAOM=-ZAOB=-