中考数学必刷题分类专练：三角形压轴综合问题（原卷版+解析）

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题32三角形压轴综合问题

一、解答题

1.（2022・青海・中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点

连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

⑴问题发现：

如图1,若AaBC和AADE是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BD=CE；

图1

（2）解决问题：如图2,若AACB和ADCE均为等腰直角三角形，N2CB=NDCE=90。，点A,D,E在同一

条直线上，CM为ADCE中。E边上的高，连接BE,请判断的度数及线段CM,AE,BE之间的数量

关系并说明理由.

图2

2.（2022•辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在△力8c中，。是48上一点，Z.ADC=乙4cB.求证乙4CD=

/.ABC.

独立思考：

（1）请解答王老师提出的问题.

实践探究：

(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图2,延长C4

至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点、G,”分别在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=4BCF.在

图中找出与BH相等的线段，并证明.“

问题解决：

(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当NH4C=90。时，若给出AZBC中任意两边

长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答.“如图3,在(2)

的条件下，若NBAC=90。，AB=4,AC=2,求的长.”

3.(2022•山东青岛•中考真题)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如:如图①.在△ABC和A中,4D,4'。'分别是BC和女C'边上的高线,且4。=40',则△48C和

△ABC，是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用SMBC，SAA，B，C，分别表示AABC和的面积.

则S-BC=[BCSD,S-，B，C，

'：AD=A'D'

:•S^ABC：S4A，B，C=BC:B'C'.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边上的一点.若BD=3,DC=4,贝IJSSB^S-DC=

(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S^ABC=1,则

ShBEC=----------，S&CDE=---------；

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:4B=1:爪，CD:BC=l:n,ShABC=a,则

S^CDE=--------------------

4.(2022・山东烟台•中考真题)

(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形，连接8。，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.连接8。，CE.请

直接写出胃的值.

CE

(3)【拓展提升】如图3,AABC和△皿?都是直角三角形，ZABC=ZADE=90%且黑黑右连接血

CE.

①求差的值;

CE

②延长CE交8。于点尸，交AB于点G.求sin/BFC的值.

5.(2022.广西•中考真题)已知NMON=a，点A,B分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①,若a=90°,取AB中点D,点A,2运动时，点D也随之运动，点A,3,。的对应点分别为A,

连接。D,。。'.判断。。与OD'有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形A3C,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,2运动到什么位置时，△20B的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积

的最大值.

6.（2022•山东潍坊・中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。顺

时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接力G,B”，如图③所示，

AB交H0于E,AC交0G于尸，通过证明△OBE三△。4F,可得。E=OF.

请你证明：AG=BH.

【迁移应用】

延长G4分别交所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明DG与的便罩关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,4G,如图⑥所示,

其他条件不变，请你猜想并证明力G与B”的藜量关系.

7.（2022•辽宁锦州•中考真题）在△28C中，AC=BC,点。在线段4B上，连接CD并延长至点E,使DE=CD,

过点£作后尸148,交直线4B于点F.

（1）如图1,若乙4cB=120。，请用等式表示力C与EF的数量关系：

(2)如图2.若乙4cB=90。，完成以下问题：

①当点。，点厂位于点A的异侧时，请用等式表示尸之间的数量关系，并说明理由；

②当点。，点尸位于点A的同侧时，若DF=LAD=3,请直接写出AC的长.

8.(2022•北京・中考真题)在A4BC中，^ACB=90°,。为△ABC内一点，连接BD,DC,延长DC至U点E,

使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接4F,EF,若力F1EF,求证：BD1AF；

(2)连接力E,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2,^AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与

CH的数量关系，并证明.

9.(2022•福建・中考真题)已知AaBC三△DEC,AB=AC,AB>BC.

B

图1

(1)如图1,C8平分NACD,求证：四边形A3DC是菱形；

(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于N8AC),BC,OE的延长线相交于点R用

等式表示NACE与/EFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将(1)中的ACDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于/ABC),若乙BAD=4BCD,求NADB的度

数.

10.(2022•山东威海•中考真题)回顾：用数学的思维思考

AAA

（1）如图1,在△ABC中，AB^AC.

①BD,CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.

②点。，E分别是边AC,A8的中点，连接8。，CE.求证：BD=CE.

（从①②两题中选择一题加以证明）

（2）猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB=AC,。为边AC上一动点（不与点A,C重合）.对于点

。在边AC上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题：

若点。，E分别运动到边AC,AB的延长线上，2D与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2,在AABC中，AB^AC,点、D,£分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字

母），使得BD=CE,并证明.

（3）探究：用数学的语言表达

如图3,在AA2C中，AB=AC=2,ZA=36°,E为边A3上任意一点（不与点A,B重合），E为边AC延长

线上一点.判断8尸与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.

11.（2022•贵州铜仁・中考真题）如图，在四边形2BCD中，对角线力C与BD相交于点O,记^COD的面积为S「

△力。B的面积为52.

（1）问题解决：如图①，若ABHCD,求证：?=篙*

•J2U/i'UD

（2）探索推广：如图②，若与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由.

（3）拓展应用：如图③，在04上取一点E,使。E=OC,过点E作EF||CD交。。于点R点H为力B的中点，

0H交EF于点G,且0G=2GH,若詈=|,求尚值.

12.(2022・湖北武汉•中考真题)已知CD是△力BC的角平分线，点E,尸分别在边AC,BC上，4。=m,BD=n,

AADE与ABDF的面积之和为S.

(1)填空：当NACB=90。，DE1AC,DF1BC时，

①如图1,若AB=45°,m=5V2,贝！In=，S=；

②如图2,若NB=60°,m=4V3,贝！In=,S=；

(2)如图3,当乙4cB=NEDF=90。时，探究S与加、九的数量关系，并说明理由：

(3)如图4,当乙4cB=60。，ZEDF=120°,m=6,几=4时，请直接写出S的大小.

13.(2022•黑龙江•中考真题)AABC和AADE都是等边三角形.

(1)将44DE绕点A旋转到图①的位置时，连接BDCE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有P4+PB=PC

(或P4+PC=P8)成立；请证明.

(2)将AADE绕点A旋转到图②的位置时，连接8。，CE相交于点P,连接以，猜想线段9、PB、PC之间

有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)将A4DE绕点A旋转到图③的位置时，连接BO,CE相交于点尸，连接B4,猜想线段出、PB、PC之间

有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

14.(2022•陕西・中考真题)问题提出

(1)如图1,AD是等边AABC的中线，点尸在2。的延长线上，且4P=2C,贝ikAPC的度数为.

问题探究

(2)如图2,在△力BC中，C4=CB=6/C=120。.过点A作4P||8C,5.AP=BC,过点尸作直线Z1BC,

分别交ZB、BC于点。、E,求四边形。EC4的面积.

问题解决

(3)如图3,现有一块△注8。型板材，乙4cB为钝角，NBAC=45。.工人师傅想用这块板材裁出一个△2BP型

部件，并要求N8AP=15。,42=4C.工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以C4长为半径画弧，交AB于点D,连接CD；

②作CD的垂直平分线/,与CD于点E；

③以点A为圆心，以2C长为半径画弧，交直线/于点P,连接AP、BP,得△力BP.

请问，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.

图1

15.(2022・湖南岳阳・中考真题)如图，△48。和4的顶点B重合，Z_A8C=乙DBE=90°,Z.BAC=乙BDE=

30°,BC=3,BE=2.

⑴特例发现：如图1，当点D，E分别在48,BC上时，可以得出结论：矢=______,直线力D与直线CE的位

CE

置关系是;

(2)探究证明：如图2,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转，使点。恰好落在线段AC上，连接EC,(1)中的

结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转a(19。＜a＜60。)，连接40、EC,它们的延长线

交于点F,当0F=8E时，求tan(60°—a)的值.

16.(2022・湖北十堰・中考真题)已知NABN=90。，在乙4BN内部作等腰△ABC,AB=AC,Z.BAC=

a((T＜aW90。).点。为射线BN上任意一点(与点8不重合)，连接2D,将线段4。绕点4逆时针旋转a得到

线段4E,连接EC并延长交射线BN于点F.

(1)如图1,当a=90。时，线段8F与CF的数量关系是；

(2)如图2,当0。＜。＜90。时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若a=60。，AB=4V3,BD=m,过点E作EPlBN,垂足为P,请直接写出PD的长(用含有小的式子表

示）.

17.（2022.湖南湘潭・中考真题）在ATIBC中，Z.BAC=90°,AB=AC,直线I经过点4,过点B、C分别作［的

垂线，垂足分别为点。、E.

（1）特例体验：

如图①，若直线"Be,AB=AC=5分别求出线段BD、CE和。E的长；

（2）规律探究：

①如图②，若直线Z从图①状态开始绕点4旋转a（0<a<45。），请探究线段BD、CE和OE的数量关系并说明

理由；

②如图③，若直线/从图①状态开始绕点A顺时针旋转。（45。<戊<90。），与线段BC相交于点H,请再探线

段B。、CE和DE的数量关系并说明理由；

（3）尝试应用：

在图③中，延长线段BD交线段2C于点F,若CE=3,DE=1,求SABF「

18.（2022.江苏扬州•中考真题）如图1,在A48C中，NBAC=90。,4。=60。，点。在BC边上由点C向点B运

动（不与点B、C重合），过点。作DE12D,交射线A8于点E.

（1）分别探索以下两种特殊情形时线段4E与BE的数量关系，并说明理由;

①点E在线段的延长线上且BE=BD-,

②点E在线段AB上且EB=ED.

⑵若48=6.

①当空=宜时，求4E的长；

AD2

②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.

19.（2022・河北•中考真题）如图，四边形ABC。中，AD^BC,ZABC=90°,ZC=30°,AD=3,AB=2<3,

DHLBC于点H.将AP。/与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点8在上，其

中NQ=90°,NQPM=30°,PM=4V3.

（1）求证：APQM冬ACHD；

（2）APQM从图1的位置出发，先沿着3c方向向右平移（图2）,当点尸到达点D后立刻绕点。逆时针旋转

（图3）,当边旋转50。时停止.

①边尸。从平移开始，到绕点。旋转结束，求边尸。扫过的面积；

②如图2,点K在8H上，且BK=9-4次.若△尸。〃右移的速度为每秒1个单位长，绕点。旋转的速度

为每秒5。，求点K在区域（含边界）内的时长；

③如图3.在4尸。〃旋转过程中，设尸。，PM分别交2C于点E,F,若BE=d,直接写出CF的长（用含

d的式子表示）.

20.（2022•山西・中考真题）综合与实践

问题情境：在MAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EZ加中/即尸=90。，将三角板的直角顶

点。放在RdABC斜边的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。E,OF分别与边AB,AC

交于点M,N,猜想证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点〃为边A8的中点时，试判断四边形AMDV的形状，并说明理由;

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当=时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段AN的长.

21.（2022•湖北武汉•中考真题）问题提出：如图（1）,A/IBC中，AB=AC,。是力C的中点，延长BC至点E,

Ap

使=延长ED交4B于点尸，探究”的值.

(1)⑶

（1）先将问题特殊化.如图（2）,当NBAC=60。时，直接写出器的值；

（2）再探究一般情形.如图（1）,证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展：如图⑶，在△ABC中，AB=AC,。是AC的中点，G是边BC上一点，^-=-（n<2）,延长BC至

BCn

点E,使DE=DG,延长ED交4B于点F.直接写出笠的值（用含n的式子表示）.

22.（2022•江西・中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大

的直角三角板PEFQP=90。,"=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探究直角

三角板PEF与正方形力BCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，当OF与0B重合时，重叠部分的面

积为;当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S,在旋转

过程中，重叠部分的面积Si与S的关系为；

(2)类比探究：若将三角板的顶点/放在点。处，在旋转过程中，。E,OP分别与正方形的边相交于点N.

①如图2,当8M=CN时，试判断重叠部分AOMN的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=CN时，求重叠部分四边形。MCN的面积(结果保留根号);

(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为NGOH(设NGOH=a),将NGOH

绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形48CD的边所围成的图形的面积为S2,请直接写

出S2的最小值与最大值(分别用含a的式子表示)，

(参考数据：sinl50=X,cosl5。=匹,tanl5。=2—百)

44

23.(2022•重庆•中考真题)在AABC中，ABAC=90°,AB=AC=2五,。为BC的中点，E,尸分别为4C,

4。上任意一点，连接EF,将线段EF绕点£顺时针旋转90。得到线段EG,连接FG,AG.

(1)如图1,点E与点C重合，且GF的延长线过点B,若点尸为FG的中点，连接PD,求PD的长；

(2)如图2,EF的延长线交4B于点点N在4c上，4AGN=N&EG且GN=MF,求证：AM+AFV2XE;

(3)如图3,尸为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE,H为直线BC上一动点，连接EH,将△BEH沿EH

翻折至AABC所在平面内，得到△8'EH,连接B'G,直接写出线段B'G的长度的最小值.

24.(2022•浙江宁波・中考真题)

⑴如图1,在AABC中,，E,尸分别为上的点,DE||BC,8F=交DE于点G,求证:DG=EG.

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CD,CG.若CG=6,4E=3,求常的值.

DC

(3)如图3,在团4BCD中，NADC=45。,4。与3£»交于点。，E为力。上一点，EG||BD交力。于点G,EF1EG交

BC于点F.若NEGF=40°,FG平分NEFC,FG=10,求BF的长.

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)

专题32三角形压轴综合问题

一、解答题

1.(2022.青海・中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把

它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”

图形.

⑴问题发现：

如图1,若A4BC和AADE是顶角相等的等腰三角形，BC,OE分别是底边.求证：BD=CE；

图1

⑵解决问题：如图2,若DCE均为等腰直角三角形，4ACB=乙DCE=90°,点A,

D,E在同一条直线上，CM为ADCE中。E边上的高，连接BE,请判断/AE8的度数及线

段CM,AE,之间的数量关系并说明理由.

图2

【答案】(1)见解析

Q)乙DCE=90°；AE=AD+DEBE+2CM

【解析】

【分析】

(1)先判断出ZBAD=ZCAE,进而利用SAS判断出ABAD名△CAE,即可得出结论；

(2)同(1)的方法判断出ABA。g得出/ADC=NBEC,最后用角的差,

即可得出结论.

(1)

证明：,「△ABC和△ZDE是顶角相等的等腰三角形，

：.AB=AC,AD=AE,^LBAC=^DAE,

：.Z.BAC-ACAD=Z.DAE-Z.CAD,

：.Z-BAD=2LCAE.

在△840和△CAE中，

AB=AC

/-BAD=Z-CAE，

.AD=AE

：.LBAD=△CAE(SAS),

：.BD=CE.

(2)

解：^AEB=90°,AE=BE+2CM,

理由如下：由(1)的方法得，AACDWABCE,

：.AD=BE,乙ADC=LBEC,

,「△CDE是等腰直角三角形，

・••乙CDE=乙CED=45°,

：.Z.ADC=180°-Z.CDE=135°,

"BEC=/-ADC=135°,

J./-AEB=乙BEC-MED=135°-45°=90°.

VCD=CE,CM1DE,

：.DM=ME.

■:乙DCE=90°,

：.DM=ME=CM,

：.DE=2CM.

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等

腰直角三角形的性质，判断出△ACO名ZXBCE是解本题的关键.

2.(2022.辽宁大连.中考真题)综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在△4BC中，。是上一点，Z.ADC=

乙ACB.求证4ACD=/-ABC.

独立思考：

(1)请解答王老师提出的问题.

实践探究：

(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如

图2,延长C4至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,X分别在上，

BG=CD,^BGH=Z.BCF.在图中找出与相等的线段，并证明.”

问题解决：

(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当NB4C=90。时，若给出△

4BC中任意两边长,则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题,

请你解答.“如图3,在(2)的条件下，若NB4C=90。，AB=4,AC=2,求的长.”

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BH="

3

【解析】

【分析】

(1)利用三角形的内角和定理可得答案；

(2)如图，在8c上截取BN=CF,证明ACEF三△BDN,再证明EF=DN,NEFC=ADNB,

证明△GHB三^CND,可得BH=DN,从而可得结论；

(3)如图，在8C上截取8N=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解=

722+42=2V5,证明AADC^AACB,可得4。=1,CD=V5,可得BG=CD=底证明△

BGHBCF,可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即

可得到答案.

【详解】

证明：(1)•••Z4DC=^ACB,Z4=",

而N2CD=180°-Z-A-/-ADC,Z-ABC=180°-zX-乙ACB,

■.AACD=/.ABC,

(2)BH=EF,理由如下：

如图，在8c上截取BN=CF,

BD=CE,Z-ACD—/.ABC,

••.ACEF=ABDN,

•••EF=DN,4EFC=乙DNB,

E

,­,乙BGH=乙BCF,乙GBN=乙FBC,

:•乙BHG=Z.BFC,

,:乙EFC=乙BND,

・"BFC=乙DNC,

:•乙BHG=乙DNC,

BG=CD,

GHBSACND,

BH=DN,

•••BH=EF.

（3）如图，在BC上截取8N=C尸,

同理可得：BH=DN=EF,

E

<'-BC=V22+42=2V5,

/.DAC=^BAC,z.ACD=/.ABC,

•••△ADCACB,

.AP__AC_CD

ACAB~BC‘

•.•-A。=-2=-C-D

242VS/

・•.AD=1,CD=倔

•••BG=CD=y/5,

•・•Z.GBH=(FBC,乙BGH=乙BCF,

•••△BGHBCF,

BG_GH_BH_V5_1

"BC-CF~BF~2V5-2’

BF=2BH,而EF=GH,

・•.BE=3BH,

•・.AB=4fAD=lfBD=CE,

BD=CE=3,

.-.AE=3-2=1,而MAE=乙BAC=90。，

BE=yjAB2+AE2=717,

V17

BH=~

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相

似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.

3.(2022.山东青岛•中考真题)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如:如图①.在A4BC和A4B'C'中,如分别是BC和夕C，边上的高线,且4。=A'D',

则4ABC^AAB'C'是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用S-BC，S“B，C，分别表示AABC和△48。的面积.

-11

则S-BC=~BC-A2S-，B，C，=*U,4D'，

9：AD=ArDr

••^LABC'-t^A'B'C=BC：B'C'.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边BC上的一点.若8。=3,DC=4,贝抹》附:=；

(2)如图③，在△ABC中，D,£分别是BC和边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,

S&ABC=1>贝IS&BEC=----------，S&CDE=---------------；

(3)如图③，在AABC中，D,E分别是BC和4B边上的点，若BE:4B=l:m,CD:BC=l:n,

SAABC=A,贝USACDE=---------

【答案】(1)3:4

⑵*2

【解析】

【分析】

(1)由图可知AABD和△ADC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；

(2)根据BE:48=1:2,SMBC=1和等高三角形的性质可求得SABEC，然后根据CD：BC=

1：3和等高三角形的性质可求得SACDE；

(3)根据=l-.m,ShABC=a和等高三角形的性质可求得S△BEC,然后根据CD:BC=

l：n,和等高三角形的性质可求得SACDE-

⑴

解：如图，过点A作AEL8C,

-1-1

则S-B。=-BD-AEfS“DC=~DC-AE

9：AE=AE,

•9^^ABD-^^ADC=BD：DC=3:4.

(2)

解：•「△BEC和△ABC是等高三角形,

,,S^BEC:^LABC=BE:AB=1:2,

.iii

・・S^BEC=5s=3X1=3;

VACDE^DABEC是等高三角形,

,♦SRCDE：SABEC=CD:BC=1:3,

:.S^CDE=芦ABEC=3X2=6,

(3)

解：•「△BEC和△ABC是等高三角形,

••S^BEC：ABC=BE:AB=1:m,

1a

••S〉BEC=~=—xa=一

mm

VACDE^ABEC是等高三角形,

*.S^CDE：S"EC=CD：BC=1：71,

1C1aa

=:SABEC=£X/=

mn

【点睛】

本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并

能灵活运用是解题的关键.

4.(2022・山东烟台・中考真题)

(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接灰),CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和△?!£)£都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE^90°.连

接8。，CE.请直接写出的值.

(3)【拓展提升】如图3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZAZ)£=90°,且嚼=券

BCDE

=-.连接8。，CE.

4

①求穿的值；

CE

②延长CE交3。于点忆交于点G.求sin/BFC的值.

【答案】(1)见解析

⑵手

(3)①|；®1

【解析】

【分析】

(1)证明从而得出结论；

(2)证明ABADs进而得出结果；

(3)①先证明△ABCs^AQE,再证得△CAESABAD,进而得出结果；

②在①的基础上得出NACE=NAB。，进而N2FC=NA4C,进一步得出结果.

(1)

证明：:△ABC和△AOE都是等边三角形，

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

：.ZDAE-ZBAE=ABAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

.'.△BAD经ACAE(SAS),

:.BD=CE；

(2)

解：・・・△?15c和后都是等腰直角三角形,

嘤=泮专，ZDAE=ZBAC=45°,

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAEf

：.ABAD^ACAE,

BD_AB_1_V2,

''CE~AC~y[2~2'

(3)

解：①第=祟=3^ABC=ZADE=90°,

：.AABC^AAD£,

：.ZBAC=ZDAE,-=—=

ACAE5

：.ZCAE=ZBAD,

：.ACAE^/\BAD,

.BD_AD_3

''CE~AE~5；

②由①得：△CAE^ABAD,

：.ZACE=/ABD,

NAGC=/BGF,

：.ZBFC=ZBAC,

nr4

sinZBFC=—=

AC5

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识,

解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.

5.(2022・广西・中考真题)已知NMON=a,点A,8分别在射线。M,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

(1)如图①，若a=90。，取AB中点。，点A,8运动时，点。也随之运动，点A,B,。的

对应点分别为连接。。,。》.判断。。与。。有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点。与点C的最

大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,2运动到什么位置时，△408的面积最大?请说明理由，并

求出△力。B面积的最大值.

【答案】(1)。。=0D',证明见解析

(2)373+3

(3)当。4=。8时，△408的面积最大；理由见解析，AAOB面积的最大值为9a+9

【解析】

【分析】

(1)根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD'^A'B',进而得出结论；

(2)作AAOB的外接圆1,连接C/并延长，分别交。/于O,和D,当O运动到。时，OC

最大，求出CD和等边三角形A。方上的高07),进而求得结果；

(3)作等腰直角三角形A/2,以/为圆心，A/为半径作。/,取的中点C,连接C/并延

长交。/于O,此时AAOB的面积最大，进一步求得结果.

(3)以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形4BC,连接0C交A3于点T,在0T上取点

E,使OE=BE,连接BE,由(2)可知，当。时，0C最大,当。4=0B时，此时0T

最大，即AAOB的面积最大，由勾股定理等进行求解即可.

(1)

解：0D=0»,证明如下：

/.AOB=a=90°,AB中点为D,

1

・•・OD=-AB,

2

D'为48'的中点，/.A,OB,=a=90°,

・•・0Df=-A'B',

2

VAB=A'B',

：.OD=OD'；

(2)

解：如图1,

作AAOB的外接圆/,连接C7并延长，分别交。/于。和

当。运动到。'时，OC最大，

此时AAOB是等边三角形，

：.B0'=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'=lAB+^-BO'=3+3y[3;

(3)

解：如图2,作等腰直角三角形A/B,以/为圆心，4为半径作。/,

图2

，A/=&8=3&,ZAOB=-ZAIB=45°,

22

则点。在。/上，取AB的中点C,连接C/并延长交。/于。，

此时AAOB的面积最大，

-1

•?OC=C/+OZ=|AB+3V2=3+3V2,

C.SLAOB^|X6X(3+3V2)=9+9V2.

【点睛】

本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟

练掌握“定弦对定角”的模型.

6.(2022•山东潍坊・中考真题)【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，

将甲绕点。顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,

并连接如图③所示，AB交H0于E,AC交0G于F,通过证明△OBE三△。4尸，可

得。E=OF.

请你证明：AG=BH.

H

【迁移应用】

延长G4分别交HO,H8所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明。G与的住置关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接H8,4G,

如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明4G与的藜量关系.

【答案】证明见解析；垂直；BH=WAG

【解析】

【分析】

证明AB。"三AAOG,即可得出结论；通过NB”O=NAG。，可以求出NDG”+NB”。+

^OHG=90°,得出结论4GIB“；证明ABOHs△力。G,得出丝="=渔，得出结论;

BHOB3

【详解】

证明：•・•AB=AC,AO1BC,

・•.OA=OB/AOB=90°,

•・•乙BOH+乙AOH=90°fL.AOG+乙AOH=90°,

・•.Z.BOH=Z-AOG,

•・•OH=OG,

**.△BOH=△AOG

AG=BH；

迁移应用：AG1BHf

证明：•・•ABOH公△ZOG,

Z.BHO=Z.AGO,

•••乙DGH+乙4G。=45°,

•••Z.DGH+乙BHO=45°,

•・•乙OHG=45°,

•••乙DGH+乙BHO+乙OHG=90°,

・•・乙HDG=90°,

・•・AG1BH；

拓展延伸：BH=V3AG.

证明：在Rt△408中，tan30°=—=

OB3

在HOG中，tan30°=—=^,

OH3

.OA_OG

••OB-OH9

由上一问题可知，（BOH=幺AOG,

△BOH〜△AOG,

.AGOAV3

..==—f

BHOB3

BH=43AG.

【点睛】

本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐

角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.

7.（2022・辽宁锦州•中考真题）在AABC中，AC=BC,点。在线段4B上，连接CD并延长

至点、E,使DE=CD,过点E作EF1AB,交直线4B于点F.

⑴如图1,若"CB=120°,请用等式表示4c与EF的数量关系：.

（2）如图2.若乙4cB=90。，完成以下问题：

①当点D,点、尸位于点A的异侧时，请用等式表示4C,4。。F之间的数量关系，并说明理由；

②当点。，点厂位于点A的同侧时，若。F=1,4。=3,请直接写出AC的长.

【答案】（l）EF=号2。

（2）®AD+DF=^AC-,②4/或2&;

【解析】

【分析】

（1）过点C作CGLAB于G,先证明△EDF94CDG,得到EF=CG,然后等腰三角形的

性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；

(2)①过点C作C7/，A3于//,与(1)同理，证明△瓦甲丝△88,然后证明AACH是

等腰直角三角形，即可得到结论；

②过点C作CGLA8于G,与(1)同理，得△EDF咨ACDG,然后得到△4CG是等腰直角

三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

(1)

解：过点C作CGLA8于G,如图，

"：EF1AB,

:.乙EFD=乙CGD=90°,

■:乙EDF=/-CDG,DE=CD,

:.AEDF学4CDG,

：.EF=CG；

:在△ABC中，AC=BC,Z.ACB=120°,

；.乙4=zB=|x(180°-120°)=30°,

1

ACG=-AC,

2

1

：.EF=^AC；

故答案为：EF=^AC-

(2)

解：①过点C作SLAB于X,如图，

与(1)同理，可证△应用丝△CD”，

：.DF=DH,

：.AD+DFAD+DH=AH,

在△ABC中，AC=BC,^ACB=90°,

.•.△ABC是等腰直角三角形，

：.^CAH=45°,

.••△AC”是等腰直角三角形，

：.AH=—AC,

2

-'•AD+DF=—AC;

2

②如图，过点C作CGLA8于G,

与（1）同理可证，△瓦/乌△COG,

：.DF=DG=1,

'：AD=3,

当点尸在点A、。之间时，有

•*»AG=1+3=4,

与①同理，可证AACG是等腰直角三角形,

"'•AC=^2AG=4>/2;

当点。在点A、尸之间时，如图：

：.AG=AD-DG=3-1=2,

与①同理，可证AACG是等腰直角三角形，

-"-AC=V2XG=2V2;

综合上述，线段4C的长为4/或2/.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角

形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得

到三角形全等.

8.（2022•北京•中考真题）在△力BC中，乙4。8=90。，。为△注8。内一点，连接80,DC,

延长DC到点E,使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点尸，使得CF=BC,连接4F,EF,若AF1EF,求证：BD1.AF；

(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2,^AB2=AE2+BD2,用等

式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)CD=CH-,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)先利用已知条件证明AFCE三△BCD(SAS)，得出NCFE=NCBD,推出EFIIBD,再由

AF1EF1即可证明B。1AF-,

(2)延长8C到点使CM=CB,连接先证AMEC三△BDC(SAS)，推出ME=BD,

通过等量代换得到4史=AE2+ME2,利用平行线的性质得出NBHE=^AEM=90°,利用

直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD=CH.

⑴

证明：在AFCE和ABC。中，

CE=CD

乙FCE=4BCD,

CF=CB

△FCE=A8CZ)(SAS)，

，乙CFE=ACBD,

：.EF||BD,

,：AF1EF,

：.BDLAF.

(2)

解：补全后的图形如图所示，CD=CH,证明如下：

A

—>M

使

延长5c到点CM=CB,连接AMf

V^ACB=90°,CM=CB,

：.AC垂直平分

：.AB=AM,

在△MEC和△BDC中，

CM=CB

乙MCE=乙BCD，

CE=CD

**•△MEC=△BDC（SAS），

・•・ME=BD,乙CME=LCBD,

9：AB2=AE2+BD2,

：.AM2=AE2+ME2,

：.乙AEM=90°,

VzCME=乙CBD,

：.BH||EM,

：.乙BHE=乙AEM=90°,即乙DUE=90°,

VCE=CD=-DE

2f

：.CH=-DE,

2

CD