解直角三角形（考点突破）-2022年中考数学一轮复习（全国解析版）

专题18解直角三角形

囿务复习目标

1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用.

2.掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简;

3.理解直角三角形的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角

三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力;

，考点梳理

一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：NC=90。NNA+NB=90。

2、在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。

NA=30°

ZC=90°=>BC=-AB

可表示如下：2

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

ZACB=90"

=>CD=-AB=BD=AD

2

为的中点

可表示如下:DAB

22

4、勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即/+b=c

5、射影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,

每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

ZACB=90\，CD2=AD»BD

AC2=AD»AB

CD1AB」LBC2=BD»AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得:

AB・CD=AC・BC

二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c有关系/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形。

三、锐角三角函数的概念

1、如图，在aABC中，ZC=9O°

①锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记为sinA,即

NA的对边

的对边aNB的邻边

sin/=

斜边c

②锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记为cosA,即NA的邻边

NB的好边

NZ的邻边b

cosA=

斜边c

//的对边a

③锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记为tanA,即tanA=

NZ的邻边b

NZ的邻边;b

④锐角A的邻边与对边的比叫做ZA的余切，记为cotA,即cot4=

44的对边a

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

三角函数0°30°45°60°90°

j_V2

sina0V31

2~TV

V2j_

cosa1V30

~T~T2

V3

tana01V3不存在

T

V3

cota不存在V310

T

4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系

sinA=cos(90°一A),cosA=sin(90°一A)tanA=cot(90°一A),cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系

sin2T4+COS2A=1

（3）倒数关系

tanA•tan(90°-A)=l

（4）弦切关系

sin/

tanA=--------

cosA

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0。〜90。之间变化时,

(1)正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

(2)余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

(3)正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

(4)余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元

素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在RtaABC中，4c=90。，ZA,ZB,Z_C所对的边分别为a,b,c

（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：ZA+ZB=9O°

（3）边角之间的关系:

•Aa4bAaAanb°a

sinZ=—，cosA--,tanZ=—，cotA-—,tan5,cot5=—

ccbacab

盖；综合训练

1.（2021•佛山市华英学校九年级期末）在必A48C中，ZC=90°,若“8C的三边都缩小5倍，贝hin/

的值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不变D.无法确定

【答案】C

【分析】

直接利用锐角的正弦的定义求解.

【详解】

解：,••NC=90°,

■•.sinA=zA的对边与斜边的比，

・；2BC的三边都缩小5倍，

・••乙4的对边与斜边的比不变，

•1.sitL4的值不变.

故选：C.

2.（2021•重庆实验外国语学校九年级开学考试）在放A48c中，ZJ=90°,若Z8=30。，则sinC=（）

A.—B.yC.—D.立

2232

【答案】D

【分析】

根据直角三角形的性质求出NC,根据60。的正弦值是心解答.

2

【详解】

解：•••//=90°,NB=30。,

.■.ZC=90°-30°=60°,

sinC=sin60°=,

2

故选：D.

3.（2021•重庆市南华中学校）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假

设树是竖直生长的，用图中线段N5表示，小李站在C点测得乙8c/=45。，小李从C点走4米到达了斜坡

的底端。点，并测得4CDE=150。，从。点上斜坡走了8米到达E点，测得乙4EZA60。，B,C,。在同

一水平线上，/、B、C、D、£在同一平面内，则大树N8的高度约为（）米.（结果精确到0.1米，

参考数据：V2®1.41，6x1.73）

A

A.24.3B.24.4

【答案】B

【分析】

过E作EGL45于G,EFLBD于F,则5G=EREG=BF,求得乙⑦8=30。，根据直角三角形的性质得到£尸=

；。£=4,。尸=4。，得到C尸=CD+D尸=4+46，根据三角函数的定义列方程即可得到结论.

【详解】

解：过E作EGL42于G,EFLBD于F,

贝i」8G=EF,EG=BF,

■■■Z.CDE=150°,

；/EDF=30。,

vDE=8,

••,EF=；DE=4,。尸=45

：・CF=CD+DF=4+46,

VZL45C=90°,UCB=45。,

•・.AB=BC,

；,GE=BF=AB+4+45AG=AB-4,

ZEZA60。，（GED=LEDF=3G0,

.-.ZJ£G=3O°,

AB-4_V3

/.tan30°=

GEAB+4+4y/3~3

解得：^=14+673-24.4,

故选：B.

4.（2021•如皋市实验初中九年级期末）在A/BC中，ZA,NC是锐角，若48=4,且tan/C=2tan乙4,

则A48C面积的最大值是（）

A.4B.6C.4y/2D.8

【答案】B

【分析】

如图，过8作8OL4c于。，根据三角函数定义和已知条件确定4D=2CD,设BD=h,CD=a,则4D=2a,

找到。、人的关系，最后根据三角形的面积公式可得结论.

【详解】

如图，过2作ADL4c于。，

BDBD

.••tanZ.C=-----,tanz^4=-----,

CDAD

,.,tanzC=2tanZ^,

：・AD=2CD,

•：AB=4,

设BD=h,CD=a,贝！］4)=2Q,

R—BD中,炉+44勺6,

.*2=16-4〃2,

2

・•・。2•〃2=。2(16—4〃2)=_4a4+16〃=一%/_2)+16

当』=2时,取最大值为16,

'-ah最大值为4

113

•：SARC=AC,BD=-h3a=—ah

“BC222

・•.A45c面积的最大值是6,

故选B.

5.（2021•沙坪坝区•重庆八中九年级二模）如图，一棵松树挺立在斜坡C3的顶端，斜坡C3长为52

米，坡度为，=12：5,小张从与点C相距60米的点。处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E,在此测

得松树顶端点A的仰角为39°,则松树的高度48约为（）（参考数据：sin39tM）.63,cos39°~0.78,

tan39°s0.81）

A.16.8米B.28.8米C.40.8米D.64.2米

【答案】B

【分析】

延长N8交。C的延长线于，，作EFM”于尸，根据矩形的性质得到尸"=DE=12,EF=DH,根据坡度的

概念分别求出5、而，根据正切的定义求出/尸，结合图形计算即可.

【详解】

解：延长N2交。C的延长线于作于F,则四边形成归F为矩形，

：.FH=DE=12米,EF=DH,

・••斜坡C2的坡度为f=12：5,

.•.设8H=12x,CH=5x,

由勾股定理得，（5无）2+（12x）2=522,

解得，x=4,

则88=12r=48米，CH=5x=20米，

则跖=D〃=DC+C〃=60+20=80（米），

在RtAAEF中，tanZ-AEF=――,

EF

贝IJN/=斯”。〃々£代80><0.81=64.8（米），

：.AB=AF+HF-28=64.8+12-48=28.8（米），

故选：B.

6.（2021・宜兴市实验中学九年级二模）如图，四边形/BCD为矩形，点E为边N8一点，将“DE沿DE

24AD

折叠，点A落在矩形4BCD内的点尸处，连接AF,且8E=£尸，N3E尸的正弦值为不，则—的值为（）

24

D.

25

【答案】A

【分析】

过点厂作于点尸，根据折叠的性质及3£=£T尸，可得UED=4EBF,从而可得由NBE尸

的正弦值为石，设E声=25访则尸尸=24°,由勾股定理求得尸£=7a,从而可得8P,则由相似可得

空=空，再由折叠的性质可得点E是N8的中点，从而可求得结果.

ADPF

【详解】

如图，过点尸作尸尸L48于点尸

由折叠的性质可得：AE=EF,/-AED=^FED

，:BE=EF

-'-BE=AE=EF,Z-EFB=Z-EBF

•:乙BEF+2UED=cBEF+2乙EBF=180°

•••乙4ED"EBF

•・•四边形/BCD为矩形，PFLAB

­.Z.A=Z-FPB=90°

：2DE~XPFB

AEBP

••茄-7F

••,在RtAPEF中，sinABEF=一=——

25EF

・♦・设石方=25a,贝IJ尸尸=24。

由勾股定理求得PE=yjEF2-PF2=7a

工BP=BE—PE=18a

AE_BPISa3

••茄一而24^-4

AB_2AE_3

''^D~AD-2

AD2

,•茄-3

故选：A.

7.（2021•河南省淮滨县第一中学九年级开学考试）如图，在放/BC中，N4CB=90°,。是斜边的中

点，DELAC,垂足为E,若DE=2,CD=5,贝hos/CBE的值为.

4

【答案】|

【分析】

先求解CD=BD=AD=V13,AB=2而,再证明CE=AE,利用勾股定理求解CE,BC,BE,再利用余弦的含义

可得答案.

【详解】

解：；ZACB=90°,。是斜边的中点，CD=413,

CD=BD=AD=岳,AB=2旧,

•••DEVAC,DE=2

:.CE=y/CD2-DE2=3=AE,AC=6,

BC^y/BA2-AC2=4,

.­.BE=yjBC2+CE2=5,

BC4

二.cos/CBE=——=-.

BE5

4

故答案为：—.

8.（2021・沈阳实验中学九年级二模）如图，新疆部4位于学校主教学楼尸南偏东45。方向，且距离教学楼

60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30。方向的综合楼3处,

此时这位同学一共走的距离为米.

45。\

।\

【答案】（30拒+30祈）.

【分析】

过P作PCL48于C,由新疆部/位于学校主教学楼尸南偏东45。方向，可得乙4=45。可证PC=/C,由P4=60

米，由三角函数可得NC=PC=30后，由综合楼8处在教学楼北偏东30。方向，可得48=30。，可求P8=2PC=

6072>在RtABCP中，fiC=P5cos30°=30V6,可求/3=3C+/C=卜00+30灰）米即可.

【详解】

解：过尸作PC1/8于C,

•••新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45。方向,

山=45°

.•zCP/=90°-乙4=45°,

：.PC=AC,

设NC=PC=x,

■.■PA=60米

-,-AC=PC=PAcos45°=60x^-=30A/2,

2

•••综合楼5处在教学楼北偏东30。方向,

."=30°,

：.PB=2PC=6QC，

同

在RtABCP中，BC=PBcos300=6072x—=3076，

2

：.AB=BC+AC=(30A/2+30甸米.

故答案为：（30亚+30指卜

9.（2021•南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，有甲、乙两建筑物，甲建筑物的高度为40m,

ABLBC,DC1BC,某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从8点测得。点的仰角为60。,

从A点测得。点的仰角为45。.求乙建筑物的高D