浙江省温州市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

九年级（上）数学学科期中学能诊断卷

考生须知：

1.全卷共三大题，24小题，满分为120分.考试时间为120分钟，本次考试采

用闭卷形式.

2.全卷分为卷I（选择题）和卷H（非选择题）两部分，全部在答题卡上作

答.卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷H的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔

写在答题卡相应位置上.

3.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号.

4.本次考试不得使用计算器.

说明：本卷共有1大题，10小题，共30分.请用2B铅笔在答题卡上将你认为

正确的一个选项对应的小方框涂黑、涂满.

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是（）

2.二次函数＞+3的图象经过点（

A.（U）B.(1,4)C.(-13)D.(-1,-2)

3.“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为0.001”

这句话指的是（）

A.很有可能中一等奖1000张奖券中一定有一张是一等奖

C.可能中一等奖，但可能性不是很大D.1000个顾客中一定有一人中一等奖

4.小明在半径为6cm的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（）

A.24cmB.18cmC.13cmD.12cm

5.若二次函数y=/+2x-3的图象经过4-2,%），3（2,必）,C（3,%）三点,则（）

A.必＜%＜%B.y2＜y3＜JiC.必D.%＜弘＜%

试卷第1页，共6页

6.已知二次函数歹=办2+乐+。的图象如图所示，则

A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c<0

C.a<0,Z)>0,c<0D.a<0fb<0,c<0

7.如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架.图②是其截面示意图，。为圆形

框架的圆心，弦力8和前所围成的区域为种植区.已知/8=30,。。的半径为17,则种植

区的最大深度为（）

8.若抛物线了=--2》+3平移后经过原点，则抛物线经过了（）

A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位

C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位

9.如图，△4SC是。。的内接三角形，4B为。。的直径，S.AB=6.①以点A为圆心，

适当长为半径作弧，交4C,48于点D,E；②分别以点。，E为圆心，大于;的长

为半径作弧，两弧交于点尸；③作射线/P交。。于点尸，交3C于点G.若3G=2,贝lJCG=

8

5

试卷第2页，共6页

10.在平面直角坐标系中，如果点尸的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“美丽

点”.例如：点（1,T）,（-2,2）,（后-6）,…都是“美丽点”.若二次函数了=0尤2+3%+1

（"0）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当-2（x4加时，函数>1

（。70）的最小值为;，最大值为7,则加的取值范围是（）

A.m<--B.m>C.加D.--<m<\

2222

卷n

说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答

案写在答题卡的相应位置上.

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在。。中，A,B,D为。。上的点，ZAOB=52°,则-408的度数是

12.如图，在正方形N2C。中，分别以点B,。为圆心，以正方形的边长1为半径画弧，形

成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形A8C。内随机掷小石块，经过大

量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在0.6附近，则据此估计阴影部分的面积

为.

13.如图，若被击打的小球的飞行高度/?（单位：m）与飞行时间：（单位:s）之间的关系为

h=35t-5t2,则小球从飞出到落地所用时间为.

14.若。/的半径为5,圆心A的坐标是（1,2）,点尸的坐标是（5,4）,那么点尸在_____（填

试卷第3页，共6页

“圆内”“圆上”或“圆外”）.

15.抛物线了=”%-加）2+左（。＞0）经过（-3,6）,（5,6）两点，则关于x的不等式

a（^x—m+\y+k＜6的解集为.

16.如图是由两块完全相同的三角板组成的等腰三角形/3C,N8=30。，50=473＞将其

中一块三角板4DC绕着点A按顺时针方向旋转a（0W1W360。）得到△4DC.若

BC=472,则。=.

三、解答题（本题有8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤）

17.已知抛物线了=/+6x+5经过点（-1,0）,求该抛物线的函数表达式及顶点坐标.

18.某校开设了4门知识类拓展课程，每位同学都要选修其中的2门，课程的代号和名称如

下表所示，请完成下列问题：

课程代号ABCD

课程名称《趣味数学》《朝花文学社》《地理之窗》《物理与生活》

（1）用恰当的方法列举出小明选修2门课程所有可能的结果（用课程代号A,B,C,。表

示）.

⑵求小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的概率.

19.下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给

定网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹）

试卷第4页，共6页

(1)在图1中，△NBC的三个顶点均在格点上，请画出A/BC的外心。.

(2)在图2中，请画出//C2的角平分线CD,交。。于点。.

20.已知，在RtZk/8C中，z5=90°,两直角边8c的和为8,设8C=x.

(1)求RtA^SC的面积S关于x的函数表达式及的取值范围.

(2)当S=3.5时，求x的值.

21.如图，△NBC是。。的内接三角形，48是。。的直径，过点8作8。工交/C的延

长线于点。，点E在。。上，连接CE,ZCAE=ZD.

(1)求证：AC=CE.

(2)若NC48=25。，求的度数.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知8(0,2),C(l,-|J,点A在x轴正半轴上，且

OA=2OB,二次函数J=#+云("0)的图象经过点A,C.

⑴求二次函数的表达式.

⑵将该抛物线先向右平移机个单位，再向上平移〃个单位，此时顶点恰好落在线段上,

试卷第5页，共6页

求机与”的关系.

23.阅读材料

某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成.如图所示，其拱形为抛物线的一部分,

栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用5根立柱将横杆六等分加固，相

13

邻两根立柱间距y米，OC的长为1米.

O

问题解决

(1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式.

(2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到7根(将横杆八等分)，并保

持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长

度.

24.如图1,点A,B,C都在。。上，且/。平分NA4C,交。。于点。.

图1图2

(1)求证：△8。是等腰三角形.

⑵如图2,8c是。。的直径，与8c相交于点P.

①若CP=14,DP=10,求。。的半径.

②若L/C于点试探究线段C〃，AB,。〃之间的数量关系，并说明理由.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、

形状都不改变.要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.能否

构成旋转，解题的关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度.据此判断即可.

【详解】解：A.该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意；

B.该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意；

C.该图案不是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项符合题意；

D.该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意.

故选：C.

2.A

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出当x=l、x=-l时的V的值，比较即

可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键.

【详解】解：A、当x=l时，y=-l2+3=2,故二次函数y=f2+3的图象经过点(1,2),符

合题意；

B、当x=l时，y=-12+3=2,故二次函数了=-/+3的图象不经过点(1,4),不符合题意；

C、当x=-l时，y=-(-l)2+3=2,故二次函数了=-/+3的图象不经过点(-1,4),不符合

题意；

2

D、当x=-l时，y=-(-l)+3=2,故二次函数y=-x2+3的图象不经过点(-1,-2),不符

合题意；

故选：A.

3.C

【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根

据概率的意义去分析判断即可.

【详解】解：一等奖中奖概率为0.001,说明中一等奖的可能性为0.001,显然这个可能性很

小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误；

故选：C.

4.D

【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解.

答案第1页，共14页

【详解】解：；半径为6cm的圆，直径为12cm,

•・・在半径为6cm的圆中测量弦的长度，的取值范围是：0<48412,

，弦48的长度可以是12cm,不可能为24ctn、18cm、13cm.

故选：D.

5.A

【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握

二次函数的图像和性质是解题的关键；

根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=T,根据x>-l时，V随x

的增大而增大，即可得出答案.

【详解】解：,.,y=—+2x~3,

,图象的开口向上，对称轴是直线》=-二=-二=-1,

2a2x1

4（-2,弘）关于x=T的对称点是（0,必）,

,/0<2<3,

,%。2<%，

故选：A

6.C

【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b

的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判

断。与0的关系，由抛物线与歹轴的交点判断。与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与1轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象

中获取信息是解题的关键.

【详解】解：•・・抛物线开口方向向下，

.•・Q<0,

•・・抛物线对称轴位于>轴右侧，

•••。、b异号,

Z?>0,

,••抛物线与y轴交于负半轴，

。<o,

综上可知：”0,b>0,c<0,

答案第2页，共14页

故选：c.

7.D

【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交4B于点C,交

于点。，连接04,然后利用勾股定理求出C。，最终可求得。的长，根据垂径定理正确的

利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键.

【详解】解：如图，作OCL/3交4B于点C,交。。于点。，连接04

OC±AB

：.AC=BC=-AB=\5

2

"：AO=\1

：.CO=^OA2-AC2=V172-152=8

：.CD=OD-CO=n-S=9

则种植区的最大深度为9

故选：D.

8.B

【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把y=--2x+3化为顶点式，再根据每个选

项的平移情况得出对应的解析式，再把x=0代入进行计算，算出＞=0时，则平移后经过原

点，即可作答.

【详解】解：依题意，y=x。-2x+3=（xT『+2,

A、y=（无一I）?+2向上平移3个单位，得了=（x-l『+5,把x=0代入（0—I）。+5=6w0,不

经过原点，故该选项不符合题意；

B、y=（x_l『+2向下平移3个单位，得y=把x=0代入（0—1）2_]=0,经过原

点，故该选项符合题意；

答案第3页，共14页

C、y=(x-l『+2向左平移3个单位，得y=(x+2)2+5,把x=0代入(0+2)2+5=9片0,不

经过原点，故该选项不符合题意；

D、y=(x-l『+2向右平移3个单位，得y=(x-4y+5,把x=0代入(0-4)?+5=21*0,

不经过原点，故该选项不符合题意；

故选：B

9.B

【分析】作于G,贝IJ/B〃G=9O。，由作图可得：4P平分/C4B,由角平分线的

性质定理可得CG=G〃，设CG=GH=x,贝UBC=2G+CG=2+x,证明

得出丝=黑，即2=3,求出/C=3x，再由勾股定理计算即可得解•

ACABAC6

【详解】解：如图，作于G,则/B〃G=90。，

由作图可得：AP平分NCAB,

•・・48为OO的直径，

・・・NZC3=90。,

-GHLAB,

:.CG=GH,

设CG=G〃=x,则BC=3G+CG=2+x,

•・•/HBG=ZCBA,

I.ABHGS^BCA,

GHBGx2

•••——二——，nn即——=:

ACABAC6

・•.AC=3x,

由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2,

.-.（X+2）2+（3X）2=62,

o

解得：X=-BKX=-2（不符合题意，舍去）,

答案第4页，共14页

故选：B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定

理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

10.C

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解有且只有一个“美丽点”的含义，掌握二次函

数对称性，增减性的性质是解题的关键.

根据题意，有且只有一个“美丽点”，可得ax?+3x+l=-x,A=42-4tz=0,解得。=4,由

此可得函数了=（。-1）/+3工+1（。40）的开口向上，函数在对称轴处有最小值，把x=-2

代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得工=-2关于对称轴直线工=-；

的对称点为久=1,由此即可求解.

【详解】解：•••二次函数y=a/+3x+l（。N0）的图象上有且只有一个“美丽点”，

••・ax2+3x+1=-］，整理得，ax2+4x+1=0,

A=42—4。=0,

解得，〃=4,

331

二函数y=（a_1）x2+3x+］=3/+3x+］的对称轴为x=-=_2x（4-l）=~2）

图象的开口向上，函数有最小值，

...当x=_1■时，函数了=（a-lW+3x+l（。/0）的最小值为:，

当x=-2时，y=3x（-2）2+3x（-2）+1=7,即函数的最大值，

・•・x=-2关于对称轴直线x=■的对称点为％=1,

1,

・•・——<m<\,

2

故选：C.

11.26

【分析】本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可

得出答案.

【详解】解：:408=52。,

答案第5页，共14页

ZADB=-ZAOB=26°,

2

故答案为：26.

12.0.6

【分析】本题考查了用频率估算频数，解决本题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的

频率在某个固定位置左右摇摆，即可估算频数.

【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为lxlx0.6=0.6；

故答案为：0.6.

13.7s##7秒

【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.根据关系式，令力=0,求得t的值可

得飞行的时间.此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为。时的

情形，借助二次函数解决实际问题.

【详解】解：依题意,令力=0得35/-5/=0,即《35-5/）=0,

解得：，=0（舍去）或t=7,

即小球从飞出到落地所用的时间为7s.

故答案为：7s.

14.圆内

【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较

即可.熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键.

【详解】解:•••圆心A的坐标是（1,2）,点尸的坐标是（5,4）,04的半径为5,

•••AP=^（5-1）2+（4-2）2=2也<5,

•••点尸在圆内.

故答案为：圆内.

15.-4<x<4

【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的图象与性质，由题意得出将抛物线

y=a（x-m）2+左（。>0）向左平移一个单位得到抛物线y=a（x-"2+l『+左（。>°），从而得出

抛物线尸“x-机+l『+Ma>0）经过（-4,6）,（4,6）两点，结合二次函数的性质即可得

解.

答案第6页，共14页

【详解】解：・・・抛物线尸〃（%—加）2+左（。>0）经过（一3,6）,（5,6）两点，

・•・将抛物线歹=a（x-加7+左（。>0）向左平移一个单位得到抛物线歹=a（x-加+球+左（。〉0）,

・,・抛物线歹=”（x-加+1『+左（。>0）经过（一4,6）,（4,6）两点，

,・,。〉0,

.•・抛物线开口向上，

••・关于x的不等式a（x-m+l）2+k<6的解集为-4<x<4,

故答案为：-4W4.

16.30°或210°

【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，图形的旋转.根据题意得

BD=DC=2^/3,AD=2,AB=2AD=4,推出+AC^=台。〃再分两种情况讨论即可.

【详解】解：根据题意得，/B=/C=30°,BD=CD=；BC=2^,

ZADB=ZADC=90°,

AB=2AD,AB2=BD2+AD2,

.•.（2/0）2=3+（2@2,

解得：AD=2,负值舍去，

・•.AB=4,

：.AC=AC=AB=^,

•••BC'=4V2,

•••AB2+AC'2=r+42=32=（4收丫=BC'2,

为直角三角形，ABAC=90°,

：.AB1AC,

当"C'在4B右侧时，a=ABAC-90°=30°,

当NC'在AB左侧时，1=/B4。+90。=210。.

故答案为：30。或210。.

17.y=x2+6x+5,顶点坐标为（-3,-4）

【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标的计算，掌握待定系数法，

顶点坐标的计算方法是解题的关键.

答案第7页，共14页

将点(T,。)代入抛物线可得6=6,求出二次函数解析式，根据二次函数的对称轴可得顶点

坐标，由此即可求解.

【详解】解：将点(TO)代入(=，+8+5,得0=1-6+5,

解得6=6,

•••该抛物线的函数表达式是＞=/+6x+5,

•••抛物线的对称轴是-乡=-3,

2a

.,.将x=-3代入y=x2+6x+5,得y=-4,

抛物线的顶点坐标为(-3,-4).

18.⑴见解析

⑵：

【分析】本题考查的是用树状图法求概率.

(1)画出树状图即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》和

《朝花文学社》的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】(1)解：画树状图如下：

开始

ABCD

/T\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的选法；

(2)解：由(1)中树状图得：

共有12种等可能的结果，其中小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》

的结果有2种，

21

•••他们两人恰好选到同一门的概率为—

126

19.⑴见详解

(2)见详解

【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质作图即可求解;

(1)根据垂直平分线的性质，AC,N8的垂直平分线交点即是点O；

答案第8页，共14页

（2）根据角平分线的性质，找到荔的中点为点。，连接CD即为角平分线.

【详解】（1）解：根据题意，作图如下：

20.（1）S=-+4x,x的取值范围是0<x<8

（2）1或7

【分析】本题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键.

（1）由题意得出4B=8-x,再由三角形面积公式可得S=；（8-x）x,结合x>0,

8-x>0,即可得出x的取值范围；

（2）当S=3.5时，一LX2+4X=3.5,求解即可.

2

【详解】（1）解：•••两直角边AB,8c的和为8,设BC=x,

AB=8-x.

由三角形的面积公式，得S=；（8-x）x,即S=-；/+4无，

x>0,8-x>0,

0<x<8,

・•.S关于%的函数表达式是S=——X2+4x,x的取值范围是0<x<8.

答案第9页，共14页

1,

(2)解：当S=3.5时，一一X2+4X=3.5,

2

解得x=l或7.

21.(1)见解析

(2)50°

【分析】本题主要考查了圆周角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角

形内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解题关键.

(1)首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得N/C8=90。，进而可得/5CQ=90。，即有

ZCBD+ZD=90°,结合BDJ.AB,可得/CBQ+/CA4=90。，进一步可得,

然后根据NCA4=NE,/。£=/。可知/。E=/石，即可证明结论；

(2)首先确定/C以=65。，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知

/E=/ABC=65。，结合4C=CE易得/C/£=65。，然后根据三角形内角和定理求解即

可.

【详解】(1)证明：・・・/5是O。的直径，

NACB=90°,

ZBCD=90°,

；.NCBD+ND=9。。,

•・,BD_LAB,

："CBD+/CBA=9。。,

・•.ZD=ZCBA,

vZCBA=ZE,ZCAE=ZD,

・•.ZCAE=ZE,

：.AC=CE；

(2)解：•：/CAB=25。,ZACB=90°f

.-.ZC^=90°-25°=65°,

rAC=ACf

・•・NE=/4BC=65。,

-AC=CE,

・•.NCAE=65。,

•••/ACE=1SO°-ZCAE-ZE=50°.

答案第10页，共14页

12c

22.(1)=-x-2x

(2)W+2H=6

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握

以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)先求出/(4,0),再利用待定系数法求解即可；

(2)求出平移后得到抛物线y=-机厂-2+",得其顶点坐标是(2+m,-2+〃).待定

系数法求出直线N2的函数表达式是了=-+2.代入计算即可得解.

【详解】(1)解：••・8(。,2),OA=2OB,

OB-2,OA=4,

.-.^(4,0).

•••二次函数了="2+法伍/0)的图象经过点4(4,0),

',3

a+b=——

・•.J2,

16。+4b=0

解得,2,

b=-2

・•・二次函数的表达式是y=g--2x；

119

(2)解：抛物线夕=]/一2x可化为y=](x-2)~-2.

••・抛物线先向右平移加个单位，再向上平移”个单位，此时顶点恰好落在线段上，

・•・平移后得至U抛物线了=；口一2-〃?)2-2+〃，其顶点坐标是(2+见一2+〃).

设直线的函数表达式V=H+d,

将/(4,0),8(0,2)代入解析式可得：

I4Ki(2—U

d=2

解得：,1,

k=——

12

・,・直线AB的函数表达式是y=-；x+2.

答案第11页，共14页

—5(2+加)+2=-2+几,

•'-m+2n=6.

23.(l)y=|x2(答案不唯一)

⑵？米

【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函

数解析式的方法.在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰

当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

(1)先建立平面直角坐标系，得到根据待定系数法，设了=办2,代入即可得

解；

(2)设增加立柱后原A,B,C三点移动到4,B',C,