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文档简介
第33讲解三角形图形问题
知识梳理
解决三角形图形类问题的方法:
方法一:两次应用余弦定理是一种典型的方法,充分利用了三角形的性质和正余弦定
理的性质解题;
方法二:等面积法是一种常用的方法,很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更
为简单的问题,相似是三角形中的常用思路;
方法三:正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路;
方法四:构造辅助线作出相似三角形,结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比
例关系的不错选择;
方法五:平面向量是解决几何问题的一种重要方法,充分利用平面向量基本定理和向
量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起;
方法六:建立平面直角坐标系是解析几何的思路,利用此方法数形结合充分挖掘几何
性质使得问题更加直观化.
必考题型全归纳
题型一:妙用两次正弦定理
例L(2024•全国•高三专题练习)如图,四边形ABCD中/BAC=90,ZABC=30,
AD±CD,设NACD=6.
(1)若AABC面积是AACD面积的4倍,求sin26;
TT
(2)若=—,求tan®.
6
【解析】(1)设=则=AD=asmO,CD=acosO,由题意
S^ABC=4sAz1cD,
则L.A/^Q=4'”cose.〃sine,所以sin28=立
222
BD_6a
BDA3
(2)由正弦定理,A/题中,即sin(乃一6).万①
sinZBAD~sinZADB\sin—
6
BD2a
BD_BC曰门:
AfiCD中,~9即,I.Z)sin2②
sin/BCDsinZCDBsinly+6>
3
①:②得:2sinK+eJ=3sin。,化简得
括cos9=2sine,所以tan8=^^
2
例2.(2024.湖北黄冈.高一统考期末)如图,四边形ABCD中NB4C=90,ZABC=60,
ADLCD,设ZACD=8.
(1)若ABC面积是ACO面积的4倍,求sin20;
(2)若tmZADB=—,求tan。.
2
【解析】⑴设AB=〃,
则AC=y/3a,AD=y/3asin6,CD=y/3acos0,
由题意SABC=4SACD,
22
所以sin20=.
6
BDAB
(2)由正弦定理,在△ABD中,
sinZBAD-sinZADB
BDa
即「---ZT="―777^①
sin(»—8)sinZADB
BDBC
在△5CD中,
sin/BCDsinZCDB
BDla
即sin[?+。]sin(1-ZADB)®
sin。
=2tanZ.ADB=1
②+①得:sin5+0
.•.sin0=sinp|+0,化简得
cos0=(2-A/3)sin0,
所以tan6=2+A^.
例3.(2024・全国•高三专题练习)在①AB=2A£>,®sinZACB=2sinZACD,③
SABC=2S.AC»这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知在四边形ABC。中,ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且
(1)证明:tanZABC=3tanNBAC;
(2)若AC=3,求四边形ABC。的面积.
【解析】(1)方案一:选条件①.
ACBCAB
在,ABC中,由正弦定理得,
sinZABCsinABACsinZACB
ACCDAD
在/ACD中,由正弦定理得,
sinZADC-sinND4c.sinZACD,
因为/ABC+/ADC=7i,所以sinNABC=sinNWC,
因为3C=CD,所以sin4AC=sinNZMC,
因为/BAC+NZMCCTT,所以/BAC=/ZMC,
因为AB=2AD,所以sinNACB=2sinNACD.
因为sinZACB=sin(ZABC+ABAC),
sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(ZBAC+兀一ZABC)=sin(ZABC-Za4C),
所以sin(ZABC+NBAC)=2sin(ZABC-ZBAC),
即
sinZABCcosABAC+cosZABCsinZ.BAC=2(sinZABC-cosABAC—cosZABCsinZ.BAC),
所以sinZABCcosABAC=3cosZABCsinABAC,
所以tanNABC=3tanNBAC.
方案二:选条件②.
ACBC
在ABC中,由正弦定理得,
sinZABC—sinZBAC'
ACCD
在.ACD中,由正弦定理得,
sin/ADC一sin/ZMC'
因为/ABC+/ADC=7T,所以sinNABC=sinZ4DC,
因为3C=CD,所以sin/84C=sin/ZMC.
因为NBAC+ND4c<兀,所以/B4C=/ZMC.
因为sinZACB=sin(ZABC+ABAC),
sinZACD=sin(ZG4D+ZADC)=sin(ZB4c+兀一ZABC)=sin(ZABC-NBAC),
sinZACB=2sinZACD,
所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC-ABAC),
即
sinZABCcosABAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABC•cosABAC-cosZABCsinABAC),
所以sinZABCcosNS4C=3cosZABCsinNBAC,
所以tanZABC=3tanZ.BAC.
方案三:选条件③.
因为="qBCAC/ACB'S^CD.AC^ACD,且BC=CD,
°ABC~ACD,
所以sinZACB=2sinZACD
ACBC
在ABC中,由正弦定理得,
sinZABC—sinNBAC,
ACCD
在.ACD中,由正弦定理得,
sinNADC-sinNDAC
因为/ABC+/ADC=7i,所以sinNABC=sinNWC,
因为3C=CD,所以sin/BAC=sinNZMC,
因为/BAC+NZMC<兀,所以N5AC=/ZMC.
因为sinZACB=sin(ZABC+ABAC),
sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(ZBAC+兀一ZABC)=sin(ZABC-ZBAC),
所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC-ABAC),
即
sinZABCcosZBAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABCcosABAC-cosZABCsinNBAC),
所以sinZABCcosABAC=3cosZABCsinZBAC,
所以tanNABC=3tan44C.
(2)选择①②③,答案均相同,
由(1)可设AD=x,则AB=2x,
在.ABC中,由余弦定理得,
AB2+BC2-AC24x2-5
cosZABC=
2ABBC8x
在4ACZ)中,由余弦定理得,
AD2+CD2-AC2X2-5
cosZ.ADC=
2ADCD4x
因为cosZABC=cos(7i-ZADC)=-cosZADC,
4X2-5X2-5,解得x=叵或x=一巫(舍去),
所以
8x4x22
所以cosZABC=
8
3y/6
所以sinNABC=sinZADC
8
39^5
所以四边形ABCD的面积S=3SAACD=-ADCD^nZADC=—^
28
变式1.(2024.甘肃金昌.高一永昌县第一高级中学校考期中)如图,在平面四边形ABC。
TT37r
中,ABCD=-,AB=l,ZABC=—
24
(D当BC=6,CD二夜时,求ACD的面积.
JT
⑵当NAOC=—,AO=2时,求tanZAB.
6
3冗
【解析】(1)当8C=a时,在帅C中,AB=1,ZABC=—,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC,
即AC?=3-2&cos丁=5,解得AC=VL
所以MCB=心些3。=河
2ACBC2丽10
因为/BCD==,则sin/ACD=cos/ACB=2^
210
又C£>="
所以ACD的面积是SArD=-AC.CDsinZACD=-xV5x^/7x^^=-Vi4.
AC。22104
ABAC
(2)在一ABC中,由正弦定理得
sinZACBsinZABC
.„.3兀
artA3sin仄
即AC=4=12
sinZ.ACB2cosZACD
4c.兀
ADACADsin—
在一ACD中,由正弦定理得即1
sinZACDsinZADCAC=6
sinZACDsinZACD
则----------=---------,整理得sinZACD=0cosZACD,
2cosZACDsinZACD
TT
因为NAC£)<5,
所以tanNACD=0,
TT
因为48。=],所以
sin^-ZACD
tanZACB=tan]一ZACDcosZACD1_y/2
sinZACDtanZACD_2
cos-ZACO
变式2.(2024.广东广州•高一统考期末)如图,在平面四边形A3CD中,
712%
ZBCD=—,A8=1,ZABC=——
23
⑴若BC=2,CD=A/7,求ACD的面积;
TT
⑵若ZADC=—,AD=2,求cosZACD.
27r
【角军析】(1)因为AB=LNA5C=T,5C=2,
2万
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-ACcos—=7,即AC=«,
由余弦定理得cosZACB=----------------------二二一,
2xACxBC14
所以sinZAC£)=sin「2-ZAC』|二cosZAC3=^,
(2)14
所以ACD的面积S=LxACxC0xsinNACD=也
24
2AC
ADAC
(2)在ZVIDC中,由正弦定理得即sinNAC。一工①,
sinZACDsinZADC
2
11AC
43AC
在,ABC中,由正弦定理得即.「乃7A^rC\cosNACO正
sin/AC3sinZABCsinI--ZACDI
2
①②联立可得=
所以cosNACD=X^
因为/ACOe
7
变式3.(2024.广东.统考模拟预测)在平面四边形ABCD中,ZABD=/BCD=9。,
ZDAB=45.
D
AB
(1)若AB=2,ZDBC=30,求AC的长;
3
(2)若tan/A4C=—,求tan/DSC的值.
【解析】(1)在RtZVIBD中,因为ZDAB=45,所以06=2,
在RtBCD中,BC=2cos30=石,
在,ASC中,由余弦定理得
AC?=A82+8C2—2A8-BCCOSZABC=4+3-2x2x石COS120=7+2石,
所以4c=,7+2折
(2)设NDBC=a,在RtBCD中,BC=BDcosa=2cosa,
因为tanABAC=smZR4C=3,所以cosABAC=-sinABAC,
cosZBAC43
25
于是cos?ZBAC+sin*23*SZBAC=ysin2ZBAC=1,
因为0<NBAC<90,
34
所以sinNA4C=y,cosZBAC=-
A3CB
在4ABe中,由正弦定理得
sinZACBsinABAC
2_2coscr
所以sin(90-a-ZCAB)~3,
5
3
于是8$。©05(0+/。13)=二,
BP4cos2a—3sinacosa=3,
匕厂24cos2a—3smacosa4-3taner「
所以-----2-------=--------=--------;—=3,
cos6Z+sina1+tana
因为0<a<90,所以tanZDBC=tana=~
6
变式4.(2024•江苏徐州•高一统考期末)在①——―小②
cosBcosCa+c-b
sinB-cosB=,③ABC的面积
c4
S=1^(bsinC+ctanCcos5)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,
并完成解答.
在,ABC中,角A、5、。的对边分别为〃、b、J已知.
⑴求角C;
(2)若点。在边A8上,且&)=2A£>,cosB=,求tan/BCD.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分
【解析】(1)若选择①:因为si-=,2一一结合余弦定理cosB="2+,
cosBcosCa+c-blac
sinA2/sinAa
得=9即Qn----=—
cosBcosClac-cosBcosCc
由正弦定理可得q=器,sinA_sinA
所以
csinCcosCsinC
又Ae(O,7t),所以sinA>0,所以」一=」一,即tanC=l,
cosCsinC
又Ce(O,7r),所以C=:;
若选择②:因为sinB-cosB=®一",
c
结合正弦定理可得sinB-cosB=Ain'Tin',
sinC
即sinBsinC-cosBsinC=V2sinB-sinA=夜sinB—sin[兀一(3+C)],
=>/2sinB-sin(B+C)=V2sinB-(sinBcosC+cosBsinC),
BPsinBsinC=0sinB-sinBcosC,
又5£(0,兀),sinB>0,故sinC=0-cosC,即sinC+cosC=V5,
所以y/2sin(0+,即sin=1,
因为Ce(O㈤,C+不息亳,所以C+得C=;
若选择③:条件即sinCsinA=^-fsinBsinC+sincSinCcos.],
2IcosC)
又。«0,兀),sinC>0,
=^^-sin(B+C),
兀一A)=sinAcosC,所以^^sinA=sinAcosC,
72
又因为A£(0,7i),贝!JsinA>0,所以cosC二乎,
又因为。£(0,兀),所以c=会
JT
(2)设N3CD=e,贝|J/ACO=--e.
4
A
D
B
因为cosB=—,B40,兀),故sinB=Jl-cos?B=12
13
=旦斓+2inB=110,
所以sinA=sin[兀一(5+C)]=sin[-7t-S
1422
CDADCD
在,ACD中,由正弦定理可得,即通=
sinAsinZACDsinR-0
12
在△及»中,同理可得,CD_B,
BDsin0
12
12
13
因为瓦)=2AD,所以即13,
2sinf|-6>sin3'
应cos6—0sinesin。
2424
整理得tan6=—,BPtanZBC£)=—
4141
变式5.(2024.广东深圳.深圳市高级中学校考模拟预测)记,ABC的内角A、B、C的对边
分别为a、b>c,已知fecosA—acos3=Z?—c.
⑴求A;
(2)若点。在3C边上,且CD=25D,cosB=—,^tanZBAD.
3
【解析】(1)因为〃cosA—acos5=Z?-c,
由余弦定理可得b-匕工-'-a-空工*=b-c
2bc2ac
b2+c2-iz21
化简可得/+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=
2bc2
.71
因为0<A<7l,所以,A=—
3
(2)因为cosB=,则3为锐角,所以,sinB=A/1-cos2B=
3
2兀
因为A+5+C=TI,所以,C=------B,
3
.(2兀।.2兀2兀.V3g1V6_1V6
所以,sinC=sin------B=sin——cosB—cos——sin5=-----x1—x=—|--------,
3332---32326
2兀
^ZBAD=0,贝!]NC4O=3--d,
B
D
CDA。6A。
BDAD3AD
在△ABD和二ACD中,由正弦定理得S陪_「出厂3+卡,
sin0sinBa
因为CD=2BD,上面两个等式相除可得"sin;-0=(3+佝sin。,
即0cos6=(2+V^sin6,
所以,tan/BAD=tan0=--匕==y/3—V2.
2+V6
变式6.(2024.广东揭阳.高三校考阶段练习)在,ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且2cosA(ccos3+0cosC)=〃.
⑴求角A;
(2)若。是ABC内一点,ZAOB=120°,ZAOC=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.
【解析】(1)因为2cosA(ccosB+Z7cosc)=a,
所以由正弦定理得
2cosA(sinCeosB+sinBcosC)=2cosAsin(B+C)=2sinAcosA=sinA;
0°<A<180°,二.sinAwO,?.cosA=-,则A=60°;
2
(2)
ZOAC+ZOAB=ABAC=60,ZOAB+ZABO=1SO-ZAOB=60,:.ZOAC=ZABO;
百十E,曰4八AB-sinZABO3sinZABO、后."八八
在/AXAB。中,由正弦定理得:AO=------------------=----------------=2。3smzA30;
sinZAOBsin120
在VACO中,由正弦定理得:
AC-sinZACOsin(30-ZABO
AO==2sin(30-ZABO);
sinZAOCsin150
sinZABO=2sin(30-ZABO)=cosZABO-sinZABO,
即cosZABO=3百sinZABO,tanZABO=—
3石9
题型二:两角使用余弦定理
例4.(2024・全国•高一专题练习)如图,四边形45co中,cosZBAD=^,
AC=AB=3AD.
(1)求5出/48£);
⑵若/BCD=90。,求tanNCBD.
【解析】(1)△ABO中,设AC=AB=3AD=3(>0),则
1(?>t\+t2-BD--r-
cosABAD=-=V-----,解得2£)=2万
32x(3?)xz
An1
BD2+AD2=AB2,sinZABD=—=-;
AJJ3
(2)设AC=AB=3AD=3(r>0),则20=2万
设3C=M,CD=yt(x>0,y>0),
(3r)2+(xr)2-(3r)2%
ABC中,cosZBCA=
2x(3%)x(M6
1⑶)2+(”)272/+8
△ADC中,cosZDCA=-=—,「、
32x(3/)x(x)6y
,一,,,一71?+8
ZBCA+ZDCA=ZBCD=—,cosADCA=sinZBCA,可得2,化简得
26y
22
/+8X
=1,5Px2y2+/+64=20y2
6y
又•.BC2+CD2=BD2,x2t2+y-f=8r,即Y+/=8
.•.(8-/)/+/+64=20/,解得丫?=g,/=8_/=|
16
CD
ZCBD=——
BCxt
3
例5.(2024•全国•高一专题练习)如图,在梯形A8C0中,AB//CD,
AD=y/3BC=0.
⑴求证:sinC=V3sinA;
(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形ABC。的面积.
【解析】(1)连接8。.
因为AB〃CD,所以=
ADBD丁
在△AB。中,由正弦定理得----,①
sinZABDsinA
BCBD
在△3CD中,由正弦定理得
sinNBDCsinC
由AD=gBC,ZABD=ZBDC,结合①②可得sinC=^sinA.
(2)由(1)知sinC=>/3sinA,sinC=sin2A=2sinAcosA=\/3sinA,
cosA=^~,又0<A<7T,所以A=工,则C=2A=工.
263
连接BD,
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD-AB-cosA=(73):+AB2-2百.AB-g
=AB2-3AB+3=4CD2-6CD+3;
在公BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCD-cosC=I2+CD2-2xlxC£>x-
」’2
=CD2-CD+1,
7
所以45-68+3=5—8+1,解得CO=1或4.
2
当=1时,连接AC,在‘ACD中,由余弦定理,得
57r
AC2=AD2+CD2-2xADxCDxcos——
6
=3+--2xV3x-xf--49
932)9
747?
所以AC=—,而止匕时A5+BC=—+1=—,故CQ=—不满足题意,经检验CD=1满足题
3333
A.
后、,
此时梯形ABCD的高〃=AD.sin色=在,
62
当C£>=1时,梯形ABC。的面积S=;(A8+CD)/z=竽;
所以梯形ABCD的面积为记.
4
例6.(2024.河北.校联考一模)在,ABC中,AB=4,AC=2近,点。为BC的中点,连
接AD并延长到点E,使钻=3D£.
(1)若OE=1,求/BAC的余弦值;
7T
(2)若/ABC=T,求线段BE的长.
4
【解析】(1)因为DE=1,AE=3DE,所以A£)=2,
因为/4D3+/ADC=7i,所以COSNADB+COS/ADC=0,
BD-+AD2-AB-CD-+AD2-AC2
设BD=DC=x,------------------------------1-------------------------------=0,即
2BDAD2CDAD
X2+4-16八4一8
------------------1----------------=0,
2-x-22x2
解得x=20,所以如=28。=40,
6+松-叱16+8-32_A/2
在,ASC中,由余弦定理知,cosNB4C=
2ABAC242后—4
(2)在一ABC中,由余弦定理知,AC2AB2+BC2-2ABBC-cosZABC,
所以8=16+BC2-24BCq,化简得302_4回C+8=0,解得3c=2点,
因为。是BC的中点,所以==
2
在△ABO中,由余弦定理知,AD2^AB2+BD2-2ABBD-COSZABC
=16+2-2x4x^x—=10,
2
所以AO=JiU,
因为=所以AE=3AD=^^,
22
在△AB。中,由余弦定理知,
4炉+加-小16+10-23
cos/BAE=
2ABAD2X4X-71OVio
连接BE,在,ABE中,由余弦定理知,
一2x4x通35
BE2^AB2+AE2-2AB-AE-cosNBAE=16+
22
变式7.(2024.全国.模拟预测)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为”,b,c,
2cos22c=3—5cos21子-C1]
⑴求角C;
AC
⑵若点。在AB上,BD=2AD,BD=CD,求行的值.
BC
【解析】(1)因为
2cos22c=3-5cos2[等一C)=3-5cos(23兀-2C)=3-5cos(兀-2C)=3+5cos2C,
所以2cos,2C-5cos2C-3=0,解得cos2c=或cos2c=3(舍去),
所以2cos七-1=-工,BPCOSC=±-,
22
因为0<C<g,所以c=f.
23
(2)如图,因为BD=2AD,BD=CD,设AD=〃z,BD=CD=2m,
在.ABC中,由余弦定理得9m2=AC2+BC2-ACBC,
在△BCD中,由余弦定理得
/cn-BD2+CD2-BC2(2m)2+(2m)2-BC28m2-BC2
cos/BDC=—=zf
2BD-CD2x2mx2m8"
在△ADC中,由余弦定理得
/“八八AD2+CD2-AC2m2+(2m)2-AC25m2-AC2
cosZADC=------------------------=-----------------------=--------------,
2AD-CD2mx2m4m~
因为/3DC+NAr>C=万,所以cosNBL>C+cosNADC=0,
8〃?—-BC~5〃厂—AC__br、r“-7„
即pn-----3—+--------—=0,所以18〃/—BC2-2AC2=0,
8"4m
所以2(4^+8。2-4050-叱-23=0,
因为3CV0,所以3c=2AC,
济四AC1
所以商=5.
变式8.(2024•浙江舟山.高一舟山中学校考阶段练习)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,
ADsmD^2CDsmB.
⑴求证:BC=2CD;
(2)若AO=3C=2,ZADC=120,求48的长度.
AF)AC
【解析】⑴证明:在A8中,由正弦定理得击而
sin。
即4)•sin。=AC•sinZACD,
因为AB〃CD,所以NACD=NC4B,所以ADcin。:ACsinNCAB,
ACBC
在ABC中,由正弦定理得
sinBsinZCAB
即AC-sinZCAB=8C•sin3,所以AD•sinO=BC•sin5.
又ADsinD=2CZ>sin3,所以5Csin5=2CDsin8,即3C=2CD.
(2)由(1)知CD=LBC=1.
2
2
在.ACD中,由余弦定理得AC=AD?+CD2_2AD.CD-COSZADC
=22+l2-2x2xlxf-|j=7,故AC=V7.
2
「力2._Ar)l2+7-22_2A/7
所以cosZCAB=cosZACD=---------------
2CDAC2xlx^一7
在,ABC中,由余弦定理得BC"=AC2+AB2-2AC-ABcosZCAB,
BP22=1+AB2-2xy/lxABx^-,AB2-4AB+3=0,解得AB=1或3.
7
又因为ABCD为梯形,所以AB=3.
题型三:张角定理与等面积法
例7.(2024・全国•高三专题练习)已知△ABC中,。,瓦c分别为内角C的对边,且
2asinA=(26+c)sin5+(2c+Z?)sinC.
(1)求角A的大小;
(2)设点。为3C上一点,AD是ABC的角平分线,且AD=2,b=3,求ABC的面积.
【解析】(1)在△A3C中,由正弦定理及2asinA=(2Z?+c)sinB+(2c+b)sinC得:
a1—b2—bc=c2J..
由余弦定理得cosA=
2bc2
2冗
又0<4<兀,所以4=胃
jr
(2)AD是ABC的角平分线,ZBAD=ZDAC=~,
I2冗1jr1jr
由SMe=SAM+SCAD^sin-=—exADxsinj+—Z?xADxsin—
因为〃=3,AD=2f即有3c=2c+6,c=6,
痂C17•41QA09百
改3=—〃csinA=—x3x6x——=------
的。2222
例8,(2024.贵州黔东南.凯里一中校考三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,且2asinA=(2Z?+c)sin_B+(2c+/?)sinC.
⑴求A的大小;
⑵设点。为BC上一点,是△ABC的角平分线,且">=4,AC=6,求△ABC的面
积.
【解析】(1)因为2asinA=(26+c)sinB+(2c+b)sinC
所以根据正弦定理得:2a2=(26+c)b+(2c+b)c
即/="+/+历
由余弦定理得:a2=c2+b2-2bccosA
故cosA=一1
2
又Ae(O㈤
所以4号2元.
(2)因为A。是△ABC的角平分线,由5ADC=SABC
/口1A/I•兀1A,•兀IATI/.2兀
得:—AB-4sin—+—x4x6sin—=—AB-6sin——,
232323
所以AB=12
=-^-ACsin—=-xl2x6x^-=18^.
△ABC2322
例9.(2024.山东潍坊.统考模拟预测)在ASC中,设角A,B,C所对的边长分别为a,
b,c,.fi(c-Z2)sinC=(d:-Z?)(sinA+sinB).
(1)求A;
(2)若。为BC上点,AD平分角A,且〃=3,AD=6,求5T.
【解析】(1)因为(c—b)sinC=(Q—Z?)(sinA+sin3),
由正弦定理可得(c-b)c=(a-b)(a+b),整理得/+一A=/,
b2+c2-a2be_1
由余弦定理,可得cosA=
2bc2bc~2
又因为A£(0,1),可得A=q.
(2)因为。为BC上点,AD平分角A,贝1JS-BC=gAsinA=,
又由ZMC=-AC-ADsin-+-AB-ADsin—=--AD(b+c)=—(b+c),
2224"4"
可得Z?c=Z?+c,
3
又因为Z?=3,可得3c=3+c,解得0=5,
因为AABBDBDC
AC所,所以灰=g
2
变式9.(2024•安徽淮南•统考二模)如图,在中,AB=2,
3sin2B-2cosB-2=0.且点。在线段BC上.
(2)若BD=2DC,smZBA"=40,求△A3。的面积.
sinZCAD
【解析】(1)由—2cos5—2=0,可得3cos23+2cos5—1=0,
所以cos5=g或cos5=-l(舍去),
所以sinB=RL
3
因为NADC=型,所以44£>8=工,
44
ABADQ
由正弦定理可得:所以AO=,
sinZADBsinB
s-ABADsinZBAD
(2)由BL>=2L>C,得产坦=2,所以彳----------------=2,
%加-AC-ADsinZCAD
2
esinZBAD./-
因为钻=2'所
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