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文档简介
第52讲立体几何中的轨迹问题
知识梳理
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结:
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
必考题型全归纳
题型一:由动点保持平行求轨迹
例1.(2024・贵州铜仁•高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试)设正方体/3CD-4耳G2的
棱长为1,点£是棱4片的中点,点M在正方体的表面上运动,则下列命题:
①如果则点〃的轨迹所围成图形的面积为也;
2
②如果用加〃平面NEC一则点M的轨迹所围成图形的周长为遗;
2
③如果EN〃平面。片瓦入则点M的轨迹所围成图形的周长为2+应;
④如果9,3。,则点M的轨迹所围成图形的面积为述.
4
其中正确的命题个数为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】由42,面44区4,而N4u面区4,则42,工耳,又ABiLBA〉
又4,n34=4,42,34u面B42,则NBJ面B/Q,
1
由501U面842,则同理/C_LBD1,
ABl^AC=A,/q,/Cu面4c4,贝ijADj面/C区,
所以2Di垂直于面4C4所有直线,且/e面4c4,
若AM工BR,则河在边长为0的正△ZC4的边上,
故轨迹图形面积为gx(0)2xsin60°=#,①对;
若尸,G分别为CD,48中点,连接AF,FCX,BtG,GC,CB「
由正方体的性质易得AEIIB.GIIFC,,AE=BtG=FCX,
所以4瓦。,尸共面,且/EC尸为平行四边形,故面NEG即为面NEC/,
由/Eu面4&G尸,々GO面/EC1尸,则片G//面/EC/,
同理可得CG〃面/EC尸,BXG^CG=G,耳G,CGu面^CG,
所以面耳CG//面/EC/,要使用0〃平面/££,则M在△&CG的边上,
所以轨迹长为a+2x@=O+«,②错;
2
若G,/”分别为的中点,连接EG,GI,U,JE,显然EG//IJ,
所以共面,即用G/JE面EG7J,
由EG/IBB1,EG.面D[B]BD,BB、u面DRiBD,则EG//面。4助,
又IGIIBD,同理可得/G//面5。,EG^IG=G,EGJGu面EGU,
2
所以面〃4助//面EG/J,故面EG。内任意直线都与面。耳助平行,
要使〃平面。为8。,则M在四边形EG7J的边上运动,
止匕时轨迹长为2x变+2x1=血+2,③对;
2
若瓦/,K,Z,N分别是,4风出。,CG,CD的中点,并依次连接,
易知ENLKIH为正六边形,显然ENHIKHAC,
由E〃(Z面4CB[,48]U面/eq,贝|£77//面4c4,同理可得EN//面/Cq,
EHCEN=E,EH,ENu面ENLKIH,所以面EWLK7H〃面,
由3,_L面ACBt,则BD\±面ENLKIH,故BDt垂直于面ENLKIH所有直线,
要使EN1BD、,则M在边长为变的正六边形ENLKIH边上运动,
2
所以轨迹图形面积为6>4X(1)2x1=这,④对;
2224
故选:C
例2.(2024•辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末)在棱长为1的正方体。中,
E在棱。。上且满足〃E=EZ),点/是侧面/8月4上的动点,且〃面NEC,则动点/
在侧面/上的轨迹长度为.
【答案】立
2
【解析】如图,取的中点G,并连接G。、GB、BD、,
3
因为£在棱上且满足DXE=ED,即E是棱DDX的中点,
所以3G//CE,又BGcZ平面/EC,CEu平面/EC,
所以8G//平面AEC,同理可证QG〃平面/EC,
又BGCGD、=G,所以平面〃平面NEC,又BGu平面3GR,
所以8G//平面HEC,所以动点厂在侧面上的轨迹即为BG,
因为正方体的棱长为1,由勾股定理有:BG7B#+AG=旦.
2
例3.(2024•福建福州•高一福建省福州屏东中学校考期末)如图所示,在棱长为2的正方体
N3CD-44GA中,E,F,G分别为所在棱的中点,尸为平面BCC4内(包括边界)一动
点,且2P〃平面EFG,则尸点的轨迹长度为
【解析】因为4A〃BC,则41,四点共面,
连接CA43,
因为£,9分别为所在棱的中点,则E尸〃48,
且u平面FGE,4B(Z平面FGE,所以〃平面FGE,
因为RG分别为所在棱的中点,则尸G〃4。,
4
且尸Gu平面尸GE,平面尸GE,所以4A〃平面尸GE,
AtBH4。=4,AXB,gu平面A,BCD,,
所以平面尸GE〃平面&BCD,,且平面BCG;4n平面48CA=3C,
可得当且仅当点P在棱8C上时,即D]Pu平面48CA,满足2尸〃平面EFG,
所以点尸的轨迹为线段3C,长度为2.
故答案为:2.
变式1.(2024・四川成都•高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末)如图,在正三棱
柱/8C-44G中,加…,D,E分别为/C的中点.若侧面BBCC的中心为。,
M为侧面44CC内的一个动点,Q欣//平面3£)£,且M的轨迹长度为3也,则三棱柱
ABC-A'BG的表面积为.
【答案】48+86/86+48
【解析】
5
连接交4c于/,取GE的中点尸,过尸作“G//4C,
分别交eq,4G于〃,G,连接HG,OG,OF,OH,BQ,
易得OF!IBE,HG//DE,
因为O£〃G<z平面BED,BE,DEu平面BED,所以。尸〃平面BED,
HG〃平面BED,因为。尸cHG=尸,且都在面。HG内,所以平面OHG//平面BED,
所以M的轨迹为线段加,
因为ACE/~A4£/,所以等=洋=2,.•.孑=4=:,
f-jlCCC/J14二口T-
31
HGC.F3
因为AC|“G~AGC4,所以77=U7=彳,
C/2T.|C11'
所以C4=g〃G=4V^,.〔AB=A4二3°4=4,
故三棱柱48。-4月£的表面积为2x1x4x4x#+3x4x4=48+8/i
22
故答案为:48+873.
变式2.(2024•江苏扬州•高二统考期中)如图,正方体力BCD-44G2的棱长为2,点£是
线段的中点,点M是正方形80CG所在平面内一动点,若AM//平面4BE,则M点
轨迹在正方形BMG内的长度为.
6
【答案】V5
【解析】取8吕的中点尸,连接CP,PA,CA,如图所示:
因为CR//4B,CRa平面4台£,4Bu平面4BE,所以CQ〃平面/①1
因为CPHAXE,CPE平面4BE,4Eu平面AXBE,所以CP〃平面AXBE.
又因为CP,CQu平面。尸,,CP^CDX=C,
所以平面CPDJI平面A.BE.
因为〃平面48E,Me平面43CG,
所以M点在平面gBCG的轨迹为CP.
所以CP=J1+2?=5
故答案为:旧
变式3.(2024•江苏泰州•高二泰州中学校考阶段练习)正方体/BCD-4耳的棱长为3,
点E,尸分别在线段和线段回上,且AE=2ED,/尸=2%,点M是正方形gBCq
所在平面内一动点,若//平面FBE,则M点的轨迹在正方形BXBCCX内的长度为.
【答案】Vio
【解析】
7
A
如图,在8月上取点我,使得2户=;5月,在CG上取点G,使得CG=:CG,连接
.J。
FH,EG,HG,D\H,D】G,
根据正方体的性质可知,AAJIBBX,AAi=BB-
由已知可得,AiF=^AF=^AAl,
又B[H=;BB\,所以&H=;BBi=;44=4F.
又耳〃//4尸,所以,四边形"码4为平行四边形,
所以,FHHAR,且FH=44.
同理可得,EG//CD,S.EGCD,EBIIDXH.
根据正方体的性质可知,CD//44,且C。=44,
所以,FHHEG,且FH=EG,
所以,四边形EEG"是平行四边形,
所以,HG//EF.
因为“Gz平面FSE,跖u平面必E,所以"G〃平面必£.
同理可得,〃平面FBE.
因为HGu平面2〃G,平面RHCHG=H,
8
所以,平面G//平面尸BE.
又平面D、HGA平面B\BCC[=HG,
所以,根据面面平行的性质定理可知,只有“在线段加上运动时,满足条件.
过点〃作垂足为
易知HL=BC=3,且/a_LZG,LG=GCX-LCX=1,
所以,HG7HE+LG?=5.
故答案为:回.
变式4.(2024・全国•高三专题练习)在边长为2的正方体中,点M是该正
方体表面及其内部的一动点,且W〃平面4。。,则动点M的轨迹所形成区域的面积
是.
AG
【答案】2G
【解析】如图,边长为2的正方体/BCD-中,
DiG
动点M满足8A///平面AD,C,
由面面平行的性质得:当9始终在一个与平面平行的面内,即满足题意,
连接48,BG,4G,
因为ABHCXDX且N3=CQ],所以四边形ABC{DX为平行四边形,
9
所以ADJIBC,,同理A.BHD.C,
又平面4BG,8C|U平面4BG,所以/,〃平面&8G,
因为2c0平面&BG,48u平面42G,所以£>c〃平面48G,
又因cDXC=Dl,AQ,D[Cu平面ADtC,
所以平面A\BC\H平面ADtC,
又Be平面4BG,所以动点”的轨迹所形成区域为V43G,
A[B=BCX—4G=25/2,
S.Kr=-X2A/2X—x2V2=2<5,
△ZljZJC]22
所以动点M的轨迹所形成区域的面积是2百.
故答案为:2后.
变式5.(2024・全国•高三专题练习)如图,已知正方体MCD-44GA的棱长为2,Er分
别是棱44,4〃的中点,点尸为底面四边形N3CD内(包括边界)的一动点,若直线2尸与
平面BEF无公共点,则点尸在四边形ABCD内运动所形成轨迹的长度为.
【答案】45
【解析】取3c的中点G,连接NG,。。,/。,如图所示:
瓦厂分别是棱自、42的中点,所以EF〃皿,
又因为跖u平面麻户,皿U平面尸,所以〃平面8£7工
因为世〃BG,FD[=BG,
所以四边形EBG2为平行四边形,所以FB〃GR.
10
又因为尸8u平面BEF,GD{<Z平面BEF,所以Gj〃平面BEF.
因为GOn/Q=A,所以平面NAG〃平面3跖.
因为点尸为底面四边形MCD内(包括边界)的一动点,直线2尸与平面8跖无公共点,
所以尸的轨迹为线段ZG,则"3+12=6.
F.
AZ
\/
——安
故答案为:石.
变式6.(2024•全国•高三专题练习)如图所示,正方体MCD-4月GA的棱长为2,£、尸分
别为74,43的中点,点P是正方体表面上的动点,若G尸〃平面尸,则点尸在正方
体表面上运动所形成的轨迹长度为.
A--------------------------
FB
【答案】V2+2V5/2V5+V2
【解析】取8片的中点G,4片的中点〃,连结GH,C、G,CXH,4及EG,HF.正方体
/BCD-44G。的棱长为2.E,F,G,H为中点、,所以EF〃A〔B,GH〃4B,
所以EF〃GH旦EF=GH=6.
因为尸,X为分别为的中点,
11
所以FH〃Cq,且FH=CG,所以四边形FNCC为平行四边形,
所以HG〃B.
因为面CDXEF,CFu面。口£尸,
所以〃G〃面CAE尸.
同理可证:HG"面CD、EF.
又GHcHC、=H,HQu面CfiH,G〃u面CXGH,
所以面GHG〃面CjE尸.
所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形.
因为正方体的棱长为2,所以=GQ=也2+F=石,
所以三角形C]〃G的周长为Ga+〃G+GG=后+店+店=行+2道.
故答案为:72+275.
4
E
A
变式7.(2024•全国•高三专题练习)已知棱长为3的正四面体48c0,E为/。的中点,动
点尸满足P/=2PD,平面a经过点。,且平面a〃平面3CE,则平面a截点尸的轨迹所形
成的图形的周长为.
【答案】2岳
【解析】设△BCD的外心为O,3c的中点为尸,过。作3C的平行线,则以。为坐标原点,
可建立如图所示空间直角坐标系,
12
ZJ
•.•ABC。为等边三角形,BC=3,:.OD=^DF=^3,;.OA=R,
.-.^(0,0,76),D(0,A/3,0),小-洌,
21_2
设尸(x,y,z),由尸Z=2尸0得:X2+J2+(Z->/6)=4/+卜一e)+z2
z+亨
整理可得:x2++4,
・•.动点P的轨迹是以G0,十,-彳为球心,2为半径的球;
I3JJ
延长到点使得=AF=FQ,AC=CN,
则CE//QN,BEIIMD,又DN,MDu平面MND,CE,BEu平面MND,
.•.C£〃平面“人。,BE〃平面MND,由。£03£=/,CE,BEu平面BCE,
「•平面5CE〃平面M7VD,即平面M2VD为平面。,
则点G到平面的距离d即为点G到直线。。的距离,
,:DG=0,——,——,=(。,一2百,一指),,Z)G•DQ=—2+2=0,即Z)G_LZ)0,
点G到直线DQ的距离1=|方同=1,
截面圆的半径厂=722-12=5:•球被平面C截得的截面圆周长为2s=2后,
即平面a截点P的轨迹所形成的图形的周长为2岳.
故答案为:2粗兀.
题型二:由动点保持垂直求轨迹
例4.(2024•湖南株洲•高三株洲二中校考阶段练习)在棱长为4的正方体中,
13
点尸、。分别是3。,Bg的中点,点M为正方体表面上一动点,若〃尸与C。垂直,则点
M所构成的轨迹的周长为.
【答案】8+4石
【解析】如图,只需过点尸作直线的垂面即可,垂面与正方体表面的交线即为动点M
的轨迹.
分别取CG,的中点r,S,
由tan/C10C=tanNBRC=2,知=易知C0_L砂,
又CQ_L/8,ABP[BR=B,4B,BRu平面4BRS,
所以CQ_L平面48RS,
过尸作平面/3RS的平行平面7"?向,点M的轨迹为四边形穴及4,
其周长与四边形/2RS的周长相等,
其中/3=7?S=4,BR=AS£#+2?=2亚,
所以点M所构成的轨迹的周长为2x4+2x26=8+4”.
故答案为:8+46
例5.(2024・湖南长沙•长郡中学校考二模)在正四棱柱/BCD-44GA中,
AB=1,AA1=4,£为。A中点,P为正四棱柱表面上一点,且弓尸±BXE,则点尸的轨
迹的长为.
【答案】V5+V2/V2+V5
【解析】如图,连接"D1,4G,由题可知,4G,4。,石2,平面44GA.
因4Gu平面481G2,则EQ14G.
14
又用Qu平面乐B,ED]U平EBR,ERCBR=»,则,平面£8..又名£u平
面£耳2,则C/±B、E;
如图,过E做。G平行线,交CG于尸,则歹为CG中点.连接所,BXF,
过C1做与尸垂线,交BB、于G.
由题可得,平面8CC内,又EF〃D、G,则跖工平面BCC".
因Cfiu平面BCCXBX,则C]G±EF.
又乌尸u平面片FE,FEu平面4尸£,FECB、F=F,则平面片尸£.
因BXEu平面BXFE,则Cfi±BtE;
因C|Gu平面CO4,£4u平面C]G4,£4CGG=q,则耳E,平面co4.
连接4G,则点P轨迹为平面0G4与四棱柱的交线,即△4GG.
注意到NB£G+ZGCjF=ZGQF+nNB£G=NBg,
则点p的轨迹的长为4G+cfi+=2.+;+也=石+也.
故答案为:V5+V2.
例6.(2024•全国・唐山市第十一中学校考模拟预测)已知N为正方体力BCD-44G2的内
切球球面上的动点,M为3c的中点,DNLMB,若动点N的轨迹长度为应所,则正方
体的体积是.
【答案】64
【解析】如图所示:
正方体488-48][01,设48=2°,则内切球的半径尺=。,
其中M为4G的中点,取34的中点连接CH,
则有:CHYMB,DCVMB,
所以平面DCH,
所以动点N的轨迹是平面。CH截内切球。的交线,
即平面DCHG截内切球0的交线,
因为正方体ABCD—44,AB=2a,
如图所示:
连接OD,OG,O〃,则有0G==且。GLOH,
GH=2a,GD=45a^.GH1GD,
设。到平面。SG的距离为:d,
16
则在三棱锥。-OGH中,有%_GDHOGH,
所以、J_xG//xGZ)xd=WOGXOGXQ,
3232
BP—x—xx45axd=—x—x-J2ax41axa,
3232
解得:d=----a,
5
截面圆的半径/=一/=停0,
所以动点N的轨迹长度为:。=2仃=退。,
5
即±/瓦=迹E,解得。=2,
55
所以48=4,正方体的体积:%=夕=64,
故答案为:64.
变式8.(2024・全国•高三专题练习)已知直三棱柱/3C-/4G的所有棱长均为4,空间内
的点〃满足也,阳,且则满足条件的〃所形成曲线的轨迹的长度为.
[答案]生@/逑万
【解析】设刊的中点为M,3G的中点为N,易知MN=26,
因为HA_LH4,,且HBLHG,所以7/点在以叫,8G为直径的球上,
球心分别为W,N,半径分别为r=M4=2,R=NB=2叵,即3=2,HN=26,
又MN=2出,所以HM°+HN°=MN°,即
因为两球的交线为圆,所以“点轨迹是以7为圆心,以打为半径的圆,
所以轨迹长度为27rx娅=也.
33
17
故答案为:巫.
3
变式9.(2024•四川成者B•三模)如图,45为圆柱下底面圆。的直径,。是下底面圆周上一
JT_
点,已知乙4OC=§,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动,且满足反.丽=0,
则点D的轨迹所围成图形的面积为.
【答案】10
【解析】作母线CE,AF,连接£尸,
因为“尸〃CE,所以4F,CE共面,/CEF是圆柱的一个截面,
EC_L平面43C,3Cu平面4BC,所以EC_L8C,
又由已知得/C/8C,而/CnCE=C,/C,CEu平面/CE尸,
所以8C1平面NCE7"
由瑟・丽=0得CDL3C,所以。u平面/CEF,
矩形NCE/即为。点轨迹,
7T
ZAOC=~,贝!]/C=O/=2,又CE=5,
所以矩形/CEF的面积为2x5=10.
故答案为:10.
尸不二
,------0
c'
变式10.(2024・全国•高三专题练习)如图,为圆柱下底面圆。的直径,C是下底面圆
JT
周上一点,已知=圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动,且满足
18
BC^AD,则点。的轨迹所围成图形的面积为
&一一于8
C
【答案】10
【解析】因为N3是圆柱下底面圆。的直径,所以8C1AC,
又BCL4D,AC^AD=A,/C,/Du平面/CD,所以3c工平面/CD,
设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为尸,连EF,CF,AC,
E'F二
:D
41二七…少B
C
因为4E_L平面4BC,3Cu平面43C,所以NE13C,
因为/En/C=/,/E,/Cu平面/CE,所以5cl平面/CE,
所以点。在平面NCE内,又点。在圆柱的表面,所以点。的轨迹是矩形/EFC,
TT
依题意得AE=5,OA=OC=2,ZAOC=~,所以NC=2,
所以矩形/EFC的面积为5x2=10.
故点。的轨迹所围成图形的面积为10.
故答案为:10.
变式11.(2024•浙江宁波•高一慈溪中学校联考期末)如图,在直三棱柱NBC-44G中,
BC=CC、=3,4c=4,ACIBC,动点P在△44G内(包括边界上),且始终满足8尸,481,
则动点P的轨迹长度是.
19
G
"H
AB
12
【答案】y
【解析】在直三棱柱ABC-4AG中,8可,平面NBC,
因为NCu平面/3C,所以,AC±BBX,
又因为NC13C,BCCBB*,BC、Bgu平面班Q。,
所以,/。,平面8吕。。,
因为BGu平面BBCC,所以,BCJAC,
因为8月〃CG,BBi=CC、=BC,则四边形BqGC为菱形,所以,BCJBK,
又因为/Cc4C=C,AC,SCu平面/BC,所以,3C]_L平面/3C,
因为4B1U平面/gC,所以,BCX±ABX.
在平面43c内,过点q作月,垂足为点H,
因为8月,平面为8©,平面48©,则百,
因为4耳,BB}^AXBX=BX,BB\、44u平面及4兄
所以,平面448田,
因为4B|U平面①,贝ijagJC",
因为BGnG〃=C1,BC、、平面所以,4月1平面8。户,
由于动点尸又在△48G内,所以动点尸在平面4片G与平面3。”的交线上,
20
因为4c]=4C=4,BG=BC=3,AXC{LB,CX,
C2C222
所以,4Bx=741+A1=A/4+3=5,
_「小〃
4GB1e14x312
由等面积法可得C1H=1=丫=—,
A]B[55
因此,动点尸的轨迹长度是q12.
12
故答案为:y.
变式12.(2024•山东枣庄•高一统考期末)M,N分别是棱长为1的正方体/3CD-4耳GA
的棱CG,4分的中点,点P在正方体的表面上运动,总有〃尸,8N,则点尸的轨迹所围成
图形的面积为.
【答案】/
【解析】取台片中点G,连接DW,MG,GN,谡AGeBN=F,
则A®]=GB,ZNBtB=ZGBA=90°,BXB=BA,
所以ANB[B二/\GBA,
所以/NBB]=NGAB,
因为N尸G5+/G4B=90°,
21
所以ZFGB+/NBB、=90°,
所以/GFB=90。,即NG_L3N,
因为正方体ABCD-/4G。中40_L面,BNu面AA^B,
所以4DL8N,
因为AD,/Gu面ZDMG,AD^\AG=A,
所以3"_1面40儿心,
因为正方体力3c0-44中40,面幺48田,/Gu面44田田,
所以NDL/G,
所以点P的轨迹为矩形ADMG,
在直角AABG中AG=AB2+BG2=.11+—=,
V42
所以矩形40MG面积为=@xl=1.
22
即点P的轨迹所围成图形的面积为在.
2
故答案为:见
2
变式13.(2024・四川广元•高二广元中学校考期中)如图,45为圆柱下底面圆。的直径,C
__TT
是下底面圆周上一点,己知N/OC=彳,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动,
2
且满足则点。的轨迹所围成图形的面积为.
C
22
【答案】1072
【解析】因为48是圆柱下底面圆。的直径,
所以8C1AC,
又BC14D,ACdAD=A,AC,平面/CD,
所以3C工平面/CD,
设过工的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为尸,连EF,CF,AC,
则四边形/EFC为矩形,
因为/E_L平面4BC,BCu平面/3C,
所以NE_LBC,
因为=AE,/Cu平面/CFE,
所以3cl平面ZCbE,
所以点D在平面ACFE内,
又点。在圆柱的表面,
所以点。的轨迹所围成图形是矩形NEFC,
TT
依题意得/E=5,OA=OC=2,ZAOC=~,
2
所以NC=2&,
所以矩形/EFC的面积为5x2收=10后,
故点。的轨迹所围成图形的面积为10行.
故答案为:10底.
变式14.(2024・陕西榆林•高二校考阶段练习)如图,正方体/BCD-44的棱长为2,
点M是棱3G的中点,点尸是正方体表面上的动点.若DMLCf,则尸点在正方体表面上
运动所形成的轨迹的长度为()
23
A.V2+V5B.2A/2+A/5
C.V2+2V5D.2V2+2V5
【答案】C
【解析】取8月的中点G,44的中点H,连接£"、GH、GG、D\M、CM,
设如下图所示.
因为四边形44G2是正方形,又点M是棱4a的中点,点”是44的中点,
则耳G=C2,BIH=C[M,NCJBIH=NDgM=90。,
所以,RtA^CjT/^RtAqDjM,所以,NBgH=NCRM,
所以,NCiMR+NB£H=ACXMD{+NCJ\M=90°,
所以,ZCjOM=90°,即*G_L2W.
在正方体ABCD-44GA中,DDt1平面44G2,
又CXHu平面4B£R,所以。2,CXH,
又皿门。幽=口,DI、平面所以C",平面。
又M)u平面DjM,所以同理可得,CfiVMD,
又GGcG〃=G,GG、平面GG〃,所以,DM1平面GG〃.
24
所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为0GH的三边,
因为正方体力4的棱长为2,
由勾股定理可得<a=JBC+4H2=也2+仔=石,同理可得C]G=右,GH=近,
所以AGG”的周长为GH++GG=&+石+k=&+2石.
故选:C.
题型三:由动点保持等距(或定长)求轨迹
例7.(2024•贵州贵阳•高三贵阳一中校考期末)在棱长为1的正方体/BCD-4片中,
点。为侧面班CC内一动点(含边界),若20=与,则点。的轨迹长度为.
JT
【答案】—1兀
44
【解析】由题意,。在面33。。的轨迹是以。为圆心,半径为g的四分之一圆弧,
兀
所以轨迹长度为1;x2无x1;=;.
424
故答案为:?
4
例8.(2024・湖北武汉•高一湖北省水果湖高级中学校联考期末)已知正方体/BCD-44GA
的棱长为3,动点尸在V/4。内,满足=则点尸的轨迹长度为.
【答案】
【解析】在正方体48co-4用G。中,如图,
25
4
A
。,,平面48。),NCu平面/BCD,贝而BZ),/C,
DDtIBD=D,DDX,JB。u平面B。Dl,于是4CL平面AD。,又BRu平面BDR,
则同理而/Cc/q=/,AC,4B|U平面/BC,
因此平面/3C,令AD1交平面/3C于点£,
=
由^B-ABtC"B、TBC,得5sA皿C=~S^ABC-BB1,
即A.(41AB^-BE=^AB3,解得BE=总AB=右,
而BDI=&B=3B于是Z)JE=2百,
因为点尸在V/4。内,满足2尸=旧,则£尸=心尸2_*2=收,
因此点尸的轨迹是以点E为圆心,加为半径的圆在V/3C内的圆弧,
而V/BC为正三角形,则三棱锥。必为正三棱锥,E为正V/4。的中心,
于是正V/3C的内切圆半径.=/4乂1义工=3*拒'1'』=逅,
123232
贝i]cos//ffiF=",即4叼=色,ZFEG=~,
263
所以圆在V/4c内的圆弧为圆周长的
即点P的轨迹长度为L2兀.血=也兀
2
故答案为:A/2TI
例9.(2024•河北邯郸•高一大名县第一中学校考阶段练习)已知正方体48co-HB'C'O的
棱长为1,点P在该正方体的表面HB'C'。上运动,且尸/=百则点P的轨迹长度
是.
【答案】]
26
【解析】当4P=血时,如图,点尸的轨迹是在面8CC'),CDD'C,4B'C£>'三个面内以
7T
1为半径,圆心角为:的三段弧,所以此时点尸点P在该正方体的表面上运动的轨
迹的长度为三7T,
2
变式15.(2024・贵州铜仁・统考模拟预测)已知正方体43co-44G2的棱长为4,点尸在
该正方体的表面上运动,且尸4=4拒,则点尸的轨迹长度是.
【解析】因为尸4=4后>4,所以点尸可能在平面4耳。自内,可能在平面3CC4内,可能
在平面。CG。内.
当点尸在平面4吕。[。内时,
由44I_L平面44GA,4Pu平面44G2,可知44]_L4尸,
所以力2=44;+4尸2,所以4尸2=尸/2_44;=(4/-42=16,
所以点尸到4的距离为4,
所以点P的轨迹为以点4为圆心,4为半径的圆与正方形4BC。边界及其内部的交线.
27
AG
A{---------------------Bi
TT
如上图,耳=],44=4,
—、jr
则42的长/=5*4=2?1,
所以,当点尸在平面4耳C]。内时,点尸的轨迹长度是27t.
同理可得,当点尸在平面8CG耳内时,点P的轨迹长度也是如.
当点P在平面DCGA时,点尸的轨迹长度也是2限
综上所述,点P的轨迹长度为271+2兀+2兀=671.
故答案为:6n.
变式16.(2024•黑龙江齐齐哈尔•统考二模)表面积为36兀的球M表面上有4,2两点,且A/A©
为等边三角形,空间中的动点P满足|尸/|=2|尸邳,当点尸在AMI四所在的平面内运动时,
点尸的轨迹是;当尸在该球的球面上运动时,点尸的轨迹长度为.
【答案】圆坦叵E
13
【解析】设球的半径为r,则4兀/=36兀,解得r=3,
在平面内,动点尸的轨迹组成一个圆,以线段所在直线为x轴,以靠近点3且长度为1
处为坐标原点,
则-2,0),5(1,0),此时动点P的轨迹方程为(尤-2)2+/=4,
设其圆心为。1,则在空间中,z轴和xQy坐标平面垂直,
动点P的轨迹为平面中的圆(》-2)2+产=4绕》轴旋转一周形成球的球面,
如图所示,
28
所以点尸的轨迹是两个球面的交线,这两个球分别是以M和a为球心,
在△八四Q中,结合余弦定理得到\O,M\=A/32+1-2X3X1XCOS120°=V13.
设交线所围成的圆半径为R则=xV^?=[x3x2,
22
解得火=处.所以交线的长度为呸叵.
1313
故答案为:圆;为叵
13
变式17.(2024,全国•高三专题练习)已知正四棱柱45co-4月。]。的体积为16,E是棱3c
的中点,P是侧棱44上的动点,直线G尸交平面£4。于点尸,,则动点p的轨迹长度的最
小值为.
【答案】正
5
【解析】如图取的中点河,连接E/交/c于点尸,连接4G、5a交于点。,连接。尸、
BD,
3
因为£是棱的中点,所以ME//BD,则尸为/C的四等分点且=
由正四棱柱的性质可知。且。2=3耳,所以四边形DD内8为平行四边形,所以
所以BR//ME,所以4、〃、M、E四点共面,
所以平面BRMEA平面4cq4=OF,
连接"G交O尸于点G,因为P是侧棱上的动点,直线GP交平面协|。于点尸,,
29
所以线段0G即为点P'的轨迹,
如图在平面Nee/中,过点尸作液,4G,交4G于点“,因为4G〃/c,
所以A/bGsACQG,所以桨=—=],所以OG='OF,
0GOG工4c25
设/D=DC=。、DD、=b,(a,6>0),
i/2
依题意/6=16,CF=C,H=OH=-AC=—a,
144
所以OF70H2+HF?
要求动点尸'的轨迹长度的最小值,即求0G的最小值,即求O尸的最小值,
因为a%=16,所以
0
所以1/+62=」、"+62=62+2=62+!+_123:62,,=3,
88bbbb\bb
当且仅当b2=',即6=1、。=4时取等号,
b
所以(0口需=6,所以(OG)1mn=与,即动点P'的轨迹长度的最小值为竽.
变式18.(2024•全国•高三专题练习)已知棱长为8的正方体/BCD-4耳G。中,平面/BCD
内一点£满足砺=;而,点尸为正方体表面一动点,且满足|尸国=2近,则动点P运动的
30
轨迹周长为.
【答案
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