人教版八年级数学上册压轴题专练：因式分解压轴题的四种考法（解析版）

专题08因式分解压轴题的四种考法

类型一、整体法

例.如果3x2-4/一4Ay+4y+2x-l因式分解的结果为.

【答案】(3x+2y-l)(x-2y+l)

【分析】把力-1当成一个整体，再因式分解即可.

【详解】原式=3/-4孙+2x-4/+4y-l

=3x2-2x(2y-l)-(2y-l)2

=[3x+(2y-1)][x-(2y-1)]

=(3x+2y_l)(x-2y+l)

故答案为：(3x+2y—l)(x—2y+l).

【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键.

【变式训练1】因式分解：

(1)2(彳2+6无+1)2+5(尤2+1)(无2+6x+l)+2(尤2+1)。

(2)x2(y-z)3+(z-x)3+z2(x-y)3

【答案】(1)9(K)+4X+1)(X+1)

(2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)

【分析】(1)先将无2+6x+l和炉+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用

提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0,

故原式含有因子*一儿又因为原式是关于x,»z的轮换对称式，故原式还含因子，一，ZT,

又因为原式为x,y,z的五次式，因此可以设x2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-yy

=(x-y)(y-z)(z-尤)[A(x2+y2+z2)+B3+yz+zx)],利用待定系数法即可求解.

【详解】(1)解：2(x2+6.X+1)2+5(x2+l)(x2+6x+l)+2(^2+1)2

—(2x?+12x+2+x~+1)(x?+6x+1+2x-+2)

=9(x2+4.r+l)(x2+2x+l)

=9(尤2+4x+l)(尤+1)2

(2)解：当x=y时，原式等于0,故原式含有因子x-y,

又因为原式是关于尤，》z的轮换对称式，故原式还含因子》一,ZT,

又因为原式为X,y,z的五次式，故可设/(y-z)，+y2(z-xf+z2(x-y)3

=(无一y)(y-z)(z—无)+y2+z2)+B(xy+yz+zx)J

令x=-l,y=0,z=l得2A—3=—l,

令尤=0,y=l,z=2得5A+23=2,

解得A=0,B=1,

所以x?(y-z)3+y2(z_》y+z?(x-y)3=(x-y)(}?-z)(z-x)(xy+yz+zr).

【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运

用这些方法因式分解是解题的关键.

【变式训练2】.因式分解：

(1)2mx2—4mx+2m;

(2)(V+4『-16，.

(3)(y2-1)-6(y2-1)+9.

【答案】⑴2加尤-1)2

⑵(*+2)2(尤-2)2

⑶(y+2)2(y-2)2

【分析】(1)先提公因式2相，再利用完全平方公式进行因式分解；

(2)先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解；

(3)先把y2一1看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分

解.

【详解】(1)2twc—4mx+2m

-2m^x2-2x+l)

=2%(尤—iy；

(2)(X2+4)2-16X2

=+4『_(4x/

=(尤+2)2(无-2)2;

(3)(/-l)2-6(y2-l)+9=(y2-l-3)2=(/-4)2=(y+2)2(^-2)2.

【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想，是

解决本题的关键.

【变式训练3].若a+2)(x+3)(x+4)(x+5)+无是完全平方式，则上的值为多少？

【答案】k=\.

【分析】首先把(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+左分类整理为[(x+2)(x+5)][(x+3)(x+4)]+左，

再进一步利用多项式乘法计算展开，把(Y+7X)看作整体，在配方成完全平方式，进一步探

讨即可得出答案.

【详解】(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+左

=[(*+2)(尤+5)][(尤+3)(*+4)]+上

=(炉+7x+10)(x2+7%+12)+jt

=(尤2+7x)~+22(x~+7x)+120+k

=，+7x+ll)+k—1

团左一1=0,

即％=1.

【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方.

类型二、添、拆项

例.分解因式；.7-3/-6^8=

【答案】(x-4)(x-1)(x+2)

【详解】解：-3/-6矛+8=尤3-3d+2x-2x-6x+8

=(x3-3x2+2x)-(8x-8)=x(x-l)(x-2)-8(x-l)=(x-l)[x(^-2)-8]

二(x-1)(尤2-2x-8)=(jr-4)(-1)(x+2)>

故答案为：(x-4)(x-1)(x+2).

【变式训练11把多项式分解因式：/-2/+1=.

【答案】(x-l)(/-x-l)

【详解】解:原式=*3-*-*+1=/(了-1)-(矛+1)5-1)=(了-1)(/-才-1)

故答案为：(x-l)(x2-x-l)

【变式训练2】因式分解:a3+3a2+3a+2

【答案】(a+2)(a2+a+l)

【详用率】原式=(a3+3a2+3a+l)+l=(a+l)3+l3=(a+l+l)[(a+l)2-(a+l)+l]

=(a+2)(a*+a+1).

故答案为：(fl+2)(a2+a+1)

【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式4一1可以用如下方

法分解因式：

(1)a2—1=a2—a+a—l=a(a—1)+(〃—l)=(a—+；

又比如多项式/_1可以这样分解：

②)/—1=/一/+—62+6?-1—a2(a-l)+a(a-l)+(a-1)=(a-1)(〃2+a+l)•

仿照以上方法，分解多项式〃5—1的结果是.

【答案】(4-1)(/+.3+/+a+])

【详解】解：1

—4—/+—/_|_/一/—〃+〃—1

=〃4(a—1)+(a—1)+a2(a_l)+a(a_1)+Q_1

=(Q-1)(/+/+a+1),

故答案为：(a-1乂。4+/+々2+Q+])

类型三、化简求值

例.已知〃23+C)=Z?2(Q+C)=2022,且b,贝lj-就c的值为()

A.2022B.-2022C.4044D.-4044

【答案】A

【分析】先将式子整理变形得《-6)(助+ac+5c)=。，进而得出仍+ac+Z?c=0,即

ab+be=—ac,再将"Q+3=2022展开，最后整理代入即可得出答案.

【详解】因为。2伯+。)=〃(〃+。)=2022,

所以a2b+a2c-b2a-b2c=0，

整理，得a6(a-6)+。(己？-〃)=0,

则ab(a-Z?)+c(a+b)(a-b)=0,

即(d—5)(a5+ac+be)=0.

因为得b,

所以就+ac+/?c=0,

即ab+be=—ac•

由"Q+c)=2022,得从ab+be)=2022,

所以-Me=2022.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键.

【变式训练1].已知疗=2〃+1,4n2,那么根+2〃=,

44-mn+.

【答案】-10

【分析】由条件可以变形为疗-4/=2"+1-m-1=2〃7〃，因式分解从而可以求出其值;

可以得出/=：(a+1),2n2=1(7n+l).所以

4/=m+l,4n3=mn+n,4n3-mn-n

4H3—mn+2n2=(4/—mnj+2«2="+g(m+l)=；(2〃+机+1)=g(-1+1)=0从而得出结论.

【详解】解：团〃=2几+1,W=m+l(m^2n),

22

0m—4n=2n+l—m—1

2

0m-4几2=2n—mf

团(m+2〃)(m—2〃)=2孔一根，

[?](m+2z2)(m-2z2)+(m-2n)=0

0(m+2n+l)(m—2n)=0

0m^2n,

国加+2〃+l=0

0m+2n=-l；

团An2=m+l,

团4H3=mn+n，

团4713—mn=n.

团4n2=m+1»

回〃2=；(m+1),

02及2=；+1).

团47?-mn+2H2=(4z?-mnj+2n2=〃+g(m+l)=g(2〃+m+l)=；(-l+l)=0.

故答案是：T；0.

【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活

运用因式分解是解题的关键.

【变式训练2】已知/伍+。)=/(，+，)=2023,且以b、c互不相等，贝!J

c2(a+b)—2024=.

【答案】-1

【分析】通过已知条件，找到〃、b、。的关系：ab+ac=-bc,ac+bc=-ab,abc=-2023,

即可获得答案.

【详角军】解：(Z?+c)=fe2(a+c),

0c^b+a1c—ab1—b2c=0,

团aZ?(a-b)+c(a+Z?)(〃-b)=0，

团(a-〃)(Q〃+ac+Z?c)=0,

团a】b,

团［一匕wO,

^\ab+ac+bc=G,BPab-\-ac=—be,ac-\-bc=—ab,

团々2(匕+0)=a("+〃c)=2023,

田a(-be)=2023,

团—abc-2023,

团abc=-2023,

回(:2(a+Z?)—2024=c(ac+be)-2024=c(-ab)-2024=-abc-2024=—1

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到他+。。+庆=0

是解题关键.

【变式训练31若机2=〃+2020,n2=m+2020(m^n),那么式子田—2根〃+"的值

为.

【答案】-2020

【分析】把两个等式相减化简后可得加+〃=一1,再把机3—2加〃+〃3中的—2板拆成一机〃一机及，

再分别与前后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决.

【详解】回/=〃+2020,n2=m+2020

^m2—n2=n—m

gp(m+ri)(jn—ri)=—(m—n)

^\m^n

0m+n=—1

m3-2mn+n3

=(m3—mn)+(H3—mri)

2

=m(m2-n)+几(n-m)

—2020m-i-2020〃

=2020(m+ri)

=-2020

故答案为：-2020

【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在.

类型四、新定义问题

例.材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数

为"宁静数".例如：12是“宁静数"，12=4x0+2),二12是“宁静数"；34不是"宁静数”,

3424x(3+4),34不是“宁静数”.

材料二：一个四位自然数加=1000a+100b+10c+d,将其千位数字与十位数字组成的两位

数记作五，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作而，若五和而都均为"宁静数"，

则称M为"致远数"，将M千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，

M+

得到一个新的四位数M',记尸(")=303.

⑴判断12是否为〃宁静数〃，3469是否是〃致远数〃？并说明理由；

(2)若一个四位自然数N是〃致远数〃，且尸(N)与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的

"致远数"N.

【答案】⑴12是〃宁静数〃,3469不是“致远数”,理由见解析

(2)1122,3162,2346,4386

【分析】(1)根据“宁静数〃和〃致远数〃的定义判断即可；

(2)根据新定义，求出/(N)=10a+〃，由题意可得出b的取值，即可求解.

【详解】(1)解：12是〃宁静数〃,3469不是〃致远数〃，理由如下：

12=4x0+2),

•-12是〃宁静数〃；

「在3469中，a=3,b=4,c=6,d=9,

二.ac=36=4x(3+6),bd=49w4x(4+9),

3469不是〃致远数〃；

(2)解：设四位自然数N=苴M=1000a+100b+10c+d，且。，b,c,"不为0,则

N'=cdab=1000c+100d+10a+b»

N是〃致远数〃，

/.ac=10a+c=4(d：+c),bd=10b+d=4(b+d),

/.c=2a,d-2b,

「(2、N+N'1000〃+100Z?+l°c+d+1000c+lOOd+10a+b

:.F(N)=---------=-------------------------------------------------------------

、)303303

lOlOa+lOS+lOlOc+lOld

―303

3030〃+303万

—303

=10〃+Z?,

■〃宁静数〃必为4的倍数且是两位数，

宁静数”有12,24,36,48,

・“、6可以是1,2,3,4,

又一歹（N）与9的和能被4整除，即10。+》+9是偶数，

6=1或3,

①当6=1时，4=1或3,

对应的致远数有：1122,3162,

②当6=3时，。=2或4,

对应的致远数为：2346,4386,

综上所述，符合条件的“致远数"N有：1122,3162,2346,4386.

【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义.

【变式训练1工阅读：证明命题"一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以

被3整除

设而表示一个三位数，

则abc=100a+106+c=（99。+9少）+（a+6+c）=9（lla+6）+（a+6+c）

因为9（114+。）能被3整除，如果（。+少+c）也能被3整除，那么赤就能被3整除.

⑴①一个四位数而L如果（a+b+c+d）能被9整除，证明诙J能被9整除；

②若一个五位数通甚能被9整除，则0=；

⑵若一个三位数亚的各位数字是任意三个连续的正整数，则亚的最小正因数一定是

（数字"1"除外）；

⑶由数字1至9组成的一个九位数〃""6447s9,这个数的第一位加能被1整除，前两位组

成的两位数嬴能被2整除，前三位组成的三位数丽能被3整除，以此类推，一直到整个

九位数能被9整除，写出这个九位数是.

【答案】（1）①见解析；②1

（2）3

⑶381654729

【分析】（1）①首先把四位数丽改写成9（llla+l妨+c）+（a+6+c+d）,由

9（11姑+1班+c）能被9整除，（a+6+c+d）能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数

改写成9x（2255+H2e）+（7+2e）,然后根据这个五位数能被9整除得7+2e能被9整除，即

可求得答案；

（2）假设》=后y=k+l,z=k+2,则三位数至=3（37左+4）,据此可得出答案；

（3）由机能被1整除，可得加为质数，由四位数丽石能被4整除，可得两位数刀能被4

整除，则p=135,7,9,由九位数机〃06q47s9中已有7,9,可得p=1,3,5,由五位数刖p6q能

被5整除，可得末尾数字q=5,从而得到p=1,3,由八位数wz06447s能被8整除，可得三

位数京能被8整除，从而得到s=2,从而得到"?，n,。对应1,3,8,由旭为质数可得m=3,

由嬴能被2整除可得"=8,从而得到p=l,即可得到答案.

【详解】(1)①证明：回砺是一个四位数，

/.abed=1000。+100b+10c+d

二(999a+998+9c)+(〃+/?+c+d)

=9(11+1lb+c)+(〃+b+c+d)

9(llla+llb+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被9整除，

四位数abed能被9整除;

②解：说甚是一个五位数，

2e3e2=20000+1000e+300+10e+2

=20302+1010e

=9x2255+7+9xll2e+2e

=9x(2255+112e)+(7+2e),

「五位数诟莅能被9整除，

，7+2e能被9整除，

.'.e=l,

故答案为：1；

(2)解：」三位数后的各位数字是任意三个连续的正整数，

，不妨假设尤=怎y=k+\,z=k+2,

二正=100x+10y+z=100左+10左+10+左+2=111%+12=3(37左+4),

•••三位数亚的最小正因数一定是3,

故答案为：3；

(3)解：rrbn,p,q,s均为。至9之间的整数

二由机能被1整除，可得优为质数，

由四位数砌能被4整除，可得两位数刀能被4整除，则夕=1,3,5,7,9,

由九位数加叩6q47s9中已有7,9,可得p=1,3,5,

由五位数嬴两能被5整除，可得末尾数字4=5,从而得到p=l,3,

由八位数〃〃如6447s能被8整除,可得三位数京能被8整除，从而得到s=2,

,这时的九位数为：〃〃驴654729,

二加n,。对应1,3,8,

m为质数，

.'.m=3f

「两位数嬴能被2整除，且加=3,

〃=8,

p=1,

，这个九位数时：381654729,

故答案为：381654729.

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解

整除数的特征是解答此题的关键.

【变式训练3】.在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标

系内两个整点A（P，4）、3（〃1,"）（〃?4"）满足关于芯的多项式Y+px+q能够因式分解为

（x+旬（x+〃），则称点8是A的分解点.例如4（3,2）、3（1,2）满足4+3%+2=（+1）@+2）,

所以8是A的分解点.

（1）在点A（5,6）、4（0,3）、4（-2,0）中，请找出不存在分解点的点：.

（2）点尸、。在纵轴上（P在。的上方），点R在横轴上，且点尸、Q、R都存在分解点，若-PQR

面积为6,请直接写出满足条件的一尸OR的个数及每个三角形的顶点坐标.

【答案】（1）4

（2）.PQR的个数为8,片（OT）,Q（0,-16）,4（1,0）；鸟（一1,0）,C（OT）,22（0,-16）；

鸟（3,0）,月（0,0）,2（0,T）；凡（—3,0）,4（0,0）,2（0,T）；&（4,0）,^（0,-1）,以（0,Y）；

凡（TO）,稣（0,—1）,以（0,-4）；鸟（12,0）,山0,0）,a（0,-1）；7（—4。）,4（0,0）,

a（o,-i）

【分析】（1）根据题意分别求解A,4，4的分解点即可；

（2）首先表示出尸，Q的纵坐标，和OR的长度，由.PQR面积为6推出B。=12,根据p在

。的上方，得到6（0.-4）,Q（0,-16）,同法可求其余的点.

【详解】⑴解：对于4（5,6）,尤?+5x+6=（x+2）（x+3）,故4（2,3）是4的分解点；

对于人（一2,0）,r-2x=x（x-2）,故员（一2,0）是4的分解点；

.d+3无法分解，，点4不存在分解点，故答案为：4;

（2）P,。在纵轴上，；.P、。的横坐标为0,

P，。都存在分解点，

，两点坐标满足关于X的多项式无2+q能够因式分解为（x+7力（X+"）,

:.p,。的纵坐标只能负数，而且能分解（可用平方差公式分解），

「△PQR的面积为6,且点R在横轴上，，3|尸。30国=6,.■.|尸。卜|＜网=12,

的长度可能为12,1,3,4,2,6,尸2的长度可能为12,1,3,4,2,6,

当OR的长度为2,6时，PQ的长度为6或2,此时不存在有分解点的P,Q,

:.P,。的纵坐标只能是0,-1,-4,-16,OR的长度可能为12,1,3,4,

当4(1,0)时，二尸。=12,

P在。的上方，.•/(O'T),Q(0,-16),

同法当鸟(-1,0)时,可得£(0,-4),22(0,-16),

当居(3,0)时,可得《(0,0),2(0,Y)；

当凡(—3,0)时，可得岂(0,0),2(0T)；

当耳(4,0)时，可得心(0,-1),©(0,-4)；

当凡(-4,0)时，可得1(0,-1),以(O,T)；

当鸟(2,0)时,可得6(0,0),e7(o,-i)；

当《(一12,0)时，可得1(0,0),a(0,-1),

综上所述，—PQR的个数为8.

【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，因式分解，三角形面积的求解，理解题意，分情

况讨论是解答本题的关键.

课后训练

1.因式分解：4x2-y2+2y-l=.

【答案】(2x+y-l)(2X-y+l)

【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.

【详解】解：4x2-y2+2y-l

=4x2-(y2-2j+l)

=4x2-

=(2x+y-l)(2x-j+1)

故答案为：(2x+y-l)(2x-y+l)

【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分

组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.

2.如果28+2"+2"为完全平方数，则正整数n为.

【答案】2或14或11

【分析】分情况讨论，分别设2"为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即

可.

【详解】设2"为首项的平方，则末项为2$,中间项为乘积两倍为28=2x27,

团首项为2,首项平方为2"，加=2；

设2"为末项的平方，则首项为2,,乘积两倍为12=2x24x2,，

回末项为27，末项平方为2叫

13n=14；

设2"为中间项，则2"=2x24x26=2”，

加=11,

综上所述，正整数n的值为2或14或11,

故答案为：2或14或11.

【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键.

3.分解因式：a3-a2b-a+b=.

【答案】(a+l)(a-l)(a-b)

【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可.

【详解】解：a3—a2b—a+b

=―a~b)-(a-b)

=a2—Z?)

=(q-力)

故答案为(a+l)(aT)(a—b).

【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正

确解答本题的关键.

4.分解因式：

(l)8a3b2+28ab3c

⑵/+64

(3)x?+(2a+3)x+(a"+3a)

(4)4x2+4xy+12x+6y+y2+8

【答案】(l)4ab2(2a2+lbc)

(2)(a?+8+44)(0,+8-4a)

⑶(x+a)(无+a+3)

⑷(2x+y+4)(2x+y+2)

【分析】(1)利用提公因式法分解因式即可；

（2）先利用/、64凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可；

（3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；

（4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出（2尤+yp+6（2尤+y）+8,再把

8分解为得出（2x+y『+6（2x+y）+9-l,然后把（2x+y）看作整体，利用完全平方

公式变形，得出［（2x+y）+3T-l,然后再利用平方差公式因式分解即可.

【详解】⑴解：8•2+28加0

=4ab2（2〃+76c）；

（2）解：a4+64

=a4+16a2+64-16a2

=（/+8『一16a2

=（〃2+8+4a）（〃2+8—4a）

（3）角牟：炉+（2a+3）x+（a?+3a）

=x2+2ax+3x+a2+3a

=x2+2a¥+/+3%+3a

=（x+a）2+3（%+a）

=（x+a）（x+〃+3）；

（4）解：4x2+4xy+12x+6y+y2+8

2

=4%2+4xy+y+12x+6y+8

=（2x+y）2+6（2;r+y）+8

=（2x+y）2+6（2x+y）+9-l

=［（2x+y）+3］2—1

=（2x+y+3+1）（2x+y+3—1）

=（2x+y+4）（2x+y+2）.

【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法.

5.已知三次四项式2%3—5*—6%+左分解因式后有一个因式是无-3,试求人的值及另一个因

式.

【答案】k=9,2X2+X-3

【分析】根据题意，当％=3时，代数式的值为0,进而求得上的值，然后因式分解即可求解.

【详解】解