圆的有关性质（共38题）-2023年中考数学必刷题分类专练【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题23圆的有关性质（共38题）

选择题（共17小题）

I.（2022•包头）如图，AB,CD是。。的两条直径，£是劣弧筋的中点，连接8C,DE.若N/BC=22°,

A.22°B.32°C.34°D.44°

【分析】连接根据等腰三角形的性质求出NOC8,根据三角形内角和定理求出/8OC,进而求出/

COE,再根据圆心角定理计算即可.

【解析】连接OE,

；OC=OB,ZABC=22a,

：./OCB=/ABC=22°,

：.ZJ8OC=180°-22°X2=136°,

是劣弧前的中点，

二癌=前，

...NCOE=JLX136°=68°,

2

由圆周角定理得：NCDE=工/COE=1又68°=34°,

22

故选：C.

2.（2022•宜昌）如图，四边形/BCD内接于。0,连接03,OD,BD,若/C=110°,则（）

【分析】根据圆内接四边形的性质，可以得到//的度数，再根据圆周角和圆心角的关系，可以得到/

80。的度数，然后根据。8=。。，即可得到NO8。的度数.

【解析】：四边形4BCD是圆内接四边形，ZC=110°,

/.ZA=10°,

VZBOD=2ZA=140°,

；0B=0D,

：.ZOBD=ZODB,

'：Z0BD+ZODB+ZBOD=180°,

：.NOBD=20°,

故选：B.

3.（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的

工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的/、8、£三

个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及N、8、£三点的截面示意图，已知的直径

就是铁球的直径，48是。。的弦，。切于点ACLCD.BDLCD,若CD=16cm,4C=BD=

4cm,则这种铁球的直径为（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【分析】连接OE,交4B于点、F,连接。4,CD、3D，CD,由矩形的判断方法得出四边形NCD3

是矩形，得出4B〃CD,AB=CD=16cm,由切线的性质得出OELCD,得出0EL4B,得出四边形

是矩形，4F=LB=JLX16=8（cm）,进而得出斯=AD=4cm,设。。的半径为rem,则OA=rcm,

22

OF=OE-EF=(r-4)cm,由勾股定理得出方程/=82+(r-4)2,解方程即可求出半径，继而求出

这种铁球的直径.

【解析】如图，连接交于点巴连接。4,

\'AC±CD.BDLCD,

J.AC//BD,

,：AC=BD=4cm,

四边形/CDS是平行四边形，

四边形NCD3是矩形，

C.AB//CD,AB=CD=16cm,

切OO于点E,

J.OELCD,

：.OELAB,

...四边形砂3。是矩形，/尸=」48=JLX16=8(cm),

22

EF=BD=4cm,

设。。的半径为％m，则04=%冽，OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtAUO尸中，。/2=/尸+0尸，

"=82+(r-4)2,

解得：r=10,

这种铁球的直径为20cm,

故选：C.

4.(2022•台湾)如图，N8为圆。的一弦，且C点在上.若NC=6,BC=2,N8的弦心距为3,则OC

的长度为何？()

A

【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知。。=3,然后根据勾股定理可以求得OC的

长.

【解析】作。于点。，如图所示，

由题意可知：AC=6,BC=2,OD=3,

.".AB=8,

；.4D=BD=4,

；.CD=2,

；•℃=7OD2-K；D2=V32+22=^13，

5.（2022•山西）如图，△48C内接于OO,是。。的直径，若/B=20°,则/C4D的度数是（）

【分析】连接3D,根据直径所对的圆周角是直角可得//8。=90°,从而可求出/C2D的度数，然后

利用同弧所对的圆周角相等即可解答.

【解析】连接友）,

9：AD是。。的直径，

AZABD=90°,

VZABC=20°,

：・/CBD=/ABD-/ABC=70°,

：.ZCAD=ZCBD=70°,

故选：C.

6.（2022•广元）如图，N8是。。的直径，（:、。是上的两点，若/C48=65°,则/ADC的度数为

D

【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定NZC8=90°,然后根据NC/8=65°求得的度

数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可.

【解析】・・・45是直径,

AZACB=90°，

•・・NC45=65°，

：.ZABC=90°-ZCAB=25°，

NADC=NABC=25

故选：A.

7.（2022•嘉兴）如图，在中，N3OC=130°,点/在施上，则NA4C的度数为（）

【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出NA4c的度数.

【解析】•••/BOCnUO。，点/在俞上，

AZBAC^XzBOC=l.x130°=65。，

故选：B.

8.（2022•陕西）如图，△48C内接于O。，ZC=46°,连接CM,则/。/5=（）

【分析】根据圆周角定理可得N/02的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求

解.

ZAOB=2ZC=92°，

•：OA=OB,

-92°=44。.

2

故选：A.

9.（2022•株洲）如图所示，等边△45C的顶点4在。。上，边AB、/C与。。分别交于点。、E,点F是

劣弧在上一点，且与。、E不重合，连接。b、EF,则/。它E的度数为（）

【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△4BC的每一个内角是60°,求出NEED=120。.

【解析】四边形EFD4是O。内接四边形，

...NEFD+N/=180°,

•.•等边A/BC的顶点A在。O上，

AZA=60°,

...NEFD=120°,

故选：C.

10.（2022•泰安）如图，N2是。。的直径，ZACD^ZCAB,40=2,NC=4,则。。的半径为（）

【分析】根据圆周角定理及推论解答即可.

【解析】连接CO并延长CO交O。于点£,连接NE,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

丁NACD=NCAB,

：./ACD=/ACO,

：.AE=AD=2,

・・,CE是直径，

AZEAC=90°,

在RtZ^EZC中，AE=2,AC=4,

:取=盾1:2疾,

・・・o。的半径为遥.

故选：D.

A

11.（2022•温州）如图，AB,4c是。。的两条弦，于点。，于点E,连结。5,OC.若

ZDOE=130°,则N5OC的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得N氏4。=50°,再根据圆周角定理得到N5OC=2NBZC,

进而可以得到答案.

【解析】9：ODLAB,OELAC,

：.ZADO=90°,ZAEO=90°,

VZDOE=UO°,

NA4c=360°-90°-90°-130°=50°，

：.ZBOC=2ZBAC=100°,

故选：B.

12.（2022•滨州）如图，在。。中，弦N8、CD相交于点P.若//=48°,ZAPD=80°,则48的大小

为（）

B

【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出N3的度数.

【解析】ZA—48°,

-48°,

VZAPD=S0°,ZAPD=ZB+ZD,

：.ZB=ZAPD-ZZ>=80°-48°=32°,

故选：A.

13.（2022•泸州）如图，N3是O。的直径，垂直于弦/C于点D,。。的延长线交O。于点£若/C=

4M,DE=4,则8C的长是（）

【分析】由垂径定理可知，点。是NC的中点，则。。是△NBC的中位线，所以OD=」JC,设

x,则8C=2x,则。E=4-x,AB=2OE=8-2x,在RtZX/BC中，由勾股定理可得/82=NC2+8C2,即

(8-2x)2=(472)2+(2x)2,求出x的值即可得出结论.

【解析】是。。的直径，

.\ZC=90°,

'JODLAC,

...点。是/C的中点，

；.OD是△NBC的中位线，

：.OD//BC,且OD=』2C,

2

设OD=x,则8C=2x,

•；DE=4,

.\OE=4-x,

:・AB=2OE=8-2x,

在RtZ\4BC中，由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

：.(8-2x)2=(4我)2+⑵)2,

解得x=l.

:・BC=2x=2.

故选：C.

14.Q022•安徽)已知O。的半径为7,45是。。的弦，点尸在弦AB上.若加=4,依=6,则0P=()

A.A/14B.4C.V23D.5

【分析】过点。作OCU48于点C,连接。8,根据垂径定理可得/C=8C=5,所以PC=P8-3C=1,

根据勾股定理即可解决问题.

【解析】如图，过点。作OCLN8于点C,连接。8,

则05=7,

"：PA=4,尸8=6,

.\AB^PA+PB^10,

'：OC1.AB,

；.4C=BC=5,

：.PC=PB-BC=\,

在Rt^OBC中，根据勾股定理得：

OC2^OB2-5C2=72-52=24,

在Rt^OPC中，根据勾股定理得：

=22

°PVOC+PC=V24+I=5，

故选：D.

15.(2022•自贡)如图，四边形/5CO内接于。。N8是。。的直径，ZABD=20°,则/BCD的度数是

()

A.90°B.100°C.110°D.120°

【分析】方法一:根据圆周角定理可以得到的度数，再根据三角形内角和可以求得的度数,

然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到N8CD的度数.

方法二：根据是。。的直径，可以得到//。8=90°,再根据/N3D=20°和三角形内角和，可以得

到//的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到/BCD的度数.

【解析】方法一：连接8,如图所示，

VZABD=20°,

ZAOD^40°,

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

'：ZOAD+ZODA+ZAOD=1SO°,

：.ZOAD=ZODA=70°,

:四边形/BCD是圆内接四边形，

：.ZOAD+ZBCD=1SO°,

/.ZBCD=110°,

故选：C.

方法二：•・,45是。。的直径，

:・/ADB=90°,

VZABD=20°,

・・・NZ=70°,

•・•四边形45CZ）是圆内接四边形,

AZA+ZBCD=1SO°,

：.ZBCD=110°,

故选：C.

16.（2022•南充）如图，为。。的直径，弦CZ）_L4B于点_L5C于点RZBOF=65°,则N/。。

【分析】先根据三角形的内角和定理可得N8=25°,由垂径定理得：AC=AD，最后由圆周角定理可得

结论.

【解析】9：OFLBC,

:・/BFO=9G°,

VZBOF=65°,

・・・NB=90°-65°=25°,

•.,弦CDL4B,为。。的直径,

•*-AC=AD，

/.ZAOD=2ZB=50°.

故选：C.

17.（2022•云南）如图，已知是的直径，CD是。。的弦，ABLCD,垂足为£.若/8=26,CD=

24,则/OCE的余弦值为（）

B

A.J—B.HC.J—D.H

13131212

【分析】利用垂径定理求得CE,利用余弦的定义在RtAOC£中解答即可.

【解析】是。。的直径，ABLCD,

：.CE=DE=X.CD=\2,

2

"：AB=26,

；.OC=13.

.,.COSNOCE=_21=J2.

0C13

故选:B.

二.填空题（共14小题）

18.（2022•内江）如图，在。。中，ZABC=50°,则N/OC等于100°

A

B

C

【分析】根据圆周角定理解答即可.

【解析】由圆周角定理得：ZAOC=2ZABC,

VZABC=50°,

：.ZAOC^100°,

故答案为：100°.

19.（2022•吉林）如图，在半径为1的。。上顺次取点/,B,C,D,E,连接N8,AE,OB,OC,OD,

OE.若/B4E=65°,/COD=70°,则束与施的长度之和为_冗_（结果保留TT）.

3

【分析】由圆周角定理可得N80E的大小，从而可得/2。。+/。。£的大小，进而求解.

【解析】'：ZBAE=65°,

：.ZBOE=-[3>0°,

：.ZBOC+ZDOE=ZBOE-ZCOD=60°,

/.宏+血的长度=3_X2nxi=_!打，

3603

故答案为：In.

3

20.（2022•雅安）如图，/DCE是。。内接四边形48CD的一个外角，若NDCE=72°,那么乙8。。的度

数为144°.

【分析】根据邻补角的概念求出N3CD,根据圆内接四边形的性质求出根据圆周角定理解答即

可.

【解析】,:乙DCE=7^,

：.Z5CD=180°-ZZ)C£'=108°,

;四边形48co内接于O。，

；.N/=180°-/BCD=72°,

由圆周角定理，得/3OD=2/N=144°,

故答案为：144°.

21.(2022•长沙)如图，/、B、C是O。上的点，0CL/2,垂足为点。，且。为0c的中点，若。/=7,

【分析】根据已知条件证得△/ODg△BCD(S/S),贝！］8C=O/=7.

【解析】'：OA=OC=1,且。为OC的中点，

：.OD=CD,

'：OCLAB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△40。和△BCD中，

'OD=CD

■ZADO=ZBDC

,AD=BD

.♦.△/O。g△BCD(SAS),

：.BC=OA=7.

故答案为：7.

22.(2022•永州)如图，是。。的直径，点C、。在。。上，/4DC=30°,则/3OC=120度.

c

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出

N/OC的度数，根据平角的定义即可得到/8OC=180°-/NOC的度数.

【解析】是筋所对的圆周角，

.•.NZOC=2NADC=2X30°=60°,

AZ5OC=180°-N/OC=180°-60°=120°.

故答案为：120.

23.（2022•随州）如图，点/,B,C在。。上，若乙48c=60：则//0C的度数为120°.

【解析】由圆周角定理得：ZAOC=2ZABC,

VZABC=60°,

：.120°,

故答案为：120°.

24.（2022•苏州）如图，48是。。的直径，弦CD交AB于点E,连接NC,AD.若N2/C=28°,则NZ>=

c

D

【分析】如图，连接3C,证明N4C2=90°,求出//BC,可得结论.

【解析】如图，连接8c.

；48是直径，

AZACB^90°,

：.ZABC=900-NCAB=62°,

/.ZD=ZABC=62°,

故答案为：62.

25.（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高48=20cw,底面直径8c=12C/M,球

的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

【分析】设球心为。，过。作。于“，连接O/,设球的半径为小加，由垂径定理得

1AD=6(cm)然后在RtZ\Q4M中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

2

【解析】如图，设球心为O,过。作于连接。4,

设球的半径为rem,

由题意得：AD=12cm,OM=32-20-r—(12-r)(cm),

由垂径定理得：AM=DM=^-AD=6(cm),

222

在中，由勾股定理得：AM+OM=OAf

即62+(12-r)2=凡

解得：尸=7.5,

即球的半径为75cm,

故答案为：7.5.

12cm

26.(2022•武威)如图，是四边形48CZ)的外接圆，若N45C=110°,则N(DC=70°

D_______

【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论.

【解析】,・•四边形内接于OO,ZABC=110°,

/.ZADC=180°-ZABC=180°-110°=70°，

故答案为：70.

27.（2022•湖州）如图，己知是O。的弦，乙4。8=120°,OCLAB,垂足为C,0c的延长线交O。

于点。.若是AD所对的圆周角，则//尸£＞的度数是30°

【分析】由垂径定理得出俞=而，由圆心角、弧、弦的关系定理得出进而得出

=60°,由圆周角定理得出N/P£»=L//OD=30°,得出答案.

【解析】-：OC±AB,

AAD=BD>

ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

ZAOD=ZBOD=^ZAOB=60°,

/.ZAPD=X.ZAOD=^Lx60°=30°,

22

故答案为：30°.

28.（2022•黑龙江）如图，在。。中，弦48垂直平分半径OC,垂足为D,若。。的半径为2,则弦48的

长为，百―.

【分析】连接。/,由垂直平分OC,求出OD的长，再利用垂径定理得到。为的中点，在直角

三角形NOD中，利用垂径定理求出的长，即可确定出N8的长.

【解析】连接。4,由48垂直平分。C,得到。。=工。。=1,

'：OCLAB,

:.D为AB的中点,

则AB=2AD=2{0/_皿2=2422_俨=2a.

故答案为：2/百.

29.（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦48长20厘米，弓形高CZ）

为2厘米，则镜面半径为厘米.

L。B

【分析】根据题意，弦长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半

径.

【解析】如图，点。是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC,则点C,点D,点。三点共线，

0

由题意可得：OC_L48,AC—^AB—10（厘米），

2

设镜面半径为X厘米，

由题意可得:x2—10^+（x-2）2,

••x~:26，

镜面半径为26厘米，

故答案为：26.

30.（2021•宁夏）如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，Z^£）C=150°,弦/C=2,则。。的半径等

于2.

B

【分析】连接OC,由圆内接四边形可求得NNBC的度数，由圆周角定理可得//OC=60°,即可

证得△O4C为等边三角形，进而可求解.

【解析】连接。4,0C,

.四边形43co是O。的内接四边形，

AZADC+ZABC=ISO°,

VZADC=150°,

：.ZABC=30°,

ZAOC=2ZABC=60Q,

'：OA=OC,

...△O/C为等边三角形，

.,.OA—AC—2,

即O。的半径为2.

故答案为：2.

31.（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28。纬线的长度.

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二如图2,赤道半径0/约为6400千米，弦BC〃OA,以3c为直径的圆的周长就是北纬28°纬线

的长度；

（参考数据：Tt^3,sin28°«0.47,cos28°^0.88,tan28°"0.53）

根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为33792千米.

图1图2

【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解.

【解析】作。KL8C,则/BKO=90°,

'：BC//OA,ZAOB=2S°,

VZB=ZAOB=2Sa,

在RtZXBOK中，02=0/=6400.

.,.8K=08Xcos8=6400X0.88~5632,

北纬28°的纬线长C=2ir8K

=2X3X5632

心33792（千米）.

故答案为：33792.

三.解答题（共7小题）

32.（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约有1400年

历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧

形，表示为源.桥的跨度（弧所对的弦长）/8=26加，设定所在圆的圆心为。，半径。CL48,垂足为

D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接。氏

（1）直接判断ND与BD的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

B

图1

图2

【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论;

（2）设主桥拱半径为尺，在Rt4。。中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

【解析】（1）'：OC±AB,

:.AD=BD；

（2）设主桥拱半径为尺，由题意可知/8=26,CD=5,

2

OD=OC-CD=R-5,

"：ZOBD=90°,

：.OD2+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=7?2,

解得R=19.4-19,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.

33.（2022•武汉）如图，以45为直径的。。经过△/3C的顶点C,AE,分别平分NB/C和N/2C,AE

的延长线交于点。，连接AD.

（1）判断△3DE的形状，并证明你的结论；

（2）若45=10,BE=2\T^,求3c的长.

【分析】（1）由角平分线的定义可知，NBAE=NCAD=NCBD,NABE=NEBC,所以N8ED=N

DBE,所以AD=ED,因为N8为直径，所以N4D8=90°,所以△BOE是等腰直角三角形.

(2)连接OC、CD、OD,OD交BC于点、F.因为NDBC=/C4D=NBAD=NBCD.所以3。=

DC.因为O3=OC.所以垂直平分8c.由△BDE是等腰直角三角形，8£=2近5，可得80=

275.因为08=00=5.设OF=t,贝尸=5-7.在尸和RtZ\8。尸中，52-z2=(2A/5)2-

(5-Z)2,解出/的值即可.

【解析】(1)为等腰直角三角形.理由如下：

,：AE平分/2/C,BE平分/48C,

NBAE=ZCAD=/CBD,ZABE=ZEBC.

'：ZBED=ZBAE+ZABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,

：./BED=ZDBE.

：.BD=ED.

'：AB为直径，

ZADB=90°

ABDE是等腰直角三角形.

另解：计算N/E2=135°也可以得证.

(2)解:连接。C、CD、OD,交8c于点E

；NDBC=NCAD=/BAD=ZBCD.

：.BD=DC.

"：OB=OC.

二。。垂直平分8C.

,.,△BDE是等腰直角三角形，BE=2yflQ,

:.BD=2脏.

:/3=10,

：.OB=OD=5.

设。9=3则。/=5一.

在RtZ\3O尸和RtA8。尸中，52-於=(25/5)2_(5_2；

解得t=3,

；.BF=4.

：.BC=8.

另解：分别延长NC,30相交于点G.则△AffiG为等腰三角形，先计算/G=10,BG=4心AD=

34.（2022•怀化）如图，点N,B,C,。在。。上，AB=CD.

求证：（1）AC=BD；

（2）/\ABE^/\DCE.

【分析】（1）根据等式的性质可得：AC=BD，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；

（2）根据两角相等可证明两三角形相似.

【解析】证明：（1）VAB=CD.

•••AC=BD-

：.AC=BD；

（2）VZA=ZD,ZB=ZC,

：.AABEsADCE.

35.（2022•娄底）如图，以5c为边分别作菱形5CDE和菱形3CFG（点C,D,厂共线），动点/在以3c

为直径且处于菱形5CFG内的圆弧上，连接£尸交8c于点O.设/G=0.

（1）求证：无论。为何值，所与8C相互平分；并请直接写出使斯，8c成立的0值.

（2）当。=90°时，试给出tan/NBC的值，使得即垂直平分ZC,请说明理由.

F

F

【分析】（1）证明四边形。EG尸是平行四边形，可得结论；

（2）当tan//8C=2时，垂直平分线段/C.证明。J〃4C,可得结论.

【解析】（1）证明：•••四边形2CFG,四边形2CDE都是菱形，

：.CF//BG,CD//BE,CB=CF=CD=BG=BE,

,：D,C,厂共线，

：.G,B,E共线,

：.DF//EG,DF=GE,

四边形DEGF是平行四边形,

与3c互相平分.

当£F_LFG时，,:GF=BG=BE,

:.EG=2GF,

:.NGEF=3Q°,

.*.0=90°-30°=60°；

（2）解：当tan//5C=2时，跖垂直平分线段NC.

理由：如图（2）中，设4c交EF于点J.

F

E

•..四边形8CFG是菱形,

:・/G=/FCO=90。,

与互相平分，

：,O