双曲线与方程讲义-2025届高三数学一轮复习

模块4双曲线与方程

§第1节双曲线的定义、标准方程及简单几何性质

一、内容提要

1.双曲线定义：设Fi，Fz是平面内的两个定点，若平面内的点P满足||PFi|—|PFz||=2a(0<

2a<IFiFzl),则点P的轨迹是以Fi，F?为焦点的双曲线.

2.双曲线的标准方程及简单几何性质

X2V2y2x2

标准方程亚一标=l(a>0,b>0)~2~7~2=l(a>0,b>0)

azbz

焦点坐标左焦点Fi(—c,0),右焦点Fz(c,0)上焦点Fi(0,c),下焦点F2(0,-C)

22

焦距|FIF2|=2c,其中c叫做半焦距，且c?=a+b

*w

图形J《•——

F万K

范围x<—a或x>a,yGRy<一a或y>a,xGR

对称性关于x轴、y轴、原点对称

实轴端点(顶点)(±a,0)(0,土a)

虚轴端点(0,±b)(±b,0)

实轴长2a,其中a叫做实半轴长

虚轴长2b,其中b叫做虚半轴长

ba

渐近线y=±-xy=±x

ab

c

e=-(e>1)

离心率a

双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为—.

3.a

二、考点题型

类型I:双曲线定义的运用

【例1】双曲线C:^—y2=l的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上，且|PF1|=6,则|PF2

【变式1】已知双曲线C:?-y2=l的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线/与双曲线C的右

支交于A,B两点，若|AB|=2,则AABFi的周长为.

【变式2】双曲线9一?=1的左焦点为F，A(l,2),P为双曲线右支上一点，则|PA|+|PF|的

最小值为.

【反思】可以发现，双曲线定义与椭圆运用思路类似，实际上大部分题目处理思路也相同，故要

类比学习.

【例2】已知点0(0,0),A(—2,0),B(2,0),设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3,4—x2图

象上的点，贝IJ|0P|=()

D4710

D.------C.V7D.V10

A号5

类型II:双曲线的标准方程及简单几何性质

【例3】若方程三=1表示双曲线，则实数m的取值范围为------------

22fm>0

【反思】对于方程二+t=1,若n>0则该方程表示椭圆；若mn<0,则该方程表示双曲线.

mn

ImHn

［例4］双曲线Ax2-y2=1的实轴长是虚轴长的2倍，贝IJ入=.

【例5】已知双曲线C:三一1=1,则C的右焦点的坐标为__________；点(4,0)到其渐近线的

63

距离是.

【反思】无论焦点在哪个坐标轴上，双曲线的渐近线都有个统一的求法：把标准方程中的“1”

换成“0"，反解出y即得渐近线的方程.例如本题将所给方程变为1-(=0,可反解出渐近

63

线y=±yX.

【变式】若双曲线马-昌=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为.

a2bz-------------------

【反思】离心率和渐近线斜率由a,b,c的比值决定，故在求它们的过程中，可对a,b,c按比

例赋值，不会影响结果.例如，本题也可由c=2a直接令a=l,c=2,于是b=Vc2—a2=W,

也得出

-a=V3

【例6】双曲线C与双曲线?—y2=1有相同的渐近线，且过点(2,2),则双曲线C的方程为

【反思】与双曲线捺―\=1色>1)/>0)共渐近线的双曲线可设为g-g=A(A^0)

§第2节双曲线的焦点三角形相关问题

一、内容提要

双曲线的焦点三角形问题常用双曲线的定义求解，但除定义外，可能还需结合图形（如等腰、

等边、直角三角形，矩形，平行四边形等）的几何性质才能求解问题，因此本节将归纳高考中

双曲线常见的图形和几何条件的处理思路.

二、考点题型

类型I：焦点三角形中的特殊图形

【例1】已知双曲线C:\-?=l（a>0）的左、右焦点分别为Fi,Fz，点P在双曲线C上，且

PFi1PF?,则△PF/?的面积为.

【反思】解析几何小题中对直角的常见翻译方法有：①勾股定理；②斜率之积为T;③向量数

量积等于0；④斜边上的中线等于斜边的一半等.选择合适的方法前应先预判计算量.

【变式】设F（c,0）是双曲线捻—仁=1缶>力>0）的右焦点，过原点。的直线与双曲线交于A,

B两点，且AF_LBF,且△ABF的周长为4a+2c,则该双曲线的离心率为（）

【反思】似曾相识吧？没错，椭圆也是类似的处理方法，再一次说明了两者解题的共性.

类型II：定义与中点相关

【例2】已知双曲线C。一总=l（a>0,b〉0）的左、右焦点分别为Fi，F2,过£的直线/交双

曲线C的右支于点P,以双曲线C的实轴为直径的圆与/相切，切点为H,若|FiP|=2|FiH|,则C

的离心率为（）

A.—B.V5C.2V5D.V13

2

【反思】当出现中点时，可往中位线方向思考，而原点0是FiFz的中点，常作为构造中位线的隐

藏条件.

【变式】设双曲线1的左焦点为F,P为双曲线右支上的一点,且PF与圆x2+y2=9相

切于点N,M为线段PF的中点，0为原点，贝.

类型ni：定义与解三角形相关

【例3】已知FI,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且NF1PF2=60。，|PFi|=3呷,贝！I

C的离心率为（)

A.CB.当C.V7D.V13

2

【变式1】已知双曲线马一弓=19>0,13>0）的左、右焦点分别为Fi，F,过F2的直线/交双

azbz2

曲线的右支于A、B两点，且|AB|=IAFJ,coszAFiB=则双曲线的离心率为（）

A.§B.V3C.2D.V5

2

【反思】从上面两道题可以看出，焦点三角形中的角度（非直角）类条件，常用余弦定理翻译成

a,b,c的方程，求离心率.

【变式2】双曲线C：m—^=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,Fz,过点F?的直线/与双曲

线C的右支交于A,B两点，且|BF/=|F1F2|,瓯=2印，则C的离心率为.

【变式3】设双曲线=l（a>0,b>0）的左、右焦点为Fi，F2,过F?的直线与双曲线的右

支交于A,B两点，AB中点为P,若|AB|=四干”|,^^隹人=45。则该双曲线的离心率为（）

A.V3B.6C.竽D等

【反思】在双曲线离心率问题中，若给出两条线段的比例关系，则可设其中一条线段的长，并尝

试将图形中的其它线段也用设的变量来表示，再结合双曲线的定义把它们转换成a,b,c,建

立方程求离心率.

类型IV：定义与几何性质综合

【例4】点F(c,O)为双曲线\—、=l(a>0,b>0)的右焦点，P为双曲线左支上一点，线段P

F与圆M:(x-j)2+y2=9相切于点Q,若员=2试则双曲线的离心率为.

【反思】①解析几何中遇到线段比例的条件，构造相似比是一个值得考虑的方向；②焦点三角

形PF1F2条件下求双曲线的离心率，若能分析三边比值关系，则可代公式e=”广弁来算.

【例5】我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”利用了双曲线的光学性质：如图1,Fi,Fz是双曲

线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P,经双曲线反射后，反射光线n的

反向延长线过F1；如图2,当P异于双曲线顶点时，双曲线在P处的切线平分NF1PF2,若双曲

线C的方程为三=1,则下列结论不正确的是()

916

A.射线n所在直线的斜率ke(-i)

B.当m，n时，|PF1|・|PF2|=32\0

C.当射线n过点Q(7,5)时，光线由Fz到P,再到Q经过的)二任

路程为13

D.若T(1,O),直线PT与C相切，则|PF2|=12

图1图2

§第3节双曲线渐近线相关问题

一、内容提要

圆锥曲线中，渐近线是双曲线独有的几何性质，相关考题较多，本节将归纳一些常见题型.

1.借助渐近线分析直线与双曲线的交点个数：

①当直线/过原点时，若其斜率ke（-co，-|]ug，+00）,则直线/与双曲线没有交点，如图

1;若ke（—则直线/与双曲线有两个关于原点对称的交点，如图2.

②当直线过双曲线内部定点P时,若其斜率k=±之即直线与渐近线平行,则直线与双曲线有1个

a

交点，如图3中的A和勿若ke（—P，P）,则直线与双曲线的两支各有1个交点，如图3中的/；

若ke（—00,-|）ug-+00）,则直线与双曲线的同支有2个交点，如图4中的/.

③当直线过双曲线外部定点P（不与原点重合）时，分析交点个数还需借助切线，如图5,。和〃

是与渐近线平行的直线，/2和/3是双曲线的两条切线，我们让直线/从。出发绕点P逆时针旋转,

恰好为时，与双曲线有1个交点；转到Z1和1之间时，与双曲线在同支有2个交点；恰好为

%时，与双曲线有1个交点；在"和b之间时，没有交点；恰好为b时，有1个交点；在13

和〃之间时，与双曲线在同支有2个交点；恰好为〃时，有1个交点；从继续转回。的过

程中，与双曲线在两支上各有1个交点.

2.渐近线的角度关系：如图6,双曲线的两条渐近线关于x轴、y轴对称，所以图6中左右两个

角相等，设为a,中间两个角也相等，设为口，且a+G三90。.

3.双曲线的两类特征三角形：

①如图7,设F为双曲线\—\=1缶＞0加＞0）的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足

为A,则在AA0F中，|AF|=b,|OA|=a,|OF|=c这个三角形有双曲线的全部特征参数，所

以把AAOF称为双曲线的“特征三角形”.由对称性，这样的特征三角形有4个.由于点A满

足|OA|=a，所以A在圆x2+y2=a2±,由0A，AF可得AF是该圆的切线，若要求点A的坐

r_b（x2=《2

标，可联立y=aX求得所以图7中点A的坐标为（匕，当.

lx2+y2=a2|/=警I。。）

②如图8,A为双曲线的右顶点，过A作x轴的垂线交一条渐近线于点B,则在AAOB中，|0A

|=a,|AB|=b,|OB|=c，这个三角形也有双曲线的全部特征，所以把AAOB称为双曲线的“特

征三角形”，由对称性，这样的特征三角形有4个.

二、考点题型

类型I:借助渐近线进行图形分析

【例1】记双曲线C:'—"=l(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

无公共点”的e的一个值________.

【变式】双曲线l(a>,b>0)的焦距为2c,Fi，F2为其左、右两个焦点，直线/经

过点(0,b)且斜率为1,若I上存在点P满足|PFi|-|PFz|=2b,则C的离心率的取值范围为()

A.(1V2B.(V2-V3)C.(l-V3)D.(V2-+00)

【反思】从上面两道题可以看出，涉及直线与双曲线的交点个数问题，常借助渐近线来分析临界

状态.

【例2】已知双曲线C:g-g=l(a>0,b>0),若直线x=-b与C的两条渐近线分别交于A,B

两点，0为原点，且加与质的夹角为60°,则C的离心率为()

A.2B-C.V3D.—

23

【变式1】已知双曲线C:\—、=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,以线段F1F2为直

径的圆与y轴的正半轴交于点B,连接FiB,F?B分别交双曲线的渐近线于点E,F,若四边形0

FBE为平行四边形，则C的离心率为.

【反思】①双曲线的两条渐近线分别关于x轴、y轴对称，由此可得到一些特殊的角度相等关系,

这也是渐近线最基础的几何性质；②两渐近线夹角为90。的双曲线是等轴双曲线，其离心率为

V2.

2

【变式21已知Pi(xi，yi),P2(x2，y2)两点均在双曲线「宏一丫2=l(a>0)的右支上，若

Xix2+yiy2>0恒成立，则a的取值范围是.

【反思】可以发现，本题我们又用到了通过判断数量积的正负来分析角度的锐钝这一方法.

【例3】已知F是双曲线C:\一A=l(a>0,b>0)的右焦点，点A是C的左顶点，0为原点,

过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若NPAF=30°,则C的离心率为.

【反思】上图中的APOF的三边长分别为a,b,c,我们把它叫做双曲线的一个“特征三角形”，

在后续的某些题目中，熟悉这一结论，可以迅速发现图形中的一些几何关系.

【变式1］已知双曲线C:\—2=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi,Fz，过F1的直线与C

的两条渐近线分别交于A,B两点，若用=E曰印=0,则C的离心率为.

【变式2】已知双曲线E:||T=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi,Fz,圆0。2+丫2=22与

E的一条渐近线的一个交点为M,若|MF2|=^^^2|,则E的离心率为()

A.V2B.V3C.V5D.V6

【变式3】已知双曲线C:\—\=l(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在C的一条

渐近线上，且FBLB0,0为原点，直线FB与y轴交于点D,若直线AB过线段0D的中点，则C

的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

【总结】由例3及其变式可发现,渐近线中对于几何条件的翻译和做法,与前面小节大同小异.

类型II：渐近线相关的综合运算

［例4］已知双曲线=l(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且与x轴垂直的直线/与双曲

线交于A,B两点，交双曲线的渐近线于C,D两点，|CD|=V^|AB|,则双曲线的离心率为.

【例5】已知双曲线接一"=l(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为蒋的直线交双曲线

于点A(xi，yQ,交双曲线的渐近线于点B(X2)丫2),且xt<0<x2,若|FB|=3|FA|,则双曲线

的离心率是.

【总结】从上面两道题可以看出，渐近线有关问题，若不便从几何角度分析，也可用其方程参与

运算，按代数的方法来求解问题，但这样做计算量往往更大一些，为次选方案.

§第4节高考中双曲线常用的二级结论

一、内容提要

解析几何中存在无数的二级结论，本节筛选出了一些在高考中比较常用的双曲线二级结论,

记住这些结论可适当缩短解题时间.

1.焦点三角形面积公式：如图1,设P是双曲线三一弓=l(a>0,b>0)上一点，Fi

a2b2

h2

(-C-0),F2(C-0)分别是双曲线的左、右焦点，ZT1PF2=e,则SAPF#2=c|yp|=

tan-

证明：一方面，APF1F2的边F1F2上的高h=|yp|,所以SAPFF2=之下#21-h=?2c-|yp|=

c|yP|;另一方面，记|PFi|=m,|PFz|=n，则|m-n|=2a①，

22

在△PF1F2中，由余弦定理，IF1F2F=IPFil+|PF2|-2|PF/•IPF2I•cos/FiPF2,

所以4c2=m2+n2-2mncos0=(m—n)2+2mn—2mncos0=(m—n)2+2mn(l—cos。,)②,

将式①代入式②可得：4c2=4a2+2mn(l一cos。)所以m=J：-■=2b

、'2(l-cos0)l-cos0

2b2rsin02sin-cos-2

SAPF=1mnsin0=1■sine=b2.^^-=bQ2.—b

故F12~~e

l-cos0l-cos02sin2^tan-

2-基于双曲线第三定义的斜率积结论：如上图2,设A,B分别是双曲线g-g=l(a>O,b

>0)的左、右顶点，P是双曲线上不与A,B重合的任意一点，则kPA-kPB=

注：上述结论中A,B是双曲线的左、右顶点，可将其推广为双曲线上关于原点对称的任

意两点，如上图3,只要直线PA,PB的斜率都存在，就仍然满足kpA-kpB=?下面给出证明.

证明：设A(xi，y),P(X2-y2),则B(-xx--y。所以kpA•kpB=纪工•出地=室弯①,

X2—X]X2-X]x2—X]

因为点A在双曲线上，所以—'=1,故y/=b2值—1)=家x/—a2),同理，y2=

22

捺(X：一a2),所以yi-(x^-a-xj+a)=(x；—x》,代入①得:kPA-kPB=^;

在上述条件中令A(-a,0),B(a,0),即得内容提要第2点的特殊情况下的结论.

3.中点弦斜率积结论：如图4,AB是双曲线\一2=19>0,1)>0)的一条不与坐标轴垂直且

不过原点的弦，M为AB中点，则kAB，koM=?此结论可用下面的点差法来证明•

期一在=1

证明：设A—，yi）,B（X2，丫2）­。X2,%Hy2,因为A,B都在双曲线上，所以,

9一鱼二i

Va2b2

两式作差得：亨一■=o,整理得：纥约―二号①，

zzz

abX]-X2Xi+x2a

注意到株=kAB，鬻=等=〜所以式①即为kAB-k0M=g

Xj—X2X1+X22XMXMa

注：中点弦结论和上面的第三定义斜率积结论的结果都是?这是巧合吗？不是，两者之间有必

然的联系.如上