立体几何中的轨迹问题-2025高考数学一轮复习讲义

第52讲立体几何中的轨迹问题

知识梳理

立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：

1、定义法

2、交轨法

3、几何法

4、坐标法

5、向量法

必考题型全归纳

题型一：由动点保持平行求轨迹

例1.（2024・贵州铜仁•高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体/3CD-4耳G2的

棱长为1,点£是棱4片的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果则点〃的轨迹所围成图形的面积为也；

2

②如果用加〃平面NEC一则点M的轨迹所围成图形的周长为遗；

2

③如果EN〃平面。片瓦入则点M的轨迹所围成图形的周长为2+应；

④如果9,3。，则点M的轨迹所围成图形的面积为述.

4

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由42,面44区4,而N4u面区4,则42，工耳，又ABiLBA〉

又4，n34=4，42,34u面B42，则NBJ面B/Q,

1

由501U面842，则同理/C_LBD1,

ABl^AC=A,/q,/Cu面4c4，贝ijADj面/C区,

所以2Di垂直于面4C4所有直线，且/e面4c4，

若AM工BR,则河在边长为0的正△ZC4的边上,

故轨迹图形面积为gx(0)2xsin60°=#,①对;

若尸,G分别为CD,48中点，连接AF,FCX,BtG,GC,CB「

由正方体的性质易得AEIIB.GIIFC,,AE=BtG=FCX,

所以4瓦。,尸共面，且/EC尸为平行四边形，故面NEG即为面NEC/,

由/Eu面4&G尸，々GO面/EC1尸，则片G//面/EC/，

同理可得CG〃面/EC尸，BXG^CG=G,耳G,CGu面^CG,

所以面耳CG//面/EC/,要使用0〃平面/££,则M在△&CG的边上,

所以轨迹长为a+2x@=O+«,②错；

2

若G,/”分别为的中点，连接EG,GI,U,JE,显然EG//IJ,

所以共面，即用G/JE面EG7J,

由EG/IBB1,EG.面D[B]BD,BB、u面DRiBD,则EG//面。4助，

又IGIIBD,同理可得/G//面5。，EG^IG=G,EGJGu面EGU,

2

所以面〃4助//面EG/J,故面EG。内任意直线都与面。耳助平行,

要使〃平面。为8。，则M在四边形EG7J的边上运动，

止匕时轨迹长为2x变+2x1=血+2,③对；

2

若瓦/,K,Z,N分别是,4风出。,CG,CD的中点，并依次连接，

易知ENLKIH为正六边形,显然ENHIKHAC,

由E〃(Z面4CB[,48]U面/eq,贝|£77//面4c4，同理可得EN//面/Cq,

EHCEN=E,EH,ENu面ENLKIH,所以面EWLK7H〃面,

由3,_L面ACBt,则BD\±面ENLKIH,故BDt垂直于面ENLKIH所有直线,

要使EN1BD、,则M在边长为变的正六边形ENLKIH边上运动，

2

所以轨迹图形面积为6>4X(1)2x1=这，④对；

2224

故选：C

例2.(2024•辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末)在棱长为1的正方体。中，

E在棱。。上且满足〃E=EZ),点/是侧面/8月4上的动点，且〃面NEC,则动点/

在侧面/上的轨迹长度为.

【答案】立

2

【解析】如图，取的中点G,并连接G。、GB、BD、,

3

因为£在棱上且满足DXE=ED,即E是棱DDX的中点,

所以3G//CE,又BGcZ平面/EC,CEu平面/EC,

所以8G//平面AEC,同理可证QG〃平面/EC,

又BGCGD、=G,所以平面〃平面NEC,又BGu平面3GR,

所以8G//平面HEC,所以动点厂在侧面上的轨迹即为BG,

因为正方体的棱长为1,由勾股定理有：BG7B#+AG=旦.

2

例3.（2024•福建福州•高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体

N3CD-44GA中，E,F,G分别为所在棱的中点，尸为平面BCC4内（包括边界）一动

点，且2P〃平面EFG,则尸点的轨迹长度为

【解析】因为4A〃BC，则41,四点共面，

连接CA43，

因为£,9分别为所在棱的中点，则E尸〃48,

且u平面FGE,4B（Z平面FGE,所以〃平面FGE,

因为RG分别为所在棱的中点，则尸G〃4。，

4

且尸Gu平面尸GE,平面尸GE,所以4A〃平面尸GE,

AtBH4。=4,AXB,gu平面A,BCD,,

所以平面尸GE〃平面&BCD,,且平面BCG；4n平面48CA=3C,

可得当且仅当点P在棱8C上时，即D]Pu平面48CA，满足2尸〃平面EFG,

所以点尸的轨迹为线段3C,长度为2.

故答案为：2.

变式1.（2024・四川成都•高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱

柱/8C-44G中，加…,D,E分别为/C的中点.若侧面BBCC的中心为。,

M为侧面44CC内的一个动点，Q欣//平面3£）£,且M的轨迹长度为3也，则三棱柱

ABC-A'BG的表面积为.

【答案】48+86/86+48

【解析】

5

连接交4c于/,取GE的中点尸，过尸作“G//4C,

分别交eq,4G于〃,G,连接HG,OG,OF,OH,BQ,

易得OF!IBE,HG//DE,

因为O£〃G<z平面BED,BE,DEu平面BED,所以。尸〃平面BED,

HG〃平面BED,因为。尸cHG=尸，且都在面。HG内，所以平面OHG//平面BED,

所以M的轨迹为线段加，

因为ACE/~A4£/,所以等=洋=2,.•.孑=4=：，

f-jlCCC/J14二口T-

31

HGC.F3

因为AC|“G~AGC4,所以77=U7=彳，

C/2T.|C11'

所以C4=g〃G=4V^,.〔AB=A4二3°4=4，

故三棱柱48。-4月£的表面积为2x1x4x4x#+3x4x4=48+8/i

22

故答案为：48+873.

变式2.（2024•江苏扬州•高二统考期中）如图，正方体力BCD-44G2的棱长为2,点£是

线段的中点，点M是正方形80CG所在平面内一动点，若AM//平面4BE,则M点

轨迹在正方形BMG内的长度为.

6

【答案】V5

【解析】取8吕的中点尸，连接CP,PA，CA，如图所示:

因为CR//4B,CRa平面4台£,4Bu平面4BE,所以CQ〃平面/①1

因为CPHAXE,CPE平面4BE,4Eu平面AXBE,所以CP〃平面AXBE.

又因为CP,CQu平面。尸，，CP^CDX=C,

所以平面CPDJI平面A.BE.

因为〃平面48E,Me平面43CG，

所以M点在平面gBCG的轨迹为CP.

所以CP=J1+2?=5

故答案为：旧

变式3.（2024•江苏泰州•高二泰州中学校考阶段练习）正方体/BCD-4耳的棱长为3,

点E,尸分别在线段和线段回上，且AE=2ED,/尸=2%,点M是正方形gBCq

所在平面内一动点，若//平面FBE,则M点的轨迹在正方形BXBCCX内的长度为.

【答案】Vio

【解析】

7

A

如图，在8月上取点我，使得2户=；5月，在CG上取点G,使得CG=：CG，连接

.J。

FH,EG,HG,D\H,D】G,

根据正方体的性质可知，AAJIBBX,AAi=BB-

由已知可得，AiF=^AF=^AAl,

又B[H=；BB\,所以&H=；BBi=；44=4F.

又耳〃//4尸，所以，四边形"码4为平行四边形，

所以，FHHAR,且FH=44.

同理可得，EG//CD,S.EGCD,EBIIDXH.

根据正方体的性质可知，CD//44,且C。=44，

所以，FHHEG,且FH=EG,

所以，四边形EEG"是平行四边形，

所以，HG//EF.

因为“Gz平面FSE,跖u平面必E,所以"G〃平面必£.

同理可得，〃平面FBE.

因为HGu平面2〃G,平面RHCHG=H,

8

所以，平面G//平面尸BE.

又平面D、HGA平面B\BCC[=HG,

所以，根据面面平行的性质定理可知，只有“在线段加上运动时，满足条件.

过点〃作垂足为

易知HL=BC=3,且/a_LZG,LG=GCX-LCX=1,

所以，HG7HE+LG?=5.

故答案为：回.

变式4.（2024・全国•高三专题练习）在边长为2的正方体中，点M是该正

方体表面及其内部的一动点，且W〃平面4。。，则动点M的轨迹所形成区域的面积

是.

AG

【答案】2G

【解析】如图，边长为2的正方体/BCD-中,

DiG

动点M满足8A///平面AD,C,

由面面平行的性质得：当9始终在一个与平面平行的面内，即满足题意,

连接48,BG，4G，

因为ABHCXDX且N3=CQ],所以四边形ABC{DX为平行四边形，

9

所以ADJIBC,,同理A.BHD.C,

又平面4BG，8C|U平面4BG，所以/，〃平面&8G，

因为2c0平面&BG，48u平面42G，所以£>c〃平面48G，

又因cDXC=Dl,AQ,D[Cu平面ADtC,

所以平面A\BC\H平面ADtC,

又Be平面4BG，所以动点”的轨迹所形成区域为V43G，

A[B=BCX—4G=25/2,

S.Kr=-X2A/2X—x2V2=2<5,

△ZljZJC]22

所以动点M的轨迹所形成区域的面积是2百.

故答案为：2后.

变式5.（2024・全国•高三专题练习）如图，已知正方体MCD-44GA的棱长为2,Er分

别是棱44,4〃的中点，点尸为底面四边形N3CD内（包括边界）的一动点，若直线2尸与

平面BEF无公共点，则点尸在四边形ABCD内运动所形成轨迹的长度为.

【答案】45

【解析】取3c的中点G,连接NG,。。,/。，如图所示：

瓦厂分别是棱自、42的中点，所以EF〃皿，

又因为跖u平面麻户,皿U平面尸，所以〃平面8£7工

因为世〃BG,FD[=BG,

所以四边形EBG2为平行四边形，所以FB〃GR.

10

又因为尸8u平面BEF,GD{<Z平面BEF,所以Gj〃平面BEF.

因为GOn/Q=A，所以平面NAG〃平面3跖.

因为点尸为底面四边形MCD内（包括边界）的一动点，直线2尸与平面8跖无公共点,

所以尸的轨迹为线段ZG,则"3+12=6.

F.

AZ

\/

——安

故答案为：石.

变式6.（2024•全国•高三专题练习）如图所示，正方体MCD-4月GA的棱长为2,£、尸分

别为74，43的中点，点P是正方体表面上的动点，若G尸〃平面尸，则点尸在正方

体表面上运动所形成的轨迹长度为.

A--------------------------

FB

【答案】V2+2V5/2V5+V2

【解析】取8片的中点G,4片的中点〃，连结GH,C、G,CXH,4及EG,HF.正方体

/BCD-44G。的棱长为2.E,F,G,H为中点、,所以EF〃A〔B,GH〃4B,

所以EF〃GH旦EF=GH=6.

因为尸,X为分别为的中点,

11

所以FH〃Cq,且FH=CG，所以四边形FNCC为平行四边形,

所以HG〃B.

因为面CDXEF,CFu面。口£尸，

所以〃G〃面CAE尸.

同理可证：HG"面CD、EF.

又GHcHC、=H,HQu面CfiH,G〃u面CXGH,

所以面GHG〃面CjE尸.

所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形.

因为正方体的棱长为2,所以=GQ=也2+F=石,

所以三角形C]〃G的周长为Ga+〃G+GG=后+店+店=行+2道.

故答案为：72+275.

4

E

A

变式7.（2024•全国•高三专题练习）已知棱长为3的正四面体48c0,E为/。的中点，动

点尸满足P/=2PD,平面a经过点。，且平面a〃平面3CE,则平面a截点尸的轨迹所形

成的图形的周长为.

【答案】2岳

【解析】设△BCD的外心为O,3c的中点为尸，过。作3C的平行线，则以。为坐标原点,

可建立如图所示空间直角坐标系，

12

ZJ

•.•ABC。为等边三角形，BC=3,:.OD=^DF=^3,；.OA=R,

.-.^(0,0,76),D(0,A/3,0),小-洌,

21_2

设尸(x,y,z),由尸Z=2尸0得：X2+J2+(Z->/6)=4/+卜一e)+z2

z+亨

整理可得：x2++4,

・•.动点P的轨迹是以G0,十,-彳为球心，2为半径的球；

I3JJ

延长到点使得=AF=FQ,AC=CN,

则CE//QN,BEIIMD,又DN,MDu平面MND,CE,BEu平面MND,

.•.C£〃平面“人。，BE〃平面MND,由。£03£=/，CE,BEu平面BCE,

「•平面5CE〃平面M7VD,即平面M2VD为平面。，

则点G到平面的距离d即为点G到直线。。的距离，

,：DG=0,——,——,=（。,一2百,一指），,Z）G•DQ=—2+2=0,即Z）G_LZ）0,

点G到直线DQ的距离1=|方同=1,

截面圆的半径厂=722-12=5：•球被平面C截得的截面圆周长为2s=2后,

即平面a截点P的轨迹所形成的图形的周长为2岳.

故答案为：2粗兀.

题型二：由动点保持垂直求轨迹

例4.（2024•湖南株洲•高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体中,

13

点尸、。分别是3。，Bg的中点，点M为正方体表面上一动点，若〃尸与C。垂直，则点

M所构成的轨迹的周长为.

【答案】8+4石

【解析】如图，只需过点尸作直线的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M

的轨迹.

分别取CG，的中点r，S,

由tan/C10C=tanNBRC=2,知=易知C0_L砂，

又CQ_L/8,ABP[BR=B,4B,BRu平面4BRS,

所以CQ_L平面48RS,

过尸作平面/3RS的平行平面7"?向,点M的轨迹为四边形穴及4,

其周长与四边形/2RS的周长相等，

其中/3=7?S=4,BR=AS£#+2?=2亚，

所以点M所构成的轨迹的周长为2x4+2x26=8+4”.

故答案为：8+46

例5.（2024・湖南长沙•长郡中学校考二模）在正四棱柱/BCD-44GA中，

AB=1,AA1=4,£为。A中点，P为正四棱柱表面上一点，且弓尸±BXE,则点尸的轨

迹的长为.

【答案】V5+V2/V2+V5

【解析】如图，连接"D1,4G，由题可知，4G，4。，石2,平面44GA.

因4Gu平面481G2，则EQ14G.

14

又用Qu平面乐B，ED]U平EBR,ERCBR=»,则，平面£8..又名£u平

面£耳2,则C/±B、E；

如图，过E做。G平行线，交CG于尸，则歹为CG中点.连接所，BXF,

过C1做与尸垂线，交BB、于G.

由题可得，平面8CC内，又EF〃D、G，则跖工平面BCC".

因Cfiu平面BCCXBX,则C]G±EF.

又乌尸u平面片FE,FEu平面4尸£,FECB、F=F,则平面片尸£.

因BXEu平面BXFE,则Cfi±BtE；

因C|Gu平面CO4,£4u平面C]G4,£4CGG=q,则耳E，平面co4.

连接4G,则点P轨迹为平面0G4与四棱柱的交线，即△4GG.

注意到NB£G+ZGCjF=ZGQF+nNB£G=NBg,

则点p的轨迹的长为4G+cfi+=2.+；+也=石+也.

故答案为：V5+V2.

例6.（2024•全国・唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体力BCD-44G2的内

切球球面上的动点，M为3c的中点，DNLMB,若动点N的轨迹长度为应所，则正方

体的体积是.

【答案】64

【解析】如图所示:

正方体488-48][01,设48=2°,则内切球的半径尺=。,

其中M为4G的中点，取34的中点连接CH,

则有：CHYMB,DCVMB,

所以平面DCH,

所以动点N的轨迹是平面。CH截内切球。的交线,

即平面DCHG截内切球0的交线，

因为正方体ABCD—44，AB=2a,

如图所示：

连接OD,OG,O〃,则有0G==且。GLOH,

GH=2a,GD=45a^.GH1GD,

设。到平面。SG的距离为：d,

16

则在三棱锥。-OGH中，有%_GDHOGH，

所以、J_xG//xGZ)xd=WOGXOGXQ,

3232

BP—x—xx45axd=—x—x-J2ax41axa,

3232

解得：d=----a，

5

截面圆的半径/=一/=停0,

所以动点N的轨迹长度为：。=2仃=退。，

5

即±/瓦=迹E,解得。=2,

55

所以48=4,正方体的体积：%=夕=64，

故答案为：64.

变式8.（2024・全国•高三专题练习）已知直三棱柱/3C-/4G的所有棱长均为4,空间内

的点〃满足也，阳，且则满足条件的〃所形成曲线的轨迹的长度为.

［答案］生@/逑万

【解析】设刊的中点为M,3G的中点为N,易知MN=26,

因为HA_LH4,,且HBLHG，所以7/点在以叫，8G为直径的球上,

球心分别为W,N,半径分别为r=M4=2,R=NB=2叵，即3=2,HN=26，

又MN=2出,所以HM°+HN°=MN°,即

因为两球的交线为圆，所以“点轨迹是以7为圆心，以打为半径的圆,

所以轨迹长度为27rx娅=也.

33

17

故答案为：巫.

3

变式9.（2024•四川成者B•三模）如图，45为圆柱下底面圆。的直径，。是下底面圆周上一

JT_

点，已知乙4OC=§,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足反.丽=0,

则点D的轨迹所围成图形的面积为.

【答案】10

【解析】作母线CE,AF,连接£尸，

因为“尸〃CE,所以4F,CE共面，/CEF是圆柱的一个截面，

EC_L平面43C,3Cu平面4BC,所以EC_L8C,

又由已知得/C/8C,而/CnCE=C,/C,CEu平面/CE尸，

所以8C1平面NCE7"

由瑟・丽=0得CDL3C,所以。u平面/CEF,

矩形NCE/即为。点轨迹，

7T

ZAOC=~,贝!]/C=O/=2,又CE=5,

所以矩形/CEF的面积为2x5=10.

故答案为：10.

尸不二

，------0

c'

变式10.（2024・全国•高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆

JT

周上一点，已知=圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足

18

BC^AD,则点。的轨迹所围成图形的面积为

&一一于8

C

【答案】10

【解析】因为N3是圆柱下底面圆。的直径，所以8C1AC,

又BCL4D,AC^AD=A,/C,/Du平面/CD,所以3c工平面/CD,

设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为尸，连EF,CF,AC,

E'F二

:D

41二七…少B

C

因为4E_L平面4BC,3Cu平面43C,所以NE13C,

因为/En/C=/,/E,/Cu平面/CE,所以5cl平面/CE,

所以点。在平面NCE内，又点。在圆柱的表面，所以点。的轨迹是矩形/EFC,

TT

依题意得AE=5,OA=OC=2,ZAOC=~,所以NC=2,

所以矩形/EFC的面积为5x2=10.

故点。的轨迹所围成图形的面积为10.

故答案为：10.

变式11.（2024•浙江宁波•高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱NBC-44G中，

BC=CC、=3,4c=4,ACIBC,动点P在△44G内（包括边界上），且始终满足8尸，481,

则动点P的轨迹长度是.

19

G

"H

AB

12

【答案】y

【解析】在直三棱柱ABC-4AG中，8可，平面NBC,

因为NCu平面/3C,所以，AC±BBX,

又因为NC13C,BCCBB*,BC、Bgu平面班Q。，

所以，/。，平面8吕。。，

因为BGu平面BBCC，所以，BCJAC,

因为8月〃CG，BBi=CC、=BC,则四边形BqGC为菱形，所以，BCJBK，

又因为/Cc4C=C,AC,SCu平面/BC，所以，3C]_L平面/3C，

因为4B1U平面/gC,所以，BCX±ABX.

在平面43c内，过点q作月，垂足为点H,

因为8月，平面为8©,平面48©,则百，

因为4耳，BB}^AXBX=BX,BB\、44u平面及4兄

所以，平面448田，

因为4B|U平面①，贝ijagJC",

因为BGnG〃=C1,BC、、平面所以，4月1平面8。户,

由于动点尸又在△48G内，所以动点尸在平面4片G与平面3。”的交线上,

20

因为4c]=4C=4,BG=BC=3,AXC{LB,CX,

C2C222

所以，4Bx=741+A1=A/4+3=5,

_「小〃

4GB1e14x312

由等面积法可得C1H=1=丫=—,

A]B[55

因此，动点尸的轨迹长度是q12.

12

故答案为：y.

变式12.（2024•山东枣庄•高一统考期末）M,N分别是棱长为1的正方体/3CD-4耳GA

的棱CG，4分的中点，点P在正方体的表面上运动，总有〃尸，8N,则点尸的轨迹所围成

图形的面积为.

【答案】/

【解析】取台片中点G,连接DW,MG,GN,谡AGeBN=F,

则A®]=GB,ZNBtB=ZGBA=90°,BXB=BA,

所以ANB[B二/\GBA,

所以/NBB]=NGAB,

因为N尸G5+/G4B=90°,

21

所以ZFGB+/NBB、=90°,

所以/GFB=90。，即NG_L3N,

因为正方体ABCD-/4G。中40_L面,BNu面AA^B,

所以4DL8N,

因为AD,/Gu面ZDMG,AD^\AG=A,

所以3"_1面40儿心，

因为正方体力3c0-44中40,面幺48田，/Gu面44田田,

所以NDL/G,

所以点P的轨迹为矩形ADMG,

在直角AABG中AG=AB2+BG2=.11+—=,

V42

所以矩形40MG面积为=@xl=1.

22

即点P的轨迹所围成图形的面积为在.

2

故答案为：见

2

变式13.（2024・四川广元•高二广元中学校考期中）如图，45为圆柱下底面圆。的直径，C

__TT

是下底面圆周上一点，己知N/OC=彳，OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动,

2

且满足则点。的轨迹所围成图形的面积为.

C

22

【答案】1072

【解析】因为48是圆柱下底面圆。的直径，

所以8C1AC,

又BC14D,ACdAD=A,AC,平面/CD,

所以3C工平面/CD,

设过工的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为尸，连EF,CF,AC,

则四边形/EFC为矩形，

因为/E_L平面4BC,BCu平面/3C,

所以NE_LBC,

因为=AE,/Cu平面/CFE,

所以3cl平面ZCbE,

所以点D在平面ACFE内，

又点。在圆柱的表面，

所以点。的轨迹所围成图形是矩形NEFC,

TT

依题意得/E=5,OA=OC=2,ZAOC=~,

2

所以NC=2&，

所以矩形/EFC的面积为5x2收=10后，

故点。的轨迹所围成图形的面积为10行.

故答案为：10底.

变式14.（2024・陕西榆林•高二校考阶段练习）如图，正方体/BCD-44的棱长为2,

点M是棱3G的中点，点尸是正方体表面上的动点.若DMLCf,则尸点在正方体表面上

运动所形成的轨迹的长度为（）

23

A.V2+V5B.2A/2+A/5

C.V2+2V5D.2V2+2V5

【答案】C

【解析】取8月的中点G,44的中点H，连接£"、GH、GG、D\M、CM,

设如下图所示.

因为四边形44G2是正方形，又点M是棱4a的中点，点”是44的中点,

则耳G=C2，BIH=C[M,NCJBIH=NDgM=90。,

所以，RtA^CjT/^RtAqDjM,所以，NBgH=NCRM,

所以,NCiMR+NB£H=ACXMD{+NCJ\M=90°,

所以，ZCjOM=90°,即*G_L2W.

在正方体ABCD-44GA中，DDt1平面44G2,

又CXHu平面4B£R,所以。2，CXH,

又皿门。幽=口,DI、平面所以C"，平面。

又M)u平面DjM,所以同理可得，CfiVMD,

又GGcG〃=G，GG、平面GG〃，所以，DM1平面GG〃.

24

所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为0GH的三边，

因为正方体力4的棱长为2,

由勾股定理可得＜a=JBC+4H2=也2+仔=石,同理可得C]G=右，GH=近，

所以AGG”的周长为GH++GG=&+石+k=&+2石.

故选：C.

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

例7.（2024•贵州贵阳•高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体/BCD-4片中,

点。为侧面班CC内一动点（含边界），若20=与，则点。的轨迹长度为.

JT

【答案】—1兀

44

【解析】由题意，。在面33。。的轨迹是以。为圆心，半径为g的四分之一圆弧，

兀

所以轨迹长度为1;x2无x1；=；.

424

故答案为：?

4

例8.（2024・湖北武汉•高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体/BCD-44GA

的棱长为3,动点尸在V/4。内，满足=则点尸的轨迹长度为.

【答案】

【解析】在正方体48co-4用G。中，如图，

25

4

A

。，，平面48。）,NCu平面/BCD,贝而BZ），/C,

DDtIBD=D,DDX,JB。u平面B。Dl，于是4CL平面AD。，又BRu平面BDR,

则同理而/Cc/q=/,AC,4B|U平面/BC，

因此平面/3C，令AD1交平面/3C于点£,

=

由^B-ABtC"B、TBC，得5sA皿C=~S^ABC-BB1,

即A.（41AB^-BE=^AB3,解得BE=总AB=右，

而BDI=&B=3B于是Z）JE=2百，

因为点尸在V/4。内，满足2尸=旧，则£尸=心尸2_*2=收,

因此点尸的轨迹是以点E为圆心，加为半径的圆在V/3C内的圆弧，

而V/BC为正三角形，则三棱锥。必为正三棱锥，E为正V/4。的中心，

于是正V/3C的内切圆半径.=/4乂1义工=3*拒'1'』=逅，

123232

贝i]cos//ffiF="，即4叼=色，ZFEG=~,

263

所以圆在V/4c内的圆弧为圆周长的

即点P的轨迹长度为L2兀.血=也兀

2

故答案为：A/2TI

例9.（2024•河北邯郸•高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体48co-HB'C'O的

棱长为1,点P在该正方体的表面HB'C'。上运动，且尸/=百则点P的轨迹长度

是.

【答案】]

26

【解析】当4P=血时，如图，点尸的轨迹是在面8CC'），CDD'C,4B'C£>'三个面内以

7T

1为半径，圆心角为：的三段弧，所以此时点尸点P在该正方体的表面上运动的轨

迹的长度为三7T，

2

变式15.（2024・贵州铜仁・统考模拟预测）已知正方体43co-44G2的棱长为4,点尸在

该正方体的表面上运动，且尸4=4拒，则点尸的轨迹长度是.

【解析】因为尸4=4后>4,所以点尸可能在平面4耳。自内，可能在平面3CC4内，可能

在平面。CG。内.

当点尸在平面4吕。[。内时，

由44I_L平面44GA,4Pu平面44G2，可知44]_L4尸，

所以力2=44；+4尸2,所以4尸2=尸/2_44；=（4/-42=16,

所以点尸到4的距离为4,

所以点P的轨迹为以点4为圆心，4为半径的圆与正方形4BC。边界及其内部的交线.

27

AG

A{---------------------Bi

TT

如上图，耳=],44=4,

—、jr

则42的长/=5*4=2?1,

所以，当点尸在平面4耳C]。内时，点尸的轨迹长度是27t.

同理可得，当点尸在平面8CG耳内时，点P的轨迹长度也是如.

当点P在平面DCGA时，点尸的轨迹长度也是2限

综上所述，点P的轨迹长度为271+2兀+2兀=671.

故答案为：6n.

变式16.（2024•黑龙江齐齐哈尔•统考二模）表面积为36兀的球M表面上有4,2两点，且A/A©

为等边三角形，空间中的动点P满足|尸/|=2|尸邳，当点尸在AMI四所在的平面内运动时，

点尸的轨迹是；当尸在该球的球面上运动时，点尸的轨迹长度为.

【答案】圆坦叵E

13

【解析】设球的半径为r,则4兀/=36兀，解得r=3,

在平面内，动点尸的轨迹组成一个圆，以线段所在直线为x轴，以靠近点3且长度为1

处为坐标原点，

则-2,0）,5（1,0）,此时动点P的轨迹方程为（尤-2）2+/=4,

设其圆心为。1，则在空间中，z轴和xQy坐标平面垂直，

动点P的轨迹为平面中的圆（》-2）2+产=4绕》轴旋转一周形成球的球面，

如图所示，

28

所以点尸的轨迹是两个球面的交线，这两个球分别是以M和a为球心，

在△八四Q中，结合余弦定理得到\O,M\=A/32+1-2X3X1XCOS120°=V13.

设交线所围成的圆半径为R则=xV^?=[x3x2,

22

解得火=处.所以交线的长度为呸叵.

1313

故答案为：圆；为叵

13

变式17.（2024,全国•高三专题练习）已知正四棱柱45co-4月。]。的体积为16,E是棱3c

的中点，P是侧棱44上的动点，直线G尸交平面£4。于点尸，，则动点p的轨迹长度的最

小值为.

【答案】正

5

【解析】如图取的中点河，连接E/交/c于点尸，连接4G、5a交于点。，连接。尸、

BD,

3

因为£是棱的中点，所以ME//BD,则尸为/C的四等分点且=

由正四棱柱的性质可知。且。2=3耳，所以四边形DD内8为平行四边形，所以

所以BR//ME,所以4、〃、M、E四点共面，

所以平面BRMEA平面4cq4=OF,

连接"G交O尸于点G,因为P是侧棱上的动点，直线GP交平面协|。于点尸，，

29

所以线段0G即为点P'的轨迹,

如图在平面Nee/中，过点尸作液，4G，交4G于点“，因为4G〃/c,

所以A/bGsACQG,所以桨=—=],所以OG='OF,

0GOG工4c25

设/D=DC=。、DD、=b,(a,6>0),

i/2

依题意/6=16,CF=C,H=OH=-AC=—a,

144

所以OF70H2+HF?

要求动点尸'的轨迹长度的最小值，即求0G的最小值，即求O尸的最小值,

因为a%=16,所以

0

所以1/+62=」、"+62=62+2=62+!+_123：62，，=3,

88bbbb\bb

当且仅当b2=',即6=1、。=4时取等号，

b

所以（0口需=6,所以（OG）1mn=与，即动点P'的轨迹长度的最小值为竽.

变式18.（2024•全国•高三专题练习）已知棱长为8的正方体/BCD-4耳G。中，平面/BCD

内一点£满足砺=；而，点尸为正方体表面一动点，且满足|尸国=2近，则动点P运动的

30

轨迹周长为.

【答案