江西财经大学统计学第九章相关与回归分析

STAT

第九章相关与回归分析统计实例STAT统计实例

账单与小费的关系在西方国家，餐饮等服务行业有一条不成文的规定，即发生餐饮等服务消费时须给侍者一定数额的小费。许多人都听说小费应是账单的16%左右，是否真的如此？统计实例STAT

我们必须关注的问题是：

1.账单与小费之间是否确实有关？

2.若有关，则属于何种关系？

3.如何根据账单来推算小费的数额？本章的重点就是根据成对出现的样本数据做出一些推论。并力求描述账单与小费之间的数量关系，这样就能找出人们留小费时所应遵循的规则。第九章相关与回归分析STAT

本章重点

1.相关关系与回归方程概述；

2.相关关系的测定；

3.回归方程的拟合：方程的拟合；拟合优度的判定指标：判定系数，估计标准误

4.回归方程的应用（估计与预测）。

本章难点

1.积差法相关系数的计算；

2.拟合优度的判定。第九章相关与回归分析STAT第一节相关关系概述一、问题的提出

1.单个变量的研究

分布、平均及标准差、推断等；

2.多个变量的研究

有无关系、何种关系、如何推算变量间的影响。（1）计件工资与产量；（2）原材料消耗与产量、单位产量消耗和原材料价格；（3）粮食产量与施肥量；（4）香烟消费与癌症发生率；（5）血压与年龄；（6）父母身高与子女身高；（7）家庭收入与打屁股次数；（8）工资增加与酒价上涨第九章相关与回归分析STAT二、变量间的相互关系（一）函数关系

1.定义：完全确定的（数量）关系。一一对应关系！（1）某一变量的变动可由另一（组）变量的变动完全解释；

计件工资（y）与产量（x）

y=f（x）=10x；原材料消耗总额（y）与产量（x1）、单位产量消耗（x2）和原材料价格（x3）

y=x1·x2·x3。（2）y

被解释变量（因变量）；x

解释变量（自变量）。（二）相关关系

1.定义：不完全确定的关系。统计关系，平均对应关系！第九章相关与回归分析STAT身高（y）与体重（x）；

A：x=60kg、y=1.70m；B：x=60kg、y=1.72m；

C：x=60kg、y=1.68m；D：x=60kg、y=1.65m。

表述：y=f（x）+

2.相关关系的成因（1）某些影响因素尚未被认识；（2）虽已认识但无法测量；（3）测量误差。

某种水果2元/斤：购买额y=2x

购买量

y=4元、x=2斤

y=2x+=2×1.9+0.2=4元

3.数量关系的表现形式第九章相关与回归分析STAT（1）单一因果关系粮食产量与施肥量；（2）互为因果关系身高与体重；（3）伴随关系教师的薪金与酒价。三、相关关系的种类（一）按相关的程度分

1.完全相关：函数关系；

2.不相关：没有关系；[例]苏格兰：虱子数与健康状况。

3.不完全相关。（二）按相关的方向分

1.正相关：变量的变动方向一致（同增同减）；

2.负相关：变量的变动方向相反（一增一减）。第九章相关与回归分析STAT（三）按相关的形式分

1.线性相关；

2.非线性相关。相关程度密切相关程度不密切第九章相关与回归分析STAT（四）按影响因素的多少分

1.单（简）相关：只有一个自变量。

学习成绩与学习时间；血压与年龄；亩产量与施肥量。

2.复（多元）相关：两个或两个以上的自变量；

经济增长与人口增长、科技水平、自然资源、管理水平等之间的关系；体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系。

3.偏相关：就多个变量测定其中两个变量的相关程度而假定其他变量不变。

就y=ax1+bx2+，研究y与x1之间的关系，假定x2不变。第九章相关与回归分析STAT第二节线性相关关系的测定[目的]测定变量间的相关方向与密切程度。一、相关图表（一）相关表

1.单变量分组相关表：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均数。第九章相关与回归分析STAT

2.双变量分组相关表：对自变量与因变量均进行分组。注：自变量X轴；因变量Y轴。（二）相关图：散点图。

不足：难以精确反映相关的密切程度。第九章相关与回归分析STAT●横轴代表各省份田地种植水稻比例，上海为最高，约90%。●纵轴代表各省份居民倾向集体主义的比例，上海、江西和重庆为前三位。第九章相关与回归分析STAT二、（线性）相关系数※（计算方法：积差法，方差法）（一）积差法计算公式变型公式：协方差是两个随机变量相互关系（“互动性”）的一种统计测度。第九章相关与回归分析STAT（二）协方差sxy的作用

1.显示x与y之间的相关方向。（一）

+

+（三）

–

–

sxy

>0

正相关：r>0第九章相关与回归分析STAT[负相关]（二）

–

+（四）

+

–

Sxy

0

负相关：r0第九章相关与回归分析STAT

2.显示x与y之间的相关程度。第九章相关与回归分析STAT[负相关]第九章相关与回归分析STAT[判定两变量是否存在相关关系]第九章相关与回归分析STAT[归纳]sxy的作用第一，显示x与y之间的相关方向第二，显示x与y之间的相关密切程度（同一变量水平下）问题：如果变量x>p，y>q（即不同一变量水平下）

；且sxy

>spq

能否认为x与y之间的相关程度一定会高于p与q？

第九章相关与回归分析STAT（三）sx、sy的作用

1.使不同变量的协方差标准化直接对比。第九章相关与回归分析STAT[例]甲、乙两人有关食量与体重资料如下（单位：斤）第九章相关与回归分析STAT

150152160

-0.76-0.381.13第九章相关与回归分析STAT

2.使第九章相关与回归分析STAT附：r的变型计算公式推导第九章相关与回归分析STAT[r的变型计算公式推导]第九章相关与回归分析STAT[r的变型计算式]第九章相关与回归分析STAT（四）线性相关的判断准则

[例]为了解营业员每人月平均销售额（万元）和利润率（%）之间的关系，特从100家商店中随机抽取10家，得到如下资料，试计算样本相关系数。第九章相关与回归分析STAT计算过程：第九章相关与回归分析STAT经计算得：x=50，y=110.8，x2=294，y2=1465，

xy=654.9，n=10答：人均销售额与利润率之间存在着高度的正相关关系。第九章相关与回归分析STAT问：若令人均销售额为y，利润率为x，则r的取值是否改变

?第九章相关与回归分析STAT（五）样本相关系数的特性

1.两变量均为随机变量。

2.两变量的地位是平等的rxy=ryx。

3.其接近于1的程度与样本容量n有关。

n

小，r1。特例：当n=2时，r=1。

[例]样本（x,y）为（6,12.6）,（1,3.0）,n=2。第九章相关与回归分析STAT一些人相信手掌生命线的长度可以来预测他们的寿命。M.E.Wilson和L.E.Mather在《美国医学协会学报上》发表的一封信中，通过对尸体的研究对此给予了驳斥。死亡时的年龄与手掌生命线的长度被一起记录下来。作者得出死亡时的年龄与生命线的长度不存在显著相关的结论。手相术失传了，手也就放下了。看手相：第九章相关与回归分析STAT（六）线性相关的显著性检验(不讲)

1.t检验（R.A.Fisher检验）（1）提出假设：H0：＝0

H1：0

（2）计算检验统计量；（3）将检验统计量与临界值比较，如检验统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；反之亦反。

2.r检验法：查《相关系数检验表》，在给定下，若rr

（n-2）,则拒绝H0。第九章相关与回归分析STAT

[例]为了解营业员每人月平均销售额（万元）和利润率（%）之间的关系，特从100家商店中随机抽取10家，得到如下资料，试计算样本相关系数并进行检验（＝0.05）。

解：提出假设：H0：＝0

H1：0已知：r＝0.987，n＝10所以，拒绝原假设而接受备择假设，即检验结果表明，月平均销售额与利润率之间确实存在着线性相关关系。第九章相关与回归分析STAT[r检验法]

已知：r＝0.987，n＝10

n-20.050.016780.7070.6660.6320.8340.7980.765相关系数检验表第九章相关与回归分析STAT第三节回归分析一、回归分析概述（一）概念

1.相关分析的不足：无法表明两变量之间的数量规律无法从一个变量（x）的变化来推测另一个变量（y）的变化。第九章相关与回归分析STAT

2.回归分析：通过一个（些）变量的变化解释另一变量的变化y=a+bx、

y=ax1+bx2

。

英国生物学家F·Galton

首次提出。父辈身高

子辈身高

xy

y=f（x）+

人类平均身高（二）回归分析的种类

1.按自变量的多少分（1）简单（一元）回归：自变量只有一个。

y=a+bx

（2）复（多元）回归：自变量为2个或2个以上。

y=0+1x1+2x2+…+nxn第九章相关与回归分析STAT

2.按回归方程式的特征分（1）线性回归：因变量为自变量的线性函数。

y=a+bx

（2）非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。第九章相关与回归分析STAT（三）回归分析的步骤

1.确定自变量和因变量。消费支出（y，果）国民收入（x，因）；

自变量筛选问题：

■消除无关的变量。农副产品出口额＝-107.66+0.13社会商品零售总额+0.22

农副产品收购额

社会商品零售总额与农副产品出口额无直接关系，更不是影响农副产品出口额的原因。

■消除不重要的变量。生产资料进口额＝0.73轻工业投资+0.18生产消费等

轻工业投资对生产资料进口额虽有影响，但不重要，或不第九章相关与回归分析STAT完全，应选择全社会固定资产投资额。■消除不独立的变量。农业总产值＝0.78+0.24粮食产量+0.05农机动力-0.21

受灾面积粮食产量受农机动力和受灾面积的影响，它们存在相关性。

2.确定样本回归方程消费支出y与收入x的回归方程：y=a+bx=200+0.70x

3.统计检验：

(1)回归模型的显著性检验，即反映回归方程对样本观测值的拟合优度如何。判定系数检验

(2)回归参数的显著性检验，即检验变量y与变量x之间能否用线性关系来描述。线性相关检验

4.预测或控制。已知

x确定y：估计或预测;已知y确定x：控制第九章相关与回归分析STAT回归分析与相关分析的关系

(1)联系：

■两者具有互为补充关系；■两者存在计算上的联系。

(2)区别：

■两者在关心变量性质上不同；

■两者的任务和目的不同；■两者的使用范围不同。应用相关与回归分析应注意的问题

■必须以定性分析为基础。

■要注意变量间相关关系发生作用的范围。如施肥量与农作物产量;由爱生恨

■应用回归方程时不能一概认为自变量与因变量存在因果关系。第九章相关与回归分析STAT二、一元线性回归方程的拟合（一）总体回归模型→Y=A+BX+第九章相关与回归分析STAT总体回归方程→E(Y)=A+BX第九章相关与回归分析STAT回归模型建立的假定条件：

1.

y是随机变量，y的分布是正态分布，y的平均值在给定x的值的回归线上。

2.对于任何x值，y分布的方差相等，即具有同方差，即Var()=

2

。

3.随机误差项的期望值为零，即；随机误差项是相互独立的，不存在序列相关。即cov(i，

j)=0，(i≠j)。

4.对多元线性回归模型，y=a+b1x1+b2x2+…+bkxk+，各个变量是相互独立的，不存在多重共线性，即cov(xi，xj)=0，(i≠j)。第九章相关与回归分析STAT样本回归方程的拟合思想:

抽样N

n，第九章相关与回归分析STAT（二）样本回归方程的拟合

从总体中随机取样，获取一组样本观察值。第九章相关与回归分析STAT图示：步骤：1.拟合样本回归方程；2.样本回归方程的拟合优度第九章相关与回归分析STAT（三）样本回归方程的拟合方法

常用方法：最小二乘法（OLS法）基本思路：使残差平方和最小的直线“最优直线”。第九章相关与回归分析STAT总可以设法找到一对a、b的取值，使Q为最小值。第九章相关与回归分析STAT[整理]相关系数r与回归系数b之间的关系：第九章相关与回归分析STAT（1）两者是同向的；（2）r反映变量的相关方向与密切程度；

b反映某一变量变动一个单位时另一变量的平均变动量。第九章相关与回归分析STAT

[例]为研究收入与食品支出的关系，随机抽取了10户家庭的样本（百元），请拟合样本回归方程。第九章相关与回归分析STAT解：通过散点图可近似看出收入与食品支出之间呈线性关系，故设两者有关系

经济意义：当收入为0时，亦须有217.26元的食品支出，收入每增加100元，食品支出平均增加20.23元。第九章相关与回归分析STAT

参数a、b的经济含义是：

a代表直线的起点值，为直线的纵轴截距，它表示x=0时y的常数项。

b称为回归系数，表示自变量x增加一个单位时因变量y的平均增加值。回归系数的正负号与相关系数是一致的，因此回归系数的正负号可用来判断两变量相关的方向，也可利用b求相关系数r

。估计与预测：第九章相关与回归分析STAT利用b求相关系数r解：第九章相关与回归分析STAT三、回归方程的方差分析（回归方程的拟合优度）（一）总离差平方和的分解第九章相关与回归分析STAT由：第九章相关与回归分析STAT（二）判定系数(可决系数)→回归模型拟合程度的测度指标第九章相关与回归分析STAT■判定系数的作用

r2越接近与1，说明模型越有效，r2越接近与0，模型越无效。第九章相关与回归分析STAT■判定系数r2与相关系数r的关系第九章相关与回归分析STAT■相关系数也从另一角度说明了回归直线的拟合优度，相关系数越接近±1，说明回归直线对观测数据的拟合优度越高，但需谨慎！因为r的绝对值总是大于r2

的值（0和1除外）。

例：

r=0.5时，r2=0.25→只能解释总变差的25%第九章相关与回归分析STAT（三）估计标准误差

1.定义：观测值与回归值之间的平均离差。均方残差的平方根

→说明各观测值在直线周围的分散程度。可看作是排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量。实际意义上，它反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的大小。

2.公式注：由于求a、b参数时有两个方程的约束，所以n-2第九章相关与回归分析STAT图示：第九章相关与回归分析STAT估估计标准误差与判定系数r2的关系：

作为回归模型拟合优度的判断和评价标准，估估计标准误差显然不如判定系数r2，判定系数