2024-2025学年高中数学课时达标训练二余弦定理含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1课时达标训练(二)余弦定理[即时达标对点练]题组1利用余弦定理解三角形1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\r(5)D．5解析：选A由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，∴c＝eq\r(3)，故选A.2．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)解析：选B∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝eq\f(π,6).3．已知在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，则cosBA.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)解析：选B∵b2＝ac，c＝2a∴b2＝2a2∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).4．(2024·全国卷Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)解析：选A∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝4eq\r(2).5．(2024·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________.解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c答案：eq\f(\r(21),7)36．设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).求a，c的值．解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB又b＝2，a＋c＝6，cosB＝eq\f(7,9)，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.7．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2eq\r(3)，b＝2，求c的值．解：(1)∵cosA＝2cos2eq\f(A,2)－1，∴2cos2eq\f(A,2)＝cosA＋1.又2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0，∴2cosA＋1＝0，∴cosA＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝2eq\r(3)，b＝2，cosA＝－eq\f(1,2)，∴(2eq\r(3))2＝22＋c2－2×2×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c题组2利用余弦定理推断三角形的形态8．在△ABC中，三边上的高依次为eq\f(1,13)，eq\f(1,5)，eq\f(1,11)，则△ABC为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形解析：选C设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq\f(1,13)，eq\f(1,5)，eq\f(1,11)分别为a，b，c上的高．因为S△ABC＝eq\f(1,2)a×eq\f(1,13)＝eq\f(1,2)b×eq\f(1,5)＝eq\f(1,2)c×eq\f(1,11)，所以可设a＝13k，b＝5k，c＝11k(k>0)．由余弦定理，得cosA＝eq\f(5k2＋11k2－13k2,2×5k×11k)＝－eq\f(23,110)<0，则，所以△ABC为钝角三角形，故选C.9．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a,b,c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形态为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析：选B∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，化简，得a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．10．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosA·sinB＝sinC，试推断△ABC的形态．解：法一：(角化边)由正弦定理得eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b)，由2cosA·sinB＝sinC，得cosA＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b).又由余弦定理的推论得cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2bc)，∴eq\f(c,2b)＝eq\f(c2＋b2－a2,2bc)，即c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b.又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3b2，∴4b2－c2＝3b2，∴b＝c.∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．法二：(边化角)∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．又∵2cosA·sinB＝sinC，∴2cosA·sinB＝sinA·cosB＋cosA·sinB，∴sin(A－B)＝0.又∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(1,2)，而0°<C<180°，∴C＝60°.又∵A＝B，∴△ABC为等边三角形．[实力提升综合练]1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sin(C－A)＝eq\f(1,2)sinB，且b＝4，则c2－a2＝()A．10B．8C解析：选B在△ABC中，sin(C－A)＝eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1,2)sin(A＋C)，即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝3a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴b2＋c2－a2＝3a2＋3b2－3c∴4c2－4a2＝2b2＝2×16＝32，∴c2－a2．假如将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形态是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定解析：选A设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)·x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．3．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°解析：选C由题意可知c<b<a，或a<b<c，不妨设c＝2x，则a＝(eq\r(3)＋1)x，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac).即eq\f(1,2)＝eq\f(（\r(3)＋1）2x2＋4x2－b2,2·（\r(3)＋1）x·2x).∴b2＝6x2.∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(（\r(3)＋1）2x2＋6x2－4x2,2（\r(3)＋1）x·\r(6)x)＝eq\f(\r(2),2)，∴C＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.4．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．解析：由已知条件，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(92＋82－72,2×9×8)＝eq\f(2,3).设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)＋AB2－2×eq\f(AC,2)×ABcosA＝42＋92－2×4×9×eq\f(2,3)＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.答案：75．设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边长，那么解析：∵2a－1>0∴a>eq\f(1,2)，∴最大边的边长为2a＋1.设其所对的角为A∵三角形为钝角三角形，∴cosA＝eq\f(a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2,2a（2a－1）)<0，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)解得0<a<8，又a＋2a－1>2a∴a>2，综上得2<a<8.答案：(2，8)6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝________.解析：在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，∴由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin2A)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA)，整理得cosA＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝3＋c2－3c，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，a＝c＝1，b＝eq\r(3)，此时A＝C＝30°，B＝120°，不满意B＝2A当c＝2时，a＝1，b＝eq\r(3)，此时A＝30°，B＝60°，C＝90°，满意题意，则c＝2.答案：27．(2024·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又因为bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，所以asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB，所以tanB＝eq\r(3).因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(\r(3),\r(7)).因为a＜c，所以cosA＝eq\f(2,\r(7)).所以sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2Asin＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).8.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，AB⊥AD，AC⊥CD.(1)若sin∠BAC＝eq\f(1,4)，求sin∠BCA的值；(2)若AD＝3AC，求AC的值解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得eq\f(\r(2),sin∠BCA)＝eq\f(\r(3),\f(1,4))，解得sin∠BCA＝eq\