解直角三角形（专项训练 ）（解析版）

第17讲解直角三角形（精讲）

孽对日籍金

1.锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）解直角三角形

2.30°,45°,60°角的三角函数值

3.使用参考数据由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角

4.用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题

匡।考支导就

第17讲解直角三角形（精讲）........................................................1

考点1:锐角三角函数的计算.......................................................2

考点2：解直角三角形..............................................................6

考点3：解直角三角形的应用......................................................17

课堂总结：思维导图..............................................................38

分层训练：课堂知识巩固.........................................................39

考点1：锐角三角函数的计算

①锐角三角函数：

4的对边_a

正弦：sinA-

斜边c

J-A的邻边_b

余弦:cosA

斜边c

J-A的对边a

正切：tcikiA.

乙A的邻边b

②特殊角的三角函数值

三角彘、30°45°60°

]_

sinA

2~T2

V3j_

cosA旦

222

V3

tanA1V3

3

，♦…N学春笔记

例41卷新

【例题精析1】｛三角函数的定义★｝已知RtAABC中，ZC=90°,AC=2,8C=3,那么下列各式中

正确的是（)

二222

A.sin/B.tanZ=一C.tanB=—D.cosB=—

3333

【分析】由勾股定理求出斜边再根据锐角三角函数的定义分别求出sin/、tan/、tanB、cos8即

可.

【解答】解：RtAABC中，ZC=90°,•・•力。=2,BC=3,AB=^AC2+BC2=V?3,

.,BC3布,tan"/tan八生二，"4=巫

sinA=----=-------,故选：C.

AB13AC2BC3AB13

【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提.

【例题精析2】｛三角函数的定义★｝在区1必8（3中，ZC=90°,AC:BC=1:2,则4的正弦值为（

)

心

AD275DT

D.-----------C.2

552

【分析】先通过勾股定理求出斜边长度，再根据三角函数求解.

【解答】解：设/C为x,则BC=2x,由勾股定理得==氐,

2x还.故选：B.

AB有x5

【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是注意正弦值为锐角的对边与斜边的比.

3

【例题精析3】｛三角函数的计算★｝计算：2sin?45°+tan60°•tan30°-cos60°=

~2~

【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可.

【解答】解:2sin245°+tan60°-tan30°-cos60°

=2x(*)2+百x^--=2x-+l--=l+l--=~,故答案为：-

3222222

【点评】本题考查的特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

分对支羽珠

4

【对点精练1】｛三角函数的定义★｝如图，在RtAABC中，ZC=90°,sin^=-,BC=8,则/8=

【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可.

44RC8

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,sin/=—,8c=8,;.sin/=—=——=—,

55ABAB

AB=10,故答案为：10.

【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提.

【对点精练2】｛三角函数的定义★｝在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,48=10,则cos/=

4

5

【分析】利用勾股定理求出/C,再根据cos/=±,求解即可.

【解答】解：如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,

.".AC=AB2—BC2=V102—62=8,cosA==—=—,故答案为:

AB1055

【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

【对点精练3】｛三角函数的计算★｝计算：sin2450+2cos230°=2.

【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可.

【解答】解：原式=（包y+2x（@）2=L+2x3=L+3=d=2,故答案为：2.

2224222

【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提.

【对点精练4】｛三角函数的计算★｝在AABC中，（2cosN-行＞+|1-tan为=0,则AABC一定是:

等腰直角三角形.

【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角/和角2,进而确定三角形的形状.

【解答】解：因为（2cos/-拒）2+|lTanB|=0,所以2cos/-也=0,且l-tan2=0,即cos/二3，

tanS=l,所以乙4=45。，NB=45。,所以A43c是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形.

【点评】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前

提.

■隹兵+必

【实战经典1】（2021•泸州）在锐角A42c中，NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,有以下结

论：L=2R（其中尺为A43C的外接圆半径）成立.在AA8C中，若NN=75。，

sin/sin5sinC

/S=45。，c=4,则AABC的外接圆面积为（）

A16万c64%

A.-----B.-----C.167rD.64万

33

【分析】已知c,所以求出NC的度数即可使用题中的结论，得到关于尺的方程，再求圆的面积即可.

【解答】解：vZA+ZB+ZC=180°,ZC=180°-ZA-ZB=180°-75°-45°=60°,

448/­4/-

----=2R,2R=------=—=-^3,.•.火=一5S=7TR2=7T（—y/3）2=——7T，故选：A.

sinCsin60°63333

2

【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是求出NC

的度数，使用题中的结论，得到关于R的方程.

【实战经典2】Q020•桂林）如图，在RtAABC中，ZC=90°,23=13,NC=5,则cos/的值是

5

13-

【分析】根据余弦的定义解答即可.

Ar55

【解答】解：在RtAABC中，cos/=—=—,故答案为：一.

AB1313

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角4的邻边6与斜边c的比叫做a4的余弦是解题的关

键.

庭和钥林理

考点2：解直角三角形

①解直角三角形的概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元

素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.

②解直角三角形的常用关系：

(1)三边之间的关系：02+62=°2；

(2)锐角之间的关系：乙4+乙8=90。；

、、、、aba

(3)边角之间的关系：sinA—=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA.

ccb

Q,河学硝笔记

-Qi钠强帮帮

【例题精析1】｛解直角三角形玄｝如图，在AA8C中，AB=4C=10,3c=12,点。为3c的中点,

DE1.AB于点、E,贝!JtanNBDE的值等于（）

【分析】连接由A48c中，AB=AC=10,BC=\2,D为BC中点,利用等腰三角形三线合一的性

质，可证得ZDLBC,再利用勾股定理，求得的长，那么在直角中根据三角函数的定义求出

tanZBAD,然后根据同角的余角相等得出NBDE=/BAD,于是tanNBDE=tanZBAD.

【解答】解：连接

•.♦AABC中，AB=AC=1Q,3c=12,。为8c中点,

AD±BC,BD=-BC=6,

2

AD=ylAB2-BD2=8,

3

4

ADIBC,DELAB,

:./BDE+/ADE=90。,ABAD+ZADE=90°,

ZBDE=ABAD,

3

/.tanZBDE=tan/BAD=—，

故选：c.

【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性

质.此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.

【例题精析2】｛解直角三角形玄｝如图，A48c的顶点是正方形网格的格点，贝UsinNZCB的值为（

回

7o-

【分析】连接格点构造直角三角形，先计算NC,再算N/C8的正弦.

【解答】解：连接格点/、D.

在RtAADC中，

2222

AD=3,CD=1,CA=\lAD+CD=A/3+1=V10.sinZACB=—.故选：D.

ACVioio

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

【例题精析3】｛解直角三角形玄｝如图，在四边形4BCD中，NB=ND=90。,AB=3,BC=2,

4

tanA=~,则CD的值为（）

D

CB

A.：

【分析】延长BC,两线交于O,解直角三角形求出08,求出OC,根据勾股定理求出。4,求出

AODCS'OBA,根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可.

【解答】解：延长BC,两线交于O,

在RtAABO中，AB=90°,tan^=-=—,AB=3,

3AB

.•.05=4,•;BC=2,:.OC=OB—BC=4—2=2,

在RtAABO中，NB=90。,AB=3,05=4,由勾股定理得：40=5,vZADC=90°f

T~\X~rX-fT-X0A

AODC=90°=AB,­：AO=AO,\ODC^\OBA,——=——，/.——=-,解得：DC=-,故选:

ABOA355

D.

【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线（构

造出直角三角形）是解此题的关键.

【例题精析4】｛解直角三角形十｝（2021•内江）已知，在AA8C中，ZA=45°,4B=4形，BC=5,

则AABC的面积为2或14.

【分析】过点8作/C边的高AD,RtAABD中，乙4=45。，AB=472,得8。=40=4,在RtABDC中,

BC=4,得CD=j4?+32=5,①AABC是钝角三角形时，②AA8C是锐角三角形时，分别求出/C的长,

即可求解.

【解答】解：过点2作/C边的高BD,RtAABD中，入1=45。，AB=46，

BD=AD=4,在RtABDC中，BC=4,CD=742+32=5,①AA8C是钝角三角形时，

AC=AD-CD=\,=LNC-3O=^X1X4=2；②ZU2C是锐角三角形时，AC=AD+CD=1,

22

:.SMBC=1^C-5D=1x7x4=14,故答案为：2或14.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想.

【例题精析5】｛解直角三角形玄｝如图，ZU2C中，ZACB=90°,NC=8C,点。、点E分别在

AB、AC±,连接CD、ED,ED=CD,tanAADE=~,BD=42,贝!|/8=372.

3——

【分析】如图，过点。作OQL/C于点。，ZJPLBC于点尸，过点作E7L4D于点7.证明A4ET,

NDPB,A4O0都是等腰直角三角形，利用参数构建方程求解即可.

【解答】解：如图，过点。作于点0,。尸，8c于点尸，过点作£7J.4D于点T.

•••CA=CB,ZACB=90°,AA=AB=45°,:.AT=ET,DP=PB,BD=42,

FT1

-,PB=DP=1,•/tanZADE=—二可以设£T=左，DT=3k,:.AD=4k,

DT3

AE=42k,AQ=DQ=242k,/.EQ=AQ-AE=41k,-/DE=DC,DQ1EC,EQ=CQ=PD=1,

=1,:.k=—,AD=4k=2V2,:.AB=AD+DB=3后,

2

【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造直角三角形解决问题.

匕时点例依

【对点精练1】｛解直角三角形玄｝如图，A42c的顶点N,B,C都在边长为1的正方形网格的格点

上，AD_L/C于点。，贝Utan/BAD的值为3

【分析】利用等面积法求出2。，再利用勾股定理求出45即可.

【解答】解：由题意得：BC=5,AC=J32+4°=5,AB=Vl2+32=V10,

•.•根2。的面积='/08。=一'33。，5BD=15,:.BD=3,.•.在RtAABD中，AD=yjAB2-BD2=1,

22

DF)

tan/BAD=---=3，故答案为：3.

AD

【点评】本题考查了解直角三角形，利用等面积法来计算是解题的关键.

【对点精练2】｛解直角三角形玄｝如图，在平面直角坐标系中，射线。4与x轴正半轴的夹角为

a,如果。4=石，tana=2,那么点/的坐标是_(1,2)

【分析】构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数求出N3,08即可确定点/的坐标.

【解答】解：过点/作N8_Lx轴，垂足为3,由于tana=2=——，设4B=2k,则。8=左，

OB

:.OA=NAB?+0B?=寻=也,:.k=l,OB=1,AB=2,.「＞^41,2),故答案为：(1,2).

【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键.

【对点精练3】｛解直角三角形★)在入45。中，NACB<90°,AB=13,AC=4^,tanZABC=—,

5

则BC的长为9.

【分析】过点/作2c于点。，根据，tanZ^5C=—=—,设NO=12x,BD=5x,再利用勾股定

5BD

理求得40=12,BD=5,再次利用勾股定理求出CD的长，即可解决问题.

【解答】解：如图，过点/作ND3c于点。,

在RtAABD中，tanZABC=—=—,设4D=12x,BD=5x,由勾股定理得48=13x,

5BD

AB=13,:.x=l,AD^n,BD=5,CD=AC2-AD2=7(4710)2-122-4,

:.BC=BD+CD=5+4=9,故答案为：9.

【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

【对点精练4】｛解直角三角形★｝在AA8C中，/D是ZU2C的高线，若tan/C/D=LAB=5,

3

AD=3,则BC长为5或3.

【分析】分两种情况进行讨论：高在A42C内部；高ND在A42。外部.

【解答】解：如图，分两种情况：当高/。在A43c内部时，

在RtAABD中，BD7AB2-AD?=打-3?=4,在RtAADC中，tanZCAD=-=-,

AD3

CD=1,.­.BC=BD+CD=4+1=5；当高4D在AAB。外部时，易知=

BC'=BD-DC'=4-}=3.故答案为：5或3.

【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于

中考常考题型.

【实战经典1】（2021•黑龙江）如图，在AA8C中，NNC3=90。，点。在42的延长线上，连接C7）,

7AC

若AB=2BD,tanZBCD=-,则」的值为（）

3BC

1B.2C.-D

2-1

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出器=簧=组弓，再根据

7

tanZ5C£>=-,设参数表示5C即可求出答案.

3

【解答】解：过点Z）作功〃_L5C,交C5的延长线于点M,・・・/ACB=/DMB=90。，/ABC=/DBM,

BD_BM_DMBDBMDM

・・・AB=2BD,2,在Rt“DM中，

~AB~BC~AC

由于tan/MCD=2=2^,设,DM=2k,贝!）CN=3左，又•:%=L=BC=2k,AC=4k,

3CMBC2AC

•AC

—=2,故选：B.

~BC2k

【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形

的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法.

【实战经典2】(2021•宜宾)如图，在A48C中，点。是角平分线40、2E的交点，^AB=AC=10,

BC=12,贝ljtanZOBD的值是()

【分析】NOAD放在RtAOBD中利用三角函数定义即可求.

【解答】解：如图：

作。尸_1_48于尸，AB=AC,4D平分NBAC.ZODB=90°.BD=CD=6.根据勾股定理得:

AD=V100-36=8.;BE平分NABC.OF=OD,BF=BD=6,AF=10-6=4.

设OD=OF=x,则AO=8-x,在RtAAOF中，根据勾股定理得

、、、,OD31

(8-X)2=X2+42..•.x=3.:.OD=3,在RtAOBD中，tanZOBD=——.

BD62

法二：在求出4b=4后•.・tanNB/O="=处.OF=3.:.OD=OF=3.

AFAD48

t^ZOBD=—=~.故选：A.

BD2

【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求线段的长是求解本

题的关键.

【实战经典3】（2021•广东）如图，是。。的直径，点C为圆上一点，AC=3,N/3C的平分线交

NC于点。，CD=\,则OO的直径为（）

A.V3B.273C.1D.2

【分析】如图，过点。作。于7.证明DT=OC=1,推出推出N/=30。，可得结

论.

【解答】解：如图，过点。作。于T.

•・,/B是直径，:.ZACB=90°,DC1BC,:DB平分NCBA,DC工BC,DTYBA,

AT3r-

DC=DT=\,­：AC=3,AD=AC-CD=2,AD=IDT,.\ZA=30°,AB=-―=-^=2<3,

cos30°V3

V

解法二：AD=2DT由此处开始，可以在RtAADT中用勾股定理得NT=g,再由垂径定理可得=2/T

得解.故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题.

【实战经典4]（2021•宜昌）如图，A4BC的顶点是正方形网格的格点，贝iJcosZ^BC的值为（）

A.也R6D.逑

D.--------

323

【分析】由图可知，可把N/5C放在RtAABD中，利用勾股定理可求出斜边的长，再利用余弦的定义可

DF)3V2

得cos/ABC=----

AB30-2

【解答】解：法一、如图,

在RtAABD中，ZADB=90°,AD=BD=3,AB=^AD2+BD2=A/32+32=372,

/.cosZABC==-^-j==—.故选：B.

AB3逝2

法二、在RtAABD中，ZADB=90°AD=BD=3,NABD=ABAD=45°,

cosZ^5C=cos45°=—

2

故选：B.

【点评】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数的定义等内容，题目比较简单，找到角所在的直角三角形

是解题关键.

考点3：解直角三角形的应用

仰角、俯角'坡度、坡角和方向角:

（1）仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.（如图①）

（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母i表示.坡角：坡面与水平面

的夹角叫做坡角，用a表示，则有，（如图②）

（3）方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点。出发

的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.（如图③）

尸工学俞笔记

【例题精析1】｛解直角三角形的应用*｝如图，太阳光线与地面成80。角，窗子/8=2米，要在窗子

外面上方0.2米的点。处安装水平遮阳板。C,使光线不能直接射入室内，则遮阳板。C的长度至少是

()

D

222

A.---------米B.2sin80。米C.—--米D.2.2cos80。米

tan80°tan80°

【分析】由已知条件易求。3的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80。角的正切值=窗户高：

遮阳板的宽，据此即可解答.

【解答】解：；23/=0.2米，/8=2米，

:.DB=DA+AB=22^,

♦.•光线与地面成80。角，ABCD=80°.

X-.-tanZ5C£>=—,

DC

.DC,DB2.2

tan/BCDtan80°

故选：c.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键.

【例题精析2】｛解直角三角形的应用*｝我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”

就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率万土3.14.刘徽从正六边形开始

分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，圆的内接

正多边形就越接近圆.设圆的半径为R,圆内接正六边形的周长PG=6R,计算万。庄=3.下面计算

圆内接正十二边形的周长正确的是()

【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可.

【解答】解：•.•十二边形44…42是正十二边形，=30°.•.•(w_L44于又。4=。4,

1QQO

:./41(W=15。，•.•正〃边形的周长=〃-2R-sin——，圆内接正十二边形的周长耳？=24Rsinl5。，

故选：C.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

【例题精析3】｛解直角三角形的应用★★｝如图大坝的横断面，斜坡48的坡比i=l:2,背水坡CD的

【分析】过点2作于E,过点C作C尸，于尸，根据等腰直角三角形的性质求出CF,根据坡

度的概念求出根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：过点8作于E,过点C作CFL4B于尸，则四边形BEFC为矩形，

BE=CF,•.•坡CD的坡比i=l:l,ZD=45°,:.CF=—CD=—x642=6（米），

22

•.•斜坡的坡比i=l:2,AE=2BE=2CF=12,由勾股定理得：AB=^AE1+BE-=7122+62=675

（米），故答案为：6方米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念坡度是坡面的铅直高度〃和

水平宽度/的比是解题的关键.

【例题精析4】｛解直角三角形的应用***｝在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆

的高度.如图，某一时刻，旗杆N8的影子一部分落在平台上的影长8c为6米，落在斜坡上的影长CD

为4米，48J_3C,同一时刻,光线与旗杆的夹角为37。,斜坡的坡角为30。,旗杆的高度AB约为10.61

米.（参考数据：sin37°»0.6,cos37°®0.8,tan37°®0.75,6*1.73,精确到0.01米）

【分析】过点C作CGL斯于点G,延长G〃交于点”，过点〃作“PLN8于点尸，过点。作

DQLG8于点。，根据正切的定义求出/尸，根据余弦的定义求出D0,根据正切的定义求出“。，结合

图形计算，得到答案.

【解答】解：过点C作CGLE尸于点G,延长G//交于点“，过点”作郎J_48于点尸，过点。作

DQLGH于点0,

•••HPVAB,CB1AB,CHVBC,

四边形8cHp为矩形，

PH=BC=6,BP=CH,ACHD=NA=37°,

PH

在RtAAPH中，tanN=——

AP

AP=^-x-^—=8,

tanA0.75

DQ!IGE,

/CDQ=/CEG=30。,

1行

:.CQ=-CD=2,O0=CDxcosNCDQ=4x号=26,

在RtADHQ中，tanNDHQ=黑,

DQ。述更,

tanZDHQ0.753

:.CH=QH-CQ=^-2,

AB=AP+PB=AP+CH=S+-2»10.61（米）,

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

【例题精析5】｛解直角三角形的应用十｝（2021•阜新）如图，甲楼高21加，由甲楼顶看乙楼顶的仰角

是45。，看乙楼底的俯角是30。，则乙楼高度约为底忆（结果精确到1加，V3«1.7）.

甲乙

【分析】在A4CE中，根据NE=90。，ACAE=30°,EC=15米，求出/C、/£的长度，然后在AIDE中

求出。£的长度，继而可求出CD的高度.

【解答】解：如图，过/作/ELCD于E,

贝UAB=CE,

在ZUCE中，•••AAEC=90°,ACAE=30°,EC=28=21米，

.\AC=21x2=42（米），

AE=y]AC2-CE2=V422-212=2173~35.7（米），

在RtAADE中，•••NAED=90°,ZDAE=45°,

AE=DE=35.7米,

乙楼。C=CE+ED=21+35.7=56.7〜57（米）.

答：乙楼的高约为57米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据所给的仰角和俯角构造直

角三角形，利用三角函数的知识求解.

【例题精析6】｛解直角三角形的应用*｝如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房。的高度，在

水平地面/处安置测倾器测得楼房O顶部点。的仰角为45。，向前走20米到达4处，测得点。的仰

求出。£,进而求出CD即可.

【解答】解：由题意得：ABED=90°,/DBF=45°,

・•.A50E是等腰直角三角形，

二.BE=DE,

设。E=8E=x米，贝！|8'£=口一20）米，

在RtAB'DE中，

1—DE

,/tanADB'E=tan67.5°=1+J2=-----,

BrE

解得，X=10A/2+20,

CD=DE+CE=1042+20+1.6=（1072+21.6）（米），

故答案为：（10亚+21.6）米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义和等腰直角三角形的判定与性质是解

题的关键.

【例题精析7】｛解直角三角形的应用玄｝如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60。方向，距离灯塔

60海里的小岛/出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45。方向上的2处，这

时轮船3与小岛/的距离约是82海里.（结果保留整数，百。1.732）

北

【分析】根据/c=60海里，ZACD=3O°,可以先求得4。的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再

根据/BCD=45。，ZADC=90°,即可得到CD=8。，然后即可计算出N8的长.

【解答】解：设N2与CA交于点D,如右图所示，

由已知可得，AC=60WB，NNCO=90。-60。=30。，

/D」/C=30海里，

2

CD=7602-302=3073（海里），

■.■ZBCD=90°-45°=45°,ZADC=90°,ABCD=ACBD=45°,5。=CO=30。海里，

AB=AD+BD=30+3073»30+30x1.732=30+51.96=81.96«82（海里），故答案为：82.

【点评】本题考查解直角三角形的应用一方向角问题，解答本题的关键是明确题意，求出/。和的

长.

【例题精析8】｛解直角三角形的应用*｝如图，在东西方向的海岸线上有4,8两个港口，甲货船从/

港沿北偏东60。的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从3港沿西北方向出发，2小时后相遇

在点尸处，则乙货船每小时航行2.8海里.（精确到0.L”，参考数据也。1.414）

【分析】作尸于点C,首先在直角三角形/PC中求得PC,然后在直角三角形中求得的长，最

后除以时间即可得到乙货轮航行的速度.

【解答】解：作尸于点C,•.■甲货船从/港沿北偏东60。的方向以4海里/小时的速度出发，

APAC=30°,/P=4x2=8（海里），；.PC=APxsin30°=8x^=4（海里））.

2

•.•乙货船从B港沿西北方向出发，NPBC=45°，

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出直角三角形并利用解

直角三角形的知识求解.

三」时直御球

【对点精练1】｛解直角三角形的应用***｝小李想测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图

中线段48表示，小李站在C点测得aBC/=45。，小李从C点走4米到达了斜坡OE的底端。点，并

测得/CZ）E=150。，从。点上斜坡走了8米到达E点，测得乙4成＞=60。，B,C,D在同一水平线

上，/、B、C、D、E在同一平面内，则大树4g的高度约为24.4米.（结果精确到0.1米，参

考数据：收“41,1.73）

A

E

BD

【分析】过石作EGL4B于G,E尸，AD于尸，根据直角三角形的性质求出斯，根据勾股定理求出。尸,

进而求出3,根据正切的定义列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：过E作EG_L48于G,EFA.BD于F,

则四边形G5FE为矩形，

BG=EF,EG=BF,

■：ACDE=Y50°,

NEDF=30°,

•.・DE=8米，

:.EF=^DE=4（米），DF=4V3（米），

.•.CP=CZ）+。尸=（4+4扬米，

ZABC=90°,44c8=45°,

AB=BC,

：.GE=BF=AB+4+4y5,AG=AB-4,

ZAED=60°,AGED=ZEDF=30°,

NAEG=30°,

..-/GmAB-4_V3

..tan/4EF------,即------------尸——，

EG45+4+463

解得：43=14+6石♦24.4(米),

故答案为：24.4.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

【对点精练2】｛解直角三角形的应用★★｝如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面CD和地

面3c上，量得CD=12米，3c=20米，CD的坡度为7=1:2后；且此时测得1米杆在地面上的影长

为2米，则电线杆的高度为_(14+40)_米.

A

____X

BC

【分析】过点。作。尸，于尸，DE，8c交8c的延长线于E,根据坡度的概念分别求出。£、CE,

根据题意求出4F,进而求出48.

【解答】解：过点。作DFLNB于尸，8c交BC的延长线于£,

则四边形EBE。为矩形，

:.BF=DE,DF=BE,

在RtADCE中，CD的坡度为i=1:2及，

设。E=x米，则CE=2VL;米，

由勾股定理得：X2+（2V2X）2=122,

解得：X1=4,X2=—4（舍去），

:.BF=DE=4^z,CE=8•米，

DF=BE=BC+CE=（20+8伪米，

由题意得：/斤=；。尸=（10+4后）米，

AB=AF+BF=（14+472）米，

故答案为：（14+4收）.

A

tzzz

BCE

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

【对点精练3】｛解直角三角形的应用***｝自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人

越来越多.为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改

造前的斜坡42=200米，坡度为l:g；将斜坡的高度/E降低/C=20米后，斜坡48改造为斜坡

CD,其坡度为1：4.则斜坡CD的长为80而米.（结果保留根号）

图1图2

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得/£的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到DE

的长，然后由勾股定理即可求得C。的长