2024-2025学年新教材高中数学第三章函数章末复习提升课教师用书新人教B版必修第一册

PAGE3-章末复习提升课函数的定义域和值域(1)函数f(x)＝eq\f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))) B.[－1，4]C.[－5，5] D.[－3，7](3)求下列函数的值域：①y＝eq\f(2x＋1,x－3)；②y＝x＋4eq\r(1－x)；③y＝eq\f(1,x)－2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))).【解】(1)选D.由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,3x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,3).(2)选A.设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1，4].再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤eq\f(5,2)，即函数y＝f(2x－1)的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))).(3)①y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2(x－3)＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，明显eq\f(7,x－3)≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).②设t＝eq\r(1－x)≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5].③因为y＝eq\f(1,x)－2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))上为减函数，所以ymin＝eq\f(1,－\f(1,2))－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.ymax＝eq\f(1,－2)－2×(－2)＝eq\f(7,2).所以函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(7,2))).eq\a\vs4\al()求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.[留意](1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同.(2)定义域所指恒久是自变量的范围.1.设函数f(x)的定义域为[1，5]，则函数f(2x－3)的定义域为()A.[2，4] B.[3，11]C.[3，7] D.[1，5]解析：选A.由题意得，1≤2x－3≤5，解得2≤x≤4，所以函数f(2x－3)的定义域是[2，4].2.设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是Ｗ.解析：由题意可得：函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值为2.因为函数的值域是[－6，2]，令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.所以－1≤m≤1，1≤n≤3，所以0≤m＋n≤4.即m＋n的取值范围为[0，4].答案：[0，4]函数的解析式(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝Ｗ.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.①求出函数f(x)在R上的解析式；②写出函数的单调区间(写出即可，不须要证明).【解】(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，因为f(x＋1)＝x2－5x＋4，所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10，所以f(x)＝x2－7x＋10.故填x2－7x＋10.(2)①设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.又因为f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3(x>0)，,0(x＝0)，,－x2－2x－3(x<0).))②画出函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3(x>0)，,0(x＝0)，,－x2－2x－3(x<0)))的图像，如图：由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，0)，(0，1].eq\a\vs4\al()求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，运用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，运用待定系数法.(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，运用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.1.已知二次函数f(x)满意f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为Ｗ.解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＋b＋c＝2，,4a＋2b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，,c＝1，))故f(x)＝x2＋1.答案：f(x)＝x2＋12.若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为Ｗ.解析：令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)①.以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)②.由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋eq\f(2,5)，故f(x)＝2x＋eq\f(2,5).答案：f(x)＝2x＋eq\f(2,5)函数的单调性和奇偶性已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a).(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.【解】(1)证明：∀x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2(x1－x2),(x1＋2)(x2＋2)).因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增.(2)1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(a(x2－x1),(x1－a)(x2－a)).因为a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].eq\a\vs4\al()函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义推断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.1.(2024·张家界检测)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a≥－2C.－2≤a≤2D.a≤－2或a≥2解析：选D.因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－ax－5(x≤1)，,\f(a,x)(x>1)))是R上的增函数，求a的取值范围.解：因为f(x)在R上是单调递增的函数，所以f(x)需满意在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的函数值－12－a－5≤eq\f(a,1)，即a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5的对称轴为直线x＝－eq\f(a,2)，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－eq\f(a,2)≥1，即a≤－2；f(x)＝eq\f(a,x)在(1，＋∞)上单调递增，所以a<0.综上所述，a的取值范围是[－3，－2].函数图像及应用对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)推断其奇偶性，并指出图像的对称性；(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值.【解】(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数.图像关于y轴对称.(2)f(x)＝x2－2|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝(x－1)2－1，x≥0，,x2＋2x＝(x＋1)2－1，x<0.))画出图像如图所示，依据图像知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1].eq\a\vs4\al()作函数图像的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线.(2)变换法——熟知函数的图像的平移、对称、翻转.①平移：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(左加右减))y＝f(x±h)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(上加下减))y＝f(x)±k.(其中h>0，k>0)②对称：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x).1.已知函数y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是()解析：选D.因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，解除A、C，然后依据f(0)＝c<0，可知函数图像与y轴的交点在x轴下方.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.求x∈[－3，5]时，f(x)＝eq\f(1,2)的全部解的和.解：当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f(－x)＝－x.又因为f(x)为奇函数，所以x∈[－1，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x，即x∈[－1，1]时，f(x)＝x.又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图像关于直线x＝1对称.由此可得f(x)在[－3，5]上的图像如图：在同一坐标系内画出y＝eq\f(1,2)的图像，由图可知在[－3，5]上共有四个交点，所以f(x)＝eq\f(1,2)在[－3，5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，所以eq\f(x1＋x4,2)＝1，eq\f(x2＋x3,2)＝1，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4.三个“二次”间的转化若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满意f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.【解】(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可.因为g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，所以gmin＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0，得m＜－1.因此满意条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).eq\a\vs4\al()二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体.因此，解决此类问题首先采纳转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题.借助于函数思想探讨方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个实根x1，x2.(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；(2)求证：x1＜－1且x2＜－1.解：(1)由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－eq\f(1,a)，x1x2＝eq\f(1,a)，(1＋x1)(1＋x2)＝1＋(x1＋x2)＋x1x2＝1－eq\f(1,a)＋eq\f(1,a)＝1.(2)证明：令f(x)＝ax2＋x＋1，由Δ＝1－4a≥0，得0＜2a≤eq\f(1,2)，所以抛物线f(x)＝ax2＋x＋1的对称轴x＝－eq\f(1,2a)≤－2＜－1.又f(－1)＝a＞0，所以f(x)的图像与x轴的交点都在点(－1，0)的左侧，故x1＜－1且x2＜－1.函数的应用某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工.设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x).(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？【解】(1)由已知A型零件须要生产4500个，B型零件须要生产1500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个.所以g(x)＝eq\f(4500,5kx)＝eq\f(900,kx)，h(x)＝eq\f(1500,3k(214－x))＝eq\f(500,k(214－x)).则g(x)－h(x)＝eq\f(900,kx)－eq\f(500,k(214－x))＝eq\f(200,k)·eq\f(963－7x,x(214－x)).因为0＜x＜214，且x∈N，k∈N*，所以当0＜x≤137时，g(x)＞h(x)，当137＜x＜214时，g(x)＜h(x).所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(900,kx)，0＜x≤137，,\f(500,k(214－x))，137＜x＜214，))其中x∈N.(2)因为当0＜x≤137时，f(x)为减函数，当137＜x＜214时，f(x)为增函数，且eq\f(f(137),f(138))＝eq\f(900,137k)·eq\f((214－138)k,500)＝eq\f(9×76,137×5)＜1，所以当x＝137时f(x)的值最小，即支配137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少.eq\a\vs4\al()解应用题的基本步骤(1)审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系；(2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学学问建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，说明实际意义.某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台机器时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为F(x)＝5x－eq\f(1,2)x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台).(1)将利润表示为产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？解：(1)设利润函数为G(x)，成本函数为R(x)，则依题意，得G(x)＝F(x)－R(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－(0.5＋0.25x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5).(2)因为由(1)知利润函数G(x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，所以当x＝－eq\f(4.75,2×(－0.5))＝4.75时，G(x)有最大值，所以年产量为475台时，企业所得利润最大.1.函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2，x∈[0，1]，,2，x∈(1，2)，,x＋1，x∈[2，＋∞)))的值域是()A.R B.(0，2)∪(2，＋∞) C.(0，＋∞) D.[0，2]∪[3，＋∞)解析：选D.①当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]；②当x∈(1，2)时，f(x)＝2；③当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝x＋1∈[3，＋∞).综上所述，f(x)的值域为[0，2]∪[3，＋∞).故选D.2.(2024·沈阳期末)已知函数y＝eq\f(k,x－2)(k≠0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为()A.1 B.－6C.1或－6 D.6解析：选A.由题意知，当k＞0时，函数y＝eq\f(k,x－2)在[3，8]上单调递减，因为函数在[3，8]上的最大值为1，所以eq\f(k,3－2)＝1，所以k＝1；当k＜0时，函数y＝eq\f(k,x－2)在[3，8]上单调递增，因为函数在[3，8]上的最大值为1，所以eq\f(k,8－2)＝1，解得k＝6(舍去)，故选A.3.若f(x)＝3ax－2a＋1，若存在x0∈(－1，1)，使f(x0)＝0成立，则实数a的取值范围是()A.－1＜a＜eq\f(1,5) B.a＜1C.a＜－1或a＞eq\f(1,5) D.a＞eq\f(1,5)解析：选C.由于给出的是一次函数形式，通过数形结合分析应满意条件f(－1)·f(1)＜0⇒(－5a＋1)(a＋1)＜0⇒(5a－1)(a＋1)＞0⇒a＞eq\f(1,5)或a＜－1，故选C.4.学校团委接受了一项任务，完成这项任务的时间t与参与此项任务的同学人数x之间满意关系式：t＝ax＋eq\f(b,x).当x＝10时，t＝100，当x＝20时，t＝100.若想所用时间最短，则参与人数为()A.13 B.14C.15 D.16解析：选B.由已知得100＝10a＋eq\f(b,10)＝20a＋eq\f(b,20)，解得a＝eq\f(10,3)，b＝eq\f(2000,3)，则t＝eq\f(10,3)x＋eq\f(2000,3x).由eq\f(10,3)x＝eq\f(2000,3x)得x2＝200.又x∈N*，则x＝14或x＝15.当x＝14时，t1＝eq\f(10,3)×14＋eq\f(2000,3×14)＝94eq\f(2,7)；x＝15时，t2＝eq\f(10,3)×15＋eq\f(2000,3×15)＝eq\f(850,9)＝94eq\f(4,9).因为t2＞t1，故选B.5.(2024·湖州检测)已知函数f(x)＝eq\f(2ax2＋1,x)(a∈R).(1)若f(1)＝2，求函数y＝f(x)－2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域；(2)当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，试推断f(x)在(0，1]上的单调性，并用定义证明你的结论.解：(1)依据题意，函数f(x)＝eq\f(2ax2＋1,x)，若f(1)＝2，则eq\f(2a＋1,1)＝2，解得a＝eq\f(1,2)，则f(x)＝eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)，则y＝f(x)－2x＝eq\f(1,x)－x，设g(x)＝eq\f(1,x)－x，分析易得g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上为减函数，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，g(2)＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，故y＝f(x)－2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))).(2)f(x)＝eq\f(2ax2＋1,x)＝2ax＋eq\f(1,x)，当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)在(0，1]上为减函数，证明如下：设0＜x1＜x2≤1，f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax2＋\f(1,x2)))＝(2ax1x2－1)·eq\f((x1－x2),x1x2)，又由a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))且0＜x1＜x2≤1，则(x1－x2)＜0，(2ax1x2－1)＜0，则f(x1)－f(x2)＞0，即函数f(x)在(0，1]上为减函数.[A基础达标]1.函数f(x)＝eq\f(1,\r(x＋1))＋eq\r(4－2x)的定义域为()A.[－1，2] B.(－1，2]C.[－2，＋∞) D.[1，＋∞)解析：选B.法一：要使函数f(x)＝eq\f(1,\r(x＋1))＋eq\r(4－2x)有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,4－2x≥0，))解得－1＜x≤2，故选B.法二：因为x≠－1，解除A；取x＝3，则4－2x＝4－6＝－2＜0，所以x≠3，解除C、D，故选B.2.函数f(x)＝x－eq\f(4,x)的零点有()A.0个 B.1个C.2个 D.多数个解析：选C.令f(x)＝0，即x－eq\f(4,x)＝0，所以x＝±2.故f(x)的零点有2个，选C.3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t改变的函数h＝f(t)的图像如图所示，则杯子的形态是()解析：选A.从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快.故选A.4.已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1，f(a)＝2，则f(－a)＝()A.－4 B.－2C.－1 D.－3解析：选A.因为f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1，所以f(a)＝a＋eq\f(1,a)－1＝2，所以a＋eq\f(1,a)＝3，所以f(－a)＝－a－eq\f(1,a)－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－1＝－3－1＝－4.5.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x＜0，))则不等式f(x)＞f(1)的解集是()A.(－3，1)∪(3，＋∞)B.(－3，1)∪(2，＋∞)C.(－1，1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，3)解析：选A.画出函数f(x)的图像如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3，1，3，所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3，1)∪(3，＋∞).故选A.6.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1(x≤－1)，,x2(－1＜x＜2)，,2x(x≥2)，))若f(x)＝3，则x的值是Ｗ.解析：由f(x)＝3得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－1，,x＋1＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜2，,x2＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,2x＝3，))解得x＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为(m).解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AH)，又AH＝BC＝40，则DE＝AF＝x，FH＝40－x.则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，S取得最大值.答案：208.已知f(x)＝x2－x＋k(k∈N)，若方程f(x)＝2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上有两个不相等的实数根，则k＝Ｗ.解析：令F(x)＝f(x)－2＝x2－x＋k－2，则F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上有两个不同零点.由于对称轴为直线x＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F(－1)＞0，,F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＞0，,F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1＋k－2＞0，,\f(9,4)－\f(3,2)＋k－2＞0，,\f(1,4)－\f(1,2)＋k－2＜0.))所以eq\f(5,4)＜k＜eq\f(9,4).由k∈N，得k＝2.答案：29.设函数f(x)＝eq\f(4＋x2,4－x2).(1)求f(x)的定义域，并推断f(x)的奇偶性；(2)求证：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))＝－f(2x).解：(1)要使原函数有意义，只需4－x2≠0，即x≠±2，所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}，因为f(x)的定义域为{x|x≠±2}，所以定义域关于原点对称.又f(－x)＝eq\f(4＋(－x)2,4－(－x)2)＝eq\f(4＋x2,4－x2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)证明：因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))＝eq\f(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))\s\up12(2),4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))\s\up12(2))＝eq\f(x2＋1,x2－1)，f(2x)＝eq\f(4＋(2x)2,4－(2x)2)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))＝－f(2x).[B实力提升]10.定义运算a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(b－1)，a＜0，,2a－b，a≥0，))设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则该函数的图像应当是()解析：选C.由a⊗b的定义，可知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x＜0，,x－1，x≥0，))由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图像过点(0，－1)，解除A，B；当x＜0时，y＝x2＞0，解除D，只有C符合，故选C.11.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}＝()A.eq\f(3,2) B.1C.3 D.eq\f(7,2)解析：选D.如图所示，y＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的图像为图中的实线部分，则易知求最大数即为图中B点的纵坐标，又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(7,2)))，故选D.12.已知函数f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a＞0，x＞0).(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，求a的值.解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0，x1x2＞0，所以f(x2)－f(x1)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x1)))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1