人教版八年级数学重难点专项复习：（双）角平分线模型（解析版）

重难点04（双）角平分线模型

【知识梳理】

（双）角平分线模型

1.双内角平分线

产-----------

2.双外角平分线

4A

3.内角平分线+外角平分线

三角形三个内角的和等于180°

三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.

【考点剖析】

题型1.双内角平分线

例1.如图，△ABC中，和NC的平分线交于点O,若NA=70°,贝度.

【解答】解：如图，延长AO交于BC于点

1.,ZB和/C的平分线交于点O

ZACB=2Z2,ZABC=2Z1,

VZACB+ZABC+ZBAC=180°，

.,.2Z1+2Z2+ZBAC=18O°,

.*.Z1+Z2=(180°-ZBAC)4-2=(180°-70°)+2=55°.

'：ZBOD=Z1+ZBAO,ZDOC=Z2+ZOAC,

又；ZBAO+ZCAO=ZBAC,ZBOD+ZCOD=ZBOC,

：.ZBOC^Z1+Z2+ZBAC^55°+70°=125°.

故答案为：125.

例2.(2022秋•瑶海区期中)如图，在△ABC中，NABC与NACB的平分线交于点P,根据下列条件，求

ZBPC的度数.

(1)若NA=68°,则NBPC=°；

(2)从上述计算中，我们能发现：NBPC=(用含/A的式子表示)，并说明理由.

【解答】解：⑴1/ZA=68°,

/.ZABC+ZACB=1SO°-68°=112°,

：/ABC与NAC8的平分线交于点P,

：.ZPBC=1-ZABC,ZPCB=^ZACB,

22

AZPBC+ZPCB=^ZABC+^ZACB=^-(ZABC+ZACB)=Axil2°=56°,

2222

AZBPC=180°-56°=124°,

故答案为：124。；

(2)VZABC+ZACB=180°-ZA

由(1)得：NPBC+/PCB=L(ZABC+ZACB)=A(180°-/A)=90°--IzA

222

：.ZBPC=1SO°-CZPBC+ZPCB)=180°-(90°-AZA)=90°+^ZA

22

故答案为：90°+1ZA.

2

例3.如图，在△4BC中，/ABC与/ACB的平分线交于点/,根据下列条件求N8/C的度数，

(1)若/4BC=50°,ZACB=80°,则NB/C=；

(2)^ZABC+ZACB^116°,则N2/C=；

(3)若/A=56°,则/B/C=；

(4)若/B/C=100°,则/A=；

(5)通过以上计算，探索出您所发现规律：NA与4B/C之间的数量关系是

(2)ZICB+ZIBC^A(ZABC+ZACB)=58°,ZCZB=180°-58°=122°；

2

(3)ZABC+ZACB=1800-ZA=112°,ZICB+ZIBC=^-CZABC+ZACB)=56°,ZCZB=180°

2

-56°=118°；

(4)NICB+NIBC=18Q°-ZCIB=80°,ZABC+ZACB=2CZICB+ZIBC)=160°,ZA=180°-

CZABC+ZACB)=20"；

(5)ZB/C=180°-(NICB+NIBC)而NICB+NIBC=!(NABC+NACB)；ZABC+ZACB=ISO-Z

A所以NB/C=180°-A(180-ZA)=90°+^ZA.

22

例4.如图，在△ABC中，ZABC./ACB的平分线相交于点O.

(1)若NA8C=40°、ZACB=50°,则NBOC=；

(2)若乙4BC+/AC8=116°，则/BOC=；

(3)若NA=76°,则/BOC=；

(4)若/8OC=120°,则NA=；

(5)请写出/A与N8OC之间的数量关系(不必写出理由).

R

【解答】解：：在△ABC中，ZABC,NACB的平分线相交于点。，

ZOBC+N0C8=上(ZABC+ZACB),

2

(1)当NABC=40°、ZACB=50a时，

ZOBC+ZOCB^^X(400+50°)=45°,

2

.,.在△BOC中，ZB(9C=180°-CZOBC+ZOCB)=135°.

故答案是：135°；

(2)若/ABC+/ACB=116°,则N02C+/0CB=」X116°=58°,

2

.,.在△20C中，ZBOC=180°-CZOBC+ZOCB)=122°.

故答案是：122°；

(3)在△ABC中，ZA=76°,贝l|NABC+NACB=180°-76°=104°.

•.,在△ABC中，ZABC.NACB的平分线相交于点O,

：.ZOBC+ZOCB=-^-CZABC+ZACB)=52°,

2

...在△20C中，ZBOC=180°-(NOBC+/OCB)=128°.

故答案是：128°；

(4)若/BOC=120。，则/OBC+NOCB=60°,

•.•在△ABC中，NABC、NACB的平分线相交于点O,

ZABC+ZACB^2CZOBC+ZOCB)=120°,

.,.在△ABC中，ZA=180°-120°=60°.

故填：60°；

(5)设/80C=a,

：.ZOBC+OCB=180°-a,

'：ZOBC^^ZABC,ZOCB^^-ZACB,

22

AZABC+ZACB=2(NOBC+OCB)=2(180°-a)=360°-2a,

ZA=180°-(ABC+NACB)=180°-(360°-2a)=2a-180°,

故/BOC与/A之间的数量关系是：ZA=2ZBOC-180°.

故答案是：ZA=2ZBOC-180°.

题型2.双外角平分线

例5.(1)如图(1),在△ABC中，ZABC./ACB的平分线相交于点。，ZA=4Q°求/BOC的度数.

(2)如图(2),△4'B'C外角的平分线相交于点O',ZAZ=40°,求O'C的度数.

(3)由(1)、(2)可以发现NBOC与O'C有怎样的数量关系？设/A=/A'=n°,/BOC与

ZB'O'C是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？

【解答】解：(1)在△ABC中，/ABC、/4CB的平分线相交于点O,贝!I

Z1+Z2=AZABC+^ZACB=A(ZABC+ZACB)

222

=A(180°-NA)=Ax(180°-40°)=70°.

22

故N8OC=180°-70°=110°；

(2)因为NA的外角等于180°-40°=140°,

△A'B'C另外的两外角平分线相交于点O',

根据三角形的外角和等于360。，

所以N1+N2=2X(360°-140°)=110°,

2

ZB'O'C=180°-110°=70°；

(3)(1)(2)中/20C+/B'O'C=110°+70°=180°,；./BOC与/B'O'C互补;

证明：当时，ZBOC=180°-[(180°-n)+2]=90°+工”。，

2

VZAZ=n,ZB'O'C=180°-[360°-(180°-n)]4-2=90°-^-n,

2

/.ZA+ZA7=90°+^-n+90°--1°=180°,NBOC与O'C互补，

22

.,.当NA=NA'="°,NBOC与NB'O'C还具有互补的关系.

例6.（2022秋•八年级课时练习）如图1,△ABC的外角平分线交于点F.

（1）若/A=40。，则/F的度数为；

（2）如图2,过点F作直线MN〃BC,交AB,AC延长线于点M,N,若设/MFB=a,ZNFC=3，则/A

与a+B的数量关系是；

（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动.

①如图3,当直线MN与线段BC没有交点时，试探索/A与a,0之间的数量关系，并说明理由；

②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中NA与a,B之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说

明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系.

图1图2图3

【答案】（1）70。（2）a+^-1zA=90°（3）①见解析②不成立；夕一a-g/A=90。或

a-^-1zA=90°

【详解】解：（1）如图1,：NA=40。，

AZABC+ZACB=140",

ZDBC+ZECB=360°-140°=220°,

又二.△ABC的外角平分线交于点F,

/.ZFBC+ZFCB=y（ZDBC+ZECB）=J乂220。=110。，

.♦.△BCF中,ZF—180°-110°=70°,

故答案为：70。；

⑵如图2,VZABC+ZACB=180°-ZA,

.".ZDBC+ZECB=360°-(180°-/A)=180°+ZA,

又「△ABC的外角平分线交于点F,

；.NFBC+NFCB=；(ZDBC+ZECB)(180°+ZA)=90°+；NA,

.♦.△BCF中，ZBFC=180°-(90°+；NA)=90°-；NA,

又：NMFB=a,ZNFC=P，MN〃BC,

/FBC=a,NFCB=B，

「△BCF中，ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°,

.,.a+P+90°-1/A=180°,

即a+P-|NA=90。，

(3)①a+0-4NA=90。，理由如下：

如图3,由(2)可得，ZBFC=90°-1-ZA,

图3

,/ZMFB+ZNFC+ZBFC=180°,

；.a+B+90°-《ZA=180°,

即a+p-|NA=90。，

②当直线MN与线段BC有交点时，①中NA与a,B之间的数量关系不成立.

分两种情况：

图4

由(2)可得，/BFC=90。-J/A,

VZBFC-ZMFB+ZNFC=180°,

Z.90°-yZA-a+B=180°,

即B-a-yZA=90°；

图5

由(2)可得，ZBFC=90°-1ZA,

VZBFC-ZNFC+ZMFB=180°,

.*.90°-1ZA-P+a=180",

即a-0-：NA=90。；

综上所述，/A与a,B之间的数量关系为0-a-：NA=90。或a-B-：/A=90。.

题型3.内角平分线+外角平分线

例7.如图，在△ABC中，NA=a,NABC的平分线与NAC£）的平分线交于点4,得NAi,N4BC的平

分线与N4CZ）的平分线交于点A2,得NA2,…，/A2013BC的平分线与NA2013C。的平分线交于点&2014,

得NA2014CD,则/A2014=.

AZAiBC=^ZABC,ZAiCA=^ZACD,

22

,/ZAiCD=ZAi+ZAiBC,

即』NACD=ZAi+^ZABC,

22

ZAi=-l(ZACD-/ABC),

2

ZA+ZABC=ZACD,

：.ZA=ZACD-ZABC,

ZAi=—ZA,

2

ZA2=—ZAi=-^-ZA,

222

以此类推可知42。「揄4_a_

22014

。

故答案为:a

22014

例8.（2021秋•利辛县月考）（1）如图1,在△A8C中，平分/ABC,C尸平分/AC8,求证：ZP=90°

+1ZA；

2

（2）如图2,在△A8C中，8P平分/ABC,CP平分外角/ACE,猜想/P和/A有何数量关系，并证

明你的结论.

AA

，P

图1图2

【解答】(1)证明：ABC+NACB=180°,

ZABC+ZACB^180°-ZA,

：BP平分/ABC,CP平分/ACB,

：.ZPCB=^-/ACB,ZPBC=^/ABC,

22

.*.ZP=180°-(NPCB+NPBC)

二180。-A(ZACB+ZABC)

2

=180°-A(180°-ZA)

2

=90°+—/A-,

2

(2)猜想：ZP-|ZA

证明：VZACE=ZA+ZABC,

：.ZA=ZACE-ZABC,

'：ZPCE=ZP+ZPBC,

：.ZP=ZPCE-NPBC,

又"P平分/ABC,C尸平分NACE,

•••ZPBC=yZABC,ZPCE-|ZACE-

：.ZACE-/ABC

22

=A(ZACE-/ABC)

2

=L/A.

2

【过关检测】

一.选择题（共8小题）

1.（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为15,20,25,点。是△ABC

三条角平分线的交点，则S^ABO：SABCO：SAGA。等于()

【分析】过。点作0£＞，A8于。，OEL8C于E,。尸_LC4于尸，如图，利用角平分线的性质得到。。=

OE=OF,然后根据三角形面积公式得到S»BO：SABCO：SACAO^AB：BC-.AC.

【解答】解：过。点作OD_LAB于。，OE_LBC于E,OF_LCA于R如图，

•..点。是AABC三条角平分线的交点，

：.OD=OE=OF,

：.S^ABO：SABCO：SACAO=(—AB-OD)：(^OE-BC)：(^OF-AC)=AB：BC：AC=15：20：25=3：

222

4：5.

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形的面

积公式.

2.(2022秋•黄冈期中)如图，△ABC中，BO,CO分别是/ABC,/ACB的平分线，ZA=50°,贝!J/80C

等于()

A.110°B.115°C.120°D.130°

【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出N02C+N0CB的度数，再根据三角形的内角

和等于180°即可求出N80C的度数.

【解答】解：；14=50",

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-50°=130°,

'：BO,CO分另I」是/ABC,NACB的平分线，

J.ZOBC^-^ZABC,ZOCB^^ZACB,

22

：.ZOBC+ZOCB=^-（ZABC+ZACB）=Ax130°=65°,

22

.,.ZBOC=180°-（NOBC+NOCB）=180°-65°=115°.

故选：B.

【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键.

3.（2022秋•上杭县校级期末）如图，在△ABC中，BF平分/ABC,CF平分/ACB,125°,则/

A的度数为（）

A.60°B.80°C.70°D.45°

【分析】根据8尸平分/4BC可得，ZFBC=1ZABC,同理NFCB=//ACB，然后根据/8FC=125°,

利用三角形内角和可得N/P2C+NPCB=55°,从而得到NABC+NACB=110°,再根据三角形内角和

得到NA=70°.

【解答】解：在△FBC中，/BFC=125；

：.ZFBC+ZFCB=180°-ZBFC=55°.

VBF^^ZABC,CF平分/ACB.

/ABC=2/FBC,/ACB=2NFCB.

：.ZABC+ZACB=2（ZFBC+ZFCB）=110°.

.,.在△ABC中，ZA=180°-CZABC+ZACB）=70°.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.

4.（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边A8、BC、AC的长分别是9、12、15.其三条角平分线

交于点。，将△ABC分为三个三角形，则S“BO：SABCO：S^CA。等于（）

B

C.3：4：5D.2：3：4

【分析】过。点作OOLAB,OELBC,OFLAC,垂足分别为D,E,F,根据角平分线的性质可知：OD

=OE=OF,利用三角形的面积公式计算可求解.

【解答】解：过。点作OE±BC,OFA.AC,垂足分别为。，E,F,

'：AABC的三条角平分线交于点。，

：.OD=OE=OF,

在△ABC中，A3=9,BC=12,AC=15,

/.SAABO：SABCO：S^CAO——AB,DO：—BC'EO：—AC*OF=AB：BC：AC—9：12：15=3：4：5,

222

故选：c.

【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OO=OE

=。/是解题的关键.

5.（2021秋•冷水滩区校级期中）如图，在△ABC中，/ABC与/ACB的平分线交于点。，ZA=40°,则

/BOC的度数是（）

C.130°D.140°第6题图

【分析】在△ABC中，求得NABC+/ACB=180°-ZA=180°-40°=140°,根据NABC、NACB的

平分线交于点D，求得/OBC+NOCB=2(/43C+NACB)=1x140°=70°,在△DBC中根据三角

22

形内角和定理求解即可.

【解答】解：在△ABC中，

VZA=40°,/A+NA8C+/ACB=180°,

?.ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-40°=140°,

*.•ZABC.ZACB的平分线交于点D,

：.ZDBC=-^ZABC,NDCB=L/ACB,

22

/.ZDBC+ZDCB^^-CZABC+ZACB）=Ax140°=70°,

22

在△OBC中，

VZDBC+ZDCB+ZBDC=180°,

.*.ZBDC=180°-（NDBC+/DCB）=180°-70°=110°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练应用三角形内角和定理是解题的关键.

6.（2021秋•新兴县期中）如图所示，在△A3C中，NA5C和NAC8的角平分线相交于点O,若NBOC=

140°,则NA的度数是（）

A.40°B.90°C.100°D.140°

【分析】先根据80平分NA3C,CO平分NAC5,可得NA3C=2N1,ZACB=2Z2,再根据三角形内

角和定理计算出N1+N2的度数，进而得至（JNA8C+NAC8,即可算出NA的度数.

【解答】解：・.・5。平分NA5C,CO平分NACB,

AZABC=2Z1,ZACB=2Z2,

VZBOC=140°,

.•.Zl+Z2=180°-140°=40°,

AZABC+ZACB=2X40°=80°,

AZA=180°-80°=100°,

故选：C.

A

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.

7.（2022•峨边县模拟）如图，△ABC中，AB=6,AC=8,ZABC.NAC3的平分线5。、CD交于点D.过

点。作斯〃8C,分别交A3、AC于点E、F,则△AEb的周长为（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答.

【解答】解：・.・5。平分NA5C,CD平分NAC5,

ZABD=ZDBC,ZACD=/DCB,

,:EF〃BC,

:・NEDB=/DBC,/FDC=/DCB,

:・/ABD=/EDB,ZACD=ZFDC,

：・EB=ED,FD=FC,

VAB=6,AC=8,

・•・AAEF的周长=AE+EF+AF

=AE+ED+DF+AF

=AE+EB+AF+FC

=AB+AC

=14,

•••△AEF的周长为：14,

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条

件可证明等腰三角形是解题的关键.

8.（2022秋•东光县校级月考）如图，。是AABC的角平分线5。和CZ）的交点，过点。作△BCD的高,

交5C于点E.若NA=70°,ZCDE=65°,则NOBE的度数为（)

【分析】利用三角形的内角和定理先求出N8CD,再求出NA8C,通过角平分线的定义得结论.

【解答】解：・・・DEJ_3C

：.ZCED=90°.

：.ZDCB+ZCDE=90°.

VZCZ）E=65°,

：.ZBCD=25°

•；BD、CD分别是NCSA、N3CA的平分线，

：・/CBA=2/CBD,ZBCA=2ZBCD=50°.

*：ZA+ZCBA+ZBCA=180°,ZA=70°,

：.ZCBA+ZBCA=1W°.

AZCBA=110°-50°=60°.

：.ZDBE=ZDBC=30°.

故选：A.

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是180。”及角

平分线的定义是解决本题的关键.

二.填空题（共6小题）

9.（2021秋•岷县期中）如图，在△A3C中，NB,NC的平分线交于。点，过。点作EF〃BC交AB,AC

于点E,F.当E尸=6,。尸=4时，BE的长为2.

【分析】利用平行和角平分线得到3E=0E,OF=CF,可得出结论跖=3E+CR由此即可求得5石的

长.

【解答】解：如图，平分/A8C,

ZABO=ZCBO；

'：EF//BC,

：.ZEOB=ZOBC,

:./EOB=NEBO,

:.BE=OE；

同理可证CF=OF,

；.EF=BE+CF,

,:EF=6,CF=4,

：.OE=EF-OF=EF-C=2,

:.BE=0E=2,

故答案为2.

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到8E=E0,5=0尸是解题的关键.

10.(2022秋•安陆市期中)如图△ABC中，/4BC与NAC2的平分线相交于X,过点X作E歹〃2C交AB

于£,交AC于RHO_LAC于。，以下四个结论①NBHC=90°+ZA；②EF-BE=CF；③点”到^

ABC各点的距离相等；④若8,H,。三点共线时，△ABC一定为等腰三角形.其中正确结论的序号为

②③④.

【分析】①先根据角平分线的性质得出(ZABC+ZACB),再由三角形内角和定理即

2

可得出结论；

②根据NABC和NACB的平分线相交于点H可得出ZBCH^ZFCH,再由£F〃8C可

知/CBH=NEHB,ZBCH^ZCHF,故可得出BE=EW,HF=CF,由此可得出结论;

③根据三角形内心的性质即可得出结论；

④根据已知条件可以得到AABDmMBD,利用全等三角形的性质即可解决问题.

【解答】解，①•••/48C和/AC8的平分线相交于点

/./HBC+/HCB=L(ZABC+ZACB)

2

=2(180。-ZA),

2

.•.N8HC=180°-(/HBC+NHCB)

=180°-A(180°-NA)

2

=90°+1ZA,故①错误；

2

②：/ABC和/ACB的平分线相交于点H,

ZEBH=ZCBH,/BCH=/FCH.

'：EF//BC,

：.ZCBH=ZEHB,/BCH=/CHF,

：.ZEBH=ZEHB,ZFCH=ZCHF,

:.BE=EH,HF=CF,

：.EF=EH+HF=BE+CF,

：.EF-BE=CF,故②正确；

③：/ABC和NACB的平分线相交于点H,

.•.点”是△ABC的内心，

.•.点〃到aABC各边的距离相等，故③正确；

④若2,H,。三点共线时，贝UBOLAC,且2。平分NA3C,

.'.△ABD咨ACBD(SAS),

：.AB=AC,

...△ABC一定为等腰三角形，故④正确.

故答案为：②③④；

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与

性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是

解题的关键.

11.(2022秋•武昌区校级期中)如图，在Rt^ABC中，NC=90°,NA8C和N54C的平分线相交于点。,

OZ)_LOA交AC于。，OELOB交BC于E,BC=4,AC=3,AB=5,则△(7£)£1的周长为2

【分析】延长。。交AB于点M,延长EO交AB于点N,根据ASA定理可得△BOEgZXBON,△AO。也

△AOM,再由SAS定理得出△E。。g△NOM,由全等三角形的对应边相等可得出结论.

【解答】解：延长。。交AB于点延长E。交48于点N

是NABC的平分线，

；./OBE=NOBN.

"：OE±OB,

：.ZBOE=ZBON=90°.

在△BOE与△BON中，

，Z0BE=Z0BN

-OB=OB，

ZB0E=ZB0N

.♦.△BOE沿ABON(ASA).

同理可得，△AOOg/XA。/,

：.OE=ON,OD=OM,BE=BN,AD=AM.

在△EOO与△NOM中,

rOE=ON

•ZD0E=ZM0D，

OD=OM

:.AEOD经ANOM(SAS),

：.DE=MN.

：.CE+CD+DE

=BC-BE+AC-AD+MN

=BC-(BM+MN)+AC-(AN+MN)+MN

=BC-BM-MN+AC-AN-MN+MN

=BC-BM-MN+AC-AN

=BC-QBM+MN+AN)+AC

=BC+AC-AB

=4+3-5

=2.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.

12.（2021秋•道里区期末）如图，在△A3C中，5。和8分别是NABC和NAC3的平分线，■过点

S.EF//BC,若BE=3,。尸=4,则EF的长为7.

【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答.

【解答】解：・.・8。和CD分别是NA8C和NAC8的平分线，

JZABD=NDBC,ZACD=NDCB,

,:EF〃BC,

：.ZEDB=ZDBC,/FDC=/DCB,

：.ZABD=ZEDB,ZACD=ZFDC,

:.EB=ED=3,FD=FC=4,

：.EF=ED+DF=3+4=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可

以证明等腰三角形是解题的关键.

13.（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，ZA=64°,和OC分另ij平分/ABC和/ACB,则NBOC

=122°.

【分析】先利用三角形的内角和定理求出NA8C与/AC8的和，再利用角平分线的定义求出/O8C与/

OCB的和，最后利用三角形的内角和定理求出/O.

【解答】解：'：ZA+ZABC+ZACB=180°,NA=64°,

/.ZABC+ZACB=116°.

'：OB和OC分别平分/ABC和/AC8,

：.ZOBC=^-/ABC,ZOCB=^-/ACB.

22

/.ZOBC+ZOCB^^-/ABC+^~/ACB

22

=▲（ZABC+ZACB）

2

=58°.

'：ZO+ZOBC+ZOCB^1SQ0,

AZO=180°-58°=122°.

故答案为：122°.

【点评】本题考查了角平分线的定义及三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180。”及角平分

线的定义是解决本题的关键.

14.（2021秋•天山区校级期中）如图，在AABC中，ZA=a,NA8C的平分线与NACD的平分线交于点4

得N4,N4BC的平分线与NA1CO的平分线交于点A2,得NA2,…，NA20083C的平分线与NA2008C。

的平分线交于点A2009,得NA2009,则NA2009=―-—.

—22009-

【分析】读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答.利用外角的平分线表示NACA1,再根据

角平分线和三角形内角和定理求出N4等于/A的一半，同理，可以此类推，后一个是前一个的一半，

而2的次数与脚码相同.

【解答】解：VZACAI=ZAICD=AZACD=A(ZA+ZABC),

22

又,/ZABAi=ZA\BD=^ZABD,

2

ZAiCD^ZAiBD+ZAi,

ZAi=—ZA=—a.

22

同理NA2=2N4,

2

即每次作图后，角度变为原来的工.

2

_a_

故/&2009=

22009

【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部

分发生了变化，是按照什么规律变化的.

三.解答题（共8小题）

15.（2021秋•呼和浩特期中）（1）如图1,在△ABC中B。、C。分别平分/ABC、ZACB,过点。作直线

EF〃BC交AB于点E,交AC于点尸，直接写出EF和BE、CF的数量关系EF=BE+CF.

（2）如图2,若将（1）中的“BO、C。分别平分/ABC、ZACB,,改为“BO、C。分别平分NABC和/

AC8的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由.

【分析】（1）等腰三角形有△BE。和△<?尸。，根据角平分线性质和平行线性质推出/防。=/£。3,Z

/OC=N"。，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE,CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；

（2）等腰三角形有△BE。和△CF。，根据角平分线性质和平行线性质推出/防。=/£。2,NFOC=N

FCO,根据等角对等边推出即可；根据BE=OE,CF=OF即可得出EF与BE、CR之间的关系.

【解答】解：（1）EF^BE+CF.

理由：:BO平分NA8C,CO平分NAC3,

：.ZEBO=ZOBC,ZFCO=ZOCB,

，：EF〃BC,

：.ZEOB=/OBC,ZFOC=/OCB,

：./EBO=ZEOB,ZFOC=/FCO,

:.BE=OE,CF=OF,

:・EF=BE+CF.

(2)EF=BE-CF,

理由：・.・BO平分NA3C,CO平分NACD,

:・/EBO=/OBC,/FCO=/OCD,

,:EF〃BC,

：./EOB=/OBC,/FOC=/OCD,

：./EBO=/EOB,ZFOC=/FCO,

：.BE=OE,CF=OF,

：.EF=BE-CF.

【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出38=05

CF=OF.

16.(2022秋•新乡期末)如图1,在AABC中，NABC和NAC3的平分线交于点O,过点O作匹〃5C,

交A3于E,交AC于足

(1)当BE=5,CF=3,则EC=8；

(2)当/时，若。。是NAC5的外角平分线，如图2,它仍然和NA3C的角平分线相交于点O,

过点。作班W3C,交A3于交AC于R试判断ERBE,之间的关系，并说明理由.

【分析】(1)由平行线的性质和角平分线的定义可证BE=OE=5,0F=CF=3,即可得出答案;

(2)与(1)同理可证.

【解答】解：⑴'.,EF//BC,

：.ZEOB=ZOBC,ZFOC=ZOCB,

：NABC和NACB的平分线交于点。

ZEBO=ZOBC,ZFCO=ZBCO,

：./EBO=ZEOB,ZFOC=ZFCO,

:.BE=0E=5,0F=CF=3,

：.EF=EO+FO=8,

故答案为：8；

(2)EF=BE-CF,理由如下：

：8。平分/ABC,

ZABO^ZOBC,

'：EO//BC,

：.ZEOB=ZOBC,

：.NABO=/EOB,

:.EB=EO,

同理可得FO=FC,

：.EF=EO-FO=EB-FC.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平

分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键.

17.(2022秋•瑶海区期中)如图，在△A8C中，NABC与/ACB的平分线交于点尸，根据下列条件，求/

BPC的度数.

(1)若NA=68°,则124°；

(2)从上述计算中，我们能发现：NBPC=90。+工乙4(用含NA的式子表示),并说明理由.

【分析】(1)先根据三角形的内角和求出/4BC+NACB=112°,再由角平分线定义得：ZPBC+ZPCB

=56°,从而得出/8PC的度数；

(2)与(1)同理可得：NBPC=90°+AZA.

2

【解答】解：(1)VZA=68O,

AZABC+ZACB=180°-68°=112°,

,/ZABC与ZACB的平分线交于点P,

：.ZPBC^^ZABC,NPCB=I/ACB,

22

ZPBC+ZPCB=^ZABC+^ZACB=^-(ZABC+ZACB)=Axil2°=56°,

2222

.,.ZBPC=180°-56°=124°,

故答案为：124°；

(2)VZABC+ZACB=180°-ZA

由(1)得：/PBC+/PCB=LCZABC+ZACB)=上(180°-NA)=90°-AZA

222

.,.ZBPC=180°-(NPBC+/PCB)=180°-(90°-=90°+工/A

22

故答案为：90°+1ZA.

2

【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的

夹角和外角平角线的夹角与第三个角的关系.

18.(2021秋•双台子区校级期中)(1)如图1,在△ABC中，ZABC,NACB的平分线交于点O,过点。

作E尸〃BC分别交AB,AC于点E,F.直接写出线段EF与BE,Cb之间的数量关系：EF=BE+CF.

(2)如图2,若△ABC中/ABC的平分线8。与三角形外角平分线C。交于点。，过。点作OE〃8C交

A2于点E,交AC于点足则所与BE,B之间的数量关系又如何？说明你的理由.

【分析】(1)利用角平分线与平行线证明△BE。和是等腰三角形即可;

(2)利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可.

【解答】解：（1）〈BO平分NA8C,CO平分NAC8,

JZABO=/OBC,ZACO=ZOCB,

，：EF〃BC,

：.ZEOB=/OBC,ZFOC=/OCB,

：./EBO=ZEOB,ZFOC=/FCO,

:,EB=EO,FC=FO,

":EF=EO+FO,

：.EF=EB+FC,

故答案为：EF=EB+FC；

（2）EF=BE-CF,

理由是：・.・5。平分NABC,

ZABO=ZOBCf

,:EF〃BC,

：.ZEOB=ZOBC9

：,/EBO=NEOB,

:,EB=EO,

同理可得：FO=CF,

•；EF=EO-FO,

：.EF=BE-CF.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关

键.

19.（2023春•永春县期末）在△ABC中，CQ平分NAC3交A8于点。，点石是射线A8上的动点（不与点

。重合），过点E作成〃5C交直线CD于点RN3跖的角平分线所在的直线与直线CD交于点G（不

与点C重合）.

（1）如图，点E在线段AO上运动，若N8=50°,ZACB=30°,求NEGC的度数；

（2）若点E在线段。3的延长线上时，设NA=a,求NEGC的度数（答案可用含a的代数式表示）.

AA

备用图

【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质可得：/FEG=NDEG=L/FED=25。,ZBCD^Z

2

ACD=^ZACB=ZEFD=15°,再利用三角形的外角可得结果；

2

（2）先求得/EGZ）=90°--i-a,再由平角可得NEGC.

2

【解答】解：（1）EF//BC,

：.ZB=ZFEB=5Q°,ZEFD^ZBCD,

：C尸是/ACB的平分线，EG是/EEO的平分线，

:.NFEG=/DEG=L/FED=25。,ZBCD=ZACD=^-ZACB=ZEFD=15°,

22

ZEGC=ZFEG+ZEFG=45°,

(2)当点E在射线08上时，如图，

,/ZEGD=ZFEG+ZEFG

=』CZFED+ZACB)

2

=△(ZACB+ZB)

2

=△(180°-NA)

2

=90°--la,

2

.，.NEGC=180°-ZEGD

=180°-90°+2/a

2

=90°+Aza.

2

A

备用图

【点评】本题主要考查了平行线的性