山东省青岛市城阳区2023-2024学年高一年级上册期中联考数学试题（解析版）

2023-2024学年第一学期山东省青岛市城阳区期中联考试题

局一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1.已知全集0=区，，={*<%<6},5=（1,4）^则下图中阴影部分表示的集合为（）

A.1x|l<x<2}B.{x[l<x<2}C.{1,2}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据图确定阴影部分表示的集合为（A/A）'5,根据集合的补集以及交集运算，即可求得答案.

【详解】由图可知阴影部分表示的集合为（①4）]B,

而屯A={x|x<2或x26},故（dA）c5={x[l<x<2},

故选：A

2.函数/（x）='+6的定义域为（）

x—1

A.{x|0<x<l}B.{x|0Vx<l或%>1}

C.{x|O<x<l}D.{x|0<xvl或%>1}

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数解析式，列出函数有意义需满足的不等式，即可求得答案.

1/—x—1。0

【详解】由题意知/（#=——+«需满足〈八，得X20且XW1,

x-1[x>0

故函数/（力=,+«的定义域为{x|0<x<l或X>1},

x—1

故选：B

3

3.幕函数〃x）=/满足1</（2）<5,则a可能等于（）

A.1B.2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件得出关于a的不等式，验证即可.

33

【详解】幕函数=满足1<〃2）<5,则1<2°<1，

11.L3

当a=5时，\<22=丘<5,故A正确；

3

当。=2时，292二4〉一，故B错误；

2

a3

当。=3时，23二8〉一，故C错误；

2

当二=—1时，2-1=-<1,故D错误.

2

故选：A.

4.“函数/（力=/—益：+2023在（-8,1）上单调递减”是“a23”的（）

A,充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用二次函数的单调区间求出。的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】函数/（力=必—依+2023在（-8,1）上单调递减，则有•|21,解得。之2,

显然{a|a22}真包含{a\a>3},

所以“函数/（x）=f—◎+2023在（-叫1）上单调递减”是“a>3”的必要不充分条件.

故选：C

5.已知集合A=3依一1=0},5={2,3},若AoB,则实数a的取值集合为（）

【答案】D

【解析】

【分析】分a=0、awO两种情况讨论，分别确定集合A,即可求出参数”的集合.

【详解】因为A={无依-1=0},3={2,3}且AoB,

当。=0时A=0,符合题意；

当awO时A又A08,所以工=2或1=3,解得。=工或。=!，

Jaa23

综上可得实数〃的取值集合为

故选：D

6.十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数〃>2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"没有正整数

解”.经历三百多年，1995年数学家安德鲁・怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否

定为（）

A.对任意正整数〃>2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"都没有正整数解

B.对任意正整数〃>2,关于龙，y,z的方程x'+y7=z"至少存在一组正整数解

C.存在正整数“W2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

D,存在正整数〃>2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可知，

费马大定理的否定为“存在正整数〃>2,关于X,y,Z的方程+=z"至少存在一组正整数解"，故D

正确.

故选：D.

7.函数为偶函数，且对任意石,々耳。,”）（西/工2），都有以>o,则不等式

/（2x—4）</（2）的解集为（）

A.B.（7,3）C.（1,3）D,（l,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的条件，可得函数/(%)在［0,+8)上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得.

【详解】由任意/%2«°，+8)(工产工2)，都有""A"")>0,得函数“X)在［0,+8)上单调递

%一％2

增，

而函数”X)偶函数，则〃2x_4)<〃2)o/(|2x_4|)<〃2),

于|2x—4|<2,即|x—2|<1,贝I有—l<x—2<1,解得1<%<3,

所以不等式/(2x-4)</(2)的解集为(1,3).

故选：C

8.已知》1>0,">0,m2+3mn+2n2—m—n=Qy则—I—的最小值为()

mn

A.2+3后B.3+272C.40D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等式可得加+2〃=1,再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【详解】由/n>0,n>0,nr+3mn+2n2—m—n=0^得(〃z+”)(m+2〃-1)=。，

因此加+2〃=1,则L+,=("7+2〃)(工+1)=3+&+生23+2^^=3+20,

mnmnmn\mn

当且仅当也=‘，即根=及"时取等号，由,“，解得加==1-R2,

mn\m+2n=12

所以当m—1,72=1—92时，1取得最小值3+2A/5.

2mn

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数y(x)=JH，则()

A.7(%)的图象过(0,0)点B.7(%)的图象关于y轴对称

C.7(%)在(0,+")上单调递增D./(x)>0

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数的性质求解即可.

【详解】对于选项A,因为/(0)=0,所以/(%)的图象过(0,0)点，故A正确;

对于选项B,函数定义域为R,且〃-#=万习=胴=/(%)，所以“力为偶函数，图象关于y轴对

称，故B正确；

对于选项C,当x>0时，/(x)=«=。，根据幕函数性质可知，/(%)在(0，+。)上单调递增，故C

正确；

对于选项D,因为|x|20,所以/(x)=洞20,故D错误.

故选：ABC

10.若d>5>0,m>0,ceR,则()

rrco-b+cbb+mb

A.ac2>be2B.a2>ab>b1C.------->—D.-------->—

a+caa+ma

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、C,根据不等式的性质判断B,利用作差法判断D.

【详解】对于A：当c=0时比2=历2=。，故A错误；

对于B：因为3>/?>0,所以/>ab且ab>bz,所以故B正确;

对于C：当c=o时^h—+c=上h,故C错误;

a+ca

b+mba(b+m)-b^a+m)m(a-b)

对于D：因为-7\一

a+maaya+m)a^a+m)，

又a>b>0,m>0,所以a-/?〉。，a+m>0,

,b+mb八b-\-mb一»

所以--------->0,则------>一,故D正确；

a+maa+ma

故选：BD

11.已知关于x的不等式双2+x—2<o，贝ij()

A.若a=0,该不等式的解集为{x|x>2}

—1—J1+84

B.若a>0,该不等式的解集为\x——3---------<%<

2a

1—1一J1+8a—1+J1+8a

C.若——<a<0,该不等式的解集为xx<——\-----或X〉一；------

82a2a

、J

D.若a<-』，该不等式的解集为R

8

【答案】BD

【解析】

【分析】对于选项A,当。=0时，该不等式为一元一次不等式，直接求解可判断选项A错误；对于选项B、

C、D,该不等式为一元二次不等式，借助二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系可以求解

判断

【详解】对于选项A,当。=0时，不等式为1—2<0,解得x<2,

所以不等式的解集为卜上<2},故选项A错误；

对于选项B,当。>0时，有A=l+8a>0,

方程q2+x—2=0的两个不相等实数根分别为%,=ja+8a,%,=T+Jl+8。,且占<%,

2a一2a

所以不等式的解集为-1一'1+8"<X<T+，+8”,故选项B正确；

2a2a

对于选项C,当一，<a<0时，有A=l+8a>0,

8

方程q2+x—2=0的两个不相等实数根分别为X,=j&+8a,X,=T+Jl+8。,且石〉马，

2a一2a

所以不等式的解集为X<T或x〉-1-V1+8Q|,故选项c错误；

2a2aJ

对于选项D,当。<-，时，有A=l+8a<0,所以不等式的解集为R,故选项D正确.

故选：BD.

12.己知定义在R上的函数“可满足：f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，/(%)>1,则()

A./(O)=lB./(%)为奇函数

C.V%eR,/(x)>0D.是R上增函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】由赋值法取x=y=0,判断A；取特殊值，结合奇函数性质可判断B；由已知可推出

/U)=f2^|j^O,反证法说明不可能等于0,判断C；根据单调性定义结合已知等式可判断D.

【详解】对于A,取x=y=0,则/⑼=尸⑼，则/⑼=0或/⑼=1,

若/(0)=0,则对于任意的尤>0,有/(x)=/(x+0)=/(x)/(0)=0,

这与x>0时，/(可>1不符，故"0)=1,A正确;

对于B,取x=l,y=-l,则/(0)=/⑴/(—1)=1,

若/(%)为奇函数，则/(一1)=一/⑴，则/⑴/(—1)40,

这与/⑴/(T)=l矛盾，故不是奇函数，B错误；

对于C,对于任意的xeR,有=+=

若存在后eR,使得〃/)=0,则/(0)=/(/_*=/(/)/(_/)=0,

与"0)=1矛盾，故VxeR,/(%)>0,C正确；

对于D,取石，4eR,XI〉％,则/(为)一/(%)=/01-苫2+%)-/(々)

=/(王一々)/(々)一/(%)=(/(石一々)一1)/(々)，

因为%-%>0,故/(王-工2)>1，即/(玉一马)-1>。，而/(尤2)>°，

故/(%)-/(戈2)〉0，即/(西)〉/(工2)，故"％)是R上增函数，D正确，

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规定：

(1)5km以内(含5km),票价2元；

(2)5km以上，每增加5km,票价增加1元(不足5km的按5km算).

如果某条线路总里程为20km,设票价为7(%)(元)，乘客的里程为x(km),则/(16)=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据题意写出函数解析式即可求解

2,0<x<5

3,5<x<10

【详解】/(X)=,,所以/(16)=5

4,10<x<15

5,15<x<20

故答案为：5

14.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道

半径/（单位：cm）的四次方成正比.若气体在半径为2cm的管道中，流量速率为320cm3/s，当该气体

通过半径为3cm的管道时，其流量速率为

【答案】1620

【解析】

【分析】可设丫=方4伏。。），代入（2,320）求出左的值，最后代入计算可得.

【详解】依题意可设v=Q4（左wo）,则左义2,=320,解得左=20,

所以v=20/,当r=3时v=20x34=1620（cn?/s）.

故答案为：1620

fx3,x>0

15.已知函数/（x）=,若/（X）图象上存在两点关于y轴对称，写出一对这样的点的坐标

------,x<0

[8

【分析】通过解方程求得正确答案.

【详解】设x>0,则一九<0,

依题意，/（%）=f（-%）,即三=与，（2%）3=岳,（2%）6=2%,

£1

故答案为:

258

16.计算：765-763=.(保留小数点后两位)

【答案】0.13

【解析】

2,——,——

【分析】将式子变形为相+而，再对屈+而估计即可得解.

【详解】由题意，病一病=而:对'

因为(每+V63)2=128+2^(64+l)x(64-1)<128+27647=256，

所以病+病<16，

又82<65端

<63,所以15.9〈底+病,

所以0.125<1—2~-=<0.126,所以^一^i=I—2~-==a0.13

V65+V63V65+V63

故答案为:0.13.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知集合4=卜卜2-5x-14<o],B=^x\a<x<3a-2^.

(1)若a=4,求AcB;

(2)若=求实数〃的取值范围.

【答案】(1)AnB={x|4<x<7}

(2)(-8,3)

【解析】

【分析】(1)根据题意求集合A,3,结合交集运算求解；

(2)根据题意可知：B^A,分5=0和3工0两种情况，结合包含关系运算求解.

【小问1详解】

由题意得，集合4={%卜2<%<7},

当a=4时，B={x|4<x<10},

所以Ac5={x[4<x<7}.

【小问2详解】

因为ADJ?=A，所以B=

当5=0时，a>3a-2,即av1时，满足BgA；

a>\

当_8N0时，即时，由B=得<—2<。,解得1<〃<3；

7>3cl—2

综上，实数a的取值范围是(3,3)

18.已知定义域为{xeR|"O}的偶函数满足：当x>0时，/(%)=P且〃T)=2.

(1)求〃尤)的解析式；

(2)用单调性的定义证明：/(%)在(1,内)上单调递增.

x+-,x>0

x

【答案】(1)/(%)=<

—x—,x<0

X

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据偶函数的性质求解析式;

(2)根据单调性的定义证明.

【小问1详解】

由题知，/(—l)=/(l)=l+a=2,解得a=l,

设x<0,则-x>0,所以/(x)=/(—x)=—x——,

X

XH--,X>0,

所以〃X)=:

—x—,x<0.

【小问2详解】

设1<%</，

则/(%1)-/(%2)=x]-x2+——--=x,-x2-~"=(X]—&)1———

因为1<再<犬2，所以占一元2<0，玉％2>1，。<----<1，1------>。，

所以/（七）一/（/）<0,/（%）</（%）,

所以，"X）在（I,+8）上单调递增.

炉+4

19.已知函数/（犬）=三士t.

（1）若x>0,求"％）的最小值；

（2）若xwO,求"⑺（6-f）的最大值.

【答案】（1）4（2）25

【解析】

【分析】（1）（2）利用基本不等式计算可得；

【小问1详解】

Y244I4-

因为x>0,所以〃力=^^=》+二22卜:=4,

当且仅当x=3,即x=2时取等号，所以了（%）的最小值为4.

X

【小问2详解】

__|2

因为xwO,所以#（x）（6—x2）=（4+x?）（6—*2）<（4+x）；（6=25,

当且仅当4+V=6—V，即X=±1时取等号，

所以r（司（6—的最大值为25.

20.己知函数/（X）=犬+2卜一同（。>。）-

（1）若a=l,对任意的X］,we［—L1］都有/（石）—/（%2）W左成立，求实数上的最小值；

（2）存在不相等的实数均，/使得/（石）=/（々）成立，求正实数a的取值范围.

【答案】（1）4（2）0<o<l

【解析】

【分析】⑴转化为““侬―/（力.（左成立即可，再利用％目—1』时“X）的单调性可得答案;

（2）转化为“％）在［-U］不单调即可，再分aNl、0<a<l讨论可得答案.

【小问1详解】

由题意可得，只需满足“力1mx—/(X)疝n4左成立即可，

又因为，当时，/(尤)=尤2+2卜一1］=x?-2x+2=(x-l)-+1,

所以〃力在［—1,1］上单调递减，

所以〃为心=〃-1)=5,/(比广/⑴=1，

可得上之/(x)-/(x).=4,

所以实数女的最小值为4；

【小问2详解】

由题意可得，若存在实数-，/€［—1，1］使得/(石)=/(々)成立，

则只需满足f(x)在［-1,1］不单调即可，

,x+2x-2a,x>a

又因/(%)=，

［X7-2x+2a,x<a

若a»l,则/'(%)在［T』上单调递减，不合题意，

若0<°<1,则〃尤)在［―1,可上单调递减，在上单调递增，符合题意，

所以实数。取值范围是0<a<L

21.已知函数/(%)满足/(力+2/(-力=一/一.

(1)求了(%)的解析式；

(2)已知函数y=o(x)的图象关于点P®6)成中心对称图形的充要条件是函数y=o(x+a)—b为奇函

数，据此结论求〃龙)图象的对称中心.

【答案】(1)/(X)=X3-3X2

(2)(1,-2)

【解析】

【分析】(1)根据题意构建方程组求函数解析式；

(2)根据题中对称性的性质结合奇函数的定义运算求解

【小问1详解】

由题可知：/(x)+2/(-x)=-x3-9x2,则/(一4)+2/(%)=%3一9%2,

解得了(%)=/一3%2=x2(x-3).

【小问2详解】

设图象的对称中心为(a,Z?),则函数g(%)=/(x+a)—b为奇函数，

因为g(;r)=/(x+a)-Z?=(x+a)2(x+a-3)-Z?

=%3+(3«-3)x2+(3a2-6a^x+a3-3a2—b,

又因为g(-x)=-g(x)，所以3(0-1)*+03-3。2-6=0对任意工£1^恒成立，

13(a—1)=0f«=l

则;"，八解得，c，

a-3a~-b=0=-2

所以〃％)图象的对称中心为点(L-2).

22.已知/(x)=J]+x-]-5.

(1)求了(%)的最大值；

(2)若关于尤的方程/(X)=加有两个不等实根，求实数机的取值范围；

111,

(